1.2.2组合习题课
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（5)6个相同的球放入3个相同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（凑数法）3种
练习：
（1）将4名新来的同学分配到A,B,C三个年级中，每 个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分到A班， 不同的分配方案多少种？24种
（2）某同学有相同的画册2本，同样的集邮册3本， 从中取出4本赠给4个朋友，每位1本，有多少种不同 的赠送方法？10种
C62C42C22 A33
15 6 1 15 6
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
C62
C
2 4
C
2 2
15 6 1 90
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
C61C52C33 6 10 1 60
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
C C C A 1 2 3 3 65 33
C C A 解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 2 2 3 540 64 3
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医
生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
3、现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部 放入盒内：
（1）共有几种方法？4^4 （2）恰有1个空盒，有几种方法？144 （3）恰有2个空盒，有几种方法?84
Hale Waihona Puke Baidu
7、正确区分排列问题和组合问题
例12（1)3个不同的球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个 球，共有多少种方法？60种
（2)3个相同的球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球， 共有多少种方法？10种
（3)6个相同的球放入5个不同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（插板法）5种
（4)6个相同的球放入3个不同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（插板法）10种
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
2
2
C83C31C12C12 672
C81C72C12C12 672
3、多面手问题
例8、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还 有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其中4名译英语，另 外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？
C54C
44＋C54
C22C
42＋C22
C
2 5
C44＋C12
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
(1)C1171
17! 6!11!
12376
(2)C1171C111
17! 11 1237611 136136 6!11!
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线 段共有多少条？
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C C C C C 我们规定：Cn0 1. 性质:
m nm, m m1 m
n
n
n +1
n
n
1、无条件限制的组合问题
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问：
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
C21C928＋C938
2
98! ＋ 2!96！!
3！ 998！ 5！
20482
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； C33C92 36 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C30C95 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126
方法二：C152 C30C95 666
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加
支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有
多少种选法？
C112C81C138 78336
错
C112C84 C122C83 C132C82 C142C18 14646
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外 没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可 以作多少个三角形？ C52＋C51C41＋1 10＋20＋1 31
（1）4只鞋子恰有两双；
C
2 8
28
（3） 4只鞋子只有一双。
（2） 4只鞋子没有成双的； C116C114C112C110 16 14 12 10＝26880 错
C84C12C12C12C12 1120
C81C114C112 8 14 12＝1344 错
C81C114C112 814 12 ＝672
C.A53
D.2C52 A33 A53
课堂练习：
5、如图,某市有7条南北向街道，5条东西向街道 （每小方格均为正方形）
（1）其中有多少个矩形？ C82C52
（2）其中有多少个正方形？ 60
（3）从A点到B点最短路线的走法有多少种？
C171 C141
7、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可 以一步走一级，也可以一步走两级，若要 求11步走完，则有多少种不同的走法？
360
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
分给3人每人至少1本，可分为三种情况 :
(1)每人2本：C 2C 2C 2 90 642
(2)1本，2本，3本：C61C52C33
A3 3
360
(3)1本，1本，4本：C61C51C44
A3 3
90
A2 2
（6）分给5个人，每人至少一本；
5、不相邻问题插空法
(1)一共有多少种不同的抽法?
C1300
100! 161700 3!97!
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
C
C 1 2
2 98
2
2!9986!！! 9506
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
C21C928＋C
2 2
C918
2
2!9986!！!＋196 9702
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？
(1)C120
10! 2!8!
45
(2) A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？
(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
(1)C52－5 5
(2)Cn2－n
n（n－3） 2
2、有条件限制的组合问题
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从 100件产品中任意抽出3件。
C
53＋C
2 5
C
41＋C
51C
2 4
10＋10 4＋5 6
80
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面， 这12个点可确定多少个不同的平面？
C
73＋C51C72＋C
2 5
C71＋1
35＋105＋70＋1
211
例7、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只， 试求满足如下条件各有多少种情况：
2、将15个学生干部的培训指标分配给1—4班4个不 同的班级，每班分到的名额不小于班号，共有多少 种不同的分配方法？
3、求方程 x1 x2 x3 x4 10 的正整数解
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，
若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分
法有
次测试是次品。故有：C43C61 A44 576 种可能。
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法: C53 C31 C42 A33 1080
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生 体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方 法共有多少种?
