两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离-人教A版高中数学选修第一册课件
点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离2024-2025学年高二上学期人教A版2019选择性必修一
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
2．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小
值是( B ) A. 10
B．3 5 5
C． 6
D．3 5
[解析] 点 M 到直线 2x＋y－1＝0 的距离，即为|MP|的最小值，所以 |MP|的最小值为|2＋222＋－112 |＝3 5 5.
做一做：已知直线 l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的 距离为 2，则 a＝__1_或__－__3____.
[解析]
由 a1＋2＋11 2＝ 2得 a＋1＝±2，解得 a＝1 或－3.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
求点到直线的距离
1．求点P(－2,1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0. [解析] (1)根据点到直线的距离公式，得 d＝3×－23＋2＋44×2 1－1＝35.
题型二
两平行线间的距离
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之
间的距离是( D ) A．4
B．2
13 13
C．5
13 26
D．7
13 26
(2)若动点 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线 l1：x＋y－11＝0 和 l2：x ＋y－1＝0 上移动，则 AB 中点 M 所在直线的方程为___x_＋__y_－__6_＝__0_____.
综上所述，所求直线 l 的方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
[误区警示] 应用直线方程时，各种直线方程的适用条件要清楚．
课堂检测•固双基
1．(多选题)已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能
两直线间的距离公式是什么
在数学课堂学习中，我们会学到两直线间的距离公式，那么两直线间的距离公式是什么呢。
以下是由编辑为大家整理的“两直线间的距离公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
两直线间的距离公式两平行线之间的距离公式：d=|C1-C2|/√(A2+B2)。
两平行线方程分别是：Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0。
两平行线之间的距离公式设两条直线方程为Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)推导：两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a，b)在直线Ax+By+C1=0上，则满足Aa+Bb+C1=0，即Aa+Bb=-C1，由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为d=|Aa+Bb+C2|/√(A2+B2)=|-C1+C2|/√(A2+B2)=|C1-C2|/√(A2+B2)学习数学的方法一)、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二)、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
点到直线以及两平行直线间的距离公式 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1
5
2 2
5
2
2
A (1,3)
2
h
1
B (3,1)
C (-1,0)
-1
O
1
2
3 x
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
们各有什么特点？
点到直线距离公式
代数方法
向量法
坐标法
坐标法
（求垂足坐标） （设而不求垂足坐标）
寻找所求量的坐标表示
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
y
l
Q
P0 x0 , y0
O
x
间接法
求出点R的坐标
求出点S的坐标
求出|P0S|
求出 |P0R|
y
1
| P0 S || P0 R |
2
1
d | SR |
2
S ( x0,
Ax0 C
)
B
Q
利用勾股定理求出|RS|
等面积法求出 |P0Q|
l
P0 ( x0 , y0 )
O
R(
By0 C
应先化成一般式再用公式.
2 到直线 l : 3x 2 的距离．
例1: 求点P0 1，
解：直线l的方程可化为一般式：
3x 2 0
思考：还有其他解法吗？
对于直线的一般式方程：Ax+By+C=0，
当A=0或B=0时，直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y
P (x0,y0)
(x1,y0)
点A到直线l2的距离等于l1与l2的距离
d
6 4 21 0 1
62 212
新教材高中数学第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线 段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32
2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离课件高二上学期数学人教A版选择性2
d=
|1 -2 |
2 + 2
.
2.两条平行直线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0间的距离为(
A.3
B.2
|-7-(-12)|
解析:d=
答案:C
32 +4 2
=1.
C.1
1
D.2
)
1
1
所以所求直线的斜率 k=- =- 2-(-1) =-3,
6-(-3)
故所求的两条直线的方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0,3x+y+10=0.
方法点睛 数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法.
当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可
.
2.原点到直线x+2y-5=0的距离为(
A.1
C.2
B. 3
D. 5
解析:由点到直线的距离公式,得 d=
答案:D
)
|-5|
12 +22
=
|-5|
5
= 5.
二、两条平行直线间的距离
1.两条平行直线间的距离
(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段
的长.
(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
求出这些量的变化范围.类似地,当直线l经过定点A时,点B到直线l的距离d
也是当l⊥AB时最大,最大值为|AB|;当l经过点B时最小,最小值为零.
