四类具有特殊性质的函数
数学分析讲义
f (x)
-x
o
偶函数
x
x
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
四、周期函数
定义 设函数 f ( x ) 定义在数集 A .若 ∃l > 0, ∀x ∈ A ，有 x + l ∈ A ，且
f (x ± l ) = f (x )
则称函数 f (x ) 是周期函数， l 称为函数 f (x ) 的一个周期 周期. 周期
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
y=sin(x)
1
0.5
10 -0.5
20
30
40
50
-1
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
1 + ( −1) n n + 1 例 2 数列 有界. 与 2 n
例 3 反正切函数 y = arctgx 与反余切函数 y = arc ctgx 在 R 有界（如下图）. 事实上， ∃Μ = 与
3l − 3l −2 2
l − l − 2 2
l l 2 2
3l 3l 2 2
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
数学分析讲义
§1.3 复合函数与反函数
一、复合函数
G 定义 设函数 z = f ( y ) 定义在数集 B ， 函数 y = ϕ ( x ) 定义在数集 A ， 是
A 中 使 y = ϕ (x ) ∈ B 的 x 的 非 空 子 集 （ 如 图 1.19 ）， 即
y = ϕ ( x ) 与 z = f ( y ) 的复合函数，即 ( f ϕ )( x ) = f [ϕ ( x )], x ∈ G, y 称为中 的复合函数，
函数高中知识点
函数高中知识点函数是高中数学中的重要知识点之一，它在数学和实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍函数的定义、性质和应用，以及一些常见的函数类型。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数通常用符号表示，例如f(x)或y=f(x)。
其中，x是自变量，y是因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数有一些重要的性质。
首先，每个自变量只能对应一个因变量，即函数中的每个x值都有唯一的y值。
其次，函数可以通过图像来表示，图像是平面直角坐标系中的一条曲线。
函数的图像可以用来研究函数的性质，如增减性、奇偶性和周期性等。
二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型之一，它的图像是一条直线。
线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条斜率为a的直线，常数b表示直线与y轴的截距。
2. 幂函数：幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是常数。
幂函数的图像形状取决于指数n的正负和大小。
当n为正偶数时，幂函数的图像是一个开口向上的抛物线；当n为正奇数时，幂函数的图像是一个开口向上的曲线；当n为负数时，幂函数的图像是一个开口向下的曲线。
3. 指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像是一条逐渐增长或递减的曲线。
当a大于1时，指数函数的图像是递增的；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，它的一般形式是y=logₐx，其中a是常数且大于0且不等于1。
对数函数的图像是一条逐渐增长或递减的曲线。
当a大于1时，对数函数的图像是递增的；当0<a<1时，对数函数的图像是递减的。
三、函数的应用函数在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学：函数可以用来描述供求关系、成本函数和收益函数等经济学概念。
常见特殊函数性质归纳
常见特殊函数性质归纳一、常见特殊函数列表在数学中，常见的特殊函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。
这些函数在各种数学问题中都有重要的应用，其性质也各不相同。
二、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，其周期都是$2\\pi$。
正弦函数的取值范围在[−1,1]之间，是奇函数；而余弦函数的取值范围也在[−1,1]之间，是偶函数。
两者的关系可以用三角关系式$\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1$来表示。
三、指数函数和对数函数指数函数以自然对数e为底，表达式为y=e x，其图像呈现指数增长的特点。
对数函数则是指数函数的反函数，以e为底时称为自然对数函数。
对数函数的定义域需要是正实数，而自然对数函数定义域则是全体实数。
四、特殊函数的性质总结1.特殊函数的周期性：正弦函数和余弦函数周期为$2\\pi$，指数函数没有周期性，而对数函数的定义域限制导致其不具备周期性。
2.特殊函数的奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，指数函数和对数函数均为奇函数。
3.特殊函数的单调性：正弦函数和余弦函数在各自的定义域内是周期性单调函数，指数函数和对数函数在其定义域内分别是增函数和减函数。
4.特殊函数的导数和积分：正弦函数和余弦函数的导数仍为正弦函数和余弦函数，对数函数的导数是1/x，指数函数的导数是其本身；积分则尊从各种函数的积分规则进行计算。
5.特殊函数的极限性质：各种特殊函数在不同趋近点的极限计算和性质会有所不同，需要具体逐个考察。
五、结语常见特殊函数的性质归纳是数学中基础的一环，对于理解数学问题和解题具有重要意义。
在具体运用中，针对每种特殊函数的性质，要有系统地理解和掌握，才能更好地应用于解决实际问题。
