1.2.2组合习题课
1.2-自由组合定律-习题课
例题10（2008· 杭州模拟）：将基因型为AaBbCcDD和 AABbccDd的向日葵，按基因的自由组合定律，后代中基 因型为AABBCcDd的个体比例及子代中表现型与双亲均不 同的的个体所占的比例分别是（ ）
①1/4
②1/8
③1/16
④1/32
⑤1/64
A. ①和⑤ B. ④和① C. ②和④ D. ④和③
B．3:1，4:1和1:3
C．1:2:1，4:1和3:1 D．3:1，3:1和1:4
F1杂合子（YyRr）产生配子的情况可总结如下
可能产生配 子的种类 一个精原细胞 一个雄性个体
4种 4种
实际能产生配子的种类
2种（YR和yr或Yr和yR） 4种（YR、yr、Yr、yR）
一个卵原细胞
一个雌性个体
4种
杂合子连续自交题问题
例题11：关于两对性状的杂合子AaBb连续自交三代后， AABB占多大的比例 。
解：用逐对基因分析方法。 （1）先分析A与a这对基因的遗传情况： Aa自交三代后Aa占（1/2）3=1/8， AA占的比例应为：（1-1/8）×1/2=7/16 （2）再分析B与b这对基因的遗传情况： Bb自交三代后Bb占1/8， 那么BB占（1-1/8）×1/2= 7/16 则：三代后AABB占（7/16）×（7/16）=49/256
精的卵细胞发育而来。 由F2中雄蜂基因型有四种，可推知F1雌蜂基因型为AaDd。 由F2雌蜂的基因型可推知F1雄蜂为ad，即亲本雌蜂基因型 为aadd，则雄蜂为AD。
例题：控制两对相对性状的基因自由组合，如果F2的 性状分离比分别为9:7、9:6:1和15:1，那么F1与双隐性 个体测交，得到的分离比分别是( ) A．1:3，1:2:1和3:1
1.2.2充要条件习题课件人教新课标
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由a2>a得，a<0或a>1.
要讨论¬p是¬q的什么条件，由逆否法可讨论q 是p的什么条件．
∵(－∞，0) (－∞，0)∪(1，＋∞)，
∴q是p的必要不充分条件，故选B.
4．“lgx>lgy”是“ x> y”的________条件．
已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分 条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下 列命题：
①s是q的充要条件； ②p是q的充分条件而不是必要条件； ③r是q的必要条件而不是充分条件； ④r是s的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④ [答案] B
[解析] 由题意知， 故①②正确；③④错误.
• 集合法
设 p、q 是两个命题，p：log1 (|x|－3)>0，q：x2
2
－56x＋16>0，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
• [分析] p，q都是不等式的解集，解不等式
可得其解集，利用集合之间的子集关系即可
__充__要___条件； • 若A＝B，则p是q的__必_要____条件．
若A B，则p是q的_____充__分_不__必__要___ 条件．q 是p的___必__要_不__充__分__ 条件．
若A⃘B，则p不是q的__充__分__条件，q不是p的 ___必_要___条件．
4．p是q的充要条件是说，有了p成立，就 _一__定_有____q成立.p不成立时，___一__定_有____q不成 立．
人教版七年级数学上册：1.2.2《数轴》说课稿3
人教版七年级数学上册：1.2.2《数轴》说课稿3一. 教材分析《数轴》是人教版七年级数学上册第一章第二节的内容，本节课主要介绍了数轴的定义、特点以及数轴上的基本运算。
数轴是数学中一种重要的工具，它将数的大小关系用一条直线上的点表示出来，使得复杂的数学问题直观化、简单化。
通过学习数轴，学生可以更好地理解实数的概念，掌握实数的运算规则，并为后续的数学学习打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数的概念，对实数的大小比较有一定的了解。
但是，学生对数轴的认识还比较陌生，需要通过本节课的学习，使他们能够熟练地运用数轴解决实际问题。
此外，学生对于数轴上的加减运算、乘除运算等基本运算规则也需要进行深入的理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解数轴的定义，掌握数轴上的基本运算规则，能够运用数轴解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实践、探究等方法，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的实际应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：数轴的定义，数轴上的基本运算规则。
2.教学难点：数轴在实际问题中的应用，解决带有绝对值、相反数等复杂问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动法、合作探究法、案例教学法等多种教学方法，结合多媒体课件、数轴模型等教学手段，引导学生主动参与、积极思考，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数轴表示两个数的大小关系，从而引出数轴的概念。
2.自主学习：让学生通过阅读教材，了解数轴的定义和特点，掌握数轴上的基本运算规则。
3.合作探究：学生分组讨论，通过实际操作，探究数轴在实际问题中的应用，解决带有绝对值、相反数等复杂问题。
4.教师讲解：针对学生合作探究中的共性问题，进行讲解和解答，引导学生深入理解数轴的概念和运算规则。
三段式学案3：1.2 排列组合(习题课)
1.2排列组合习题课一、学习目标：1．掌握计数原理、排列、组合的常规题型及综合问题；2．注意两个原理的区别，排列与组合的区别，积累解决排列组合应用问题的思想方法.二、学习过程：典型示例：例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．例2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有多少种放法？(2)恰有1个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？例3．某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个公司中抽调出10辆车，并且每个车队中至少抽取1辆车，那么共有多少种不同的抽调方式？巩固练习：1.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．2．(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？3. 有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．4. 用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；(3)若直线方程ax＋by＝0中的a、b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？5. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．三、个人小结：参考答案例1.【解析】(1)根据分步乘法计数原理得到：222642C C C ＝90种． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有222642C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A 33种方法．根据分步乘法计数原理可得：222642C C C ＝x 33A ，所以x ＝22264233C C C A ＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有123653C C C ＝60(种)方法． (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有12336533C C C A ＝360(种)方法． (5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有222642C C C ＝90(种)方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有12336533C C C A ＝360(种)方法；③“1、1、4型”，有4363C A ＝90(种)方法．所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法．例2. 【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法， 由分步计数原理知，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有24C 种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可．由分步计数原理知，共有放法12124432C C C A ⋅⋅⋅＝144(种)．(3)“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒．因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．(4)先从4个盒子中任意拿走2个，有24C 种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ⋅种放法；第2类，有24C 种放法．因此共有3142C C ⋅＋24C ＝14(种)．由分步计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有24C ×14＝84(种)．例3.【解析】法一 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车，可分为三类：从一个车队中抽调，有17C 种；从两个车队中抽调，一个车队中抽1辆，另一个车队中抽2辆，有2172C C ⋅＝42种；从三个车队中抽调，每个车队中抽调1辆，有37C ＝35种．故由分类加法计数原理知，共有7＋42＋35＝84种抽调方法．法二 (隔板法)由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个元素排成一排，在相互之间的9个空档(除去两端)中插入6个档板，即可将元素分成了7份，因而有69C ＝84种抽调方法． 巩固练习：1.【解析】先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有12222222C A A A 种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有22A 种方法，故舰艇分配方案的方法数为1222222222C A A A A ＝32. 2.【解析】(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有24C 种插法；二是2张同时插入，有14C 种插法，再考虑3人可交换有33A 种方法．所以，共有33A (24C ＋14C )＝60(种)．下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有3252A C 种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插入法，所以所求的坐法数为3252A C ＝60(种)．(2)可先让4人坐在4个位置上，有44A 种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空档”之间，有25A 种插法，所以所求的坐法数为44A ·25A ＝480(种)．3.【解析】(1)由题意得：432952C C C ＝1 260，所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1260种．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．第一步：按4本、3本、2本分成三组，有432952C C C 种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有33A 种方法．根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法432952C C C 33A ＝7 560(种)． 所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7 560种．(3)用与(1)相同的方法求解，得333963C C C ＝1680(种)．所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1 680种．4. 【解析】(1)5×6×6×6×3＝3 240(个)．(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有1233A A ＝18(个)；当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有13A A＝48(个)；24当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有1112A A A A＝108(个)；3233故共有18＋48＋108＝174(个)．(3)a，b中有一个取0时，有2条；a，b都不取0时，有2A＝20(条)；5a＝1，b＝2与a＝2，b＝4重复，a＝2，b＝1，与a＝4，b＝2重复．故共有2＋20－2＝20(条)．5.解析：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35·C23＋C45·C13种，后排有A55种，共有(C35·C23＋C45·C13)·A55＝5 400(种)．(2)除去该女生后，先取后排有C47·A44＝840(种)．(3)先取后排，但先安排该男生，有C14·C47·A44＝3 360(种)．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共有C36·C13·A33＝360(种)．。
高中数学排列与组合综合测试卷
高中数学排列与组合综合测试卷(含解析)选修2-3 1.2.2第三课时排列与组合习题课一、选择题1．(2021山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40B．50C．60D．70[答案]B[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，因此乘车方法数为252＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[答案]C[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻显现，如此的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[答案]C[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22C23＝6(种)排法，因此共有36＝18(种)情形，即如此的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[答案]A[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼能够一步上一级，也能够一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有() A．45种B．36种C．28种D．25种[答案]C[解析]因为108的余数为2，故能够确信一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司聘请来8名职员，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[答案]B[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由因此每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n1，n，rZ)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案]D[解析]∵Crn＝n！r！(n－r)！＝n(n－1)！r(r－1)！[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为() A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.9．(2021四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2021北京模拟)假如在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[答案]C[解析]先安排甲学校的参观时刻，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_____ ___种．(用数字作答)[答案]2400[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，因此共有20210＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案]1260[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C33＝1260(种)排法．13．(2021江西理，14)将6位理想者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有___ _____种(用数字作答)．[答案]1080[解析]先将6名理想者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26C 24A22A44＝1 080种．14．(2021山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案]72[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，有432(12＋11)＝72种．三、解答题15．