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
2021_2022学年高中数学第3章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离
2．两条平行直线间的距离 (1) 定 义 ： 夹 在 两 条 平 行 直 线 间 _公__垂__线__段_ 的 长 叫 做 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距
离． (2)求法：转化为求_点__到__直__线_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，
这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
[思路点拨]
思路一
由直线平行设出方程
→
利用平行线间 的距离公式求解
思路二
设出直线上任意 一点的坐标
→
Байду номын сангаас
利用点到直线的距 离公式求出直线上的 点满足的方程即可
[解析] 方法一 由已知可设所求直线的方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它 与直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2，
互动探究学案
命题方向1 ⇨点到直线的距离公式
典例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离． (1)y＝34x＋14； (2)y＝6; (3)x＝4. [思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后 再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
[解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
或 x＋y－6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x－y＝0 或 7x＋y＝0 或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝
0.
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
典例 2 (2019·山东省烟台市期末)与直线 2x－y－1＝0 平行，且距离为 2 的直线方程为_2_x_－__y_＋__2__5_－___1_＝__0_或___2_x－__y_－__2___5_－__1_＝__0_. ______
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
人教A2019选择性必修第一册直线的交点坐标与距离公式(02)点到直线的距离公式、两条平行直线间距离
第二章 直线和圆的方程课时2.3.3 直线的交点坐标与距离公式（02） 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离1.探索平面上点到直线的距离公式，了解点到直线距离公式的推导方法。
2.掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
3.初步掌握用解析法研究几何问题。
基础过关练题组一 点到直线的距离1.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m 等于 ( ) A.0 B.34C.3D.0或342.已知直线l 1:ax+y-1=0与直线l 2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l 1的距离为 ( ) A.1 B.2 C.√2 D.2√23.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m 的值为 ( ) A.-6或1 B.-12或1C.-12或12D.-6或124.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d 的最大值为 ( ) A.3 B.4C.5D.75.在直线x+3y=0上求一点P,使点P 到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.题组二两条平行直线间的距离6.已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2的距离为 ( )A.15B.√55C.35D.3√557.两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是 ( )A.0<d≤3B.0<d≤5C.0<d<4D.3≤d≤58.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是.9.直线l到其平行直线x-2y+4=0的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是.10.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.题组三距离公式的综合应用11.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为 ( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+∞)D.(0,√17]12.已知正方形的两边所在直线方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为.13.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC边所在直线的方程；(2)求△ABC的面积.14.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.能力提升练题组一点到直线的距离1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是 ( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=02.(多选)()已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是 ( )A.y=x+1B.y=2C.4x-3y=0D.2x-y+1=03.()点A(1,1)到直线xcos θ+ysin θ-2=0的距离的最大值是.4.()已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则直线l过定点,点P到直线l的距离d的最大值为.5.()已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程；(2)求△OAB面积的最小值.题组二两条平行直线间的距离6.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ( )A.3√2B.2√3C.3√3D.4√27.()已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则√(m-a)2+(n−b)2的最小值为.8.()已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满；(3)P点到l1的足下列三个条件:(1)P是第一象限的点；(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的12距离与P点到l3的距离之比是√2∶√5？若能,求出P点的坐标；若不能,说明理由.题组三距离公式的综合应用9.()到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是 ( )A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=010.