易拉罐形状和尺寸的最优设计

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问题分析
任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优 即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数. 材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面 的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大， 因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材 料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底 面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低. 又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求 所耗材料的最小体积. 我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并 不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所 耗的材料. 罐的容积是一定的（ 355 毫升） ，即为目标函数的约束条件. 综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材 料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.
半径 r 图② 易拉罐的中心纵断面 设易拉罐的侧面厚度为 d ，底面外侧圆半径为 r ，罐高为 h ，罐的容积为 V ，侧面 所用材料的体积为 V侧 ，顶盖和底面所用材料的体积之和为 V底 ，所用材料体积为 V材 . 其中， d 和 V 是固定参数， r 和 h 是自变量， V材 为因变量. 由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为 1: 2 ” ，得底面 厚度为 2d ； 侧面所用材料的体积为： V侧 [ r 2 (r d ) 2 ]h ； 顶盖和底面所用材料的体积为： V底 2 (r d ) 2 2d ；
又由于在前面我们已经求得 r 3.046 d ，所以，这个 r 的确使 V材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使 V材 达到全局最小. 3、对于问题三 ⑴ 模型建立 当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图 ③. 半径 r1 高度 h 1
高 度 h2
易拉罐形状和尺寸的最优设计
摘要
（06 全国一等奖）
任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现 销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应 该是某种意义下的最优设计. 本文以饮料量为 355 毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问 题，解决了以下五个问题. 对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为 5.9cm ，顶盖到底面的高为 12cm ，侧面的 高为 12.3cm ， 中间胖的部分的直径为 6.6cm 、 周长为 20.8cm ， 并在网上查得侧面与顶盖、 底面厚度之比为 1: 2 . 对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单 位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函 数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（ 355 毫 升） ，即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘 数法并用 Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是 1: 4 ，其结果 可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸. 对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘 数法并用 Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下 底半径为 3.45cm ，高为 3.09cm ） 、下面部分为圆柱体（高为 8.45cm ） ，其结果与本文所 测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求 得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实 际的设计相比实用性稍差. 对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的 关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非 线性规划模型，并通过 Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下 底面的半径为 r 1.8cm ，高为 h 11.6cm ，中间最胖部分的半径为 3.6cm .另外，本文从 不同的角度分析了这一设计的优缺点. 对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇 短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等. 最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对 于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解 决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从 消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费断面 设圆台上底面半径为 r1 ，下底面半径为 r2 ，圆台的高为 h 1 ，圆柱体的高为 h2 ，侧面 （包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为 d ，罐的容积为 V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱 体侧面）所用材料的体积为 V侧 ，顶盖和底面所用材料的体积之和为 V底 ，所用材料体积 为 V材 . 其中， d 和 V 是固定参数， r1 、 r2 、 h 1 和 h2 是自变量， V材 为因变量. 由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为 1: 2 ” ，得底面 厚度为 2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下： 圆台的表面积 S圆台表 ( r 2 rl Rl R 2 ) ， 圆台的体积 V圆台 ( S ' S ' S S ) h ( r 2 rR R 2 ) h
┈┈┈┈┈┈┈模型①
⑵ 模型求解 根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半 径和高之比. 由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来 求解. 引入参数 ，函数 (r , h) V (r , h) 355 ，令
L(r , h, ) V材 (r , h) (r , h)
V底 [ r12 (r2 d ) 2 ] 2d ； V材 (r1 , r2 , h1 , h2 ) V侧 V底
V 4d (r d )2
V材 [ r 2 (r d )2 ]
V 4d 2 (r d )2 2d 2 (r d )
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计算 V材 '' ,通过在 Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序 2） ，求得:
V材 '' 75.3865d+24.7500d 2 ，其中 d 0 ，故 V材 '' 0 .
要求 L 的极值，即其对 r、h、 的一阶偏导数为零，则： L V材 0 r r r L V材 0 h h h L (r , h) 0 通过在 Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序 1） ，求得： r : h 1: 4； r 3.046 d； h 0.4313d (3.046 d )2 0.8626d 2 (3.046 d ) 0.4313 d 3 12.18. 即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是 1: 4 . 我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我 们所测的易拉罐的半径和高之比为： (5.9 2) :12 1: 4.0678 因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易 拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合. ⑶ 验证 r : h 1: 4 使 V材 达到最小 要验证 r : h 1: 4 使 V材 达到最小，我们只需验证 r 使 V材 达到最小. 由 V (r d )2 (h 2 2d ) ,可得: h
模型建立与求解
1、对于问题一 易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①： 直径 d1
h1
h2
直径 d 2
h
图① 易拉罐的中心纵断面 我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得： 易拉罐侧面的高 h 为 12.3cm ，顶盖到底面的高 h1 为 12cm ，中间胖的部分的高 h2 为
10.2cm ，顶盖直径 d1 为 5.9cm ，中间胖的部分的直径 d 2 为 6.6cm 、周长为 20.8cm . 在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为 1: 2 [2].
V材 V侧 V底 [ r 2 (r d )2 ]h 2 (r d ) 2 2d
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且 V ( r d ) 2 ( h 2 2d ) 综上，我们可以建立以下的数学模型：
minV材 (r , h) [ r 2 (r d )2 ]h 2 (r d ) 2 2d V (r , h) 355 s.t. r 0, h 0
关键词：易拉罐 非线性优化模型 拉格朗日乘数法 正椭圆柱
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问题重述
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为 355 毫升的可口可乐、 青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然， 这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节 省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的 钱就很可观了. 以饮料量为 355 毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现 需解决五个问题，具体如下： 问题一： 取一个饮料量为 355 毫升的易拉罐，例如 355 毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模 型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明； 如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处. 问题二： ⑴ 易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？ ⑵ 其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径 和高之比，等等. 问题三： ⑴ 易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个 正圆柱体.
什么是它的最优设计？ ⑵ 其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸. 问题四： 通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优 设计. 问题五 用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字， 论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.
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（其中， r、R 分别为圆台上底、下底半径， h 为圆台的高， l 为圆台的母线） 可得： 侧面所用材料的体积为：
V侧 [ (r1 r2 ) h12 (r2 r 1 ) 2 ] d [ r2 2 (r2 d )2 ]h2 ；
顶盖和底面所用材料的体积为：
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综上，将易拉罐各部分的数据列表如下： 罐体组成部分名称 顶盖直径 d1 中间胖的部分的直径 d 2 中间胖的部分的高 h2 顶盖到底面的高 h1 侧面的高 h 中间胖的部分的周长 测量数据
5.9cm 6.6cm 10.2cm 12cm 12.3cm 20.8cm
侧面和顶盖、底面的厚度比 1: 2 2、对于问题二 ⑴ 模型建立 当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底 面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）. 侧面厚度 底面厚度 高 度 h