关于矩阵秩的一个不等式
a的秩和a的转置的秩的关系
a的秩和a的转置的秩的关系
原因如下：
设A是m×n的矩阵，可以通过证明Ax=0和A'Ax=0两个n元齐次方
程同解证得r(A'A)=r(A)。
1、Ax=0肯定是A'Ax=0的解，好理解。
2、A'Ax=0→x'A'Ax=0→(Ax)'Ax=0→Ax=0。
故两个方程是同解的。
同理可得r(AA')=r(A')。
另外有r(A)=r(A')。
所以综上r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。
矩阵的秩不等式
(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。
证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。
又因为矩阵的标准型是唯一的，所以
矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。
(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。
证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0
同解。
因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过
来也成立。
两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。
通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。
接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。
一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。
一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。
通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。
一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别是子矩阵。
这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。
二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。
我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。
对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。
对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。
通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。
三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。
根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，\(rank(A)\) 和 \(rank(B)\) 分别表示矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的秩，\(n\) 表示矩阵的列数。
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。
本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。
利用分块矩阵证明秩的不等式
安 徽 技 术 师 范 学 院 学 报 ， ０ ２ １ （ ）５ ２ ０ ，６ ３ ：５
Ｊ ｕ ￣ ｏ ｈ ｉ ｃ ｎｃｌ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ ｏｍ Ｉ Ａｎ ｕ ｈ ｉａ ｃ ｅｓＣ ￣ ｇ Ｔｅ Ｔｅ
利 用 分 块 矩 阵证 明秩 的 不 等 式
首先给 出－个基本事实。 几
引理 １ 矩 阵 积 的 秩 不 大 于 各 因 子 的秩 ； 可 逆矩 阵与 另一 矩 阵 乘 积 时 ， 积 的秩 等 于 另 一 矩 其
阵 的秩 。
［ ］ Ｒ）（ 殳 秩 （＋Ｂ 言 ＝ＡＲ）
…
证 毕
…
又 因为 Ｒ（ ＝Ｒ［Ａ—Ｂ） ］ Ｒ（ —Ｂ Ａ） （ ＋Ｂ ≤ Ａ ）
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关于矩阵秩的几个重要不等式
第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。
在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。
在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。