(1)运算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析](1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3) (n＋2)，因此(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.因此n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n1且nZ，因此n＝2.[点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直截了当应用公式运算，容易发生运算错误，因此，当mn2时，专门是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2021东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，依照这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，因此需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯方法．然后分步确定每个二极管发光颜色有222＝8(种)方法，因此这排二极管能表示的信息种数共有C36222＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析](1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33A33＝C412C48C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，因此先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，因此甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A33种．要练说，得练听。
教学设计1：1.2 排列组合(习题课)
1.2 排列与组合一、教学目标1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）二、知识要点1．分类计数原理与分步计算原理1 分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法.2 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×…× m n种不同的方法.2．排列1 定义（1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列.（2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为.2 排列数的公式与性质（1）排列数的公式：=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n 时，=n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！=1（2）排列数的性质：（Ⅰ）=（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）（Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）（Ⅲ）（分解或合并的依据）3．组合1 定义（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.2 组合数的公式与性质（1）组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例：（2）组合数的主要性质：（Ⅰ）（Ⅱ）三、经典例题例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（）A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题.解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C.例2、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算.第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，故此时有N1=5×4×4=80种不同涂法.第二类：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法.综上可知，不同的涂法共有80+180=260种.点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等.例3、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A.6种B.9种C.11种D.23种解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤.第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；于是，由分步计数原理得，共有N=3×3×1=9种不同填法.解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类.第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法：第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法：第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法：于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选B解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N1=4×3×2×1=24种不同填法，其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；(3)恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种；因此，有数字与格子编号相同的填法共有N2=1+6+8=15种,于是可知，符合条件的填法为24-15=9种.点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念.当正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数—不符合条件的方法种数=符合条件的方法种数.在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系.例4、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论.第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有种排法，于是由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有=36个.第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进行全排列，这样的排列共有个.其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：（1）0在首位的，有个；（2）0在百位或十位，但2与3相邻的，有个（3）0在个位的，但2与3相邻的，有个因此，含有0的符合条件的四位数共有=30个于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法”，即先将符合已知条件的部分元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入；解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进而再考虑大元素内部之间的排列问题.例5、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）A.720种B.480种C.24种D.20种分析：首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去，有种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有种点评：这里的情形与前面不同，按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等”，连续命中的3枪亦“地位平等”.因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以.解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法，请读者引起注意.例6、用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，则字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种？