高中6个超越函数
高中6个超越函数作为高中数学的重要内容之一，函数是一个非常重要的概念。
在高中数学中，有一些特殊的函数具有比较重要的意义，被称为“超越函数”。
今天我们来介绍一下高中数学中的6个超越函数。
一、指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
这个函数有着非常重要的应用，它表达了一种指数增长的趋势。
指数函数的导数也有非常特殊的性质，即其导数等于其本身。
指数函数在金融、经济学等领域非常有用。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，是形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。
对数函数的导数也非常特殊，它的导数等于1/x。
对数函数有着非常广泛的应用，在物理、化学、统计学、计算机科学等领域都有着非常广泛的应用。
三、三角函数三角函数是由正弦、余弦、正切、余切等函数组成的一族函数。
三角函数在几何学、物理学、工程学等领域有着非常广泛的应用。
它们可以用于描述旋转、震动等现象。
四、指数对数函数指数对数函数是一种常见的超越函数，它由指数函数和对数函数组成。
指数对数函数的图像非常特殊，它的图像在x轴左侧单调下降，在x轴右侧单调上升。
指数对数函数在物理学、化学、生物学、计算机科学等领域有着重要的应用。
五、双曲函数双曲函数是一类类似于三角函数的函数，它由双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切等函数组成。
双曲函数在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
六、反三角函数反三角函数是一种与三角函数相反的函数，它由反正弦、反余弦、反正切等函数组成。
反三角函数可以用于解决三角函数的反问题，以及一些复杂函数的求导问题。
以上就是高中数学中的6个超越函数。
这些函数在数学和科学的各个领域都有着重要的应用，是我们在学习数学时必须掌握的知识点。
8个典型奇偶函数
8个典型奇偶函数奇偶函数是高等数学中常见的函数类型，它们具有一些特殊的性质，对于学习数学和科学领域的人来说非常重要。
在本文中，我们将介绍8个典型的奇偶函数，阐述它们的特点和应用，希望读者可以从中获得一些启示和指导。
一、正弦函数正弦函数是最常见的奇函数之一，它的定义域是所有实数，值域在-1到1之间波动，具有周期性和奇性。
正弦函数可以用来描述周期性的振动，比如弦乐器演奏时的震动、电磁波的传播等。
我们可以通过调节正弦函数的系数和常数，来得到不同频率和振幅的振动曲线。
二、余弦函数余弦函数也是一种周期性函数，它的值域和正弦函数相同，但是相位不同。
余弦函数是偶函数，它可以表示各种周期性的现象，比如机械臂的振动、交流电信号等。
三、正切函数正切函数是一种奇函数，定义域为所有实数，值域为(-∞,∞)，它的图像具有周期性和对称性。
正切函数可以被用来表示各种斜率和角度变化的情况，比如物体做抛体运动时的速度变化、物理学中的阻力效应等。
四、余切函数余切函数也是一种奇函数，它的定义域和正切函数相同，但是值域是(-∞,∞)，和正切函数的图像镜像对称。
余切函数可以用来描述倾斜角和斜率的变化，比如自然现象中的倾斜地形、机械工程中的倾斜构件等。
五、双曲正弦函数双曲正弦函数的定义域和值域都是实数集，它的图像呈现出一种超越正弦函数的特殊弧线。
双曲正弦函数具有奇性和单调性，可以描述各种渐近于纵轴和横轴的曲线。
双曲函数在物理学的电路分析和控制系统中非常有用。
六、双曲余弦函数双曲余弦函数的定义域和值域和双曲正弦函数相同，但是它的图像呈现出一种椭圆形状，具有偶性和单调性。
双曲余弦函数可以用于描述电子管和半导体器件中的电流关系、电磁波的衍射和散射等。
七、双曲正切函数双曲正切函数的定义域为所有实数，值域在(-1,1)之间，它的图像呈现出一条中心对称的S形曲线，具有奇性和双曲性。
双曲正切函数可以被用来表示交叉相关的数据点，比如心电图和脑电图的波形变化。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一种重要工具，用来描述两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们通常会遇到一些特殊类型的函数，比如奇函数、偶函数以及周期函数。
本文将讨论函数的奇偶性与周期性，并探究它们在数学和实际应用中的作用。
一、奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在自变量取相反数时所具有的性质。
具体来说，一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)。
反之，若对于任意的 x 有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数。
奇函数和偶函数的性质如下：1. 对于奇函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = -b。
2. 对于偶函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = b。
3. 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后与原图像重合。
4. 偶函数关于 y 轴对称，即图像关于 y 轴对称。
在实际应用中，奇函数和偶函数广泛存在。
例如，奇函数在描述电路中的交流信号的正负变化、对称图形的性质等方面有广泛的应用。
而偶函数则在描述偶对称的物理现象、对称图形的性质等方面发挥重要作用。
二、周期函数周期函数是指函数在自变量增加或减少一个周期后，函数值保持不变的函数。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数等三角函数。
周期函数的性质如下：1. 周期性：如果函数 f(x) 是周期为 T 的周期函数，那么对于任意的x 和正整数 k，都有 f(x + kT) = f(x)。