考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。
此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。
线性方程组与矩阵秩的若干问题
引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
线性代数秩的不等式
线性代数秩的不等式
线性代数秩是一个重要的概念，它是线性代数中的一个基本概念，它可以用来衡量矩阵的复杂程度。
线性代数秩的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
线性代数秩的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
它表明，矩阵的秩不能大于它的行数和列数的总和。
这意味着，如果一个矩阵的行数和列数之和为n，那么它的秩不能大于n。
线性代数秩的不等式也可以用来描述矩阵的维数。
它表明，如果一个矩阵的秩为r，那么
它的维数不能大于r。
这意味着，如果一个矩阵的秩为r，那么它的维数不能大于r。
线性代数秩的不等式也可以用来描述矩阵的特征值。
它表明，如果一个矩阵的秩为r，那
么它的特征值的个数不能大于r。
这意味着，如果一个矩阵的秩为r，那么它的特征值的
个数不能大于r。
线性代数秩的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
它可以用来衡量矩阵的复杂程度，也可以用来描述矩阵的维数和特征值的个数。
因此，线性代数秩
的不等式是一种重要的线性代数结构，它可以用来描述矩阵的结构。
数学本科毕业论文《矩阵不等式的证明及其应用》
矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
【导语】在线性代数中，分块矩阵初等行变换求秩是一个重要的概念。
本文将从简单的定义出发，逐步深入探讨这一概念，并结合示例进行解释和说明。
通过全面的评估和综述，希望能够帮助读者更好地理解分块矩阵初等行变换求秩，并掌握其应用。
【正文】一、分块矩阵初等行变换求秩的定义和基本概念分块矩阵是由若干个矩阵按照一定规则组成的大矩阵。
它可以在某些情况下简化矩阵运算的复杂性，方便题目求解。
而初等行变换是对矩阵的行进行的一种操作，包括三种形式：交换两行、某行乘以一个非零常数和某行乘以一个非零常数加到另一行上。
通过初等行变换，矩阵的秩可以发生改变。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式是通过对分块矩阵进行初等行变换，来计算该分块矩阵的秩。
分块矩阵秩的计算可以通过初等行变换将矩阵转化为行阶梯型矩阵或者简化行阶梯型矩阵，从而求得秩的大小。
二、分块矩阵初等行变换求秩的具体步骤1.第一步：根据题目给出的分块矩阵，将其转化为增广矩阵形式。
2.第二步：利用初等行变换的方式，将矩阵转化为行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵。
3.第三步：对于行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵，统计非零行的个数，即可求得分块矩阵的秩。
三、示例分析为了更好地理解和应用分块矩阵初等行变换求秩的不等式，以下通过示例详细说明。
例1：计算分块矩阵| A B |X = | || C D |的秩。
解：根据定义，我们将该分块矩阵转换为增广矩阵形式：A B 0 0| |C D 0 0通过初等行变换，我们可以将该矩阵转化为行阶梯型矩阵：A B 0 0| |0 D 0 0由于行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的个数，所以分块矩阵的秩为2。
四、个人观点和理解分块矩阵初等行变换求秩的不等式是线性代数中一个非常重要的概念。
通过初等行变换，我们可以改变矩阵的形态，从而简化问题的求解。
在实际应用中，我们经常会遇到大规模的矩阵运算问题，而分块矩阵初等行变换求秩的方法能够帮助我们更高效地处理这些问题。
值得注意的是，分块矩阵初等行变换求秩的过程中，我们需要对矩阵的组成部分有一定的了解。
矩阵的秩
推论2.6.2设 ，则A与B相抵，即 ，当且仅当它们有相同的秩；并且，设rankA = r，则有可逆矩阵P，Q，使得
．(5)
因此，秩是矩阵相抵的不变量， 是秩为r的矩阵相抵的标准形．
例2求下面矩阵A的秩：
．
解A的第2行分别乘以(－2)、(－3)，各自加到第1、3行，再将此行调到第1行，则得
．
因此，易见rankA =rankB= 3．
下面证明乘积矩阵秩的一个基本性质．
定理2.6.2设 ， ，则
rankABmin{rankA,rankB}．
证若A、B中有一个是零矩阵，则定理显然成立．
若 ，设rankA = r，则由推论2.6.2知道有可逆阵P，Q，使得
，
于是
．
考察右边矩阵，易见此矩阵不为0的行至多r行，因而由推论2.6.1与秩的定义得到
，
其中 是A的两个t阶子式，且至多相差一个符号．因而由rankA = r知道 ．所以M= 0．
综上，则得rankB≤rankA，又Tij(k)B=A，因而有rankA≤rankB．故rankA=rankB．
