四类具有特殊性质的函数
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§1 . 2四类具有特殊性质的函数
(一)教学目的:
理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判断函数是否具有这些性质.
（二）教学内容：
函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法. 基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念,掌握其判断方法.
（三）教学重点：
有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数.
（四）教学难点：
有界函数的概念
教学建议：
(1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．
(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性.
（五）教学方法：
以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习。
（六）计划课时：2课时.
（七）教学过程：
在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本12-13页）。
一、 有界函数
1、定义 设函数)(x f 在数集A 有定义。若函数值的集合{}A x x f A f ∈=)()(有上界（有下界、有界），则称函数)(x f 在A 有上界（有下界、有界），否则称函数)(x f 在A 无上界（无下界、有
无界）.列表如下:
注意:函数)(x f 在数集A 有上界（有下界、有界）必有无限多个上界(无限多个下界、无限多个界)。
2、函数)(x f 在区间[]b a ,有界的几何意义：函数)(x f 在区间[]b a ,上的图像位于以二直线M y M y -==与为上、下边界的带形区域之内，如右下图：
3、举例如下
例1、正弦函数x y x y cos sin ==余弦函数与在R 有
界，如下图所示：
说明：1cos 1sin ,,01≤≤∈∀>=∃x x R x M 与有
例2、反正切函数x y arctan =与反余切函数x arc y cot =在R 有界，如x
下图所示： 说明：2arctan ,,02π
π
<∈∀>=∃x R x M 有，
ππ<∈∀>=∃x arc R x M cot ,,0有.
例3、数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+2)1(1n 与⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1有界. 说明：有,,01+∈∀>=∃N n M 12
)1(1≤-+n
; 有,,02+∈∀>=∃N n M 21≤+n n .
例4、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 在R 有下界无上界.如图 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在区间),0(+∞既无上界也无下界.如图
说明：1)、
0),1,0(,,0>≠>∀∈∀=∃x a a a a R x P 有,即指数函数x a y =在R 有下界
2)、q a R x q q x
q >∈∃>∀有,,0 3)、同理可证,)1,0(≠>∀a a a , 对数函数x y a l o g =在区间),0(+∞既无上界也无下界.
例5、数列{}n 有下界无上界;数列{}n n )1(-既无上界也无下界.
说明：1)、,1≤∀a 都是数列{}n 的下界;
b n N n b >∈∃>∀+00,,0有,即数列{}n 有下界无上界.
2)、⎪⎩⎪⎨⎧-<+-=+-∈∃>=-∈∃>∀+++.)12()12()1(,,22)1(,,0122b k k N k b k k N k b k k 有有.
即数列{}n n )1(-既无上界也无下界.
二、 单调函数
1、定义 设函数)(x f 在数集A 有定义.若A x x ∈∀21,,且21x x <,有 )()(21x f x f < ))()((21x f x f >,
称函数)(x f 在A 严格增加(严格减少).上述不等式若改为
)()(21x f x f ≤ ))()((21x f x f ≥,
则称函数)(x f 在A 单调增加(单调减少).
说明: 1）函数)(x f 在A 严格增加、严格减少与单调增加、单调减少统称为函数)(x f 在A 单调;2）严格增加、严格减少统称为严格单调;3)若A 是区间,则称此区间为函数)(x f 的单调区间.
2、举几个单调函数的例子