2. 周期的计算：对于三角函数，周期 T 可以通过函数的周期公式推导得出，例如正弦函数的周期为2π。
周期函数在科学和工程领域有广泛的应用，在描述物体振动、电磁波传播等现象时发挥重要作用。
周期函数的性质使得我们能够更好地理解和分析这些周期性的现象。
三、函数的奇偶性与周期性的关系奇函数和偶函数可以看作是周期函数的特殊形式。
事实上，任何一个周期函数都可以表示为奇函数和偶函数的和。
具体来说，如果一个函数 f(x) 是奇函数或偶函数，并且具有周期 T，那么它也是一个周期函数。
奇偶函数归纳总结
奇偶函数归纳总结在数学中，奇偶函数是一类具有特殊性质的函数。
奇函数和偶函数是对称的关系，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将讨论奇偶函数的定义、性质和一些常见的例子。
定义首先，让我们来了解奇函数和偶函数的定义。
1.奇函数：对于任意实数 x，如果有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 称为奇函数。
换句话说，奇函数具有关于原点对称的性质。
例如，sin(x) 和 x^3 都是奇函数。
2.偶函数：对于任意实数 x，如果有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 称为偶函数。
换句话说，偶函数具有关于 y 轴对称的性质。
例如，cos(x) 和 x^2 都是偶函数。
需要注意的是，一个函数可以既是奇函数又是偶函数。
具体而言，当且仅当函数 f(x) 满足对任意 x 都有 f(-x) = f(x)，即具有关于原点对称的性质时，函数同时是奇函数和偶函数。
一个常见的例子是常数函数 f(x) = 0，也称为零函数。
性质接下来，让我们来探讨奇偶函数的一些基本性质。
1.奇函数与奇函数的性质：–奇函数与奇函数的和仍然是奇函数。
即，如果 f(x) 和 g(x) 都是奇函数，则 f(x) + g(x) 也是奇函数。
–奇函数与奇函数的乘积仍然是偶函数。
即，如果 f(x) 和 g(x) 都是奇函数，则 f(x) × g(x) 是偶函数。
2.偶函数与偶函数的性质：–偶函数与偶函数的和仍然是偶函数。
即，如果 f(x) 和 g(x) 都是偶函数，则 f(x) + g(x) 也是偶函数。
–偶函数与偶函数的乘积仍然是偶函数。
即，如果 f(x) 和 g(x) 都是偶函数，则 f(x) × g(x) 也是偶函数。
3.奇函数与偶函数的性质：–奇函数与奇函数的和是偶函数。
即，如果 f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则 f(x) + g(x) 是偶函数。
–奇函数与奇函数的乘积是奇函数。
即，如果 f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则 f(x) × g(x) 是奇函数。
特殊函数初步认识和应用
特殊函数初步认识和应用一、指数函数1.定义：形如f(x) = a^x（a > 0 且a ≠ 1）的函数称为指数函数。
a)指数函数是单调函数；b)当a > 1时，指数函数是增函数；c)当0 < a < 1时，指数函数是减函数；d)指数函数的图像过（0，1）点。
二、对数函数1.定义：形如f(x) = log_a(x)（a > 0 且a ≠ 1）的函数称为对数函数。
a)对数函数是单调函数；b)当a > 1时，对数函数是增函数；c)当0 < a < 1时，对数函数是减函数；d)对数函数的图像过（1，0）点。
三、三角函数1.正弦函数：f(x) = sin(x)2.余弦函数：f(x) = cos(x)3.正切函数：f(x) = tan(x)a)三角函数是周期函数；b)三角函数具有奇偶性；c)三角函数的图像具有一定的对称性。
四、反三角函数1.反正弦函数：f(x) = arcsin(x)2.反余弦函数：f(x) = arccos(x)3.反正切函数：f(x) = arctan(x)a)反三角函数是单调函数；b)反三角函数的定义域和值域有限。
五、双曲函数1.双曲正弦函数：f(x) = sinh(x)2.双曲余弦函数：f(x) = cosh(x)3.双曲正切函数：f(x) = tanh(x)a)双曲函数是单调函数；b)双曲函数的图像具有一定的对称性。
六、反双曲函数1.反双曲正弦函数：f(x) = arcsinh(x)2.反双曲余弦函数：f(x) = arccosh(x)3.反双曲正切函数：f(x) = arctanh(x)a)反双曲函数是单调函数；b)反双曲函数的定义域和值域有限。
七、函数的应用1.函数图像的变换：平移、缩放、翻折等；2.函数解析式的求解：换元法、不等式法、方程法等；3.函数的性质分析：单调性、奇偶性、周期性等；4.函数的实际应用：物理、化学、经济学等领域。
几类特殊的函数
2
5
，
(3)对于(2)中的函数 f 和函数 g ＝ x 2－ mx ＋4，若对任意 x 1∈
1，3 ，总存在 x 2∈ 1，3 ，使得 g 2 ＝ f 1 成立，求实数 m 的取
值范围.
[解]
由(2)知 f 1 ∈
9
0，
5
时，若存在 x 2∈ 1，3 ，
2，故选项A错误；
当 a ＝－1时， f (－ x )＝
1
−＋
＝ −
1
＝ f ( x )，所以 f ( x )为偶函数，
1
当 x ∈(0，1)时， f ( x )＝－ x ＋ ，易知函数 f ( x )在区间(0，1]上单调递
1
减，当 x ∈[1，＋∞)时， f ( x )＝ x － ，易知函数 f ( x )在区间(1，＋∞)上
2
所以④是正确的.
2
2
1
＋ ＋ ＝2 n ， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ；
2
1
＋ ＋ ＝2 n ＋1， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ＋1，
2
方法总结
1.对于函数的新定义试题的求解:(1)根据函数的定义,可通过举出反例,说
明不正确; (2)正确理解函数的定义的内涵,紧紧结合定义进行推理、论
③④
.
① ＝ ； ② ＋ ＝ ＋ ；
③ + 1 ＝ ＋1；④ ＋
1
＋
2
＝ 2 .