类似地，知道列的初等变换也不改变矩阵的秩．
据上，并注意到定理1.3.2，则得
推论2.6.1设 ，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则rankA =rankPA =rankAQ =rankPAQ．
rankA+rankB=rank
=rank rank(A+B)．
定理2.6.4(Frobenius)设 , ，则
rankABCrankAB+rankBCrankB．
证因为
，
所以，由引理2.6.1、2.6.2得
rankABC+rankB=rank rankAB+rankBC．
矩阵秩Frobenius不等式几种证明方法
Ｅ ｌ ＂ 为Ｐ 到Ｐ 上的变换 ， 并且对任意 的 Ｏ Ｌ
， 有 （ Ｏ １ ）＝Ｂ ａ ，
由
ｒ （ Ａ ）＋ ｒ （ ＢＣ）
尝
可 逆 矩 阵 。
则 （ （ Ｏ ／ ｌ ， Ｏ ｔ ２ ， ・ 一， Ｏ ／ ， ） ）： （ （ Ｏ ｔ １ ） ， （ Ｏ ／ ２ ） ， …， （ ｄ ， ） ） 。
矩 阵运算 叫 Ｊ ， 町把 这些 小矩 阵 当作 元素 一样来 处理 。在分 块
之 ， 矩 阵 间 的相 互 关 系简 洁 清 晰 。 与 其 它 方 法 相 比 ， 矩 阵 分
１ ． ３ 线 性 空 间维 数 比较 法 齐次线性方程组 Ａ ｘ ＝０的解 空 间 的 维数 与 系 数 矩 阵 Ａ
中图分 类号 ： ０ １ ５ １ ． ２
文献标识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ８ — ８ ４ ５ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６～ ０ ０ ２ ２ — ０ ２
０ 引言
矩阵的秩是矩阵数量特征 ， 初 等变换下 的不变 量 ， 它 广 泛
且 『 】 ，
ｒ （ Ａ Ｂ Ｃ ）≥ ｒ （ ４ ）＋ｒ （ Ｂ Ｃ ）一ｒ （ Ｂ ）
即 ｒ （ Ａ Ｂ Ｃ）≥ ｒ （ Ａ Ｂ）＋ｒ （ Ｂ Ｃ）一ｒ （ ） （ ３ ）
同时促使代数理论 知识 完善。
１ 矩阵 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 秩不 等式 的证 明
１ ． １ 分 块 矩 阵 法
矩 阵分块是把一个 大矩 阵看成 是 由一些 小矩 阵构 成 ， 在
令卢： ｌ Ｏ ｔ ｌ＋ｋ ２ Ｏ Ｚ ２＋… ＋ｋ ｒ Ｏ ｔ ， 为线性变换 ， 则：
Ｏ Ｌ＝ ｒ ， （ Ｉ Ｂ ）＝ｒ 厂 （ ｋ １ ｌ ＋ｋ ２ Ｏ ｔ ２＋‘ ・ 。 ＋ ）
分块矩阵的应用
本科生毕业论文（设计）册学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级 07级C班学生常会敏指导教师刘稳河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：分块矩阵的应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学班级： 07级C班学生姓名：常会敏学号： 2007010656 指导教师：刘稳职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，本文旨在总结分块矩阵在代数学中的几个重要的应用，体会分块矩阵的应用技巧，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。
本文的主要任务是通过大量理论和具体的例子总结出分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面发挥出的巨大作用。
2、论文（设计）的主要内容①分块矩阵证明有关矩阵的秩②求解矩阵方程③求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似3、论文（设计）的基础条件及研究路线在复数域上，关于分块矩阵及其初等变换的研究已经有深刻的结果，关于分块矩阵的应用也有不少的文章提及，可见分块矩阵的应用之广泛，因此要想将其应用全部总结出来是不可能的。
正式基于这样一种情况，本文分别就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面做一详细总结，展示分块矩阵的应用技巧，从而开拓思维，培养创新能力。
