第二章习题及答案78529
北师大版七年级第2章第二章 有理数及其运算单元回顾与思考含答案-
第二章有理数及其运算单元回顾与思考◆基础训练一、选择题1．下列说法正确的是（）．A．有理数的绝对值为正数B．只有正数或负数才有相反数C．如果两个数之和为0，则这两个数的绝对值相等D．如果两个数的绝对值相等，则这两个数之和为02．在有理数32，23，－33，（－2）3，（－3－1）2，│1－32│中相等的是（）．A．32与－32B．23与（－2）3C．（－3－1）2与│1－32│ D．23与│1－32│3．关于有理数的运算，下列说法正确的是（）．A．减去一个数等于加上这个数的相反数B．两数相加，和一定大于每一个加数C．几个有理数相乘，若负因数为奇数，则积为负数D．任何数除以0，都得0二、填空题4．－113的相反数是______，倒数是______，绝对值是______．5．按规律填数：1，5，9，13，17，______，______，…，第n个数是_____．三、计算题6．（1）（－413）－[（－413）－（－323）]；（2）－22－（－2）2+（－3）2×（－23）－42÷│－4│；（3）（－234）×[（－345）－（345）+1611]÷4．◆能力提高一、填空题7．与数轴上表示－2的点相距3个单位，则此点表示的数是______．8．如下页图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3•个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上数字0，1，2）上；先让原点与圆周上数字0•所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系：（1）圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a=______；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，•并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_______（用含n的代数式表示）．二、解答题9．某电力维修小组从A点出发，在东西线路上检修电线，如规定向东为正，向西为负，一天中行驶里程（单位：千米）记录如下：+5，－4，－7，+8，－9，+6，+5．（1）求收工时距出发点A多远？（2）在记录中，距离A最远有多少千米？（3）若每千米耗油0.3升，油价为5元/升，问出发到收工时共需多少元油钱？◆拓展训练10．某超市对顾客实行优惠购物，规定：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次性购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）•若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买同样多的物品，他需付款多少元？参考答案1．C 2．D 3．A 4．113，－34，435．21，25，4n－36．（1）－323（2）－18 （3）－1 7．－5或18．（1）由图2最后一个图易知a=2；（2）我们先从简单情况入手进行探索：圈数与圆周上对应的数1 4=3×1+12 7=3×2+13 10=3×3+1…… …故应填3n+19．（1）距A点4千米处（2）7千米（3）66元10．712.4元或730元．。
高中数学必修2第二章知识点+习题+答案
__________________________________________________第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为D C B A α__________________________________________________A ∈LB ∈L => L αA ∈αB ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系α C · B·A · α P· αL β__________________________________________________ 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
高等数学Ⅱ第二章习题课习题及其解答
高等数学Ⅱ第二章习题课习题1（导数的定义）（1）设函数()y f x =在1x =处可导，且0(13)(1)1lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆，求(1)f '。
（2）设函数()y f x =在0x =处连续，且0()lim x f x x →存在，求0(2)lim x f x x→。
【解】：（1）00(13)(1)(13)(1)1lim3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆， 所以 1(1)9f '=（2）因为0()lim x f x x→存在，故0lim ()0x f x →=，又函数()y f x =在0x =处连续，从而0(0)lim ()0x f f x →==，所以00(2)(2)(0)()(0)lim2lim 2lim 2(0)200x x t f x f x f f t f f x x t →→→--'===--2（求导法则）（1）设函数21()(1)(1)f x x x=+-，求()f x '； （2）设函数3()(1)cot f x x arc x =+，求(0)f '； （3）设3ln 1x xy x=+，求y '. 【解】：（1）21()1f x x x x =-++-， 21()21f x x x'=-+-（2）33()(1)cot (1)(cot )f x x arc x x arc x '''=+++32213cot 1x x arc x x +=-+所以 (0)1f '=-（3）33323232(ln )(1)(ln )(1)(1ln )(1)(ln )(3)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x ''+-+++-'==++ 33321ln (12)(1)x x x x ++-=+3（一元复合函数求导）（1）设函数()lnsin f x x =，求()f x '；（2）设函数ln y =y '； （3）设(4)ln f x x =，求()f x '；（4）设cos2f x =，求()f x '. 【解】：（1）2cos ()sin xf x x'=+（2）y '==（3）在(4)ln f x x =两边同时对x 求导，得 14(4)f x x '=，从而1(4)4f x x'= 所以 1()f x x'=（4）在cos2f x =两边同时对x 求导，得 2sin 2f x '=-，从而2f x '⋅=-所以 2()4sin 2f x x x '=-4（分段函数求导）（1）设函数212()2ax x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩在2x =处可导，求,a b ；（2）设函数20()20x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩处处可导，求,a b 及()f x '；【解】：（1）函数在2x =处可导，在2x =处必连续。
八年级下册数学第二章练习题及答案
八年级下册数学第二章练习题及答案八年级下册数学第二章练习题及答案一、填空题1．用不等式表示：x与5的差不小于x的2倍：；a与b两数和的平方不可能大于3：．2．请写出解集为x?3的不等式：．3．不等式9?3x?0的非负整数解是4．已知点P在第一象限，则m的取值范围是5．如果1 6．将–x4–3x2+x提取公因式–x后，剩下的因式是7．因式分解：a2b–4b8．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，如果每支钢笔5元，每本笔记本2元，那么小明最多能买支钢笔．9．若4a4–ka2b+25b2是一个完全平方式，则k= ．10．若一个正方形的面积是9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是．111．已知x–3y=3，则x2?2xy?3y2?．12.已知2k－x2+2k>1是关于x的一元一次不等式，那么，不等式的解集是13．函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集为二、选择题14．已知x?y，则下列不等式不成立的是．A．x?6?y?B．3x?3yC．?2x??2y D．?3x?6??3y?615．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是．A {x?1x? A B C D16．下列从左到右的变形中，是因式分解的是A．a2–4a+5=a+5B．=x2+5x+6C．a2–9b2= D．+1=x2+2x+217.下列各组代数式中没有公因式的是A．4abc与8abc B．ab+1与ab–1C. b2与a2D. x+1与x2–118．下列因式分解正确的是A．–4a2+4b2=–4=–4B.m3–12m=3mC.4x4y–12x2y2+7=4x2y+D．4–9m2= 19．22006+3×22005–5×22007的值不能被下列哪个数整除 A． B．C．22006D．2200520.若x+y=2，xy=3，则x2+y2的值是A．2B．10 C．– D．x2+y2的值不存在三、解答题21．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来232231－x?21?3xa4–8a2b2+16b–4+4223．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元．请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．24．有一个长方形足球场的长为x m，宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．25．已知多项式–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．写出常数k可能给定的值；针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．参考答案一、填空题1．x?5?2x ?a?b?2?32．略．0、1、2；．m>35． 10.m+4n；11.3； 12. -31，x 二、选择题14．D15．A 16．C 1.B 18.D 19.C20.D三、解答题10 在数轴上表示解集略。
八下数学第二章习题答案
八下数学第二章习题答案第二章习题答案在八年级数学第二章的学习中，我们遇到了许多有趣的习题。
通过解答这些问题，我们可以更好地理解和应用数学知识。
下面是这一章中一些典型习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了4小时后，还剩下180公里的路程。
求这段路程的长度。
解答：设这段路程的长度为x公里。
根据题意可得方程60×4 + x = 180，解得x = 180 - 240 = -60。
由于路程不能为负数，所以这个方程无解。
因此，题目中的条件是不符合实际情况的。
2. 一条长为8厘米的线段，被分成两段，其中一段是另一段的3倍，求这两段线段的长度。
解答：设较短的线段长度为x厘米，则较长的线段长度为3x厘米。
根据题意可得方程x + 3x = 8，解得x = 2。
因此，较短的线段长度为2厘米，较长的线段长度为6厘米。
3. 一块长方形的地板，长是5米，宽是3米。
现在要铺上一些正方形的瓷砖，每块瓷砖的边长是0.5米。
问需要多少块瓷砖才能完全铺满地板？解答：首先计算出地板的面积，即5 × 3 = 15平方米。
然后计算出每块瓷砖的面积，即0.5 × 0.5 = 0.25平方米。
最后将地板的面积除以每块瓷砖的面积，即15 ÷ 0.25 = 60。
因此，需要60块瓷砖才能完全铺满地板。
4. 一桶装满了水，水的质量是40千克。
现在从桶中倒出了一半的水后，桶中剩余的水的质量是多少？解答：桶中剩余的水的质量是原来的一半，即40 ÷ 2 = 20千克。
5. 一条绳子长12米，现在要将它剪成两段，其中一段是另一段的三倍。
求这两段绳子的长度。
解答：设较短的绳子长度为x米，则较长的绳子长度为3x米。
根据题意可得方程x + 3x = 12，解得x = 2。
因此，较短的绳子长度为2米，较长的绳子长度为6米。
通过以上习题的解答，我们可以发现数学中的一些规律和方法。
人教版必修二第二章练习题及答案
练习题1. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（）（A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条 2、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题其中正确的命题的个数（ ）①若αα//,,b a b a 则⊥⊥②若ββαα⊥⊥a a 则,,// ③αβαβ//,,a a 则⊥⊥④βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b aA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3， E 是SA的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°4、. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是 ．5、．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6、. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, A 1A=AB ， E 、F 分别是BD 1和AD 中点. （1）求异面直线CD 1、EF 所成的角；（2）证明EF 是异面直线AD 和BD 1的公垂线.7、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD.(12分)8、 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC = ∠DBC =120°，求(1) A 、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小第四题第五题DABCF EA1D1C1CB1BAD第六题第七题答案：1、C 解析：如图1这样的直线有4条，另外图2，这样的直线也有4条，共8条。
微积分第二章习题参考答案
f ( x ) f ( x ), f ( x ) f ( x ),
即f ( x )为奇函数;
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1. ey sec 2 ( r ) ; 2. csc 2 ( r ) ; 2 2 y 1 sec ( r )
x 0
1 2 x
1.