对于①中，例如 1.5 × 1.5 ＝ 2.25 ＝2， 1.5 1.5 ＝1×1＝1，所以不
正确；
对于②中，例如 1.5 + 1.5 ＝ 3 ＝3， 1.5 ＋ 1.5 ＝2，所以不正确；
五大奇函数
五大奇函数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：五大奇函数，即五大特殊的函数类型，它们有着各自独特的性质和特点，常常被数学爱好者和专业人士们津津乐道。
今天，我们就来一起探究这五大奇函数的奥秘。
第一大奇函数是三角函数中的反三角函数。
我们都知道，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等，而反三角函数则是这些三角函数的反函数。
最常见的反三角函数就是arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等等。
反三角函数在解决各种复杂的三角函数方程式和求解角度相关问题时特别有用，是数学中的重要工具。
第二大奇函数是幂函数与指数函数。
幂函数指的是形如f(x) = x^n 的函数，其中n是一个实数，指数函数指的是形如f(x) = a^x的函数，其中a是一个常数。
这两种函数在数学中起到非常重要的作用，比如在解决复杂的微积分问题、方程式求解、以及在物理、工程等领域的应用方面都有着广泛的应用。
第五大奇函数是双曲函数。
双曲函数是一类与三角函数类似的函数，通常表示为sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)等等。
双曲函数在数学分析、微积分、研究粒子物理等领域都有着广泛的应用，特别是在解决复杂的微积分问题、求导、积分等方面非常有用。
五大奇函数各自有着独特的特点和应用领域，它们构成了数学中重要的一部分，对于提升数学水平、解决实际问题、推动科学技术进步都起着至关重要的作用。
希望大家能够深入了解这五大奇函数，掌握它们的性质和应用，为自己的数学学习和工作带来更多的启发和收获。
【本文2000字】第二篇示例：自然对数函数是一个十分重要的函数，常用符号为ln(x)。
它的定义域为正实数，值域为所有实数。
自然对数函数的图像呈现出一种急剧增长的趋势，这也是它特殊的地方。
自然对数函数在数学中有着广泛的应用，尤其在微积分和数论等领域。
一些重要的数学定理和公式都可以通过自然对数函数得到简洁的表达形式。
正弦函数和余弦函数是最为常见的周期函数之一，它们的图像呈现出规律性的波动。
函数的特殊函数与常微分方程
函数的特殊函数与常微分方程1. 函数的特殊函数函数的特殊函数是指在数学物理等领域中具有重要应用的特殊函数。
这些函数通常具有复杂的数学性质，但它们在解决许多物理问题和工程问题中发挥着至关重要的作用。
常见的特殊函数包括：•伽马函数：伽马函数是推广阶乘到复数领域的函数。
它在概率论、统计学和物理学等领域有广泛的应用。
•贝塞尔函数：贝塞尔函数是二阶线性齐次常系数微分方程的解。
它在波动学、声学和电磁学等领域有广泛的应用。
•勒让德多项式：勒让德多项式是正交多项式的一种。
它在数学物理学和工程学等领域有广泛的应用。
•切比雪夫多项式：切比雪夫多项式是正交多项式的一种。
它在数值分析和计算机科学等领域有广泛的应用。
•埃尔米特多项式：埃尔米特多项式是正交多项式的一种。
它在量子力学和概率论等领域有广泛的应用。
2. 常微分方程常微分方程是指只含有一个自变量和一个未知函数及其导数的方程。
常微分方程在数学物理学和工程学等领域有广泛的应用。
常见的常微分方程类型包括：•一阶线性齐次常系数微分方程：一阶线性齐次常系数微分方程是最简单的常微分方程之一。
它的解可以表示为指数函数的线性组合。
•二阶线性齐次常系数微分方程：二阶线性齐次常系数微分方程是比一阶线性齐次常系数微分方程更复杂的常微分方程。
它的解可以表示为正交多项式的线性组合。
•非线性微分方程：非线性微分方程是指未知函数的导数不是线性函数的微分方程。
非线性微分方程通常很难求解，但它们在物理学和工程学等领域有广泛的应用。
3. 函数的特殊函数与常微分方程的关系函数的特殊函数与常微分方程有着密切的关系。
许多特殊函数都是常微分方程的解。
例如，伽马函数是二阶线性齐次常系数微分方程的解，贝塞尔函数是零阶贝塞尔微分方程的解，勒让德多项式是勒让德微分方程的解，切比雪夫多项式是切比雪夫微分方程的解，埃尔米特多项式是埃尔米特微分方程的解。
利用函数的特殊函数可以求解许多常微分方程。
例如，可以使用伽马函数求解一阶线性齐次常系数微分方程，可以使用贝塞尔函数求解零阶贝塞尔微分方程，可以使用勒让德多项式求解勒让德微分方程，可以使用切比雪夫多项式求解切比雪夫微分方程，可以使用埃尔米特多项式求解埃尔米特微分方程。
高中数学教案 拓展视野5 几类特殊函数
几类特殊函数对勾函数、飘带函数1.对勾函数y ＝ax ＋bx (a ＞0，b ＞0)(1)性质①奇偶性：奇函数.②单调性：单调递增区间：(－∞，－b a)，(ba ，＋∞)；单调递减区间：(－ba，0)，(0，b a).③渐近线：y ＝ax 和x ＝0.(2)图象2.飘带函数y ＝ax －bx (a ＞0，b ＞0)(1)性质①奇偶性：奇函数.②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增.③渐近线：x ＝0.(2)图象例1(多选)已知函数f (x )＝x －ax(a ≠0)，下列说法正确的是()A.当a ＞0时，f (x )在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.当a＞0时，f(x)的值域为R解析：BCD当a＞0时，f(x)＝x－ax，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋4x为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋4x≥2x·4x＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋4x＝－（－x）＋（－4x）≤－2（－x）×（－4x）＝－4(当且仅当x＝－2时取等号).故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确.尝试训练1形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.已知函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a＝.解析：由对勾函数的性质，可得f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.①当a≤2，即0＜a≤4时，f(x)在[2，4]上单调递增，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f(2)＝4＋a4－2－a2＝2－a4＝1，解得a＝4.②当a≥4，即a≥16时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(4)＝2＋a2－4－a4＝a4－2＝1，解得a＝12(舍去).③当2＜a＜4，即4＜a＜16时，f(x)在[2，a)上单调递减，在(a，4]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝2a ，f (x )max ＝f (2)或f (4).