4、主要参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：181～320.[2]丘维声.高等教育学习指导用书[M].北京:清华大学出版社，2005：213～238.[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:北京科学出版社，2007：1～25.[4]张焕玲，刘爱奎.利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法[J].山东工业大学学报，2000，Vol.30(3):268～273.[5]钱吉林.高等代数题解精粹（修订版）[M].北京：中央民族大学出版社，2002：189.[6]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010，Vol.16(2):105～108.[7]王卿文，杨家骐.用矩阵的初等行变换解矩阵方程A X=B[J].数学通报，1993：m n ns m s16～25.[8]A.J.M.SPENCER & R.S.RIVELIN .Further Results in the Theory of Matrix Polynomials [J].Brown University Providence ,1959:214 ～230.5、计划进度指导教师：刘稳 2010 年 11 月日教研室主任： 2010 年 11 月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院学院数学与应用数学专业 2011 届河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计题目分块矩阵的应用作者姓名常会敏指导教师刘稳所在学院数学与信息科学学院专业（系）数学与应用数学班级（届） 2011届完成日期 2011 年 5 月日目录中文摘要、关键词 (1)1、分块矩阵的定义及运算法则 (1)1.1定义矩阵的分块 (1)1.2分块矩阵的运算法则 (1)2、利用分块矩阵证明有关矩阵的秩 (4)2.1证明关于矩阵乘积的秩的定理 (4)2.2证明有关矩阵秩的等式 (5)2.3证明Sylvester不等式 (6)2.4证明Sylvester公式 (7)3、利用分块矩阵求解矩阵方程 (8)3.1解矩阵方程A X=B的原理 (8)m n ns m s3.2求解矩阵方程 (9)4、分块矩阵在其它方面的应用 (10)4.1求矩阵的最小多项式 (10)4.2判断两矩阵是否相似 (12)5、总结 (13)参考文献 (13)英文摘要、关键词 (14)分块矩阵的应用数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师 刘稳 作者 常会敏中文摘要：矩阵是代数特别是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，而矩阵的分块则是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。
分块矩阵的秩不等式
分块矩阵的秩不等式
嘿，同学们！今天咱们来聊聊分块矩阵的秩不等式。
这玩意儿啊，简单说就是关于分块矩阵的秩之间存在的一些大小关系。
比如说，对于一个分块矩阵 A，它的不同子块的秩之间会有一些特定的不等式关系。
常见的分块矩阵秩不等式
那常见的都有啥呢？像 Sylvester 不等式，它说的是如果有两个矩阵 M 和 N，那么 r(M) + r(N) n = r(MN) ，这里的 n 是 N 的列数。
还有 Frobenius 不等式，要是一个分块矩阵 A 分成了几块，那它不同子块的秩之间也有特定的大小关系。
分块矩阵秩不等式的应用
这东西有啥用呢？用处可大啦！在解决线性方程组问题的时候，能通过这些不等式来判断方程组有没有解，有多少解。
在矩阵的运算和变换中，也能帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质。
而且在一些证明题里，巧妙地运用这些不等式，能让证明过程变得轻松不少呢！怎么样，是不是觉得还挺有趣的？。
西尔维斯特不等式
西尔维斯特不等式
设A为mn阶矩阵，B为ns阶矩阵。
证明西尔维斯特不等式：
R(AB)≥R(A)+R(B)-n
遇到这种比较多个矩阵秩的问题，最常用的方法就是利用分块矩阵的初等变换。
因为R(AB)≥R(A)+R(B)-n，所以
R(AB)+n≥R(A)+R(B)
R(AB)+n为矩阵AB与单位矩阵E组成的分块矩阵H的秩。
R(A)+R(B)为矩阵A与矩阵B组成的分块矩阵T的秩。
根据题意我们可以知道矩阵H的秩要大于等于矩阵H的秩。
我们对矩阵H进行初等变换
让矩阵H的第二行乘以矩阵A加到第一行
让矩阵的第二列右乘以矩阵(-B)加到第二列
让矩阵的第一列乘以(-1)
由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以
矩阵H的秩等于矩阵H’的秩。
从而，R(H)=R(H’)
=R(A)+R(E)
=R(A)+n
=R(AB)+n
由于矩阵T的秩为R(A)+R(B)所以，R(T)≤R(A)+n
进而，R(T)≤R(H)
所以，R(A)+R(B)≤R(AB)+n 即，R(AB)≥R(A)+R(B)-n。
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松(莆田学院数学系，，)摘要：利用分块葩阵，证明一些拒阵的扶的相关不等式，观察矩晖在运算后扶的变化，旧细岀常见的有关矩阵的扶的不等式，由此引岀等式成立的条件。
关建词：矩阵的扶，矩阵的初等变换引言：矩阵的扶是指葩阵中折(或列)向量组的扶，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分決矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶拒阵的运算，也为矩阵的扶的一些常见不等式的込明带来了方便。