二.解1.(1).
y ln( x 1 x 2 ) ln x ,
1 x
1 y (1 ) x x 1 x2 1 x2 1 . x 2 1 x 2 x(1 x 2 )
(2) 1 y 3sec (ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) x 3 sec 3 (ln x )tan(ln x ). x
x 1 dy k 2e ,当 0时, , dx 0 y0
切线方程为 y 2e( x 1), 1 法线方程为 y ( x 1). 2e
四.
解 : s ( t ) x ( t ) 9,
2 2
ds dx s( t ) x ( t ) 0, dt dt ds 已知 160, s 5, x 4, dt dx 200, v 200 120 80. dt
(sin 2 x ) f (cos 2 x )]sin 2 x . [f 1 (3) y f ( x ); 2 1 f ( x)
(4) y f (sin x )cos x cos[ f ( x )] f ( x ).
4.解.(一) lim f ( x ) lim
1 1 2( 1)2 2( 1)2 y , y 2 2 , 3 3 ( t 2) ( t 1) ( t 2) ( t 1)
高等数学第2章课后习题及答案
-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。
第二章 练习题答案.doc
第二章极限与连续习题2. 1一选择题1.A；2. C；3. B；4. B.二解答题1.(1) lim A; =0 : (2) S”=丄一丄化］;(3) S=丄.”卄" "2 2「3丿22.提示：利用等比数列前"项和公式，然后取极限.习题2. 2选择题1.D；2. B；3. D；4. A；5. B.二填空题1.lim/(x) = -2 ；2. A = -3 ；x->03.lif』(x) = -2；4. lim (x•/(x)) = 2 .三计算题1.(1) 2；(2) 2x0；(3) 2；(4) 2x0.2.(1) 4 力'；(2) 10 万.习题2. 3一选择题1. C；2. B；3. D；4. A.二计算题提示：lim丄+2 + 2 +…2) = lim四单=丄，因此“无穷个无穷小n n n n n^+°° 2n 2量加和还是无穷小量”的论断是错误的.1. C ；2. D ；3. A ；4. 1. (1) 不tSx n =— ,y n =n ； (2)可以，提示: n 结合极限运算法用反证2. (1) (2)(3) (4) (5) (6)| (7) (8) 0. 3. (1) -9(2) (3) (4) 2(5) -(6) (7) 0(8)0.a = — 1,b = —2 . 习题2.5 选择1. D ； 2. D ； 3. 4. 5. D . 计算1. (1) (2) (4)(5) (6) e 2. 2.1,提不:对于k =1,2,, n 2 +n习题2. 4选择题-/‘ — ~iH —/ ‘ + …—/ • S —/.n 2 + l习题2. 6选择题1. C ；2. B ；3. B ；4. D ；5. A.二计算题1.从低到高顺序：y[x > x-x 2 > l-cos4x > x -tan 2 x .2 1 1 1 2. (1) —； (2) 2: (3) —；(4) —； (5) —； (6) 0.53223.a=l. b 为任意实数，提示：利用单侧极限.习题2. 7 一选择题1. D:2. B ；3. C:4. C ；5. C.二计算题1.(1)可去间断点；(2)可去间断点；(3)第二类间断点；(4)跳跃间断点. 2.(7=0.3.在(0,2)上连续,在［0,2］不连续.习题2. 8一选择题1. D；2. B；3. C；4. C.二解答题1 .均未必，因为f(x)在(a, b)连续，而非［a, b］上连续，如y(x)=x,a=o,b=i,定义y(o)= -i, y(i)= 2,这里所给的 /(%)= % 在 a = 0,b = l满足题目条件，但当77 = 1.5时，在(0,1)上并不存在x0G(0,1), 使得f(x0) = 7］；此时尽管/(0)-/(1) = -2<0,但同样不存在x0G (0,1),使得 / (兀)—0.2.提示：构造函数f(p) = D(p)-S(p),因为DM) > , D(pJ <期)，而D(p)与S(p)都是连续函数,从而f(p) = D(p)-S(p)在pi <p<p2±.连续，利用中间值定理的推论1可得存在p t< p n< p?使得/(Po)= D(Po)-S(Po)= O , 即实现供需平衡.3.提示：构造函数g(x) = /(x)-x,即g(x) = e*-x-2,在区间[0, 2] ±使用中间值定理的推论1即可.复习题一选择题1. B；2. D；3. A；4. C；5. C；6. D；7. C；8. D；9. C；10. B.二填空题1. 0；2. a + b = 0；3. 2；4.-；25. 2；6. 0；7.跳跃间断点；8.兀=0与兀=1；9. a = b +l；a = 2,b =l；10. 2二计算题;1. (1) 0；(2) 3；(3) (4) 1 3 2(5) 0；(6)0；(7) 1；(8),2 2. (1) 1； (2)-；⑶丄；3 2(4) 4；(5) e”；(6) cos a 03. a = 0, b = —4 .4.(1) 29,即引入该药物9分钟时，细菌全部死光；(2) /(1) = 8,/(7) = 16,且/⑴在区间[1,7] ±连续，根据中间值定理可知，在21与27之间某一时刻，细菌的存活量一定曾为10万.。
初二第二章练习题及参考答案
初二第二章练习题及参考答案第一节选择题1. 答案：B。
解析：根据题意，判断一个数字是奇数还是偶数，只需要判断最后一位数字是否为偶数即可。
若为偶数，则整个数字为偶数；若为奇数，则整个数字为奇数。
故答案为B。
2. 答案：C。
解析：将小数转化为百分数，就是将小数乘以100。
故答案为C。
3. 答案：A。
解析：计算两个小数的和，保留末尾两位小数。
故答案为A。
4. 答案：D。
解析：折扣价 = 原价 - 原价 ×折扣百分比。
故答案为D。
5. 答案：B。
解析：编码密码需要根据26个字母的顺序进行移位加密。
故答案为B。
第二节填空题6. 答案：250。
解析：由百分数的定义可知，如果一个百分数的百分数部分是整数，那么这个百分数就是这个整数本身，百分数部分为100时表示完整的数值。
故答案为250。
7. 答案：11。
解析：解方程 x + 4 = 15，得 x = 11。
故答案为11。
8. 答案：32。
解析：计算 4 × 8，得 32。
故答案为32。
9. 答案：15。
解析：在等差数列中，等差数列公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数，an 为第n项。
故答案为15。
10. 答案：10。
解析：利用圆的周长公式C = 2πr，其中 C 为周长，r 为半径。
故答案为10。
第三节解答题11. 解：根据题意，有 a ÷ b = 2 且 a + b = 13，求 a 和 b 的值。
解法一：利用方程组求解，将 a 和 b 分别表示为 x 和 y，则可以得出以下方程组：x ÷ y = 2x + y = 13根据第一式可得 x = 2y，将其代入第二式得到 2y + y = 13，解得 y = 4，代入第一式可得 x = 8。
故 a = 8，b = 4。
解法二：利用代入法求解，将 a = 2b 代入 a + b = 13，得 2b + b = 13，解得 b = 4，代入 a = 2b 可得 a = 8。
高中物理教材第二章练习题及答案
高中物理教材第二章练习题及答案
本文档提供了高中物理教材第二章的练题及答案，旨在帮助高中物理学生巩固和复相关知识。
1. 第一节练题
1.1. 问题：描述牛顿第一定律的内容是什么？
答案：牛顿第一定律又称惯性定律，它指出一个物体如果没有外力作用，将保持匀速运动或静止状态。
1.2. 问题：如何判断一个物体是否处于平衡状态？
答案：一个物体处于平衡状态时，所有作用在它上面的力的合力为零。
1.3. 问题：什么是质量和重量？
答案：质量是一个物体所固有的特性，衡量了物体对于改变其运动状态所需要的力。
重量是物体受地球引力作用的结果，由质量乘以重力加速度计算得出。
...