()已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B(32,1 2 ),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 ( )A.√1302B.√13+3√22C.√13D.3√211.()已知△ABC的内角平分线CD所在直线的方程为2x+y-1=0,两个顶点为A(1,2),B(-1,-1).(1)求点A到直线CD的距离；(2)求点C的坐标.答案全解全析 基础过关练1.D 点M 到直线的距离d=√m 2+1=3,解得m=0或m=34.2.C 由已知得,k l 1=-a,k l 2=1,又l 1⊥l 2, ∴-a ×1=-1,解得a=1. 此时直线l 1的方程为x+y-1=0, ∴点(1,2)到直线l 1的距离d=√12+12=√2,故选C.3.D 解法一:依题意得,直线mx+y+3=0过线段AB 的中点,或与直线AB 平行. ①线段AB 的中点坐标为(1,3),且在直线mx+y+3=0上,∴m+3+3=0,解得m=-6； ②由两直线平行知4−2-1-3=-m,解得m=12. 因此m 的值为-6或12,故选D.解法二:由题意得√m 2+1=√m 2+1,解得m=-6或m=12,故选D.解题模板 两点到直线距离相等,可用几何法,即直线与两定点所在直线平行,或直线过以两定点为端点的线段的中点.此类题型也可用代数法.4.A 直线方程可变形为y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l ⊥PM 时,d 有最大值,结合两点间距离公式可得d 的最大值为√(2-2)2+(3−0)2=3.故选A.5.解析 由题意可设P(-3y 0,y 0),则√9y 02+y 02=00√12+32,即√10|y 0|=√10.∴y 0=±15.故点P 的坐标为(-35,15)或(35,-15).6.D 由l 1∥l 2得,a=-12,因此l 1:2x-y-2=0,∴d=√22+(−1)2=√5=3√55,故选D.7.B 当两条平行直线与AB 垂直时,两条平行直线间的距离最大,最大距离为|AB|=5,所以0<d ≤5. 8.答案 5解析 两直线方程分别是x=-2和x=3,故两条直线间的距离d=|-2-3|=5. 9.答案 x-2y+2=0解析 由题意设所求直线l 的方程为x-2y+C=0(C ≠4), 则√12+(−2)2=√12+(−2)2,解得C=2,10.解析 ①若直线l 1,l 2的斜率存在,设直线的斜率为k,设l 1的斜截式方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l 2的点斜式方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0, 因为直线l 1过点A(0,1),所以点A 到直线l 2的距离d=√k 2+(−1)2=5,所以25k 2+10k+1=25k 2+25,解得k=125,所以l 1的方程为12x-5y+5=0,l 2的方程为12x-5y-60=0. ②若l 1,l 2的斜率不存在,则l 1的方程为x=0,l 2的方程为x=5, 它们之间的距离为5,同样满足条件. 综上所述,满足条件的直线方程有两组:l 1:12x-5y+5=0,l 2:12x-5y-60=0或l 1:x=0,l 2:x=5.11.A 易知两直线之间的最大距离为P,Q 两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|=√(2+1)2+(−1−3)2=5.故l 1,l 2之间的距离d 的取值范围为(0,5]. 12.答案 2解析 由条件知两直线平行,则正方形的边长为这两条平行直线间的距离,即边长d=√2=√2,所以正方形的面积为2.13.解析 (1)由题可知,直线BC 过(2,3),(3,-2),∴方程为x -23−2=y -3-2-3,化简得5x+y-13=0,∴直线BC 的方程为5x+y-13=0.(2)由题可知|BC|=√(3-2)2+(−2−3)2=√26,A(1,1)到直线BC 的距离√25+1726√26,∴S △ABC=12·|BC|·d=12×√26×726√26=72,∴△ABC 的面积为72. 14.解析 解法一:∵点A(1,1)与B(-3,1)到y 轴的距离不相等, ∴直线l 的斜率存在,设为k.又直线l 在y 轴上的截距为2,∴直线l 的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0. 由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l 的距离相等, 得√k 2+1=√k 2+1,解得k=0或k=1.∴直线l 的方程是y=2或x-y+2=0.解法二:当直线l 过线段AB 的中点时,直线l 与点A,B 的距离相等. ∵AB 的中点是(-1,1),又直线l 过点P(0,2),当直线l ∥AB 时,直线l 与点A,B 的距离相等. ∵直线AB 的斜率为0,∴直线l 的斜率为0, ∴直线l 的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l 的方程是x-y+2=0或y=2.能力提升练1.A 根据题意得,当所求直线与直线OA 垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA 的斜率为2,所以所求直线的斜率为-12,所以直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选A.2.BC 选项A 中,点M 到直线y=x+1的距离d=√12+(−1)2=3√2>4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A 中的直线不是点M 的“相关直线”；选项B 中,点M 到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B 中的直线是点M 的“相关直线”； 选项C 中,点M 到直线4x-3y=0的距离d=√42+(−3)2=4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C 中的直线是点M 的“相关直线”；选项D 中,点M 到直线2x-y+1=0的距离d=√22+(−1)2=11√55>4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故D 中的直线不是点M 的“相关直线”.故选BC. 3.答案 2+√2解析 依题意得,点(1,1)到直线的距离d=√cos 2θ+sin 2θ=|cos θ+sin θ-2|=|√2sin (θ+π4)-2|.∴当sin (θ+π4)=-1时,d max =|-√2-2| =2+√2.4.答案 (1,1)；√10解析 直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,化为(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0, 令{x +y -2=0,3x +2y -5=0,解得x=y=1,因此直线l 经过定点Q(1,1), 当直线PQ ⊥直线l 时,点P 到直线l 的距离d 有最大值,最大值为|PQ|=√(-2-1)2+(0−1)2=√10. 5.解析 (1)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0, 则点O 到直线l 的距离d=√k 2+1=4,解得k=-724.故直线l 的方程为-724x-y-4×(-724)+3=0,即7x+24y-100=0.(2)因为直线l 的方程为kx-y-4k+3=0, 所以A (-3k +4,0),B(0,-4k+3).则△OAB 的面积S=12|OA|·|OB|=12×(-3k +4)×(-4k+3) =12(-9k-16k+24).由题意可知k<0,则-9k -16k ≥2√(-9k )×(−16k)=24当且仅当k=-34时,等号成立. 故△OAB 面积的最小值为12×(24+24)=24.6.A 由题意知,点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c ≠-7且c ≠-5),则√2=√2,即c=-6,所以点M 在直线x+y-6=0上,所以点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即√2=3√2.7.