整式乘除培优

整式乘除培优

考点一. 同底数幂的乘法

1.同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)

2.在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体

的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=⋅⋅（其中m 、

n 、p 均为正数）；

④公式还可以逆用：n m n m a a a ⋅=+（m 、n 均为正整数）

考点二．幂的乘方与积的乘方

1. 幂的乘方法则： ()mn n m a a =(m,n 都是正数)。

2. 积的乘方法则：()n n n b a ab =（n 为正整数）。

3．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

考点三. 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m>n).

2. 在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠

0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即()010≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意

义.

③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即

p

p a a 1=- ( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的。 考点四. 整式的乘法

1. 单项式与单项式相乘法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，

对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

2．单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，

把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多

项式的每一项，再把所得的积相加。

3．多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一

项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

考点五．平方差公式

1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即

()()22b a b a b a -=-+。

2. 结构特征：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

例1.下列式中能用平方差公式计算的有( )

①(x-12y)(x+12

y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)-

(100-1)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

例2.利用平方差公式计算：

（1）(x+6)(6-x) （2）11()()22x x -+-- （3）(a+b+c)(a-b-c) （4）18201999⨯

考点六．完全平方公式

1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减

去）它们的积的2倍，即()2222b ab a b a +±=±； 2．结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2

倍。

例1. 若x 2＋mx ＋４是一个完全平方式，则m 的值为 。

例2.计算：

（1）()21x + （2）221⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a （3）2

10151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x

（4）)12)(12(-+++y x y x （5）)2)((4)2(2y x y x y x +--- （6） 9982

考点七．整式的除法

1．单项式除法单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商

的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

2．多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以

单项式，再把所得的商相加

考点八、因式分解

1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因

式分解.

注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与

整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.

2、提取公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式

是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种

分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：

()ma mb mc m a b c ++=++

注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的

相同字母③指数：相同字母的最低次幂.

3、运用公式法：把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因

式的方法叫做运用公式法.

ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-

注意：①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么.

ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号

相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项

式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量.

补充：常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-； ②

2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）