半角旋转模型

.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型

探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=

2

1

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，

如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45°

，连结EF ，求证：DE +BF =EF ．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ．

请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ．

参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），

F E

D A

B C B E

D

A G F D A

B C C

图1

图2

图3

C

D

A

O

B

x y 图4

F E D A B C B E

D

A G F E D A

B

C C

图1

图2

图3

C

D A

O B x y 图4

∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，若∠BAE =45°， DE =4，则BE = ．

（2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B 是x 轴上一 动点，且点A （3-，2），连结AB 和AO ，并以AB 为边向上作 正方形ABCD ，若C （x ，y ），试用含x 的代数式表示y ， 则y = ．

已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠

绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等

量关系？请写出你的猜想，并证明．

24． 如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°

且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q . （1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，

EF 与CA 的延长线交于点Q .设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

C

D

O

A

B

图4

x

y

（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三

角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

海淀25．如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，2

DE=，1

AB=．将直线EB绕点E逆时针旋转45︒，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC 沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．

图1 图2 图3

解答问题：

（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得AM

DM

的值为；

②在平移过程中，AM

DM

的值为（用含k的代数式表示）；

（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在

线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算AM

DM

的值；

（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0α

<≤90，原题中的其他条件保

持不变.计算AM

DM

的值（用含k的代数式表示）．

图1 图2 图3 图4

昌平22. 阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且P A =3 ，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数.

小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C '，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

P

C

B

A

A

B

C P

P '

D P

A

C

B

A

B

C D

P F

E

请你回答：图1中∠APB 的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且P A

=PB =1，PD

，则∠APB 的度数等于 ，正方形的边长为 ；

（2）如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =2，PB =1，PF

APB 的度数等于 ，正六边形的边长为 ．

通州24.（9分）在平面直角坐标系xOy 中，点B (0，3)，点C 是x 轴正半轴上一点，连结BC ，过点C 作直线CP ∥y 轴. （1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O 重合，直角顶点D

在线段BC 上，另一个顶点E 在CP 上．求点C 的坐标； （2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O 重合，直角顶点D 在线段BC 上，另一个

顶点E 在CP 上，求点C 的坐标．

备用图

备用图

第24题图