2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练

果！
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【思维点拨】 题型五三角函数求值问题
例
1
已知
0,
π 2
，
tan
2
，则 cos
π 4
.
3 10
【答案】
10 【解析】由 tan 2得 sin 2 cos 又 sin2 cos2 1 ，
所以 cos2 1 5
.因为
0,
2
，所以 cos
5 ， sin 2
5
D．(－ 3，1) 22
(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(－4,3)，则
cos(
) sin(
)
2 cos(11
) sin(9
)
的值为________．
2
2
【答案】（1）A（2）－3 4
【解析】(1)设 Q 点的坐标为(x，y)，
则 x＝cos2π＝－1，y＝sin2π＝ 3.
【思维点拨】
解三角函数的给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或所给条件；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
例 3 若 sin 2α＝
5，sin(β－α)＝
10，且α∈
π，π 4
，β∈
π，3π 2
，则α＋β的值是(
)
5
10
A.7π 4
C.5π或7π 44
②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A 倍(横坐标 x 不变).
2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.
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例 2 函数 y sin 2x 的部分图像大致为（ ）. 1 cos x
【答案】C
【解析】由题意知，函数
tan α＋tan ＝
π 4＝
2＋1
＝－3.
1－tan αtan π 1－2×1
4
(2)
sin 2α
sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1
＝
2sin αcos α
sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝ 2tan α ＝ 2×2 ＝1. tan2α＋tan α－2 4＋2－2
【易错点】
32
32
∴Q 点的坐标为(－1， 3)． 22
(2)原式＝－sin α·sin α＝tan α. －sin α·cos α
根据三角函数的定义，
得 tan α＝y＝－3， x4
∴原式＝－3. 4
【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练
【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求
1 2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度，得到曲
线 C2
D.把
C1
上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π 12
个单位长度，得到曲
线 C2
【答案】D
【解析】（1）
C1 :
y
cos
x
C2 ，
:
y
sin
2
x
2π 3 ，首先曲线 C1 、C2
统一为一三角函数名，可将 C1 :
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2020 年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
例 1 （1）点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向运动2π弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为( ) 3
A．(－1， 3) 22
B．(－ 3，－1) 22
C．(－1，－ 3) 22
y
cos x
用诱导公式处理．
y
cos
x
cos
x
π 2
π 2
sin
x
π 2
．横坐标变换需将
1
变成
2
，即
y
sin
x
π 2
C1上各点横坐标缩短它原来12
y
sin
2x
π 2
sin
2
x
π 4
y
sin
2
x
2π 3
sin
2
x
π 3 ．
注意
的系数，在右平移需将
2
提到括号外面，这时
x
π 4
【易错点】
【思维点拨】解答技巧，方法策略等
题型六 简单的三角恒等变换
cos10(1 3 tan 30)
例 1(2018·新疆第二次适应性检测)
cos 50
的值是________．
【答案】2
【解析】依题意得cos 10° 1＋ 3tan 10° ＝cos 10°＋ 3sin 10°＝2sin 10°＋30° ＝2sin 40°＝2.
.
5
5
因为
cos
4
cos
cos
sin
sin
4
，
所以
cos
4
5 5
22 5 25
2 3
10
.
2 10
【易错点】
【思维点拨】
例 2（1）若 tan 3 ，则 cos2 2 sin 2 （
）
4
(A) 64 25
(B) 48 25
(C) 1
(D) 16 25
（2） sin 20 cos10 cos160 sin10 （
B．2，－π 6
C．4，－π 6
D．4，π 3
【答案】A
【解析】 (1)因为T＝11π－5π，所以 T＝π.又 T＝2π(ω>0)，所以2π＝π，所以ω＝2.
2 12 12
ω
ω
又 2×5π＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，且－π<φ<π，故φ＝－π.
12
2
22
3
【易错点】求φ时，容易忽略讨论 k
【思维点拨】
平移至
x
π 3
，根据“左加右减”原则，“
x
π 4
”
x π
π
π
到“ 3 ”需加上 12 ，即再向左平移 12 ．故选 D.
【易错点】函数图像水平方向平移容易出错
【思维点拨】平移变换理论
(1)平移变换:
①沿 x 轴平移,按“左加右减”法则;
②沿 y 轴平移,按“上加下减”法则.
(2)伸缩变换:
①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标 y 不变);
6
6
3
当 2kπ－π≤2x－π≤2kπ＋π(k∈Z)，
23
2
即 kπ－ π ≤x≤kπ＋5π(k∈Z)时，
12
12
g(x)单调递增，
因此 g(x)的单调递增区间为[kπ－ π ，kπ＋5π](k∈Z)．
12
12
【易错点】
【思维点拨】
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题型四三角函数范围问题
例 1 函数 f x sin2 x
解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的
原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
题型二 三角函数的图象及应用
例
1
已知曲线 C1：y
cosx ， C2：y
sin
2x
又 0<|φ|<π， 2
可得φ＝－π， 3
所以 f(x)＝2sin ωx，由题意得2π＝2·π，所以ω＝2. ω2
故 f(x)＝2sin 2x.
因此 f(π)＝2sinπ＝ 3.