当f (x )max ＝f (2)时，f (x )max －f (x )min ＝f (2)－f (a )＝2＋a2－2a ＝1，解得a ＝2＋2或a ＝2－2(舍去)，则a ＝6＋42，经验证，符合题意.当f (x )max ＝f (4)时，f (x )max －f (x )min ＝f (4)－f (a )＝4＋a4－2a ＝1，解得a ＝6或a ＝2，即a ＝36(舍去)或a ＝4(舍去).综上，a 的值为4或6＋4 2.答案：4或6＋42高斯函数、狄利克雷函数、最值函数1.高斯函数y ＝[x ](1)定义：不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x ]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y ＝[x ]称为高斯函数，又称取整函数.(2)性质①定义域：R ；值域：Z .②不具有单调性、奇偶性、周期性.(3)图象2.狄利克雷函数D (x )，x ∈Q ，，x ∉Q的性质(1)定义域R ；值域{0，1}.(2)奇偶性：偶函数.(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.3.最值函数的概念设min{a ，b }，a ≤b ，，a ＞b ，max{a ，b }，a ≥b ，，a ＜b .直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.例2(1)(多选)(2024·金华调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝e x1＋e x－12，函数g(x)＝[f(x)]，则下列命题中为真命题的是()A.g(x)图象关于x＝0对称B.f(x)是奇函数C.f(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是{－1，0，1}解析：BC根据题意，知f(x)＝e x1＋e x－12＝1＋e x－11＋e x－12＝12－11＋e x.∵g(1)＝[f(1)]＝e1＋e－12＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝1e＋1－12＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数y＝g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不关于直线x＝0对称，A错误；y＝f(x)的定义域为R，∵f(－x)＝e－x1＋e－x－12＝11＋e x－12＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；任取x1＞x2，f(x1)－f(x2)＝(12－11＋e x1)－(12－11＋e x2)＝11＋e x2－11＋e x1＝e x1－e x2（1＋e x1）（1＋e x1），∵x1＞x2，则e x1＞e x2，即e x1－e x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝12－11＋e x在R上是增函数，C正确；∵e x＞0，∴1＋e x＞1，∴0＜11＋e x＜1，则－12＜12－11＋e x＜12，即－12＜f(x)＜12，∴g(x)＝[f(x)]的值域为{－1，0}，D错误.(2)(多选)(2024·济南质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)，x∈Q，，x∈∁R Q，称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是()A.函数y＝f(x)的图象是两条直线B.f(f(x))＝1C.f(3)＞f(1)D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)解析：BD对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确；对于C，f(3)＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f(3)，C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确.(3)若函数f(x)＝|sin x＋23＋sin x＋t|(x，t∈R)的最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为.解析：设u ＝sin x ＋23＋sin x ＝(sin x ＋3)＋2sin x ＋3－3，由3＋sin x ∈[2，4]，故u ∈0，32，原题可化为φ(u )＝|u ＋t |的最大值记为g (t )，于是g (t )＝＋t |，|32＋t＝|，|32＋tg (t )的图象如图所示，＝－t ，＝t ＋32，＝－34，＝34.即g (t )的最小值为34.答案：34尝试训练2设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f (x )＝4x －12－3×2x ＋4(0＜x ＜2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为()A.－12，B.{－1，0，1}C.{－1，0，1，2}D.{0，1，2}解析：Bf (x )＝4x －12－3×2x ＋4(0＜x ＜2)，令t ＝2x ，t ∈(1，4)，可得g (t )＝12t 2－3t ＋4＝12(t －3)2－12，g (t )在(1，3]上递减，在[3，4)上递增，当t ＝3时，g (t )有最小值g (3)＝－12，又因为g (1)＝32，g (4)＝0，所以当t ∈(1，4)时，g (t )∈－12，即函数f (x )的值域为－12，当f (x )∈－12，[f (x )]＝－1；f (x )∈[0，1)时，[f (x )]＝0；f (x )∈1[f (x )]＝1.所以y ＝[f (x )]的值域是{－1，0，1}.一次分式函数1.定义：我们把形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0，ad ≠bc )的函数称为一次分式函数.2.图象3.性质(1)|x ≠|y (2)对称中心：(－b a ，ca )；(3)渐近线方程：x ＝－b a 和y ＝ca；(4)单调性：当ad ＞bc 时，函数在区间(－∞，－b a )和(－ba ，＋∞)分别单调递减；当ad ＜bc 时，函数在区间(－∞，－b a )和(－ba，＋∞)分别单调递增.例3已知函数f(x)＝ax＋2－ax＋1，其中a∈R.(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.解：(1)f(x)＝ax＋2－ax＋1＝a（x＋1）＋2－2ax＋1＝a＋2－2ax＋1，所以f(x)的对称中心为点(－1，a)，由题意得a＝3.(2)由f(x)＝ax＋2－ax＋1知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当1×(2－a)＞1×a，即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是(－∞，1).尝试训练3函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8解析：D函数y＝11－x与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8.。
