1-3-2《函数的奇偶性》第二课时

∴f(x)为奇函数． (2)f(x)定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋1＝x2
＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝－2x＋1，
∵f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)， ∴f(x)为非奇非偶函数．
(4)定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称， ∴f(x)为非奇非偶函数．
(a 2)(a 1) ≥ 0,
2 ≤a ≤ 2,
0 ≤ a ≤ 2,
a ≤ 2,或a ≥1.
1≤ x ≤ 2.
•• －2 2
•
0
•• • 122
故 a 的取值范围为 [1, 2].
3．已知函数 f(x)为奇函数，且在(－2,2)上单
调递增，且有f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，求 a 的取值
1 3
＝0，则不等式 xf(x)>0 的解集是
()
A.0，13 C.－13，0∪13，＋∞
B.13，＋∞ D.－∞，－13∪0，13
当 x<0 时，f(x)<0，此时 x<－13， 即不等式的解集是－13，0∪13，＋∞.
Q f (0) 0, f (0) 1.
令 x = 0 , 则 f ( y) f ( y) 2 f ( y), f ( y) f ( y), 即 f (x) f (x). 故 f (x)是偶函数.
【1】若对一切实数x, y 都有 f (x y) f (x) f (y). (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性; (3)若f(1)=8,求f(-n),n∊N*. 解:因为对于任何实数 x, y 都有f (x y) f (x) f (y),
解:由f(1-a)+f(1-a2)≤0, f (1 a2 )≤ f (1 a).
∵ f (x)是奇函数, f (1 a2 ) ≤ f (a 1).
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
1 ≤ 1 a2 ≤ 1,
1
≤
Baidu Nhomakorabea
a
1
≤
1,
1 a2 ≤ a 1.
0 ≤ a2 ≤ 2,
0 ≤ a ≤ 2,
(1)f(x)＝x3＋1x；(2)f(x)＝x2＋1； (3)f(x)＝2x＋1；(4)f(x)＝ x－1＋ 1－x；
(5)f(x)＝|x|－1 1.
[分析] 利用函数奇偶性定义来判断．
[解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝(－x)3＋(－1x)＝－x3－1x＝－f(x)，
令 x = y = 0, 则 f (0) 2 f (0), f (0) 0.
令y = -x , 则 f (0) f (x) f (x),
f (x) f (x).
故 f (x)是奇函数.
函数奇偶性与单调性的应用
【例 5 】 (2014 年广东二模) 定义在 R 上
的偶函数 f(x) 在(0，＋∞)上是增函数，且 f
②G(x)=[f(x)-f(-x)]/2.
f (x)
f
(
x)
2
f
(
x)
f (x) f (x) 2
【点评】任意一个关于原点对称的函数,总可以
表示成一个奇函数与一个偶函数的和.
例2、已知 f(x) 是定义在Ｒ上的奇函数,
当x＞0时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表
达式．
y
f ( x) 0x,2xx0, 1, x 0,
➢一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内
➢奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. ➢偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有
相反的单调性.
【1】判断下列函数的奇偶性
(5)f(x)＝|x|－1 1有意义，须|x|－1≠0，∴x≠±1，其定义 域(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)关于原点对称，且 f(－x)＝|－x1|－1＝|x|－1 1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
【2】如果奇函数f(x)在区间[3,7]上为增函
数,且最小值是5,则在区间[-7,-3]上有没有最大
例4．已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0． 求证: f (x) 是偶函数.
解：已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y)，
令 x = y = 0, 则 2 f (0) 2 f 2(0),
范围．
解：因为函数 f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)． 由 f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，得 f(2＋a)＞－f(1－2a)． 即 f(2＋a)＞f(2a－1)． 又因为 f(x)在(－2,2)上单调递增， 则－ －22<<22＋ a－a<1<2， 2，
2＋a>2a－1，
解得－12＜a＜0.因此，a 的取值范围为 a∈－12，0.
值？是多少？ y
解:如图所示
函数有最大值 –5.
5
-7 -3 o 3 7 x
-5
【3】设y=f(x)为R上的任一函数,判断下
列函数的奇偶性:
(1) F(x)=f(x)+f(-x)
(2)F(x)=f(x)-f(-x)
【4】设函数f(x)的定义域关于原点对称,
判断下列函数的奇偶性：
①F(x)=[f(x)+f(-x)]/2;
1.函数奇偶性的定义．
2.函数奇偶性的判定
➢定义法
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
f (x)
f (x)
0,
f (x) f (x)
1.
➢图象法:画出函数图象
➢利用性质
3.性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点
➢一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.
y x2 x 1, x 0.
o
x
o
x
引申：如果改为偶函数呢？
已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x ＋1，则x>0时，f(x)＝________.
[解析] x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1， 又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
例3.定义在[-1,1]上的函数f(x) 是奇函数,并 且在[-1,1] 上f(x)是增函数,求满足条件 f(1-a)+ f(1-a2)≤0的 a 的取值范围.