答案 1解析 设点A(m,n),B(a,b),直线l 1:3x+4y=6,直线l 2:3x+4y=1.由题意知点A(m,n)在直线l 1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l 2:3x+4y=1上,|AB|=√(m -a)2+(n −b)2,由l 1∥l 2,得|AB|min =√9+16=1.8.解析 能.设存在满足条件的点P(x 0,y 0), 若点P 满足条件(2),则有00√22+(−1)2=12·00√(-4)2+22,化简得2x 0-y 0+132=0或2x 0-y 0+116=0.若P 点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有00√22+(−1)2=√2√5·00√12+12,即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|. ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.又P 是第一象限的点,∴3x 0+2=0不合题意,故舍去.由{2x 0-y 0+132=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=−3,y 0=12.不合题意,故舍去. 由{2x 0-y 0+116=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=19,y 0=3718.∴P (19,3718)即同时满足三个条件的点.9.D 依题意知,所求直线与已知直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0(C ≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得√32+42=|C+1|5=2,则C 1=-11或C 2=9,故所求点的轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.10.B 解法一:如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=3√22.图1设点P(a,-a-2),则点Q(a+32,-a-12).所以|AP|+|PQ|+|QB|=√(a+3)2+(−a+1)2+3√22+√a2+(−a−1)2=√(a+3)2+(a−1)2+3√22+√a2+(a+1)2.设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则图2√(a+3)2+(a−1)2+√a2+(a+1)2=|MC|+|MD|≥|CD|=√13.所以|AP|+|PQ|+|QB|有最小值3√22+√13.解法二:如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=3√22.图3过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.设点A'(x 0,y 0),则{x 0=−3+3√22×√22=−32,y 0=−3+3√22×√22=−32. 因此,点A'(-32,-32),则|A'B|=√13.连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP 是平行四边形,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=√13.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥3√22+√13. 故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为3√22+√13. 11.解析 (1)点A 到直线CD 的距离d=√4+1=3√55. (2)依题意,点A 关于直线CD 的对称点A'在边BC 上,设A'(x 0,y 0).则{2·x 0+12+y 0+22-1=0,y 0-2x 0-1·(-2)=-1,解得{x 0=−75,y 0=45, 即A'(-75,45).∴直线BC 的方程为9x+2y+11=0.联立直线BC 与CD 的方程,解得点C 的坐标为(-135,315).。
人教A版高中数学必修二《点到直线距离》PPT
故直线 l 的方程为 2x－3y＋1＝0.
由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求 直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求 解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
距离的综合应用
[典例] 已知正方形的中心为直线 2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0 的交点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0，求正方 形其他三边所在直线的方程．
的中点 M 到原点的距离的最小值为________． 解析：依题意，知 l1∥l2，故点 M 所在的直线平行于 l1 和 l2，可设点 M 所在直线的方程为 l：x＋y
|m＋7| |m＋5| ＋m＝0(m≠－7 且 m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得 2 ＝ 2 ⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m
|－6| ＝－6，即 l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点 M 到原点的距离的最小值为 2 ＝3 2. 答案：3 2
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综 合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造 法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问 题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性 去解决问题．
检: (大约9分钟）
1．若点 P(3，a)到直线 x＋ 3y－4＝0 的距离为 1，则 a 的值为( D )
3．3.3&3.3.4 点到直线的距离、两平行线间的距离
教学目标： （1）理解点到直线距离公式的推导，（ 2）熟练掌握 点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离； 教学重点、难点 ： 重点：点到直线的距离公式. 难点：点到直线距离公式的理解与应用
1、导:(大约2分钟）
2.思及议：(大约8分钟）
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册两条平行直线间的距离公式课件
| CD | (3 1)2 (2 1)2 17.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是 l1 : x 4 y 5 0, l2 : 2x y 8 0, l3 : x 4 y 14 0, l4 : 2x y 1 0, 求□ABCD的面积.
两条平行直线间的距离
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
解：设
,
已知两条平行直线
追问1：如何间求的距离C为D3，？求C的值.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
CD 的长 C、D 的坐标 例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
求两条平行直线
间的距离.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
解：设
,
求□ABCD的面积.