2. 第二节练题
2.1. 问题：什么是力的合成？
答案：力的合成是将两个或多个力的作用效果用一个等效的单一力表示的方法。
2.2. 问题：如何计算力的合成？
答案：力的合成可以通过将各个力的大小和方向相加来计算。
2.3. 问题：什么是力的分解？
答案：力的分解是将一个力分解成多个分力的过程。
...
以上所列为部分练题及其答案，希望对学生们的物理研究有所帮助。
更多练题和答案请参考教材第二章。
高等数学第二章课后习题答案
第二章 导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()32y x y π=-=-所以切线方程为1()223y x π-=--2(1)03y +-+=班级 姓名学号法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续因为 20001s i n(0)(0)1l i m l i m l i ms i n 0x x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f hh +→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;班级 姓名学号当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+ 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+ （3）;3253xx e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2s e c s e c t a ny x x x =+班级 姓名学号（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22l n c o s c o s l n s i n x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+-班级 姓名学号所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或 因为2'1y x -=+， 所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=； 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。
人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析
人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设 $\alpha$，$\beta$ 为两个不同的平面，$l$，$m$ 为两条不同的直线，且 $l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，有如下的两个命题：①若 $\alpha\parallel\beta$，则 $l\parallel m$；②若 $l\perp m$，则 $\alpha\perp\beta$。
那么()。
A。
①是真命题，②是假命题B。
①是假命题，②是真命题C。
①②都是真命题D。
①②都是假命题2.如图，ABCD为正方体，下面结论错误的是()。
A。
BD $\parallel$ 平面CBB。
AC $\perp$ BDC。
AC $\perp$ 平面CBD。
异面直线AD与CB角为60°3.关于直线 $m$，$n$ 与平面 $\alpha$，$\beta$，有下列四个命题：① $m\parallel\alpha$，$n\parallel\beta$ 且$\alpha\parallel\beta$，则 $m\parallel n$；② $m\perp\alpha$，$n\perp\beta$ 且 $\alpha\perp\beta$，则$m\perp n$；其中真命题的序号是()。
A。
①②B。
③④C。
①④D。
②③4.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线 $l_1$，$l_2$ 与同一平面所成的角相等，则$l_1$，$l_2$ 互相平行④若直线 $l_1$，$l_2$ 是异面直线，则与 $l_1$，$l_2$ 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是()。
A。
1B。
2C。
3D。
45.下列命题中正确的个数是()。
①若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则$l\parallel\alpha$②若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点A。
八年级数学上册第二章练习题(附答案)-精选文档
2019年八年级数学上册第二章练习题（附答案）初中阶段对于学生们来说也是十分重要的一个时期，对每个学生来说尤为重要，下文为大家准备了八年级数学上册第二章练习题，供大家参考。
一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2019?天津中考)估计的值在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间2.(2019?安徽中考)与1+ 最接近的整数是( )A.4B.3C.2D.13.(2019?南京中考)估计介于( )A.0.4与0.5之间B.0.5与0.6之间C.0.6与0.7之间D.0.7与0.8之间4.( 2019?湖北宜昌中考)下列式子没有意义的是( )A. B. C. D.5.(2019?重庆中考)化简的结果是( )A. B. C. D.6. 若a,b为实数，且满足|a-2|+ =0，则b-a的值为( )A.2B.0C.-2D.以上都不对7.若a，b均为正整数，且a>，b>，则a+b的最小值是( )A.3B.4C.5D.68.已知 =-1， =1， =0，则abc的值为( )A.0B.-1C.-D.9.(2019?福州中考)若(m?1)2? =0，则m+n的值是( )A.-1B.0C.1D.210. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x=64时，输出的y等于( )A.2B.8C.3D.2二、填空题(每小题3分，共24分)11.(2019?南京中考)4的平方根是_________;4的算术平方根是__________.12.(2019?河北中考)若|a|= ，则a=___________.13.已知：若≈1.910，≈6.042，则≈ ，± ≈ .14.绝对值小于π的整数有 .15.已知|a-5|+ =0，那么a-b= .16.已知a，b为两个连续的整数，且a>>b，则a+b= .17.(2019?福州中考)计算：( ?1)( ?1)=________.18.(2019?贵州遵义中考) + = .三、解答题(共46分)19.(6分)已知，求的值.20.(6分)若5+ 的小数部分是a，5- 的小数部分是b，求ab+5b的值.21.(6分)先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：例如：化简： .解：首先把化为，这里，，因为，，即，，所以 .根据上述方法化简： .22.(6分)比较大小，并说明理由：(1) 与6;(2) 与 .23.(6分)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部写出来，于是小平用 -1来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗?事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：5+ 的小数部分是，5- 的整数部分是b，求+b的值.24.(8分)计算：(1) - ;(2) - .25.(8分)阅读下面计算过程：试求：(1) 的值;(2) ( 为正整数)的值;(3) 的值.第二章实数检测题参考答案一、选择题1.C 解析：11介于9和16之间，即9，b>，∴ a的最小值是3，b的最小值是2，则a+b的最小值是5.故选C.8.C 解析：∵ =-1， =1， =0，∴ a=-1，b=1，c= ，∴ abc=- .故选C.9.A 解析：根据偶次方、算术平方根的非负性，由(m?1)2? =0,得m-1=0，n+2=0，解得m=1，n=-2，∴ m+n=1+(-2)=-1. 10.D 解析：由图得64的算术平方根是8，8的算术平方根是2 .故选D.二、填空题11. 2 解析：∵ ∴ 4的平方根是，4的算术平方根是2.12. 解析：因为，所以，所以13.604.2 ±0.019 1 解析：≈604.2;± =±≈±0.019 1.14.±3，±2，±1,0 解析：π≈3.14，大于-π的负整数有：-3，-2，-1，小于π的正整数有：3，2，1，0的绝对值也小于π.15.8 解析：由|a-5|+ =0，得a=5，b=-3，所以a-b=5-(-3)=8.16.11 解析：∵ a>>b， a，b为两个连续的整数，又0.707，∴ - +1- >-3，∴ 5-2>5- >5-3，∴ 2。
第二章课课练(附答案)
1一、填空题1.如果提高10分表示+10分，那么下降8分表示_______，不升不降用_______表示.2.如果向南走5 km 记为－5 km ，那么向北走10 km 记为_______.3.如果收入2万元用+2万元表示，那么支出3000元，用_______表示.4.某乒乓球比赛用+1表示赢一局，那么输2局用_______表示，不输不赢用_______表示.5.某企业以1996年的利润为标准，2000年增加了10%记为+10%，2001年利润为－5%表示的意义是_______.6.节约用水，如果节约5.6吨水记作+5.6吨，那么浪费3.8吨水，记作_______. 二、选择题1.下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数. A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列各数，正数一共有（ ）－11,0,0.2,3,+71,32,1,－1 A.5个B.6个C.4个D.3个3.在0，21，－51，－8，+10，+19，+3，－3.4中整数的个数是（ ）A.6B.5C.4D.3 三、判断题1.零上5℃与零下5℃意思一样，都是5℃.（ ）2.正整数集合与负整数集合并在一起是整数集合. （ ）3.若－a 是负数，则a 是正数.（ ）4.若+a 是正数，则－a 是负数. （ ）5.收入－2000元表示支出2000元.（ ）四、能力拓展题某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为：早晨6点为零下3℃，中午12点为零上1℃，下午4点为0℃,晚上12点为零下9℃.1.用正数或负数表示这四个不同时刻的温度.2.早晨6点比晚上12点高多少度.3.下午4点比中午12点低多少度.五、下表是2003年4月19日《信息早报》上有“－”号（读作负）的数来表示，如－1.06；这说明该支股票当天收盘价与昨天的收盘价相比下跌了1.06%;前面带“+”号的说明该支股票与昨天的收盘价比较涨了百分之多少.0表示不涨不跌.你观察一下有哪些股票跌了_______.思考：冰糕要保持不融化需要的温度比0℃高还是低？答：________________.§2.1.1有理数及其运算2一、填空题1.大于－5.1的所有负整数为_____.2._____既不是正数，也不是负数.3.分数有_____，_____.4.珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为____.5.请写出3个大于－1的负分数_____.6.某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_____.7.