本文将讨论拒阵的扶的一些常见不等武，并由lit引岀一些扶的不等式等号成立的等价条件。
-基本的定理1 设A是数域P上” x加矩辞，B是裁域上加xs矩阵，于是ft (AB) <min[ft (A),扶(B)],即乘枳的扶不超过个因子的扶2 设A与B是加X"矩碎，扶(A土B) M扶(A) +扶(B)二常见的扶的不等式1设A与B为n阶方阵，证明若AB = O, R r(A) + r(B) < n证：设r(A) = r,r(B)= s,|由AB = O,知，B的每一列向量祁是以A为系数方陈的齐次缆性方程组的解向量。
当r = nlH,由于该齐次方桿组只要零解，故此时B = 0, RP此时r(A) = n, r(B)=O,g论成立。
当「〈n时，垓齐次找性方桿组的B«B«系中含n・i■个向量，从而B的列向量组的ft<n-r,®r(B) < n-rBill r(A) + r(B) < n2 设 A 为 B 为 zixs 拒陈，证明不等 J r(AB)<r(A)+r(B)-n=ft (A-E) +株(B-E) Bit ft (AB-E ) <ft (A-E)+ft (B-E)4 设 A, B, C 依次为mxn.nxs.sxtif 明r(ABC)> r(AB) + r(BC) - r(B)il ：设&分别为，s,t 阶单位矩辞，则由于(AB ABC y(AB、 、B0 >〔1. BBC,E C<0iff ：设E 为n 阶单位矩阵,瓦・为S 阶单位方眸，则由于 A AB\(E、E 0 K.0O'r(A)+MB) >B-Es)可逆,二扶AB y °)‘0 AB y、E 0 )M 而 r(AB) > r(A) + r(B) - n3设A, B9I 是n 阶方畔，E 是n 阶单位方K, iff 明ft ( AB-E ) < ft (A ・E) +扶(B-E)=r(AB)+r(E) =r(AB)+n0J1 (A-E B-E\ I 0 B-E JB、o)[ B_E、0>故扶 (AB-E°卜,B_E 0丿'< 0B - E 、B_E (AB-E ) < ft=r(ABC) + MB)MH 「(ABC) >r(AB)+ r(BC)-r(B)5 8 A, B 郡是 n 阶 JfiR, iff 明;r(AB + A + B)< r(A) + r(B) jj [明:r( AB + A + B)=r( A(B+E) + B) 利用基本定理二 <r(A(B + E)) + r(B)利用基本定理一 <r(A) + r(B)6 SA, C 均为“2X/2矩阵，B, D 均为nx5矩旺证明 r ( AB -CD) < r ( A-C ) +r ( B-D)证明:根据分块矩阵的乘法可知 'Em c Y A -C0 1B} <A-C AB —CD 、B -D J〔0< 0 B —D丿 >r(AB-CD)U 而得"AB-CD ) < r ( A-C ) + r ( B-D )三不等氏等号成立的探讨1设A, B 分别JimXM 和nx/n 矩眸，呱r(AB)二r(A) + r(B 卜n 的充分条件 为：证明:由E -A' Ao' E ・B]Jo-AB E -B'0 -AB 0 E E B 01B0 EE 0A o''o -AB=rE BE・•・r(AB) = r(A)+r(B) - n AB0、 我1AB ABC y=8<0ABC y、B3C 丿 、0 ,、° >r(AB) + r(BC)<ft由此易 fl r ( A-C ) +r ( B-D ) =rA-C < 0AB-CD} B_D丿又••• rh(AB)+n, r : ； h(A)+r(B)2 设A, B 分别为mxn 和nx 加拒阵，Wr(AB) = r(A) + r(B)-n 充分必要条件为存在矩阵X 、Y,使得XA+BY 二E“・•・ r(AB) = r(A) + r(B)-n加 o fl0 P 2B )[ 0、巴BQ-=>设 P/Q =oye, o、M.O QJ证明：,使得 XA + BY = E n0 E nAE n -XA ・BY-X0||EnB JL-YE A -AX 0]产BJL-Y E m当 XA + BY = E n 时,A 0"A O'r=rE B0 B0 ° 'F1。
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关于矩阵秩的一个不等式
Ξ
沈 华 (湖北大学数学系 武汉 430062)
对任意矩阵M ,用r (M )表示M 的秩。
熟知,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量,对矩阵的加法和乘法,我们有下面两个基本的不等式。
(一)设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则
r (A +B )≤r (A )+r (B )
(1) (二)设A 、B 分别是两个m ×n 、n ×l 矩阵,则
r (A )+r (B )-n ≤r (A B )≤m in{r (A ),r (B )}它通常被称为Sylvester 不等式。
对这两个不等式,有不同的证明和理解,见[1、2]。
在本文里,我们要结合矩阵的满秩分解,用不等式(二)来研究不等式(一),从中给出r (A +B )≤r (A )+r (B )的一个推广形式。