特殊函数概论 pdf
特殊函数概论
●特殊函数是指具有特定性质的函数，这些性质可能包括：
1.名称和记号：特殊函数通常有约定俗成的名称和记号，例如伽玛
函数、贝塞尔函数等。
2.应用领域：特殊函数在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应
用等领域有着广泛的应用。
3.定义：特殊函数的定义可能涉及积分、微分方程等数学概念。
4.类型：特殊函数有多种类型，如单值函数、抽象函数、显函数、隐
函数、多项式函数、有理函数等。
特殊函数是一类具有特定性质并且在数学、物理、工程等领域有着广泛应用的重要函数。
●特殊函数在多个领域都有应用场景。
在物理学中，特殊函数经常用于描述波动现象、量子力学、电磁学和相对论等现象。
例如，贝塞尔函数可用于描述圆形波的传播和散射，勒让德多项式可用于描述球形波的传播和散射，超几何函数可用于描述量子力学中的谐振子系统，阿贝尔函数可用于描述电磁场中的振荡。
在工程学中，特殊函数通常用于解决微积分、微分方程和复杂算法等问题。
例如，贝塞尔函数可用于计算垂直于圆柱体表面的电场分布，连带勒让德函数可用于计算球形空腔中的电场分布，椭圆函数可用于计算椭圆形轨道的运动轨迹。
在计算机科学中，特殊函数常用于图像处理、信号处理和数据分
析等领域。
例如，傅里叶变换中的正弦和余弦函数是贝塞尔函数的特例，它们可用于数字信号处理中的频域分析和滤波。
此外，在金融和经济学科中，有些特殊函数也经常出现，例如在复利计算中，我们经常用到的是指数函数；在拟合时间序列数据时，我们可能会用到ARIMA模型等统计模型，其中会涉及多项式函数等。
总之，特殊函数的应用场景非常广泛，包括但不限于物理学、工程学、计算机科学、金融和经济学科等。
常见的偶函数
常见的偶函数偶函数是一种特殊的函数，它具有一些独特的性质和特征。
在数学中，偶函数是指在定义域上满足$f(-x)=f(x)$的函数。
简单来说，就是关于y轴对称的函数。
本文将介绍一些常见的偶函数及其性质。
1. 余弦函数余弦函数是最常见的偶函数之一，它的定义域是实数集。
余弦函数的图像是一条关于y轴对称的波形，具有周期性和连续性。
余弦函数在数学和物理中都有广泛的应用，如调和分析、波动现象等。
余弦函数的性质有：（1）$f(-x)=cos(-x)=cos(x)$，即余弦函数是偶函数。
（2）余弦函数的周期为$2pi$。
（3）余弦函数在$x=frac{pi}{2}+kpi$处取最小值$-1$，在$x=kpi$处取最大值$1$。
2. 正弦函数正弦函数也是一种常见的偶函数，它的定义域是实数集。
正弦函数的图像也是一条关于y轴对称的波形，具有周期性和连续性。
正弦函数在数学和物理中也有广泛的应用，如调和分析、波动现象等。
正弦函数的性质有：（1）$f(-x)=sin(-x)=-sin(x)$，即正弦函数是奇函数。
（2）正弦函数的周期为$2pi$。
（3）正弦函数在$x=kpi$处取最小值$-1$，在$x=frac{pi}{2}+kpi$处取最大值$1$。
3. 幂函数幂函数是一类形如$f(x)=x^n$的函数，其中$n$为正整数。
当$n$为偶数时，幂函数是偶函数；当$n$为奇数时，幂函数是奇函数。
幂函数的图像具有关于原点对称的性质。
幂函数的性质有：（1）当$n$为偶数时，$f(-x)=(-x)^n=x^n=f(x)$，即幂函数是偶函数。
（2）当$n$为奇数时，$f(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x)$，即幂函数是奇函数。
（3）幂函数在定义域上为单调增函数（$n>0$）或单调减函数（$n<0$）。
4. 反比例函数反比例函数是一类形如$f(x)=frac{a}{x}$的函数，其中$a$为常数。
反比例函数的图像具有关于y轴对称的性质。
电磁场理论中的特殊函数应用
电磁场理论中的特殊函数应用在电磁场理论中，特殊函数是一类具有特殊性质和广泛应用的数学函数。
它们在电磁场的描述和分析中起着重要的作用。
本文将介绍几个常见的特殊函数及其在电磁场理论中的应用。
一、贝塞尔函数贝塞尔函数是解决电磁波在球坐标系下的传播和辐射问题时必不可少的数学工具。
贝塞尔函数的定义如下：\[J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta) d\theta\]其中，\(n\)为函数的阶数，\(x\)为自变量。
贝塞尔函数具有以下性质：正交性、递推关系和复合关系等。
贝塞尔函数在电磁场理论中的应用非常广泛。
例如，当我们研究球面波在辐射场中的传播时，可以利用贝塞尔函数来表示电场和磁场的径向分量。
此外，贝塞尔函数还可以用于求解辐射和散射问题，例如天线辐射、声波传播等。
二、勒让德函数勒让德函数是解决电磁场在球坐标系和柱坐标系下的描述问题时常用的特殊函数。
勒让德函数的定义如下：\[P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} (x^2 - 1)^l\]其中，\(l\)为函数的阶数，\(x\)为自变量。
勒让德函数具有正交性和归一化性等重要性质。
勒让德函数在电磁场理论中有广泛的应用。
例如，在球坐标系中，我们可以用勒让德函数展开电磁场的角度分量，从而得到辐射场和散射场的解析表达式。
此外，勒让德函数还可以用于计算球谐函数，它是电磁场理论中的重要数学工具。
三、傅里叶变换傅里叶变换是研究信号在时域和频域之间转换的数学工具。
在电磁场理论中，傅里叶变换可以用于分析电磁波的频谱特性。
傅里叶变换的定义如下：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt\]其中，\(f(t)\)为被变换的函数，\(\omega\)为频率。
傅里叶变换具有线性性和平移性等重要性质。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
高中函数四大性质及函数图像变换
单调性一，知识点1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，其本质是某个区间的割线斜率。
函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.函数的单调性是对某个区间而言的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，写单调区间时，一般写成闭区间．但必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点．2.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减，单调区间用逗号或区间联立。