某县外贸局一年出口总额人民币1300万元，表示为+1300万.进口某种原料350万应表示为_____.8.在“学雷锋活动月”活动中，甲乙两组同学上街清扫街道，它们分别在街道的两端同时相向开始打扫，街道总长1200米，两组会合时甲组向南清扫了500米，记作+500米，则乙组向北清扫了_____米，应记作_____. 9.某下岗职工购进一批苹果，第一天盈利17元，记作+17元，第二天亏损6元应记作_____. 二、选择题10.下列各数中，大于－21小于21的负数是（ ） A.－32B.－31 C.31 D.011.负数是指（ ）A.把某个数的前边加上“－”号B.不大于0的数C.除去正数的其他数D.小于0的数12.关于零的叙述错误的是（ ）A.零大于所有的负数B.零小于所有的正数C.零是整数D.零既是正数，也是负数 13.非负数是（ ）A.正数B.零C.正数和零D.自然数 14.文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（ ） A.文具店 B.玩具店C.文具店西40米处D.玩具店西60米处 三、解答题15.下面是具有相反意义的量，请用箭头标出其对应关系16.某天气预报显示，我国五个地区的最高气温第二天比第一天下降了12℃，这五个地区第一天最高气温如图所示，请填写第二天的最高气温17.某人向东走了4千米记作+4千米，那么－2千米表示什么？18.某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分是什么？19.某公司今年第一季度收入与支出情况如表支出各多少万元？(2)如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？(3)该公司第一季度利润为多少万元？§2.1.2有理数及其运算同学们都会读温度计吧？同温度计类似，可以在一条直线上画出刻度标上数，用直线上的点表示有理数.定义：画一条水平直线，在直线上取一点，表示0（叫做原点）选取某一长度为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到一条数轴，画数轴的具体方法：1.画直线（一般水平方向），标出一点为原点0.2.规定从原点向右的方向为正方向，那么向左方为负方向.3.选择适当的长度单位为单位长度.思考：1.原点表示的数是______.2.原点右边的数是_____，左边的数是_____.3.指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数：解：A点表示______，B点表示______，C点表示______，D点表示______，E点表示______.总结：一条正确的数轴，必须要有______，______，______.一、填空题：1.在数轴上，－0.01表示A点，－0.1表示B点，则离原点较近的是_______.2.在所有大于负数的数中最小的数是_______.3.在所有小于正数的数中最大的数是_______.4.在数轴上有一个点，已知离原点的距离是3个单位长度，这个点表示的数为_______.5.已知数轴上的一个点表示的数为3，这个点离开原点的距离一定是_______个单位长度.二、判断题1.－31的相反数是3. （）2.规定了正方向的直线叫数轴. （）3.数轴上表示数0的点叫做原点.（）4.如果A、B两点表示两个相邻的整数，那么这两点之间的距离是一个单位长度.（）5.如果A、B两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相邻的整数（）三、选择题1.每个有理数都可以用数轴上的以下哪项来表示（）A.一个点B.线C.单位D.长度2.下列图形中不是数轴的是（）3.下列各式中正确的是（）A.－3.14<－πB.－121>－1C.3.5>－3.4D.－21<－24.下列说法错误的是（）A.零是最小的整数B.有最大的负整数，没有最大的正整数C.数轴上两点表示的数分别是－231与－2，那么－2在右边D.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来四、下图是一个长方体纸盒的展开图，请把－5,3,5,－1,－3,1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数.§2.2.1有理数及其运算34一、填空题1.若数轴规定了向右为正方向，则原点表示的数为______，负数所对应的点在原点的______，正数所表示的点在原点的______.2.在数轴上A 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是_____.3.两个负数较大的数所对应的点离原点较____.4.在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_____，它们互为_____.5.数轴上A 、B 、C 三点所对应的实数为－32，－43，54，则此三点距原点由近及远的顺序为_____.6.数轴上－1所对应的点为A ，将A 点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A 点距原点的距离为_____.7.一个数与它的相反数之和等于_____. 8.比较大于（填写“＞”或“＜”号） （1）－2.1_____1 （2）－3.2_____－4.3 （3）－21_____－31（4）－41 _____09.相反数是它本身的数为_____. 二、选择题10.下面正确的是（ ）A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线B.离原点近的点所对应的有理数较小C.数轴可以表示任意有理数D.原点在数轴的正中间11.关于相反数的叙述错误的是（ ） A.两数之和为0，则这两个数为相反数B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C.符号相反的两个数，一定互为相反数D.零的相反数为零12.如果点A 、B 、C 、D 所对应的数为a 、b 、c 、d ，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A.a ＜c ＜d ＜bB.b ＜d ＜a ＜cC.b ＜d ＜c ＜aD.d ＜b ＜c ＜a 13.下列表示数轴的图形中正确的是（ ）14.若数轴上A 、B 两点所对应的有理数分别为a 、b ，且B 在A 的右边，则a －b 一定（ ）A.大于零B.小于零C.等于零D.无法确定 三、解答题15.写出大于－4.1小于2.5的所有整数，并把它们在数轴上表示出来.16.请指出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来3,21,0,－22117.已知a 是最小的正整数，b 的相反数还是它本身，c 比最大的负整数大3，计算(2a +3c )²b 的值.§2.2.2有理数及其运算5在给出的数轴上，标出以下各数及它们的相反数.－1，2，0，25，－4观察以上各数在数轴上的位置，回答： 距原点一个单位长度的数是________距原点2个单位长度的数是_______和________距原点25个单位长度._____和______距原点4个单位长度距原点最近的是________.像1，2，25，4，0分别是±1，±2，±25，±4，0的绝对值.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫该数的绝对值.如：+2的绝对值是2，记作|+2|=2 －2的绝对值是2，记作|－2|=2因此绝对值是2的数有_____个，它们是_____，绝对值是101的数有_____个，它们是_____，那么0的绝对值记作| |=_____，－100的绝对值是_____，记作| |=_____.思考：一个数的绝对值能是负数吗？一、填空题1.一个数a 与原点的距离叫做该数的_______.2.－|－76|=_______，－（－76）=_______，－|+31|=_______，－（+31）=_______， +|－（21）| =_______，+（－21）=_______. 3.____的倒数是它本身，___的绝对值是它本身. 4.a +b =0,则a 与b _______.5.若|x |=51，则x 的相反数是_______.6.若|m －1|=m －1,则m ___1.若|m －1|>m －1,则m ___1.若|x |=|－4|,则x =____. 若|－x |=|21|,则x =______. 二、选择题1.|x |=2,则这个数是（ ） A.2 B.2和－2 C.－2 D.以上都错2.|21a |=－21a ，则a 一定是（ ） A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m ，则这个数为（ ）A.－mB.mC.±mD.2m4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）A.正数B.负数C.正数、零D.负数、零 5.下列说法中，正确的是（ ） A.一个有理数的绝对值不小于它自身 B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等 C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D.－a 的绝对值等于a 三、判断题1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等.（ ）2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等（ ）3.若x <y <0,则|x |<|y |. （ ） 四、解答题1.若|x －2|+|y +3|+|z －5|=0计算: （1）x ,y ,z 的值.（2）求|x |+|y |+|z |的值. 2.若xx =1,求x . 若xx =－1,求x .§2.3.1有理数及其运算6一、填空题1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为____. 10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =____，b =__，c =____. 13.比较大小（填写“＞”或“＜”号） （1）－53___|－21| （2）|－51|____0 （3）|－56|____|－34| （4）－79____－56 14.计算（1）|－2|³(－2)=____ （2）|－21|³5.2=____ （3）|－21|－21=____（4）－3－|－5.3|=____ 二、选择题15.任何一个有理数的绝对值一定（ ） A.大于0 B.小于0 .不大于0 D.不小于0 16.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b | 三、解答题19.“南辕北辙” 这个成语讲的是我国古代某人要去南方，却向北走了起来，有人预言他无法到达目的地，他却说：“我的马很快，车的质量也很好”，请问他能到达目的地吗？“马很快，车质量好”会出现什么结果，用绝对值的知识加以说明.20.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？21.把－3.5、|－2|、－1.5、|0|、331、|－3.5|记在数轴上，并按从小到大的顺序排列出来.§2.3.2有理数及其运算7一、填空题1.m +0=_____,－m +0=______,－m +m =_______.2.16+(－8)=______,(－21)+(－31)=______. 3.若a =－b ,则a +b =_______.4.若|a |=2,|b |=5,则|a +b |=_______.5.用算式表示：温度－10℃上升了3℃达到___. 二、判断题1.若a >0,b <0,则a +b >0. （ ）2.