本文所需的矩阵知识是基本的,可在[1、2]里找到。
现在,对任意m ×n 矩阵M ,我们用C M 、R M 分别表示由M 的所有列向量、行向量所生成的向量空间。
明显地,向量空间C M 、R M 的维数为di m C M =di m R M =r (M )。
进一步地,对任意分块矩阵M =(M 1,M 2)和N =
N 1N
2
,根据定义容易验证向量空间C M =C M 1+C M 2,向量空间R N =R N 1+R N 2。
本文的目的是证明如下的
定理 设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则
r (A )+r (B )-(d 1+d 2)≤r (A +B )≤r (A )+r (B )-m ax{d 1、d 2}
(2)这里d 1=di m (C A ∩C B ),d 2=di m (R A ∩R B )。
(2)是比(1)精确的不等式。
根据(2)式,我们立即得到下面的推论1 设A 、B 、d 1、d 2的意义如上述定理所述,则r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当d 1=d 2=0。
注意到r (-B )=r (B )及C -B =C B 、R -B =R B ,这样根据推论1,可以得到有趣的推论2 设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则有r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当r (A -B )=r (A )+r (B )。
先证明一个预备性结果。
引理 设A 是个秩为r 的m ×n 矩阵,对A 的任意满秩分解A =H L ,均有C A =C H ,R A =R L ,这里H 为m ×r 列满矩阵,L 为r ×n 行满矩阵。
证明 设A =(Α1、Α2、…、Αn ),H =(Β1、Β2、…、Βr ),L =(l ij )r ×n ,从A =H L 得到Αi =l 1i Β1+l 2i Β2+…+l ri Βr (1≤i ≤n )。
这样由Α1、Α2、…、Αn 生成的向量空间C A <由Β、Β2、…、Βr 生成的向量空间C H .注意到di m C A =r (A )=r (H )=di m C H ,我们立即得到C A =C H 。
又A 的转置矩阵A ′有满秩分解A ′=L ′H ′
,于是C A ′=C L ′,也就是说,R A =R L 。
61 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 16,N o 11
M ar .,2003
Ξ
定理的证明 设A、B有如下的满秩分解
A=H1L1,B=H2L2(3)这里H1、H2分别为n×r(A)、n×r(B)列满矩阵,而L1、L2分别为r(A)×m、r(B)×m行满矩阵,
则从引理可知C A=C H
1,C B=C H
2
及R A=R L
1
,R B=R L
2。
根据(3)可得
A+B=H1L1+H2L2=(H1,H2)
L1
L2
(4)
其中(H1,H2)为m×[r(A)+r(B)]矩阵,而L1
L2
为[r(A)+r(B)]×n矩阵。
接下来我们需要计算
(H1,H2)和L1
L2
的秩,由维数公式,可得
r(H1,H2)=di m C(H1,H2)=di m(C H
1
+C H
2
)=
di m(C A+C B)=di m C A+di m C B-di m(C A∩C B)=
r(A)+r(B)-d1
同理可得r L1
L2
=r(A)+r(B)-d2。
因而由(4)知
r(A+B)≤m in r(H1,H2),r
L1
L2
≤r(A)+r(B)-m ax{d1,d2}(5)
另一方面,据(4)及Sylvester不等式,得
r(A+B)≥r(H1,H2)+r L1
L2
-[r(A)+r(B)]=r(A)+r(B)-(d1+d2)(6)
于是综合(5)、(6)即得(2)。
参考文献
[1]屠伯埙1线性代数—方法导引1上海:复旦大学出版社,19861
[2]樊恽主编1代数学辞典1武汉:华中师范大学出版社,19941
2002年第4期第52页载
“电子科技大学高等数学期末试题(附答案)”补遗
七、(7分)求函数f(x)=3(x2-2x)2在[0,3]上的最大值与最小值。
[f m ax=39,f m in=0]
八、(7分)设f″(x)在[0,Π]上连续,且f(0)=2,f(Π)=1,求∫Π0[f(x)+f″(x)]sin x d x.[=3]
九、(10分)过点(-1,0)作抛物线y=x的切线,该切线与抛物线及x轴围成平面图形。
(1)求该平面图形的面积;[=1
3
]
(2)求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。
[=Π6 ]
十、(7分)设在[0,1]上f″(x)<0,求证:∫10f(x)d x≤f(12).附加题:(5分,做对计分)
设0<x1<3,x n=3(1+x n-1)
3+x n-1
(n=2,3,…).求证:数列{x n}收敛,并求其极限。
71
第6卷第1期 沈华:关于矩阵秩的一个不等式 。