三、函数的单调性常见公式应用(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.（3）在公共定义域内增+增=增 减+减=减 增-减=增 减-增=减 如果f(x)为增函数，则-f(x)，1/f(x)为减函数， )(x f 为增函数 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数； 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数；如果函数)(u f y =和 )(x g u =在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数)]([x g f y =是减函数（概括就是同增异减）奇偶性一、 知识点（1）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数特有性质f(x)=f(-x)=f(/x/)（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.二、疑难知识导析对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.三、奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数四、常见结论1、若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.若函数)(x f y =是奇函数，则f(x+a)=-f(-x-a);若函数)(a x f y +=是奇函数，则 f(x+a)=-f(-x+a)2、多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.3、函数根据奇偶性可分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．4、奇函数y ＝f(x)若在x ＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.5、奇函数在整个定义域上单调性一致，偶函数在整个定义域上单调性相反6、常见的奇偶函数为奇函数为奇函数为奇函数为偶函数)12^(log )(11log )(^/1^)(^/1^)(++=-+=-=+=x x x f xx x f x a x a x f x a x a x f a a 7、设f(x)是定义域内关于原点对称的任意一个函数，则G(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 H(x)=f(x)-f(-x) 为奇函数周期性1、周期函数定义域必须为R2、几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）若)()(a x f x f +-=，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6)f(x+a)f(x+b)=c 则f(x)的周期T=2|a-b|(7))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.(8)在三角函数Y=sin （wx+a ）中，相邻的对称中心是半个周期，相邻的对称轴是半个周期，对称中心和相邻的对称轴是四分之一个周期。
初中学过的4类函数
初中学过的4类函数正比例函数一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。
函数值y随着自变量x的增大而增大．当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。
自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
一次函数基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。
表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。
可表示为y=kx。
反比例函数一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量X 的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹。
反比例函数的图像属于以原点对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
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§1 . 2四类具有特殊性质的函数(一)教学目的:理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判断函数是否具有这些性质.（二）教学内容：函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法. 基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念,掌握其判断方法.（三）教学重点：有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数.（四）教学难点：有界函数的概念教学建议：(1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性.（五）教学方法：以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习。
（六）计划课时：2课时.（七）教学过程：在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。
其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本12-13页）。
一、 有界函数1、定义 设函数)(x f 在数集A 有定义。
若函数值的集合{}A x x f A f ∈=)()(有上界（有下界、有界），则称函数)(x f 在A 有上界（有下界、有界），否则称函数)(x f 在A 无上界（无下界、有无界）.列表如下:注意:函数)(x f 在数集A 有上界（有下界、有界）必有无限多个上界(无限多个下界、无限多个界)。
2、函数)(x f 在区间[]b a ,有界的几何意义：函数)(x f 在区间[]b a ,上的图像位于以二直线M y M y -==与为上、下边界的带形区域之内，如右下图：3、举例如下例1、正弦函数x y x y cos sin ==余弦函数与在R 有界，如下图所示：说明：1cos 1sin ,,01≤≤∈∀>=∃x x R x M 与有例2、反正切函数x y arctan =与反余切函数x arc y cot =在R 有界，如x下图所示： 说明：2arctan ,,02ππ<∈∀>=∃x R x M 有，ππ<∈∀>=∃x arc R x M cot ,,0有.例3、数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+2)1(1n 与⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1有界. 说明：有,,01+∈∀>=∃N n M 12)1(1≤-+n; 有,,02+∈∀>=∃N n M 21≤+n n .例4、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 在R 有下界无上界.如图 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在区间),0(+∞既无上界也无下界.