关于矩阵秩的一个不等式

关于矩阵秩的一个不等式

Ξ

沈　华　(湖北大学数学系　武汉　430062)

对任意矩阵M ,用r (M )表示M 的秩。熟知,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量,对矩阵的加法和乘法,我们有下面两个基本的不等式。

(一)设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则

r (A +B )≤r (A )+r (B )

(1) (二)设A 、B 分别是两个m ×n 、n ×l 矩阵,则

r (A )+r (B )-n ≤r (A B )≤m in{r (A ),r (B )}它通常被称为Sylvester 不等式。

对这两个不等式,有不同的证明和理解,见[1、2]。在本文里,我们要结合矩阵的满秩分解,用不等式(二)来研究不等式(一),从中给出r (A +B )≤r (A )+r (B )的一个推广形式。本文所需的矩阵知识是基本的,可在[1、2]里找到。

现在,对任意m ×n 矩阵M ,我们用C M 、R M 分别表示由M 的所有列向量、行向量所生成的向量空间。明显地,向量空间C M 、R M 的维数为di m C M =di m R M =r (M )。进一步地,对任意分块矩阵M =(M 1,M 2)和N =

N 1N

2

,根据定义容易验证向量空间C M =C M 1+C M 2,向量空间R N =R N 1+R N 2。

本文的目的是证明如下的

定理　设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则

r (A )+r (B )-(d 1+d 2)≤r (A +B )≤r (A )+r (B )-m ax{d 1、d 2}

(2)这里d 1=di m (C A ∩C B ),d 2=di m (R A ∩R B )。

(2)是比(1)精确的不等式。根据(2)式,我们立即得到下面的推论1　设A 、B 、d 1、d 2的意义如上述定理所述,则r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当d 1=d 2=0。

注意到r (-B )=r (B )及C -B =C B 、R -B =R B ,这样根据推论1,可以得到有趣的推论2　设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则有r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当r (A -B )=r (A )+r (B )。

先证明一个预备性结果。

引理　设A 是个秩为r 的m ×n 矩阵,对A 的任意满秩分解A =H L ,均有C A =C H ,R A =R L ,这里H 为m ×r 列满矩阵,L 为r ×n 行满矩阵。

证明　设A =(Α1、Α2、…、Αn ),H =(Β1、Β2、…、Βr ),L =(l ij )r ×n ,从A =H L 得到Αi =l 1i Β1+l 2i Β2+…+l ri Βr (1≤i ≤n )。这样由Α1、Α2、…、Αn 生成的向量空间C A <由Β、Β2、…、Βr 生成的向量空间C H .注意到di m C A =r (A )=r (H )=di m C H ,我们立即得到C A =C H 。

又A 的转置矩阵A ′有满秩分解A ′=L ′H ′

,于是C A ′=C L ′,也就是说,R A =R L 。61 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 16,N o 11

M ar .,2003

Ξ

定理的证明　设A、B有如下的满秩分解

A=H1L1,B=H2L2(3)这里H1、H2分别为n×r(A)、n×r(B)列满矩阵,而L1、L2分别为r(A)×m、r(B)×m行满矩阵,

则从引理可知C A=C H

1,C B=C H

2

及R A=R L

1

,R B=R L

2

。根据(3)可得

A+B=H1L1+H2L2=(H1,H2)

L1

L2

(4)

其中(H1,H2)为m×[r(A)+r(B)]矩阵,而L1

L2

为[r(A)+r(B)]×n矩阵。接下来我们需要计算

(H1,H2)和L1

L2

的秩,由维数公式,可得

r(H1,H2)=di m C(H1,H2)=di m(C H

1

+C H

2

)=

di m(C A+C B)=di m C A+di m C B-di m(C A∩C B)=

r(A)+r(B)-d1

同理可得r L1

L2

=r(A)+r(B)-d2。因而由(4)知

r(A+B)≤m in r(H1,H2),r

L1

L2

≤r(A)+r(B)-m ax{d1,d2}(5)

另一方面,据(4)及Sylvester不等式,得

r(A+B)≥r(H1,H2)+r L1

L2

-[r(A)+r(B)]=r(A)+r(B)-(d1+d2)(6)

于是综合(5)、(6)即得(2)。

参考文献

[1]屠伯埙1线性代数—方法导引1上海:复旦大学出版社,19861

[2]樊恽主编1代数学辞典1武汉:华中师范大学出版社,19941

2002年第4期第52页载

“电子科技大学高等数学期末试题(附答案)”补遗

七、(7分)求函数f(x)=3(x2-2x)2在[0,3]上的最大值与最小值。[f m ax=39,f m in=0]

八、(7分)设f″(x)在[0,Π]上连续,且f(0)=2,f(Π)=1,求∫Π0[f(x)+f″(x)]sin x d x.[=3]

九、(10分)过点(-1,0)作抛物线y=x的切线,该切线与抛物线及x轴围成平面图形。

(1)求该平面图形的面积;[=1

3

]

(2)求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。[=Π6 ]

十、(7分)设在[0,1]上f″(x)<0,求证:∫10f(x)d x≤f(12).附加题:(5分,做对计分)

设0

3+x n-1

(n=2,3,…).求证:数列{x n}收敛,并求其极限。

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第6卷第1期 沈华:关于矩阵秩的一个不等式