解：符合条件的取法可分为6类第一类：取出的5张卡片中，1张红色，1张黄色，3张绿色，有种取法；第二类：取出的5张卡片中，1张红色，2张黄色，2张绿色，有种取法；第三类：取出的5张卡片中，1张红色，3张黄色，1张绿色，有种取法；第四类：取出的5张卡片中，2张红色，1张黄色，2张绿色，有种取法；第五类：取出的5张卡片中，2张红色，2张黄色，1张绿色，有种取法；第六类：取出的5张卡片中，3张红色，1张黄色，1张绿色，有种取法；于是由分类计数原理知，符合条件的取法共有点评：解决本题的关键在于分类，分类讨论必须选择适当的分类标准，在这里，以红色卡片选出的数量进行主分类，以黄色卡片选出的数量进行次分类，主次结合，确保分类的不重不漏，这一思路值得学习和借鉴.例7、（1）从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？（3）将四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共多少种？（4）某产品共有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种？解：（1）满足要求的取法有两类，一类是取出的4只袜子中恰有2只配对，这只要从5双袜子中任取1双，再从其余4双中任取2双，并从每双中取出1只，共有种选法；另一类是4只袜子恰好配成两双，共有种选法，于是由加法原理知，符合要求的取法为种.（2）符合条件的放法分为三类：第一类：恰有2个小球与盒子编号相同，这只需先从5个中任取两个放入编号相同的盒子中，有种放法，再从剩下的3个小球中取出1个放入与其编号不同的盒子中，有种方法，则最后剩下的两个小球放入编号不同的盒中只有1种放法，故此类共有种不同方法；第二类：恰有3个小球与盒子编号相同，这只需先从5个中任取三个放入编号相同的盒子中，有种放法，则最后剩下的两个小球放入编号不同的盒中只有1种放法，故此类共有种不同方法；第三类：恰有5个小球与盒子编号相同，这只有1种方法；于是由分类计数原理得，共有N=20+10+1=31种不同方法.（3）设计分三步完成：第一步，取定三个空盒（或取走一个空盒），有种取法；第二步，将4个小球分为3堆，一堆2个，另外两堆各一个，有种分法；第三步，将分好的3堆小球放入取定的3个空盒中，有种放法；于是由乘法原理得共有：种不同方法.（4）分两步完成：第一步，安排第五次测试，由于第五次测试测出的是次品，故有种方法；第二步，安排前4次测试，则在前四次测试中测出3只次品和1只正品的方法种数为. 于是由分布计数原理可知，共有种测试方法.点评：为了出现题设条件中的“巧合”，我们需要考虑对特殊情形的“有意设计”，本例（1）则是这种“有意设计”的典型代表，而这里的（3），则是先“分堆”后“分配”的典型范例.四、巩固练习（一）选择题1、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A、18对B、24对C、30对D、36对分析：注意到任一四面体中异面直线的对数是确定的，所以，这里欲求异面直线的对数，首先确定上述以单直线可构成的四面体个数.由上述15条直线可构成个四面体，而每一四面体有3对异面直线，故共有36对异面直线，应选D.2、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面共有（）A、3个B、4个C、6个D、7个分析：不共面的四点可构成一个四面体，取四面体各棱中点，分别过有公共顶点的三棱中点可得到与相应底面平行的4个截面，这4个截面到四个定点距离相等；又与三组对棱分别平行且等距的平面有3个，故符合条件的平面共7个，应选D.3、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A、B、C、D、分析：排班工作分三步完成：第一步，从14人中选出12人，有种选法；第二步，将第一步选出的12人平均分成三组，有种分法；第三步，对第二步分出的3组人员在三个位置上安排，有种排法；于是由乘法原理得不同的排班种数为，应选A4、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市各一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A、300种B、240种C、114种D、96种分析：注意到甲、乙两人不去巴黎，故选人分三类情况（1）不选甲、乙，不同方案有种；（2）甲、乙中选1人，不同方方案有种；（3）甲、乙均入选，不同方案有种；于是由加法原理得不同的方案总数为24+144+72=240，应选B.5、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0，则这四位同学不同的得分情况的种数是（）A、48B、36C、24D、18分析：注意到情况的复杂，故考虑从“分类”切入第一类：四人全选甲题，2人答对，2人答错，有种情况；第二类：2人选甲题一对一错，2人选乙题一对一错，有种情况；第三类：四人全选乙题，2对2错，有种情况.于是由加法原理得不同得分情况共有种，应选B.（二）填空题1、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）个.分析：考虑直接解法：这样四位数的个位数为1，2，3，4中的一个，有种法，千位从余下的4个非零数当中任取一个是种排法；中间两位是种排法，于是由分步计数原理知，共是：种不同排法，应填192.2、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（）个（用数字作答）. 分析：第一步，将1与2，3与4，5与6组成3个大元素进行排列，是种排法；第二步，将7与8插入上述3个大元素队列的间隙或两端，是种方法；第三步，对3个大元素内部进行全排列，各是种方法；于是由分步计数原理得共有个，应填576.3、从集合{O、P、Q、R、S}与{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}中各任取2个元素排成一排（字母与数字均不能重复）.每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是（）分析：考虑分类计算第一类：字母O、Q和数字0均不出现，是种排法；第二类：字母O、Q出现一个，数字0不出现，是种排法；第三类：字母O、Q不出现，数字0出现，是种排法；于是分类计数原理知共是2592+5184+648=8424种不同排法，应填8424.点评：以受限制的字母O、Q和数字0出现的情况为主线进行分类，在每一类中又合理地设计步骤，是分解题的关键所在，以某些特殊元素为主线进行分类是解决复杂的排列组合问题的基本策略.五、课堂小结：六、板书设计：七、教后记：。
郑：2-3-1.2.2 组合(2)导学案-006
【知识链接】：1、排列：（ ）叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2、排列数：用符号m n A 表示，mn A =3、组合： （ ）,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合4、组合数：用符号m n C 表示，mn C =m n A与mn C关系公式是4、组合数的两个性质 （1） （2）：自主学习一、排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想例1、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？例2、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：1、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有 种:合作探究二、平均分组问题除法策略6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；1、无序等分：若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 例1:分成三份，每份两本；反思:一般地：将mn 个元素平均分成n 组（每组m 个元素）,共有 _______________________________________2、有序等分:要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列例2：分给甲、乙、丙三人，每人两本；3、无序不等分：非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.例3：分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；4、有序不等分：要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.例4：分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；5、无序局部等分例5：一堆四本，两堆各一本。
数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）
第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《排列与组合习题课》ppt课件
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
计数原理
第一章
计数原理
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第一章
