电磁学数学准备

T = T （x,y,z，t ）
v = v (x,y,z, t )
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电磁场
经典电磁理论把传递电磁作用的物质，看成是“连续分布的物质”，这种
物质就是电磁场.
电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述：
电场强度分布函数 E(x,y,z,t )
磁感应强度分布函数B(x,y,z,t ) ,或磁场强度分布函数H(x,y,z,t )
电磁学的研究对象是电磁相互作用的基本规律.电磁学的基 本原理不仅是物理学的重要基础,也是材料科学、电子与信息科 学、生命科学和工业、农业、医学与生物工程、军事、环保技术 领域的重要基础.
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电磁学的研究对象
电磁学的研究对象是电磁相互作用的基本原理及其 应用.
电磁学的基本原理不仅是物理学的重要基础, 也是能源科学、材料科学、电子与信息科学、生物与 医学科学，以及工业、农业、军事、环保等技术领域的重 要基础.
S = dS = a 2 dW = 4pa 2
无限小体积元为
s
d V = dl1 dl2 dl3 = r 2 sinq dr dq df = r 2drdW
将dV对半径为a 的球体积分，给出此球的体积
a
V = r 2dr
dW = 4pa 3
0
3
问题：内、外半径分别a 和b为的球壳体积是多少？
三个度规系数为
dl3 = r sinqdf
h1 =1,
h2 = r,
h3 = rsinq
以r为半径的球面元为
z
dS = dl2dl3 = r2 sinq dqdf = r2dW 其中，dW 称为dS对O点张开的立体角元：
dW = dS = sinqdqdf
r2
（单位：球面度）
q xf
rˆ
dr
fˆ
r
dq
任一点P的坐标： （x, y, z）
P点的位置矢量： r = xxˆ yyˆ zzˆ
P点处任一矢量： F = Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ
沿三个基矢方向的无限小线元为
F
dl1 = dx, dl2 = dy, dl3 =dz 与三个基矢正交的无限小面积元为
z
dz
dS1 = dl2 dl3 = dydz d S2 = dl3dl1 = dzdx dS3 = dl1dl2 = dxdy 无限小体积元为
C
C = A×B
B
其值为
q
C = AB sinq
A
即等于以这两个矢量的长度为邻边构成的平行四边形的面积.
规定：作为运算结果的矢量C ，垂直于A和B 构成的平面，其方向遵 从右手螺旋规则——设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四
指表示旋转方向），则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.
按此规定，显然有
A×B = -- B×A （矢量的矢积不满足交换律）
而且,当q =0 或 p，即两个矢量同向或反向时，矢积为零：
A×B = 0
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2.坐标系、立体角（教材P467）和重积分
（1）直角坐标系（笛卡儿坐标系）
沿三个坐标轴正方向的单位基矢： eˆ1 = xˆ, eˆ2 = yˆ, eˆ3 = zˆ
qˆ
y
df 18
将d W 对任意半径的球面积分，均得到
p
2p
W = dW = sinqdq df = 4p
0
0
事实上，由于dS 和 dS2 对O点的立体角元相 等，故容易证1明：
任意闭合曲面S 对其内部任意一点所张的
立体角均为4p.