如图说明：1)、0),1,0(,,0>≠>∀∈∀=∃x a a a a R x P 有,即指数函数x a y =在R 有下界2)、q a R x q q xq >∈∃>∀有,,0 3)、同理可证,)1,0(≠>∀a a a , 对数函数x y a l o g =在区间),0(+∞既无上界也无下界.例5、数列{}n 有下界无上界;数列{}n n )1(-既无上界也无下界.说明：1)、,1≤∀a 都是数列{}n 的下界;b n N n b >∈∃>∀+00,,0有,即数列{}n 有下界无上界.2)、⎪⎩⎪⎨⎧-<+-=+-∈∃>=-∈∃>∀+++.)12()12()1(,,22)1(,,0122b k k N k b k k N k b k k 有有.即数列{}n n )1(-既无上界也无下界.二、 单调函数1、定义 设函数)(x f 在数集A 有定义.若A x x ∈∀21,,且21x x <,有 )()(21x f x f < ))()((21x f x f >,称函数)(x f 在A 严格增加(严格减少).上述不等式若改为)()(21x f x f ≤ ))()((21x f x f ≥,则称函数)(x f 在A 单调增加(单调减少).说明: 1）函数)(x f 在A 严格增加、严格减少与单调增加、单调减少统称为函数)(x f 在A 单调;2）严格增加、严格减少统称为严格单调;3)若A 是区间,则称此区间为函数)(x f 的单调区间.2、举几个单调函数的例子例6. 1) 指数函数x a y =:当1>a 时,在R 严格增加;当 10<<a 时,在R 严格减少,如图2) 对数函数x y a log =:当1>a 时,在区间),0(+∞严格增加; 当 10<<a 时,在),0(+∞严格减少,如图3) 反正切函数x y arctan =在R 严格增加,如图4) 反余切函数x arc y cot =在R 严格减少,如图5) 反正弦函数x y arcsin =的值域限定在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上,称为反正弦函数的主值,则反正弦函数x y arcsin =在区间[]1,1-严格增加,如图6) 反余弦函数x y arccos =的值域限定在闭区间[]π,0上,称为反余弦函数的主值,则反余弦函数x y arccos =在区间[]1,1-严格减少,如图 例7. 函数[]x y =与x y sgn =在R 都是单调增加(注意:并不是严格增加),如下图所示:说明: R x x ∈∀21,,且21x x <,有[][]21x x ≤ 与 21sgn sgn x x ≤.例8. 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1,{}!n ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n 都是严格增加;数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1,⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1,{}n -都是严格减少.三、 奇函数与偶函数1、定义 设函数)(x f 定义在数集A.若A x ∈∀有A x ∈-，且)()(x f x f -=- （)()(x f x f =-），则称函数)(x f 是奇函数（偶函数）.说明：1）奇函数的图像关于原点对称.如果点),(00y x 在奇函数)(x f y =的图像上，即)(00x f y =，故有000)()(y x f x f -=-=-，即),(00y x --也在奇函数)(x f y =的图像上,如下图所示.2）偶函数的图像关于y 轴对称. 如果点),(00y x 在偶函数)(x f y =的图像上，即)(00x f y =，故有000)()(y x f x f ==-，即),(00y x -也在偶函数)(x f y =的图像上,如上图所示.3）讨论奇偶性的前提是定义域关于原点对称.因此,例如函数(),[0,1]f x x x =∈,没有必要讨论它的奇偶性。
4）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≡⎩奇函数:y=sinx 偶函数:y=sgnx 非奇非偶函数:y=sinx+cosx 既奇又偶函数:y 0. 5）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可。
2、举例如下例9、正弦函数x y sin =是奇函数，x y cos =余弦函数是偶函数,如图说明: R x ∈∀,有R x ∈-,且 x x s i n )s i n(-=-与x x cos )cos(=-. 例10、反正弦函数x y arcsin =是奇函数.反正切函数x y arctan =也是奇函数,如图说明: 1)[]1,1-∈∀x ,有[]1,1-∈-x ,且.arcsin )arcsin(x x -=-2) R x ∈∀,有R x ∈-,且.arctan )arctan(x x -=- 例11、幂函数k x y 2=是偶函数；12+=k x y 是奇函数，（N k ∈）。
如图 说明：R x ∈∀,有R x ∈-，且 k k x x 22)(=-与1212)(++-=-k k x x四、 周期函数1、定义 设函数)(x f 定义在数集A.若,0>∃l A x ∈∀，有A l x ∈± 且)()(x f l x f =±，则称)(x f 是周期函数， l 称为)(x f 的一个周期.说明: 若 l 是)(x f 的周期,则 l 2也是)(x f 的周期.因为由)()(x f l x f =±得[][]⎩⎨⎧=-=--=-=+=++=+)()()()2()()()()2(x f l x f l l x f l x f x f l x f l l x f l x f ,即)()2(x f l x f =±,用数学归纳法可证明,若l 是)(x f 的周期,则 )(+∈N n l n 也是)(x f 的周期.2)若)(x f 有最小的正周期,则称为)(x f 的基本周期,简称周期.2、举例如下例12、正弦函数x y sin =与x y cos =余弦函数都是在R 上以π2为周期的周期函数，如图说明：R x ∈∀，有R x ∈±π2，且 x x s i n)2s i n (=±π 与x x cos )2cos(=±π. 例13、正切函数x y tan =与余切函数x y cot =都是在定义域上以π为周期的周期函数，如图说明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-∈∀z k k R x 2ππ，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-∈±z k k R x 2πππ，且 x x t a n )t a n (=±π {}z k k R x ∈-∈∀π,有{}z k k R x ∈-∈⨯∀ππ,且x x cot )cot(=±π 例14、函数{}[]x x x x f y -===)(是在R 上是以1为周期的周期函数,如图说明: R x ∈∀,有R x ∈±1,且{}[][][]{}{}[][][]{}⎩⎨⎧==-=--+=+-+=+=+==-=+--=---=-=-)(111)1(1)1()(111)1(1)1(x f x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x f , 故有 {}{}x x =±1 , 即 )()1(x f x f =±,如下图所示:。