1.2 排列与组合
1.2.2 组合 第3课时 排列与组合习题课
排列组合应用题
某校为庆祝 2014 年国庆节，安排了一场文艺演 出，其中有 3 个舞蹈节目和 4 个小品节目，按下面要求安排节 目单，有多少种方法： (1)3 个舞蹈节目互不相邻； (2)3 个舞蹈节目和 4 个小品节目彼此相间．
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
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[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目； ②是同类节目互不相邻的问题． 解答本题的第 (1) 问可以先安排 4 个小品，然后让 3 个舞蹈
“插空”；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占 1,3,5,7，
1.2
1.2.2
第3课时
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[解析] (1)先在 6 个乒乓球中任取一个， 作为一堆， 有 C1 6种 取法，再从余下的五个乒乓球中任取两个，作为一堆，有 C2 5种 取法，再从余下三个中取三个作为一堆，有 C3 3种取法，故共有
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1.巩固排列、组合的概念，排列数公式，组合数公式以及 组合数的性质． 2 ．准确地应用两个基本原理，正确区分是排列问题还是 组合问题．
高中数学人教A版选修2-3第一章1.2排列组合的综合应用(习题课)课件
课堂小结：
处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
种选法。
29
弄清要完成什么样的事件是前提。
00|0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 0|0 0 00 00 00 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
即 2,1,1，有 C ＝6(种)，再分配给 3 个人，有 A ＝6(种)，所以不同的 例3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有
2 3 处理排列组合应用题的规律 4 3 解：采用先组后排方法:
种。
安排方式共有 6×6＝36(种)． 例4、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,
解：对 5 个只会跳舞的人选几人进行分类： 第一类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 4 人，共有C54C84 350 (种)； 第二类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 3 人，共有C53C31C74 1050 (种)； 第三类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 2 人，共有C52C32C64 450 (种)； 第四类：跳舞的人从 5 个只会跳舞的人选 1 人，共有C51C33C54 25 (种)； 所以一共有 50+1050+450+25=1875（种）.
初中数学排列组合习题课教案指导
初中数学排列组合习题课教案指导第一章：排列组合基本概念1.1 排列与组合的定义引导学生回顾排列与组合的定义，理解排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，而组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序组合。
通过举例让学生区分排列和组合的概念。
1.2 排列数公式介绍排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。
让学生通过计算一些简单的排列数来理解排列数公式的含义。
第二章：组合数公式2.1 组合数公式介绍组合数公式：C(n,m) = n! / (m!×(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。
让学生通过计算一些简单的组合数来理解组合数公式的含义。
2.2 组合数的性质引导学生探究组合数的性质，如C(n,m) = C(n,n-m)、C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)等。
通过举例让学生理解组合数的性质。
第三章：排列组合的应用3.1 排列组合在实际问题中的应用通过举例让学生了解排列组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、概率问题等。
引导学生运用排列组合知识解决实际问题。
3.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。
对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。
第四章：排列组合的拓展4.1 排列组合的拓展知识引导学生了解排列组合的一些拓展知识，如多重排列、排列组合的极限等。
通过举例让学生了解这些拓展知识的应用。
4.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。
对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。
第五章：总结与复习5.1 排列组合的总结对排列组合的知识进行总结，包括排列与组合的定义、排列数公式、组合数公式、排列组合的性质和应用等。
高二数学 1.2.5排列组合习题课学案 新人教A版选修2-3
高中数学 1.2.5排列组合习题课学案基础梳理1．排列应用题的最基本的解法有：(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出全部元素的排列顺序，再减去不符合要求的元素的排列顺序．2．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为排列组合的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性．自测自评1．(C2100＋C97100)÷A3101的值为(C)A．6 B．101 C.16D.1101解析：(C2100＋C97100)÷A3101＝(C2100＋C3100)÷A3101＝C3101÷A3101＝A3101A33÷A3101＝1A33＝16.故选C.2．4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有(D)A．36种 B．72种 C．81种 D．144种解析：由题意可知4人选择了4条线路中的3条，不同的游览情况共有C24C34A33＝144(种)．故选D.3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243个 B．252个 C．261个 D．279个解析：三位数个数为9×10×10＝900(个)．没有重复数字的三位数有C19A29＝648(个)，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252(个)．故选B.审题不仔细致错【典例】 从1～9的9个数字中取出5个数字作排列，并把五个位置自右向左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？解析：1，2，…，9中只有四个偶数数字，故排列中至少有一个奇数数字．一奇四偶的排列可按下列程序得到：从五个奇数数字中选取1个放在三个奇数位置中的一个上，再把4个偶数数字排在剩下的四个位置上，因此一奇四偶的排列有C 15·C 13·A 44个．类似地，二奇三偶的排列有C 25·C 23·A 22·A 34个，三奇二偶的排列有A 35·A 24个．因此符合题意的排列个数是C 15·C 13·A 44＋C 25·C 23·A 22·A 34＋A 35·A 24＝2 520(个)．【易错剖析】题设“奇数数字必在奇数位置上”是指：①如果有奇数数字，则它们必须在奇数位置上；②如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；③偶数位置上一定是偶数．若误以为“奇数位置上必是奇数”则可能导致解题出错．基础巩固1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是(C )A ．9个B ．10个C ．18个D ．20个解析：由于lg a －lg b ＝lg ab (a >0，b >0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为a b有A 25种，又13与39相同，31与93相同，所以lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18(个)，故选C. 2．5人排成一排，其中甲不排在两端，也不和乙相邻的排法种数为(D ) A ．84种 B ．78种 C ．54种 D ．36种 解析：按先排甲再排乙的顺序列式为 C 13C 12A 33＝36.3．