由于球面元dS = r2dW，故半径 r =a的球面积
电场高斯定理 静电场环路定理
静电标势 电场能
电荷与电场的互作用能
磁场高斯定理 安培环路定理
磁场矢势 磁场能
电流与磁场的互作用能
变化电场 产生磁场
1864 麦克斯韦 电磁场方程组
1895 洛伦兹 力公式 电磁波 电磁场的 相对性和统一性 物质的电磁性质 电磁相互作用的 守恒定律 8
电磁学课程学习要求：
dl1 = h1du1 dl2 = h2du2
dl3 = h3du3
h1 ,h2 ,h3 称为度规系数，一般是坐标 (u1 ,u2 ,u3) 的函数. 任一P点上的矢量F 可以分解为
F = F1eˆ1 F2eˆ2 F3eˆ3
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(3)球坐标系
任一点P 的坐标为: u1 = r ,u2 =q , u3 =f
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电磁学课程介绍
电磁学是普通物理系列中最重要的基础课之一，是电工 学、电子学、等离子体物理、磁流体力学、光的电磁理论等 的基础，是经典物理的重要组成部分，也是近代物理和许多 技术学科不可缺少的基础。
电磁学课程包括静电场、恒磁场、电磁感应、电磁介 质、电路、麦克斯韦电磁场理论、电磁波等内容。
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电磁学中最重要的概念是“场”。场与质点不同，是 在空间具有连续分布的客体，它的规律要从总体上去把握 。场在空间的分布不一定直接与场源相联系，临近各点之 间场的分布也是紧密相关的。描述和处理“场”所需的概 念（如通量、环量）和方法与力学、热学课程中所遇到的 大不相同。电磁学课程第一次系统地向学生介绍“场”的 概念和处理“场”的方法。按现代物理学的观点，粒子不 过是场的激发态，“场”的概念比“粒子”更基本。通过 “场”产生相互作用的观点与现代物理学的精神相通的。
1. 课前要认真预习，找出疑难之处。 2. 上课时要求认真听讲，并作必要的课堂记录，要向
45分钟要效率。 3. 课后要及时复习，要独立按时完成作业。
建议：
培养良好学习习惯——及时复习、及时总 结；
抓住基本概念、内容和基本解题方法； 课内与课外相结合、教材与参考书相结合； 适合你的是最好的——量力而行，不要跟 风； 教与学要经常沟通，互相适应，教学相长9 ；
三维欧氏空间中，二阶张量可分解为9 个有序分量。例
如，刚体的转动惯量，电荷系统的四极矩，等。
还可以定义更高阶的张量
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矢量表示
印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如
r, A
1 .矢量的点乘和叉乘
(1)矢量的点乘（标积） 矢量 A与B 的点乘定义为标量
A·B =AB cosq
分别沿三个坐标增加的方向.
P点的直角坐标（x, y, z）与球坐标(r, q , f)的变换关系为
x = r sinq cos f , y = r sinq sin f , z = r cosq 当坐标有无限小增量dr，dq , df , 则三个无限小线元为
dl1 =dr , dl2 = r dq ,
dV = dl1dl2dl3 = r drdfdz
半径为a，长为 l 的圆柱体积为
a
Leabharlann Baidu
2p
l
V = rdr df dz
0
0
0
= pa 2l
内外半径分别为a和b ，长为 l 的 圆柱壳体积是多少？
dSz
dr
dz
rdf
b a
l
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数学预备（B）
——矢量分析简介
（教材P472）
经典场 (classical fields) 概念
电磁相互作用是迄今为止，所发现的自然界四种基本相互 作用之一,这种相互作用通过电磁场（电磁波、光) 传递,它支 配着原子和分子的结构,因而在很大程度上决定着各种物质的物 理与化学性质.
电磁场和电磁波(光)是人类至今最主要的能源,也是人类至 今最广泛利用的电子信息载体.所有的电子和信息元（器）件， 都是利用一定材料的电磁（光电、光磁）效应.
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电磁学概貌 THE GENERAL PICTURE OF ELECTROMAGNETISM
实验定律
场概念
场性质
经典电磁理论
1785 库仑定律
电荷的电场 电场强度
电荷守恒定律
1820 安培定律 毕奥-萨伐尔
定律
稳恒电流的磁场 磁感应强度
1831 法拉第 电磁感应定律
变化磁场 产生电场
1864 麦克斯韦假设
r ——P点离坐标原点O的距离，变化范围：0≤r <∞
q ——O与P的连线与 z 轴（极轴）的夹角，称为极角，变化范围：0≤q ≤p
f ——O与P’ 的连线对x 轴的夹角，其中P’是P点在xy平面的投影，
f 也称为P点的方位角，变化范围：0≤f ≤2p
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以P为原点建立的球坐标系基矢
eˆ1 = rˆ, eˆ2 = qˆ, eˆ3 = fˆ
评价：
本课程的考核方式
学习成绩（100分）
平时成绩
20％
期中考试成绩 20％
期末考试成绩 60％
任何教学建议请发邮件 : xzzhang@fjnu.edu.cn
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数学预备（1）
——矢量、坐标系、立体角与重积分
（教材P463）
物理量分类: 标量，矢量和张量 (scalars ,vectors and tensors)
P的坐标(r ,f , z)与(x ,y ,z)的变换为
x = r cosf ， y = rsinf ， z = z
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当坐标有无限小增量dr，df ，dz ,
则三个无限小线元为
dl1 = dr ， dl2 = rdf ， dl3 = dz 三个度规系数为h1 = 1 , h2 = r , h3 = 1
电磁学: 绪言、数学预备
1
使用教材：赵凯华、陈熙谋 新概念物理教程－电磁学 北京：高等教育出版社
参考书：
《大学物理通用教程》电磁学 陈秉乾、王稼军 《电磁学》 第二版 贾起民 郑永令等 《物理学》三卷二分册 瑞斯尼克、哈里德 《费曼物理学讲义》第二卷 R.P.费曼 《电磁学专题研究》 陈秉乾 舒幼生 等
P
zˆ r
o
yˆ
xˆ
x
dx dy
y
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dV = dl1dl2 dl3 = dxdydz
（2） 一般的曲线正交坐标系
除了直角坐标系之外，我们还常常根据具体问题的需要，采用曲线正交 坐标系，例如球坐标系和圆柱坐标系.