若a +b <0,则a ,b 两数可能有一个正数.（ ）3.若x +y =0,则|x |=|y |. （ ）4.有理数中所有的奇数之和大于0.（ ）5.两个数的和一定大于其中一个加数.（ ） 三、选择题1.有理数a ,b 在数轴上对应位置如图所示，则a +b 的值为（ ） A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.大于a2.下列结论不正确的是（ ） A.若a >0,b >0,则a +b >0 B.若a <0,b <0,则a +b <0C.若a >0,b <0,则|a |>|b |,则a +b >0D.若a <0,b >0,且|a |>|b |,则a +b >03.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和是（ ）A.负数B.正数C.非负数D.非正数 4.如果两个数的和为正数，那么（ ）A.这两个加数都是正数B.一个数为正，另一个为0C.两个数一正一负，且正数绝对值大D.必属于上面三种之一 四、解答题一辆货车从货场A 出发，向东走了2千米到达批发部B ，继续向东走1.5千米到达商场C ，又向西走了5.5千米到达超市D ，最后回到货场.（1）用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A ，批发部B ，商场C ，超市D 的位置. （2）超市D 距货场A 多远？ （3）货车一共行驶了多少千米？五、长江足球队近六年与黄河队比赛如下表：表1 长江足球队成绩x 个球.用0表示平局.请您帮忙计算一下以上六年合计分别是多少？1997年：________ 1998年：________ 1999年：________ 2000年：________ 2001年：________ 2002年：________ 六年净胜球总计：_________.思考：以上结果你是如何得出的？ （1）同号两数如何相加？ （2）异号两数如何相加？（3）一个数与零相加和是多少？参考例题［例1］仓库内原存粮食4000千克，一周内存入和取出情况如下(存入为正，单位：千克)： 2000,－1500,－300,600,500,－1600,－200 问第7天末仓库内还存有粮食多少千克？解：2000+(－1500)+(－300)+600+500+(－1600)+(－200)=2000+600+［(－1500)+(－1600)］+［(－300)+500+(－200)］=2600+(－3100)=－500(千克)材4000+(－500)=3500(千克) 答：第7天末仓库内还存有粮食3500千克. [例2]从一批货物中抽取20袋，称得它们的重量如下：(单位：千克)122，121，119，118，122，123，120，118，124，122，119，121，124，117，119，123，124，122，118，116.计算这批货物的总重量和每袋的平均重量. （答案：2412千克 120.6千克.）§2.4有理数及其运算8一、填空题1、1－0=_____,0－1=_____,0－(－2)=_____.2、a －_______=0,－b －_______=0.3、( )－(－10)=20,－8－( )=－15.4、比－6小－3的数是_______. 5.、－172比171小_______. 6.两个正数之和为_____，两个负数之和为_____，一个数同0相加得_____.7.某地傍晚气温为－2℃，到夜晚下降了5℃，则夜晚的气温为_____，第二天中午上升了10℃，则此时温度为_____.8.已知一个数是－2，另一个数比－2的相反数小3，则这两个数和的绝对值为_____. 二、选择题1.若x －y =0,则（ ）A.x =0B.y =0C.x =yD.x =－y 2.若|x |－|y |=0，则（ ）A.x =yB.x =－yC.x =y =0D.x =y 或x =－y 3.－(－21－31)的相反数是（ ） A.－21－31 B.－21+31 C.21－31 D. 21+314.下列结论不正确的是（ ） A.两个正数之和必为正数B.两数之和为正，则至少有一个数为正C.两数之和不一定大于某个加数D.两数之和为负，则这两个数均为负数 5.下列计算用的加法运算律是（ ）－32+3.2－32+7.8=－31+(－32)+3.2+7.8 =－(31+32)+3.2+7.8=－1+11=10 A.交换律 B.结合律C.先用交换律，再用结合律D.先用结合律，再用交换律6.若两个数绝对值之差为0，则这两个数（ ）A.相等B.互为相反数C.两数均为0D.相等或互为相反数 7.－［0.5－31－(61+2.5－0.3)］等于（ ） A.2.2 B.－3.2 C.－2.2 D.3.2 三、判断题1.1－a 一定小于1. （ ）2.若对于有理数a ,b ，有a +b =0，则a =0,b =0（ ）3.两个数的和一定大于每一个加数.（ ）4.a >0,b <0,则a －b >a +b . （ ）5.若|x |=|y |,则x －y =0. （ ） 四、解答题1.两个加数的和是－10，其中一个加数是－1021，则另一个加数是多少？2.某地去年最高气温曾达到36.5℃，而冬季最低气温为－20.5℃，该地去年最高气温比最低气温高多少度?3.已知a =－83,b =－41,c =41,求代数式a －b －c 的值.4.一个数的相反数的绝对值等于这个数的绝对值的相反数，问这个数是多少？5.弘文中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A 处开工，约定向东为正，向西为负，从开工处A 到收工处B 所走的路线（单位：米），分别为+10、－3、+4、－2、+13、－8、－7、－5、－2，工作人员整修跑道共走了多少路程？§2.5有理数及其运算一、计算题1、+3－(－7)=_______.2、(－32)－(+19)=_______.3、－7－(－21)=_______.4、(－38)－(－24)－(+65)=_______.二、填空题1、－4－_______=23.2、36℃比24℃高_ __℃，19℃比－5℃高__ _℃.3、A、B、C三点相对于海平面分别是－13米、－7米、－20米，那么最高的地方比最低的地方高_______米.4、冬季的某一天，甲地最低温度是－15℃,乙地最低温度是15℃，甲地比乙地低___ ____℃.三、已知：a=－2,b=20,c=－3,且a－(－b)+c－d=10,求d的值.四、有十箱梨，每箱质量如下：（单位：千克）51，53，46，49，52，45，47，50，53，48你能较快算出它们的总质量吗？列式计算.五、某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实际每月生产量与计划量相比情况如下表（增加多生产多少辆？2.半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，增或减多少？六、计算：(1)23－17－(－7)+(－16) (2)32+(－51)－1+31(3)(－26.54)+(－6.4)－18.54+6.4(4)(－487)－(－521)+(－441)－381(5)0+1－［(－1)－(－73)－(+5)－(－74)］+｜－4｜七、有一架直升飞机从海拔1000米的高原上起飞，第一次上升了1500米，第二次上升上－1200米，第三次上升了1100米，第四次上升了－1700米，求此时这架飞机离海平面多少米？3.10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：2,3,－7.5,－3,5,－8,3.5,4.5,8,－1.5这10名学生的总体重为多少？10名学生的平均体重为多少？§2.6有理数及其运算910一、填空题1.23－|－6|－（+23）=_______.2.－7+4－（－2）=_______.3.把（+2）+（－5）－（+3）－（－1）写成省略括号的和的形式是_______.4.－5减去－3的相反数得_______.5.小明从家里出发向东行驶2千米，记作+2千米，再向西行驶3千米，记作－3千米，实际结果是_______.6.已知：a =11，b =－12，c =－5 计算：（1）a +b +c =_____（2）a －b +c =_____ （3）a －(b +c )=_____（4）b －(a －c )=_____7.某次考试初一年级数学平均分为73分，其中最高分高出平均分25分，最低分比平均分低24分，请问最高分比最低分高_____分.8.某地上午气温为5℃，中午气温上升7℃，晚上又下降了16℃，则晚上的气温为______. 二、选择题1.若m <0,则m 与它的5倍的相反数的差为（ ）A.4mB.－4mC.6mD.－6m 2.在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）A.一个B.无数个C.三个D.两个 3.|x |=1,则x 与－3的差为（ ）A.4B.－2C.4或2D.2 4.与a +b －c 的值相等的是（ ） A.a －(－b )－(－c ) B.a －(－b )－(+c ) C.a +(－b )－c D.a +(c －b )5.如果一个整数加4为正，加2为负，那么这个数与－2的和为（ ）A.－4B.－5C.5D.4 6.下面等式错误的是（ ）A.21－31－51=21－(31+51)B.－5+2+4=4－(5+2)C.(+3)－(－2)+(－1)=3+2－1D.2－3－4=－(－2)－(+3)+(－4) 三、列式计算1.负50，正13，正12，负11的和是多少？2.某水库正常水位是15米，二个月后水位下降了2米，记作－2米，第3个月时下了一场大雨，使水位上升了0.5米，记作+0.5米，求此时水位.3.室内温度是32℃，小明打开空调后，温度下降了6℃，记作－6℃，当关上空调后1小时，空气温度又回升了2℃,记作+2℃,求此时室内温度. 四、下表记录了初一（1）班一个组学生的体重，（2）最重比最轻的重多少千克?五、“学雷锋活动月”活动中，对某小组做好事（2）谁做的好事最多，谁最少？ （3）最多的比最少的多多少？§2.7有理数及其运算11一、填空题1.0³(－m )=_______,m ²0=_______.2.(－31)³73=____,(－163)³(－916)=_____. 3.(－5)³(1+51)=_______，x ²x1=_______.4.87³(－103)³0³(1917)=_______. 5.a >0,b <0,则ab _______0. 6.|a +2|=1,则a =_______.7.几个不等于0的有理数相乘，它们的积的符号如何确定_______.8.(－2)³(－2)³(－2)³(－2)的积的符号是__. 二、选择题1.若mn >0,则m ,n （ ）A.都为正B.都为负C.同号D.异号 2.已知ab <|ab |,则有（ ）A.ab <0B.a <b <0C.a >0,b <0D.a <0<b 3.若m 、n 互为相反数，则（ ）A.mn <0B.mn >0C.mn ≤0D.mn ≥0 4.下列结论正确的是（ ）A.－31³3=1 B.|－71|³71=－491 C.－1乘以一个数得到这个数的相反数D.几个有理数相乘，同号得正 三、在下图中填上适当的数四、已知|a |=5,|b |=2,ab <0.求：1.3a +2b 的值. 2.ab 的值.解：1.∵|a |=5,∴a =_______ ∵|b |=2,∴b =_______∵ab <0,∴当a =_______时，b =_______, 当a =_______时，b ＝_______. ∴3a +2b =_______或3a +2b =_______. 2.ab =_______∴3a +2b 的值为_______，ab 的值为_______.五(1)(241343671211-+-)³(－48)(2(－56)³(－32)+(－44)³32六、在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低0.8 ℃,已知山脚的温度是24 ℃,山顶的温度是4 ℃,试求这座山的高度.