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有(A )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人解析：设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．4．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞，现从中选出2名会唱歌的、1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法______种．解析：以2名会跳舞的分类，分为有1人参加，都不参加两类，共有C 12C 24＋C 11C 23＝15(种)． 答案：15 能力提升5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(C ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．96种解析：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中(四种颜色可以不全用也可以全用)，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(A )A.72种 B．48种 C．24种 D．12种解析：(1)4种颜色全用时，有A44＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A34种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A34＝48种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72种．7．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有______种不同的选法(用数字作答)．解析：若只有1名队长入选，则选法种数为C12·C510；若两名队长均入选，则选法种数为C410，故不同选法有C12·C510＋C410＝714(种)．答案：7148．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有____种(用数字作答)．解析：第一类，字母C排在左边第一个位置，有A55种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有A24A33种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A22A33＋A23A33种．由对称性可知，共有2(A55＋A24 A33＋A22A33＋A23A33)＝480种．答案：4809．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数．解析：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有8C36＝160(种)．10．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．分析：“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑．解析：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35·C23＋C45·C13种，后排有A55种，共有(C35·C23＋C45·C13)·A55＝5 400(种)．(2)除去该女生后，先取后排有C47·A44＝840(种)．(3)先取后排，但先安排该男生，有C14·C47·A44＝3 360(种)．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共有C36·C13·A33＝360(种)．。
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
组合数学第一章课后习题答案
1.1 题（宗传玉）从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5； 解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时，两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）……（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题（王星） 解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为： 8！×5！，（b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！（c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*21．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23．2．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.2.5 排列组合习题课
例1 从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数．
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一
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起的有几个？
(4)在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位
数有几个？
分析：解答本题可借助分步计数原理进行，注意 “特殊元素优先安排”、“相邻问题捆绑”、“不相 邻问题插空”等解题策略的应用．
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题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上
对入选的元素进行排队．因此，分析解决排列组合问题的 基本思维是“先组，后排”． 2．解排列组合的应用题，要注意四点： (1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按 元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．
基 础 梳 理
(2)深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既
不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑．这不仅
有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错． (3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要 周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简 单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解 决． (4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直 接验证，因此在检查结果时，
题型二
分组与分配问题
例2 有6本不同的书．
(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？
(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少 种不同的分堆方法？
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(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3
本，有多少种不同的分配方法？
1.2.2时间和位移习题
A．研究绕地球飞行时的航天飞机。 B．研究汽车后轮上一点的运动情况的车轮。 C．研究从北京开往上海的一列火车。 D．研究在水平推力作用下沿水平地面运动的木箱。
• 2.在下列物体的运动中，可视作质点的物体有 ( )
• A. 从北京开往广州的一列火车 轮胎
点的设 的坐标 的坐标 的坐标 程的位 程的位 的总位
置
移
移
移
以地面 为原点
以抛出 点为原 点
• D、电台报时时说：“现在是北京时间8点 整”，这里实际上指的是时刻
3．位移和路程不同
y
B A
O
Hale Waihona Puke x物体从A运动到B,不管沿着什么轨
迹，它的位移都是一样的。这个位移
可以用一条有方向的（箭头）线段
AB表示
3、田径场跑道周长是400 m。
(1)百米赛跑选用跑道的直道部分，运动员 跑完全程的路程是 ？位移大小是 ？
第二秒末 第一秒末 第三秒末
0第一秒1 2 3 4 5 t/s
第二秒 第三秒
0
12 前三秒
3
4
5 t/s
前二秒
前一秒
3．时间的测量：在实验室中常用秒表和打点计 时器．
问题与练习
1、以下各种说法中，哪些指时间？哪些指时刻？ （将各选项中的相关字眼填在横线上）
A.列车员说：“火车8点．42分到站，停车5 分。
子弹，那么这个飞行员能很容易的抓到子弹的原
因