6
3
(2)将 f(x)的图象向右平移π个单位后，得到 f(x－π)的图象，
6
6
所以 g(x)＝f(x－π)＝2sin[2(x－π)]＝2sin(2x－π)．
0，π
－π，π
若角的范围是 2 ，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为 2 2 ，
选正弦函数较好．
【巩固训练】
题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
1. 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P 4, y 是角 终边上一点，且 sin 2 5 ，
－
3，
2
2
2
2源自文库
2
因此 f(x)的最小正周期为π，最大值为2－ 3. 2
(2)当 x∈
π，2π 63
时，0≤2x－π≤π，从而当 0≤2x－π≤π，即π≤x≤5π时，
3
3 2 6 12
f(x)单调递增，
当π≤2x－π≤π，即5π≤x≤2π时，
23
12 3
f(x)单调递减．
π，5π
5π，2π
综上可知，f(x)在 6 12 上单调递增；在 12 3 上单调递减．
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题型三 三角函数性质
例 1 （1）已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋ 3cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<π)为奇函数，且函数 y＝f(x)的图象的两相 2
邻对称轴之间的距离为π. 2
(1)求 f(π)的值； 6
(2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)的单调递增区间． 6
y
sin 2x 1 cos x
为奇函数，故排除
B；当
x
时，
y
0
，排除
D；当
x
1
时，
y
sin 2 1 cos
2
0
，排除
A.故选
C.
【易错点】函数图形判断通过过排除法
【思维点拨】
ω>0，－π<φ<π
例 3 函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)
2 2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－π 3
【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为2－
3,（2）f(x)在
π，5π 6 12
上单调递增；在
5π，2π 12 3
上单调递
2
减
【解析】
π－x (1)f(x)＝sin 2 sin x－
3cos2x
＝cos xsin x－
3(1＋cos 2x)＝1sin 2x－
3cos 2x－
3＝sin
2x－π 3
cos 50°
cos 50°
cos 50°
sin 40°
【易错点】
【思维点拨】解答技巧，方法策略等 例 2 已知 tan α＝2.
α＋π (1)求 tan 4 的值；
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(2)求
sin 2α
的值．
sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1
【答案】（1）-3（2）1
【解析】(1)tan
α＋π 4
）
A． 3 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1 2
【答案】（1）A（2） 1 2
【解析】（1）由 tan
sin cos
3 4
， cos2
sin2
1 ，得 sin
3 ， cos 5
4 5
或 sin
3 5
，
cos 4 ，所以 sin 2 2 sin cos 24 ，则 cos2 2 sin 2 16 48 64 ，故选 A
）.
A． 6 5
【答案】A
B．1
C． 3 5
D． 1 5
【解析】
f
(x)
1 5
sin
x
3
sin
x
6
2
1 5
sin
x
3
sin
x
3
6 5
sin
x
3
.故选
A.
【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公
式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效
B.9π 4
D.5π或9π 44
【答案】A
【解析】选 A
π，π
π，2π
∵α∈ 4 ，∴2α∈ 2 ，∵sin 2α＝
5，∴2α∈
π，π 2
.
5
∴α∈
π，π 42
且 cos 2α＝－2
5，又∵sin(β－α)＝
10，β∈
π，3π 2
，∴β－α∈
π，5π 24
，cos(β－α)＝－3
10，
5
10
10
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝
3
cos
x
3 4
x
0,
2
的最大值是
．
【答案】1
【解析】 f x sin2 x
3 cos x 3 1 cos2 x 4
3
cos
x
3 4
x
0
，π 2
，
令 cos x t 且 t 0，1 ， y t2
3t
1 4
t
3 2
2
1
，
则当 t 3 时， f x 取最大值 1．
5
25
25 25 25
（2）原式= sin 20 cos10 cos 20 sin10 sin(20 10 ) sin 30 1 2
【易错点】
【思维点拨】
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例 3 已知函数 f(x)＝sin
π－x 2
sin
x－
3cos2x.
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
π，2π (2)讨论 f(x)在 6 3 上的单调性．
2π 3 ，则下面结正确的是（
）.
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A.把
C1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度，得到曲
线 C2
B.把
C1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π 12
个单位长度，得到曲
线 C2
C.把
C1
上各点的横坐标缩短到原来的
－3 10 －2 5 10 × 5 －
10×
5＝
2，
10 5 2
又α＋β∈
5π，2π 4
，所以α＋β＝7π.
4
【易错点】 【思维点拨】
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对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
2 【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值
【思维点拨】
例 2 函数 f x =2cosx sinx 的最大值为
.
【答案】 5
【解析】 f (x) 22 1 5 .
【易错点】 【思维点拨】辅助角公式运用
例
3【2017
年Ⅲ】函数
f
x
1 5
sin
x
π 3
cos
x
π 6
的最大值为（
【答案】（1）f(π)＝2sinπ＝ 3（2）[kπ－ π ，kπ＋5π](k∈Z)．
6
3
12
12
【解析】（1）f(x)＝sin(ωx＋φ)＋ 3cos(ωx＋φ)
＝2[1sin(ωx＋φ)＋ 3cos(ωx＋φ)]
2
2
＝2sin(ωx＋φ＋π)． 3
因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)＝2sin(φ＋π)＝0， 3