七.上午6点水箱里的温度是78℃，此后每小时下降4.5℃,求下午2点水箱内的温度.§2.8有理数及其运算122.1.1参考答案一、1.－8 0 2.10 km 3.－0.3万元 4.－2 0 5.减少5% 6.－3.8吨二、1.D 2.A 3.B三、1.³ 2.³ 3.√ 4.√ 5.√四、(1)早晨6点－3℃，中午12点1℃，下午4点0℃，晚上12点－9℃ (2)6° (3)1°五、广电网络 东方明珠 上菱电器 思考：比0℃低 2.1.2答案:一、1.－1，－2，－3，－4，－5 2. 0 3.正分数 负分数 4.－155米 5.－21，－32，－436.－600元7.－350万8.700 －700米9.－6元二、10.B 11.D 12.D 13.C 14.A 三、15.略 16.略17.向西走了2千米 18.分别是语文和外语 19.（1）总收入130万，总支出35万（2）总收入+130万，总支出－35万 （3）95万 2.2.1参考答案思考：1.0 2.正数 负数3.1.5 －0.5 －3 3 －2 总结：原点 正方向 单位长度 一、填空1.－0.01 2.0 3.04.±35.3 二、1.³ 2.³ 3.√ 4.√ 5.³ 三、1.A 2.B 3.C 4.A 四、2.2.2答案一、1. 0 左方 右方 2.A 点 3.近 4.±2 相反数 5.A 、B 、C 6.3 7.0 8.＜ ＞ ＜ ＜ 9. 0二、10.A 11.C 12.C 13.D 14.B三、15.－4，－3，－2，－1，0，1，2 数轴略16.－3，－21，0，221数轴略17.0 2.3.1参考答案±1；±2；25；－25；+4；－4；0；2；±2；2；±101；0；0；100；－100；100 思考：不可能 一、1.绝对值 2.－76 76 －31 －31 21 －21 3.±1 非负数 4.互为相反数 5.51或－－51 6.m ≥1 m ＜1 x =±4 x =±21二、1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 三、1.³ 2.√ 3.³四、1.（1）x=2 y =－3 z=52、x ＞0 x ＜0 2.3.2答案一、1.相等 2.近 3.324. 05.±5 相反数6.互为相反数7.＞8.负数9.－7，－6，－5，－4，－310.－32，0，51，|－21|，|－5.1| 11.0 12.0 0 0 13.＜ ＞ ＜ ＜ 14.－4 2.60 －8.3二、15.D 16.B 17.C 18.B 三、19.不能.因为方向相反，“马很快，车的质量很好，只能离目的地越来越远”.20.甲同学分数最高，丁同学分数最低，因为甲同学得分为正，且绝对值最大，所以分数最高，最高分比最低分高80分.21.－3.5，－1.5，|0|，|－2|，331，|－3.5| 2.4参考答案一、1.m －m 0 2.8 －653.04.7或3135.－10℃+3℃二、1.³ 2.√ 3.√ 4.³ 5.³ 三、1.B 2.D 3.B 4.D 四、（1）（2）2 km (3)11 km五、表1第3行依次为：+4，－1，+1，－5，+4，－1 +4 －1 +1 －5 +4 －1六年净胜球总计：2 思考：（1）符号不变，将绝对值相加.（2）取绝对值较大的那个数的符号，再将绝对值相减.（3）还是它本身. 2.5参考答案一、1.1 －1 2 2.a (－b ) 3.10 7 4.－3 5.2736.正数 负数 这个数 7、－7℃ +3℃ 8. 3二、1.C 2.D 3.A 4、 D 5.D 6.D 7.A 三、1.³ 2.³ 3.³ 4.√ 5.³ 四、1、21 2、57℃ 3、－834.0 5、54米 2.6参考答案一、1.10 2.－51 3.14 4.－79 二、1.－27 2.12 24 3.13 4.30 三、5四、50³10+［1+3+(－4)+(－1)+2+(－5)+(－3)+0+3+(－2)］=500+(－6)=494(千克） 五、1.+4－（－5）=92.20³6+［+3+(－2)+(－1)+(+4)+(+2)+(－5)］=120+(+1)=121121＞120比计划多了1辆. 六、解：(1)原式=23－17+7－16=23+7－17－16=30－33=－3(2)原式=(32+31－1)+(－51)=－51 (3)原式=(－26.54)－18.54+［(－6.4)+6.4］=(－26.54)－18.54=－45.08(4)原式=(－487)+521+(－441)－381=(－487－441－381)+521 =－1241+521=－643 (5)原式=1－［(－1)+73－5+74］+4 =1－［(－1+7473 )－5］+4 =1－(－5)+4=10七、解：1000+1500+(－1200)+1100+(－1700)=1000+1500－1200+1100－1700 =1000+1500+1100－1200－1700 =3600－2900=700(米)因此，这时这架飞机离海平面700米. 八、解：2+3+(－7.5)+(－3)+5+(－8)+3.5+4.5+8+(－1.5)=2+3－7.5－3+5－8+3.5+4.5+8－1.5=2+5+3.5+4.5+3－3－8+8－7.5－1.5=6.因此，10名学生的总体重为： 50³10+6=506(千克)10名学生的平均体重为： 506÷10=50.6(千克) 2.7参考答案 一、1.－6 2.－1 3.2－5－3+1 4.－8 5.－1千米6.（1）－6 （2）18 （3）28 （4）－28 7.49 8.－4℃二、1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 三、1.－36 2.13.5（米） 3.28℃ 四、（1）小天最重 小丽最轻 （2）13 kg 五.（1）小娟15 小青11 小红+1（2）小明最多、小青最少 （3）7件 2.8参考答案 一、1.0 0 2.－71 313.－6 14.05.＜6.－1或－37.当负数个数为偶数时，积为正数，当负数个数为奇数时，积为负数. 8.正二、1.C 2.A 3.C 4.C三、四、1.±5 ±2 5 －2 －5 2 11 －112.±10 ±11 －10五、略六、解：根据题意，得这座山的高度为：100³［(24－4)÷0.8］=100³25=2500(米) 七、解：下午2点即为14点78－4.5³(14－6)=78－36=42(℃)因此，下午2时水箱内的温度是42℃.14。
高等数学第二章参考答案
第二章参考答案习题2.11.解：0000()()()limt t t t t tθθω∆→+∆-=∆2.解：0(1)(1)(1)lim x f x f f x ∆→+∆-'=∆ 202(1)2=lim x f x x∆→+∆-∆0lim (4)4x x ∆→=+∆= 3.证明：()f x 是偶函数。
x R ∴∀∈ 有()()f x f x -=()()()limx f x x f x f x x ∆→-+∆--'∴-=∆0()()lim x f x x f x x ∆→-∆-=∆ '0(())()lim ()x f x x f x f x x∆→+-∆-==-∆ 故()f x '是R 上的奇函数4、解：3()s t t =2()()3v t s t t '∴== 2()t s ∴= 时，22(2)312t v t===5、解：x y e = x y e '∴= 故在(0,1) 处(0,1)1y '= ∴过(0,1)切线方程为1y x -=，即1y x =+ ，过(0,1)直线方程为1y x -=，即1y x =-+6、解20()0x x f x x x -≤⎧=⎨≥⎩000()()(0)lim lim 1x x f x f x xf xx ---∆→∆→∆--∆'∴===-∆∆ 2000()()(0)lim lim 0x x f x f x x f x x+++∆→∆→∆--∆'===∆∆(0)(0)f f +-''≠ (0)f '∴ 不存在 7、21sin 0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩∴ 当0x ≠时，21()sin f x x x=，函数连续又201lim sin 0(0)x x f x →== 0x ∴=时，()f x 连续()f x ∴在(,)-∞+∞连续又0x ≠时，2111()(sin )2sin cos f x x x x x x''==-0x =时，2001sin()(0)(0)lim lim x x x f x f x f x x∆→∆→∆∆-'==∆∆ 01lim sin 0x x x ∆→=∆=∆ 112sin cos0()00x x f x x xx ⎧-≠⎪'∴=⎨⎪=⎩8、证明：()f x 在0x x =点可导0000()()()limh f x h f x f x h→+-'∴=000()()limh f x h f x h hαβ→+--∴00000()()()()lim h f x h f x f x h f x h h αβ→+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦00000()()()()lim h f x h f x f x h f x h h αβααβ→⎡+---⎤=+⎢⎥⎣⎦ 000()()()()f x f x f x αβαβ'''=+=+习题2.21、解：(1)3()f x x =22()3,(21)3(21)f x x f x x ''∴=+=+(2)由3(21)f x x +=，另1212t t x x -=+⇒=3311()()(1)28t f t t -∴==- 31()(1)8f x x ∴=-222333()(1),'(21)(211)882f x x f x x x '∴=-+=+-=2.解：（1）532225(3)232y x x x x x ''=+-=+-（2）22()()2()()()a x a x a x ay a x a x a x --+---''===+++ （3）2221((arccos )ln )2(arccos )ln (arccos )y x x x x x x x x x x ''=⋅=⋅+⋅2(arccos )ln arccos y x x x x x x '=⋅+⋅ （4）122[(27)(13)]y x x ''=++112227(13)+6(27)2x x x x -=++ 3.解：（1）211(ln tan )sec tan sin cos y x x x x x''==⋅= （2）22223311(2)(21)(21)(2)33y x x x x x x --''==++⋅+=+++（3）22221111(1)(1)1(arctan)()1111(1)11()1()11x x x x y x x x x x x x x ++--+'''==⋅=⋅=-++---+++--（4）y ''=111222{[()]}x x x '=++ 11111222221[([()]2x x x x -'=++⋅+ 111111222222111[()][1()(1)]222x x x x xx ---=++++⋅+111222111()[1()(1)]222x x x ---=+⋅+1()]=+4解：22sin y x x =+2cos 2y x x '∴=+00||2cos 2|2x x y x x =='∴=+=∴曲线22sin y x x =+在(0,0)点切线方程为：2y x = 法线方程为：12y x =- 5 证明2x x e e shx -+=2x xe e chx -+= ()()22x x x xe e e e chx shx --+-''∴===()()22x x x xe e e e shx chx ---+''===6解：21,6()1,0a x f x x bx x +<⎧=⎨++≥⎩在0x =点可得，(0)(0)f f +-∴=且(0)(0)f f +-''=又2(0)lim ()lim(1)1(0)x x f f x x bx f +++→→==++== 0(0)lim ()lim(1)1x x f f x a a ---→→==+=+， 110a a ∴+=⇒=而2000(0)(0)11(0)lim lim =lim (+)x x x f x f x b x f x b b x x++++∆→∆→∆→+∆-∆+∆+-'==∆=∆∆0(0)(0)11(0)lim lim =0x x f x f a f x x---∆→∆→+∆-+-'==∆∆ 0b a ∴==7.