（）
A 子弹飞行速度很小
• B 飞行员飞的速度不大 C 子弹相对飞行员的速度很小
• D 子弹相对飞行员的速度很大
2 诗句“小小竹排江中流，薇薇青山两岸走”诗句 中青山两岸走是以什么作为参考系得？
1.2.2组合(教案)(可编辑修改word版)
n n n教学目标：1． 2．2 组 合知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 A m 与组合数 C m 之间的联系，掌握组合数公nn式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：1 分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法那么完成这件事共有 N = m 1 + m 2 + + m n 种不同的方法2. 分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 1 种不同的方法，做第二步有 m 2 种不同的方法，……，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这 件事有 N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m n 种不同的方法3. 排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 4. 排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号 A m 表示5．排列数公式： A m= n (n -1)(n - 2) (n - m +1) （m , n ∈ N *, m ≤ n ） 6 阶乘： n !表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘规定0! = 1．7. 排列数的另一个计算公式： A m= n !(n - m )!8. 提出问题：示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例 2n 10 10= 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合． 二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素并成一组，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例 1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2） 高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3） 从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合2. 组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用符号C m表示．例 2．用计算器计算C 7．解：由计算器可得例 3．计算：（1） C 4 ； （2） C 7 ；（1）解： 747 ⨯ 6 ⨯ 5⨯ 474!10＝35；（2）解法 1： C 7= 10 ⨯ 9 ⨯ 8⨯ 7 ⨯ 6 ⨯ 5⨯ 4 7!＝120．710! 10 ⨯ 9 ⨯ 8 解法 2： C 10 = 7!3! =＝120． 3! C444A n n A n n n m 第二课时3. 组合数公式的推导：（1） 从 4 个不同元素 a , b , c , d 中取出 3 个元素的组合数C 3 是多少呢？ 启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A 3 可以求得，故我们可以考察一下C 3 和 A 3 的关系，如下： 4 4组 合排列abc → abc , bac , cab , acb , bca , cba abd → abd , bad , dab , adb , bda , dbaacd→ acd , cad , dac , adc , cda , dca bcd→bcd , cbd , dbc , bdc , cdb , dcb由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A 3 ，可以分如下两步：① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有 C 3 个；② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 A 3 种方法．由分步计数原理得：43A 3A 3 ＝ C 3 ⋅ A 3 ，所以， C 3 = 4 ． 4 4 3 4 33（2） 推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 A m ，可以分如下两步：① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数C m；② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 A m ，根据分步计数原理得： A m ＝ C m ⋅ A m ．m（3） 组合数的公式：nnmA m C m = n = n (n -1)(n - 2) (n - m +1)nmm !或C m= n !m !(n - m )!(n , m ∈ N * ,且m ≤ n )规定: C 0 = 1.三、讲解范例：mm + 1m +1例 4．求证： C n =n - m⋅C n ．证明：∵ C m= n !m !(n - m )!x+1 ⎩ m +1 ⋅ C m +1 = m +1 ⋅ n !n - m n n - m (m +1)!(n - m -1)!m +1n !＝⋅(m +1)! (n - m )(n - m -1)!n !＝m !(n - m )! m m +1m +1 ∴ C n = n - m⋅C n 例 5．设 x ∈ N + ,x -1 2 x -3+ C 2 x -3 的值解：由题意可得： ⎧2x - 3 ≥ x - 1 ⎨x + 1 ≥ 2x - 3 ，解得2 ≤ x ≤ 4 ，∵ x ∈ N + ，∴ x = 2 或 x = 3 或 x = 4 ，当 x = 2 时原式值为 7；当 x = 3 时原式值为 7；当 x = 4 时原式值为 11．∴所求值为 4 或 7 或 11．求C17 11 17 11 10 2 98第三课时例 6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个 从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有C 11种选法；第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C 1 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有C 11⨯C 1 =136136（种）.例 7．（1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段共有C 2 = 10 ⨯ 9 = 45 （条）. 101⨯ 2(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段共有A 2 = 10 ⨯ 9 = 90 （条）.例 8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有C3= 100 ⨯ 99 ⨯ 98 = 161700 （种）. 100 1⨯ 2 ⨯ 3(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C 1 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有C 2 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有C 1⋅C 2 =9506(种).2985 4 5 4 5 4 610 6 (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有C 1⋅C 2 种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有2 98C 1⋅C 2 + C 2⋅C 1 =9 604 （种） .298298解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即C 3 -C 3 =161 700-152 096 = 9 604 （种）.10098说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
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练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法: C53 C31 C42 A33 1080
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生 体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方 法共有多少种?