对于一般的曲线正交坐标系，空间任一点P的坐标以(u1 ,u2 ,u3)表示， 沿u1 ,u2 ,u3 三个坐标增加方向的基矢量
圆柱侧面的面积元为
dSr = dl2 dl3 = rdf dz 半径为 r=a，长为l 的圆柱侧面积为
2p l
S = dSr = a df dz = 2pal
00
rdf
dz
dr
z a
dSr
l
dz rdf
y
x
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圆柱端面的面积元为
dSz = dl1 dl2 = r drdf
无限小体积元为
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们
就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
例如
温度场——温度在空间或物体内的分布函数T（x,y,z），这是标量场
流速场——流体的速度分布分布函数v (x,y,z ) ，这是矢量场
如果温度和流速的分布还与时间t 有关，那么它们就都是空间和时间的 函数：
B
q
A
非黑体的A和B，分别表示矢量A和B的数值，q 是两矢量的夹角.按此定
义，显然有
A·B = B·A （矢量的标积满足交换律）
正值 当0 q < p / 2
A·B = 0
当q = p / 2 （两矢量正交）
负值 当 p / 2 < q p
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(2)矢量的叉乘（矢积）
矢量 A与B 的叉乘定义为矢量
两者都属于矢量场
也可用标势和矢势描述电磁场
标势分布函数φ(x,y,z,t ) 构成标量场（或以U表示）
矢势分布函数A（x,y,z,t）构成矢量场
在相对论电动力学中，电场强度E 和磁感应强度B，统一成电磁场张量.
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电磁学的重要性 The Importance of Electromagnetism
诸如电子、质子等带电粒子，是自然界普遍存在的物质. 我们周围的各种无生命的和有生命的物质内部，都存在着 大量的带电粒子. 而且,按理论推算,宇宙物质的 90% 以上，处于等离子体 （plasma）状态.
3
电磁相互作用和电磁场
eˆ1, , eˆ2 , eˆ3
互相正交.一般地，随 P点位置变动，三个基矢
的方向将发生改变，但总保持正交。因此
eˆi eˆ j = 1，当i = j eˆi eˆ j = 0,当i j
eˆi eˆ j = eˆk ,当i, j, k为1，2，3循环
eˆ1
F
P
eˆ3
eˆ2
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沿三个基矢量方向的无限小线元为
dS2 dS1
o S
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(4)圆柱坐标系
任意一点P的坐标为 u1 = r , u2 = f , u3 = z . 坐标变化范围： 0 ≤ r <∞ , 0 ≤ f ≤ 2p , -∞ < z <+∞
以P为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增加方向的基矢量为
eˆ1 = rˆ , eˆ2 = fˆ, eˆ3 = zˆ
标量（0阶张量）——无空间取向，只需要一个数值即可表示的 量。例如，长度，时间，质量，能量，电势（电位）等。
矢量（1阶张量）——有一定的空间取向的量，在一般的三维欧
氏空间中，这类量可分解为3 个有序分量。例如，质点
的位置矢量，速度，动量，角动量;电场强度，磁场强
度，等。
二阶张量——这类量有着比矢量更复杂的空间取向，在一般的