解：()f x 在0x 点可导，0()=0f x ，()g x 在0x 点连续， 000000()()()()limlim x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆'∴==∆∆00lim ()()x x g x g x →=，000000()()()()[()()]lim x x x f x x g x x f x g x f x g x x =∆→+∆+∆-'∴=∆ xx x g x x f x ∆∆+∆+=→∆)()(lim 000 )()()(lim 0000x x g xx f x x f x ∆+⋅∆-∆+=→∆ )(lim )()(lim 00000x x g xx f x x f x x ∆+⋅∆-∆+=→∆→∆)()(00x g x f '=习题2.31.解（1）xx x x e x x e x xe e x y -----=-='=')2(2)(222x x x e x x e x e x x y ------='-='')2()22(])2[(22 )222(2x x x e x +--=- x e x x -+-=)24(2（2）12122)(--='='x x e e y ,12124)2(--='=''x x e e y （3）22211)1(arctan 2]arctan )1[(xx x x x x y +++='+='1arctan 2+=x x 212arctan 2)1arctan 2(x xx x x y ++='+='' （4）222211)1221(11])1[ln(xxx xx x x y +=++++='++='232222)1(12121)11(-+-=+⋅+-='+=''x x x xx x y2.解 56)10(6)()10()(+='∴+=x x f x x f34)10(120)()10(30)(+='''+=''x x f x x f 101212120)2(43⨯=⨯='''∴f3.证明：wt A s sin = wt Aw dt ds cos =∴wt Aw dtsd a sin 222-==∴ （运动物体加速度） 0sin sin 22222=⋅+-=+∴wt A w wt Aw s w dtsd 4.)(ln x f y = )(ln 11)(ln x f xx x f y '='='∴ x x f x x f x x f x y 1)(ln 1)(ln 1])(ln 1[2''+'-=''='')](ln )(ln [1)(ln 1)(ln 1222x f x f xx f x x f x '+''=''+'-=})](ln )(ln [1{2''-''=∴x f x f x y]1)(l n 1)(l n[1)](ln )(ln [223xx f x x f x x f x f x ''-'''+'-''-=)](ln )(ln [1)](ln )(ln [233x f x f xx f x f x ''-'''+'-''-= )](ln )(ln )(ln 2)(ln 2[13x f x f x f x f x ''-'''+'+''-=)](ln 3)(ln )(ln 2[13x f x f x f x''-'''+'=5.2)21(111-='∴-=y x y 34)1(2)1()1)(1(2x x x y -=----=''.....)1(23)1()1()1(32462x x x y -⋅=---⋅-='''设1)()1(!+-=k k x k y则222)1()1()!1()1()]1([)1(!+++-+=-+---=k k k k x k x k x k y1)()1(!+-=∴n n x n y6、解：22(1)x y x e =+(8)2212(7)22(6)88(1)()2+C ()2x x x y e x C e x e ∴=++⋅⋅221126287(1)2222x x e x xe e ⨯=+++⋅⋅ 22119(1272)x e x x =+++⋅22(20483585)x x x e =++7解：()21sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 00x x ≠= 0x ∴≠时，2111()(sin )2sin cos f x x x x x x''==-0x =时：()2001sin()(0)limlim 0x x x f x f x f x xx∆→∆→∆∆-∆===∆∆()000112sincos ()(0)111limlim lim(2sin cos )x x x x f x f x x f x x xx x x x∆→→→∆-∆-∆∆===∆-∆∆∆∆∆112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪'∴=⎨⎪=⎩00112sincos ()(0)111(0)limlim lim(2sin cos )x x x x f x f x x f xx x x x→→→∆-∆-∆∆'===-∆∆∆∆∆故(0)f '不存在。
(人教版)七年级数学第二章课后习题与答案
七年级上册 第二章习题 2.1P59 1.列式表示： （1）m 的15倍；（2）n 的151； （3）x 的31的6倍；（4）每件a 元的上衣，降低20%的售价是多少元？（5）一辆汽车的行驶速度是65千米/时,t 小时行驶多少千米？一本英汉词典的销售是65元，n 本英汉字典的售价是多少？（6）苹果每千克p 元，买10千克以上按9折优惠，买15千克应支付多少元？ 解：（1）15m; (2)n 151; (3) 2x; (4) 0.8a; (5) 65t,65n; (6) 13.5p .P60 2.列式表示： （1）比a 小3的数；（2）x 的2倍与10的和； （3）x 的三分之二减y 的差； （4）比x 的三分之二小7的数；（5）甲乙两车同时、同地、同向出发。
行驶速度分别是x 千米/时和y 千米/时，3小时后两车相距多少千米？（6）某种苹果的售价是每千克x 元，用面值是50元的人民币购买6千克，应找回会多少钱？ 解：（1） a-3； （2） 2x+10 ； （3）y -x 31； （4） 7x 32- ； （5）y x 33-； （6）50-6x;P60 3.填表整数-15ab 224a b5yx 32 43x 2-42242a b b a +-系数次数项数解：整数-15ab 224a b5yx 32 43x 2- 42242a b b a +-系数-15453次数2 43 3 4项数33p60 4.设教室里座位的行数是m ，用式子表示：（1）教室里每行的座位数比行数多6，教室里总共有多少座位？ （2）教室里座位的行数是每行座位的32，教室里总共有多少座位？ 解：（1） m （m+6）:； （2）223m 。
p60 5.三个植树队，第一队植数x 棵，第二队植的树比第一队植树的2倍少25棵，第三队植的树比第一队植树的一半多42颗，当x 为下列各值时，求三个队共植树多少棵. （1）x=100; (2) x=240 解：三队共植树)(1727422252棵+=++-+x x x x （1） 367棵；（2） 857棵；P 60 6.一块三角尺的形状和尺寸如图所示，如果圆孔的半径是r ，三角尺的厚度是h ，这块三角尺的体积v 是多少？若a=6 cm,r=0.5 cm ，h=0.2 cm.求V 的植（π取3） 解： v=22245.3;r a 21cm V h h =-πp60 7.一种商品每件成本a 元，按成本增加22%定出价格，每件销售多少元？后来因库存积压减价，按原价的85%出售，现售价多少元？每件还能盈利多少元？解：a+0.22a,(a+0.22a)×0.85,(a+0.22a)×0.85-ap61 8.设n表示人员一个整数，利用含n的式子表示：（1）任意一个数的偶数；（2）任意一个数的奇数.解：（1）2n (2)2n+1p61 9. 3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？4个队呢？5个队呢？n各队呢？解：3,6,10,21n）（np61 10.观察下图并填表；梯形个数 1 2 3 4 5 6 ...... n图形周长5a 8a 11a 14a解：17a, 20a, 23a,..., (3n+2)aP61 11,如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n>1），当n=5,7,11时，S是多少？解：S=3n-3，当n=5,7,11时，S=12,18,30习题 2.2p71 1.计算：（1）2x-10.3x; (2) 3x-x-5x;(3) -b+0.6b-2.6b; (4) m-2n+m-2n;解：（1）2x-10.3x= -8.3x (2) 3x-x-5x=-3x(3) -b+0.6b-2.6b= -3b (4) m-2n+m-2n=2m-22np71 2,计算：（1） 2（4x-0.5）； （2）-3（1-x 61）； （3） -x+(2x-2)-(3x+5); (4) ).a 3()2a 2(a 32222a a a -+--+ 解：（1） 2（4x-0.5）= 8x-1 （2）-3（1-x 61）=321-x （3）-x+(2x-2)-(3x+5)=-2x-7; (4) ).a 3()2a 2(a 32222a a a -+--+=a 5a 2+p71 3.计算：（1）（5a+4c+7b ）+(5c-3b-6a); (2)(8xy-)xy 8()y x 2222+--+y x (3) );21(4)321-x 2(22+--+x x x (4)]2)34(7[x 322x x x ----; 解（1）（5a+4c+7b ）+(5c-3b-6a)= -a+4b+9c(2)(8xy-)xy 8()y x 2222+--+y x = -2222x y + (3) )21(4)321-x 2(22+--+x x x = 25x 62--x (4)]2)34(7[x 322x x x ----= 5x 2-3x-3P71 4.先化简下式，再求值：)245(45x -22x x x +-+++）（, 其中x=-2.解：化简得：2x +9x+1 代入x=-2得，-13p71，5.（1）列式表示比a 的5倍大4的数与比a 的2倍小3的数，计算这两个数的和；（2）列式表示比x 的7倍大3的数与比x 的-2倍小5的数，计算这两个数的差．解：(1)5a +4,2a -3,7a +1; (2)7x +3,-2x -5,9x +8.p 71，6.某村小麦种植面积是a 公顷，水稻种植面积是小麦种植面积的3倍，玉米种植面积比小麦种植面积的少5公顷。
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AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF第二章 控制系统的数学模型练习题及答案2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。
其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。
解（a ）以平衡状态为基点，对质块m 进AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。
根据牛顿定理可写出22)()(dty d m dt dy f t ky t F =-- 整理得)(1)()()(22t F m t y m k dt t dy m f dt t y d =++（b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。