（（45））甲甲、 、乙乙、、丙丙三三人人只至有多2一人人当当选选；；C31C94 378
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(5)方法一：C32C93 C31C94 C30C95 756
方法二：C152 C33C92 756
(6)方法一：C33C92 C32C93 C31C94 666
7、分类组合,隔板处理
例12、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法? 分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:C259 4095
练习： 1、将15个学生干部的培训指标分配给1—4班4个不 同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同 的分配方法？
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C C C C C 我们规定：Cn0 1. 性质:
m nm, m m1 m
n
n
n +1
n
n
1、无条件限制的组合问题
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问：
C
53＋C
2 5
C
41＋C
51C
2 4
10＋10 4＋5 6
80
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面， 这12个点可确定多少个不同的平面？
C
73＋C51C72＋C
2 5
C71＋1
35＋105＋70＋1
211
例7、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只， 试求满足如下条件各有多少种情况：
C62C42C22 A33
15 6 1 15 6
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
C62
C
2 4
C
2 2
15 6 1 90
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
C61C52C33 6 10 1 60
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
C C C A 1 2 3 3 65 33
C53C11C
43＋C54C
21C43＋C35C
C1 4
24
5 30 10 80＋40＋20 185
方法二：C54C64 C21C53C54 C52C44 185
注:多面手问题：分类讨论，按多面手在某类工作中的人数分类
4、等分组与不等分组问题
例9、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同 的分法； （1）分成三份，每份两本；
360
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
分给3人每人至少1本，可分为三种情况 :
(1)每人2本：C 2C 2C 2 90 642
(2)1本，2本，3本：C61C52C33
A3 3
360
(3)1本，1本，4本：C61C51C44
A3 3
90
A2 2
（6）分给5个人，每人至少一本；
5、不相邻问题插空法
（5)6个相同的球放入3个相同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（凑数法）3种
练习：
（1）将4名新来的同学分配到A,B,C三个年级中，每 个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分到A班， 不同的分配方案多少种？24种
（2）某同学有相同的画册2本，同样的集邮册3本， 从中取出4本赠给4个朋友，每位1本，有多少种不同 的赠送方法？10种
C.A53
D.2C52 A33 A53
课堂练习：
5、如图,某市有7条南北向街道，5条东西向街道 （每小方格均为正方形）
（1）其中有多少个矩形？ C82C52
（2）其中有多少个正方形？ 60
（3）从A点到B点最短路线的走法有多少种？
C171 C141
7、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可 以一步走一级，也可以一步走两级，若要 求11步走完，则有多少种不同的走法？
(1)一共有多少种不同的抽法?
C1300
100! 161700 3!97!
(2)抽出的3件中恰好有1件
2!9986!！! 9506
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
C21C928＋C
2 2
C918
2
2!9986!！!＋196 9702
2、将15个学生干部的培训指标分配给1—4班4个不 同的班级，每班分到的名额不小于班号，共有多少 种不同的分配方法？
3、求方程 x1 x2 x3 x4 10 的正整数解
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，
若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分
法有
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？
(1)C120
10! 2!8!
45
(2) A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？
(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
(1)C52－5 5
(2)Cn2－n
n（n－3） 2
2、有条件限制的组合问题
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从 100件产品中任意抽出3件。
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
(1)C1171
17! 6!11!
12376
(2)C1171C111
17! 11 1237611 136136 6!11!
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线 段共有多少条？
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
7、正确区分排列问题和组合问题
例12（1)3个不同的球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个 球，共有多少种方法？60种
（2)3个相同的球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球， 共有多少种方法？10种
（3)6个相同的球放入5个不同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（插板法）5种
（4)6个相同的球放入3个不同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（插板法）10种
C C A 解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 2 2 3 540 64 3
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医
生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
3、现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部 放入盒内：
（1）共有几种方法？4^4 （2）恰有1个空盒，有几种方法？144 （3）恰有2个空盒，有几种方法?84
为（ C ）
A.(C83 C72 )(C73 C82 )
B.(C83 C72 ) (C73 C82 )
C.C83C72 C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）D
A.C52 A33
B.2C53 A33
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
C21C928＋C938
2
98! ＋ 2!96！!
3！ 998！ 5！
20482
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； C33C92 36 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C30C95 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126
例10、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了
节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三
盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的
两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A）C
3 8
种（B）A83
种
（C）C 93 A种
（D）C131 种
6、综合问题，先“组”后“排”
例11、 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的 次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若 所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测 试方法有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
2
2
C83C31C12C12 672
C81C72C12C12 672
3、多面手问题
例8、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还 有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其中4名译英语，另 外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？
C54C
44＋C54
C22C
42＋C22
C
2 5
C44＋C12
方法二：C152 C30C95 666
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加