例10、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了
节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三
盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的
两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A）C
3 8
种（B）A83
种
（C）C 93 A种
（D）C131 种
6、综合问题，先“组”后“排”
例11、 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的 次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若 所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测 试方法有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
C53C11C
43＋C54C
21C43＋C35C
C1 4
24
5 30 10 80＋40＋20 185
方法二：C54C64 C21C53C54 C52C44 185
注:多面手问题：分类讨论，按多面手在某类工作中的人数分类
4、等分组与不等分组问题
例9、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同 的分法； （1）分成三份，每份两本；
7、分类组合,隔板处理
例12、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法? 分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:C259 4095
练习： 1、将15个学生干部的培训指标分配给1—4班4个不 同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同 的分配方法？
种。
C32
C31C
2 2
3 31＝9
2C32 C31＝9
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中
至多有一个人参加，则有不同的选法种数为
。
C
4 4
C
C1 3
24
1 8＝9
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
（（45））甲甲、 、乙乙、、丙丙三三人人只至有多2一人人当当选选；；C31C94 378
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(5)方法一：C32C93 C31C94 C30C95 756
方法二：C152 C33C92 756
(6)方法一：C33C92 C32C93 C31C94 666
为（ C ）
A.(C83 C72 )(C73 C82 )
B.(C83 C72 ) (C73 C82 )
C.C83C72 C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）D
A.C52 A33
B.2C53 A33
练习：
（1）将4名新来的同学分配到A,B,C三个年级中，每 个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分到A班， 不同的分配方案多少种？24种
（2）某同学有相同的画册2本，同样的集邮册3本， 从中取出4本赠给4个朋友，每位1本，有多少种不同 的赠送方法？10种
C62C42C22 A33
15 6 1 15 6
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
C62
C
2 4
C
2 2
15 6 1 90
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
C61C52C33 6 10 1 60
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
C C C A 1 2 3 3 65 33
C C A 解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 2 2 3 540 64 3
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医
生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
3、现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部 放入盒内：
（1）共有几种方法？4^4 （2）恰有1个空盒，有几种方法？144 （3）恰有2个空盒，有几种方法?84
Hale Waihona Puke Baidu
7、正确区分排列问题和组合问题
例12（1)3个不同的球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个 球，共有多少种方法？60种
（2)3个相同的球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球， 共有多少种方法？10种
（3)6个相同的球放入5个不同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（插板法）5种
（4)6个相同的球放入3个不同的盒子中，每盒至少放一个球， 共有多少种方法？（插板法）10种
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
2
2
C83C31C12C12 672
C81C72C12C12 672
3、多面手问题
例8、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还 有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其中4名译英语，另 外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？
C54C
44＋C54
C22C
42＋C22
C
2 5
C44＋C12
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
(1)C1171
17! 6!11!
12376
(2)C1171C111
17! 11 1237611 136136 6!11!
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线 段共有多少条？
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C C C C C 我们规定：Cn0 1. 性质:
m nm, m m1 m
n
n
n +1
n
n
1、无条件限制的组合问题
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问：
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
C21C928＋C938
2
98! ＋ 2!96！!
3！ 998！ 5！
20482
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； C33C92 36 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C30C95 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126
方法二：C152 C30C95 666
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加
支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有
多少种选法？
C112C81C138 78336
错
C112C84 C122C83 C132C82 C142C18 14646
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外 没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可 以作多少个三角形？ C52＋C51C41＋1 10＋20＋1 31
（1）4只鞋子恰有两双；
C
2 8
28
（3） 4只鞋子只有一双。
（2） 4只鞋子没有成双的； C116C114C112C110 16 14 12 10＝26880 错
C84C12C12C12C12 1120
C81C114C112 8 14 12＝1344 错
C81C114C112 814 12 ＝672
C.A53
D.2C52 A33 A53
课堂练习：
5、如图,某市有7条南北向街道，5条东西向街道 （每小方格均为正方形）
（1）其中有多少个矩形？ C82C52
（2）其中有多少个正方形？ 60
（3）从A点到B点最短路线的走法有多少种？
C171 C141
7、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可 以一步走一级，也可以一步走两级，若要 求11步走完，则有多少种不同的走法？
360
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
分给3人每人至少1本，可分为三种情况 :
(1)每人2本：C 2C 2C 2 90 642
(2)1本，2本，3本：C61C52C33
A3 3
360
(3)1本，1本，4本：C61C51C44
A3 3
90
A2 2
（6）分给5个人，每人至少一本；
5、不相邻问题插空法
(1)一共有多少种不同的抽法?
C1300
100! 161700 3!97!
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
C
C 1 2
2 98
2
2!9986!！! 9506
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
C21C928＋C
2 2
C918
2
2!9986!！!＋196 9702
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？
(1)C120
10! 2!8!
45
(2) A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？
(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
(1)C52－5 5
(2)Cn2－n
n（n－3） 2
2、有条件限制的组合问题
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从 100件产品中任意抽出3件。
C
53＋C
2 5
C
41＋C
51C
2 4
10＋10 4＋5 6
80
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面， 这12个点可确定多少个不同的平面？
C
73＋C51C72＋C
2 5
C71＋1
35＋105＋70＋1
211
例7、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只， 试求满足如下条件各有多少种情况：
2、将15个学生干部的培训指标分配给1—4班4个不 同的班级，每班分到的名额不小于班号，共有多少 种不同的分配方法？
3、求方程 x1 x2 x3 x4 10 的正整数解
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，
若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分
法有
次测试是次品。故有：C43C61 A44 576 种可能。
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法: C53 C31 C42 A33 1080
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生 体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方 法共有多少种?
例10、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了
节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三
盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的
两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A）C
3 8
种（B）A83
种
（C）C 93 A种
（D）C131 种
6、综合问题，先“组”后“排”
例11、 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的 次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若 所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测 试方法有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
C53C11C
43＋C54C
21C43＋C35C
C1 4
24
5 30 10 80＋40＋20 185
方法二：C54C64 C21C53C54 C52C44 185
注:多面手问题：分类讨论，按多面手在某类工作中的人数分类
4、等分组与不等分组问题
例9、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同 的分法； （1）分成三份，每份两本；
7、分类组合,隔板处理
例12、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法? 分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:C259 4095
练习： 1、将15个学生干部的培训指标分配给1—4班4个不 同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同 的分配方法？
种。
C32
C31C
2 2
3 31＝9
2C32 C31＝9
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中
至多有一个人参加，则有不同的选法种数为
。
C
4 4
C
C1 3
24
1 8＝9
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
（（45））甲甲、 、乙乙、、丙丙三三人人只至有多2一人人当当选选；；C31C94 378
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(5)方法一：C32C93 C31C94 C30C95 756
方法二：C152 C33C92 756
(6)方法一：C33C92 C32C93 C31C94 666
为（ C ）
A.(C83 C72 )(C73 C82 )
B.(C83 C72 ) (C73 C82 )
C.C83C72 C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）D
A.C52 A33
B.2C53 A33