对A 点有)()(111dtdy dtdx f x x k -=-（1）对B 点有y k dtdy dtdx f 21)(=- （2）联立式（1）、（2）可得：AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFdtdx k k k y k k f k k dt dy 2112121)(+=++AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF(c) 应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11s U s I csR cs R s U c r ++=（3）2)()(R s Uc s I =（4）联立式（3）、（4），可解得：CsR R R R Cs R R s U s U r c 212112)1()()(+++=微分方程为:r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++ (d) 由图解2-1（d ）可写出[]Css I s I s I R s U c R R r 1)()()()(++= （5）AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF)()(1)(s RI s RI Css I c R c -= （6） []Css I s I R s I s U c R c c 1)()()()(++= （7） 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和)(s I R ，可得：1312)()(222222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c 微分方程为 r r r c c c u RC dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221213++=++2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。
解(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图解2-2(a)所示。
对A点有AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF)()()(1122y y f y xf y x k -=-+- (1) 对B 点有1111)(y k y yf =- (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y ，整理后得)()(s X s Y =21212121221212212121()1()1f f f fs s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++(b) 由图可写出sC R s U c 221)(+=sC R s C R sC R s U r 111112111)(+⋅++整理得)()(s U s U r c = 1)(1)(21221122121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF2-3 假设某容器的液位高度h 与液体流入量r Q 满足方程r Q Sh S dt dh 1=+α， 式中S 为液位容器的横截面积，α为常数。
若h 与r Q 在其工作点),(00h Q r 附近做微量变化，试导出h ∆关于r Q ∆的线性化方程。
解 将h 在0h 处展开为泰勒级数并取一次近似h h h h dt h d h h h ∆⋅+=∆⋅+=00021|0 （1）代入原方程可得)(1)21()(0000r r Q Q S h h h S dt h h d ∆+=∆⋅++∆+α （2）在平衡工作点处系统满足AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF00r Q h dtdh =+α （3）式（2），（3）相减可得h ∆的线性化方程r Q h h dt h d S∆=∆+∆02α2-4 试求图2-29所示各信号)(t x 的象函数)(s X 。
解 （a ）Θ)(2)(0t t t x -+=∴)(s X = st e ss 0212-+（b ）Θ)())(())(()(321t t c t t c b t t a b a t x -------+=AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF∴ )(s X = ])()([1321s t s t s t ce e c b e a b a s-------+（c ）Θ)(t x =)(4)2(4)2(442222T t TT t T T t T t T -+---- ∴ )21(4)(222Tss Te e sT s X --+-=2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。
(1) 1)(-=-s e s X s(2) )3()2(1)(3++=s s s s X (3) )22(1)(2+++=s s s s s X 解(1) 1)(-=t e t xAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF(2) 原式 ＝)3(31241)2(83)2(41)2(2123++++-+++-s s s s s ∴x （t ）＝ 24131834432222++-+-----t t t t e e e t e t (3) 原式 ＝1)1(1211)1(12121222121222++⋅++++⋅-=++-s s s s s s ss∴)(t x ＝)cos (sin 2121t t e t-+- 2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为t t e e t c --+-=221)(，试求系统的传递函数和脉冲响应。
解 单位阶跃输入时，有ss R 1)(=，依题意s s s s s s s s C 1)2)(1(2311221)(⋅+++=+++-=∴ )2)(1(23)()()(+++==s s s s R s C s G []t t e e s s L s G L t k -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-==21142411)()( 2-7 已知系统传递函数 232)()(2++=s s s R s C ，且初始条件为1)0(-=c ，0)0(=c，试求系统在输入)(1)(t t r =作用下的输出)(t c 。
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 系统的微分方程为)(2)(2)(3)(22t r t c dt t dc dtt c d =++（1）考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得ss C s sC s s C s 2)(23)(3)(2=++++（2）22141)23(23)(22+++-=++-+-=s s s s s s s s s C ∴ t t e e t c 2241)(--+-=2-8 求图2-30所示各有源网络的传递函数)()(s U s U r c 。
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF解(a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出12)()(R Rs U s U r c -=(b) 22112211111122)1)(1(111)()(s C C R s C R s C R sC R s C R s C R s U s U r c ++-=+⋅+-=(c) )1(11)()(212122Cs R R R R Cs R Cs R s U s U r c +-=+⋅-=2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31所示，已知电位器最大工作角度m Q ＝3300，功率放大器放大系数为3k 。
（1）分别求出电位器的传递函数0k ，第一级和第二级放AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF大器的放大系数1k ，2k ；（2） 画出系统的结构图；（3）求系统的闭环传递函数)()(s Q s Q r c 。
解(1) 电位器的传递函数ππ11180180330300=⨯==mQEK根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为310101030331-=⨯⨯-=K，210101020332-=⨯⨯-=K(2) 可画出系统结构如图解2-9所示：(3))1(11)1()()(32132321+++++=sTsKKKKKsTKKKKsTsKKKKKsQsQmmmtmmmrc111321322321+++=sKKKKKKKKKsKKKKKTmtmmmAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32所示，试求闭环传递函数)()(s Q s Q r c 。
解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数68.0)42.018.1()7.09.0()6.0(7.0)()(23++++++=s K s K s s s Q s Q r cAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF2-11 已知系统方程组如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()(s R s C 。
解 系统结构图如图解2-11所示。
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为843217432154363243211)()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s C -+++=2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数)()(s R s C 。
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF解（a ）所以： 432132432143211)()(G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++++=（b ）所以：HG G G s R s C 2211)()(--=（c ）AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF所以：32132213211)()(GGGGGGGGGGsRsC+++=（d）所以：2441321232121413211)()(HGGGGGGHGGHGGGGGGGsRsC++++++=（e）AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF所以：2321212132141)()(H G G H G H G G G G G G s R s C ++++=AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF2-13 已知控制系统结构图如图2-34所示，求输入()31()r t t =⨯时系统的输出)(t c 。