D的坐标为
.
间的距离：
追问2：公式中的A，B，C1，C2分别等于什么？
例1 求下列两条平行直线间的距离.
（2）l1 : 2x 7 y 8 0 ，l2 : 6x 21y 1 0. l1 : 6x 21y 24 0, l2 : 6x 21y 1 0.
d | 24 (1) | 23 23 53 . 62 212 3 53 159
l : Ax 问题3 公式有什么结构特征？
，
2
By
C2
新人教A版必修高中数学第三章《两条平行直线间的距离》
h= | 1 0 4 | = 5 ,因此,S△ABC= 1 ×2 2 × 5 =5.
12 12
2
2
2
23
答案:5
.
2021/6/20
4-2:若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( )
(A)2
(B)2 2
(C)4
5
5
综上得直线 l1,l2 的方程分别为 x=0 和 x=5 或 y= 12 x+1 和 y= 12 (x-5).
5
5
17
2021/6/20
题型三 距离公式的综合应用 【例3】(12分)已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和一边CD所在的直线方程为 x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.
规范解答:因为 AB∥CD,所以可设 AB 边所在的直线方程为 x+3y+m=0. …………………………………………………………………………1 分 又因为 AD⊥CD,BC⊥CD,故可设 AD,BC 边所在的直线方程为 3x-y+n=0. …………………………………………………………………………3 分 因为中心 M(-1,0)到 CD 的距离为
3.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A )
(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0
(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0
6
2021/6/20
4.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为
.
解析:直线 8x-6y+5=0 化简为 4x-3y+ 5 =0, 2
高二【数学(人教A版)】两条平行直线间的距离公式-课件
PP( x0 , y0 )
| C1 C2 | , A2 B2
| C1 C2 | . A2 B2
问题3 公式有什么结构特征？
一般地，两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 间的距离：
d | C1 C2 | . A2 B2
问题3 公式有什么结构特征？
问题4 能否由直线一般式方程系数的特征直接判断两条直线的
位置关系？
已知两条直线 l1 : A1x B1y C1 0, l2 : A2x B2 y C2 0.
•
若斜率存在，则
l1
:
y
A1 B1
x
C1 B1
,
l2
:
y
A2 B2
x
C2 B2
.
l1 / /l2
A1 A2 , 且 C1 C2 ； ( A1 B1 , 且 B1 C1 )；
所以，d | Ax0 By0 C2 | , A2 B2
PP( x0 , y0 )
| C1 C2 | , A2 B2
问题2 如图，已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2பைடு நூலகம் 0 ，求 l1,l2 间的距离 d.
所以，d | Ax0 By0 C2 | , A2 B2
• 若斜率存在，
l1 / /l2
A1 A2 , 且 C1 C2 ；
B1 B2
B1 B2
A1B2 B1A2 0, 且 C1B2 B1C2 0;
• 若斜率不存在， l1 / /l2
B1
B2
0,且 C1 A1
C2 A2
(或C1 A2
A1C2
0).
l1 / /l2
点到直线的距离公式两条平行线间距离(课件)(人教A版2019选择性必修第一册)
A．8
B．2 2
C． 2
D．16
(2)若 P(x，y)在直线 x＋y－4＝0 上，则 x2＋y2－2x－4y＋5的最小值为多少？
(1)A 解析：x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离的平方， 故等价
于原点(0,0)到直线 x＋y－4＝0 的距离的平方，即 d＝ 4 ＝2 2，∴d2＝8，故选 A． 2
当堂达标
2.两条平行线 l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0 间的距离等于( )
7
7
4
2
A.5
B.15
C.15
D.3
C 解析：l1 的方程可化为 9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离 公式得 d＝|－962＋＋11202|＝145.
当堂达标
3.已知 O 为原点，点 P 在直线 x＋y－1＝0 上运动，那么|OP|的 最小值为( )
经典例题
题型一 点到直线的距离
跟踪训练1
已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A. 2
B．2－ 2 C. 2－1
D. 2＋1
C 解析：由点到直线的距离公式得： 1|2a＋－（2＋－31|）2＝|a＋21|＝1， ∴|a＋1|＝ 2. ∵a>0， ∴a＝ 2－1.故选 C.
√
)
小试牛刀
2.原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
D 解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离
d＝|0＋120＋－252|＝ 5.
3.两条平行线 l1：3x＋4y－7＝0 和 l2：3x＋4y－12＝0 的距离为( )