四川省成都市第七中学高中数学人教必修三课件：2.3变量间的相互关系(共39张PPT)

2・3变量间的相互关系
阅读教材P8"91
1 •两个变量的关系
1.变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的価数关系和不确定的相关关系.
2.两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图.
3・若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是线性相关的,而若所有点看上去在某条曲线附近波动,则称此相关为非线性相关，如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间不相关・
1 •两个变量的关系
蓝皮书P29例1及变式1
2.下列各图中所示两个变量具有相关关系的是（ ）
（A ）①② （B ）①③ （C ）②④
⑴）②③
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析
相关关系是进行回归分析的基础，同时, 也是散点图的基础。

2 ■线性相关关系的判断
3 ■正相关和负相关
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内, 两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在
从左上
0 10 20 30 40 50 60
A
10 20 30
40 50 6040 30 20 10 0
4・（2010 •广东高考）某市居民2005~2009年家庭平沟收入 x （单位：力元〉与年平均支出y 〔单位：万元）的统计资料
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ___________ ,家 庭年平均收入与年平均支出有 _________ 的线性相关关系.（填 “正相关” > 『负相关”）
如表所力
4•回归直线方程
•1•回归直线
•2•回归方程
•3.最小二乘法
•4•求回归方程
如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线•并根据回归方程对总体进行估计.
•方案1、先画出一条直线，测量出各点与 它的距离，再移动
直线，到达一个使距离的和 最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
=J MB
・方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同。

方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。

而得回归方程。

0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
讨论：对一组具有线性相关关系的样本数据: (x“ yj, (x2, y2),…，(x n, y n),
设其回归方程为y = bx + a，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度?
我们可以用点（X" Yi）与这条直线上横坐标为Xi的点
之间的距离来刻画点（Xj, Yi）到直
线的远近.
X x. + a) (i = 123, A，n)
为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合a?
用这n个距离之和来刻画各点到直线的“整体距离”是比较合适的，即可以用
n
工悅-（九• +。

）|
i=l
表示各点到直线y = bx + a的“整体距
离"
用这n个距离之和来刻画各点到直线的“整体距离”是比较合适的，即可以用
工|兀_(处+°)|
1=1
为一(bx i + a)
由于绝对值使得计算不方便，在实际应用中人们更喜欢用
Q =(必 _肉 _亦 + (y2-bx2-af +A +(y n-bx n-af
X _ (bXj + a)
这样，问题就归结为：当a, b取什么值时Q最小？即点到直线y = bx + a的“整体距离”最小.
2 -af +(y2-bx2-af +A +(y n-bx n -af
— (bXi + a)
(x“ yj
(Xn，y n)
这样，问题就归结为：当a, b取什么值时Q最小？即点到直线y = bx + a的“整体距离”最小.
y2)
2-(^1 -bx^ -af +(y2-bx2 -af +A +(y n-bx n-af
这样通过求此式的最小值而得到回归直线的方
这样，问题就归结为：当a, b取什么值时Q最小？即点到直线y = bx + a的“整体距离”最小.
法，即使得一半数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
65
根据有关数学原理推导，a, b 的值由下列公式给出
z=l
根据最小二乘法的思想和 7
此公式，利用计算器或计算机
J a=y-bx 可以方便的求得年龄和人体脂 肪含量的样本数
工兀y —处丁
-J 2
上i
据的回归方程.
归直线：
注意:1 •只有散点图中的点呈条状集中在某一直线的时候，才可说两个变量之间具有线性相关关系，才有周围
两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述
H
两个变量之间的关系050505050
65
定过这一点. 但它不一定是散点
注意2
_ 1 J 假设样本点为E E *2），…3，几），记“—工乞,
1 抡___ n <=i
0丄！>，则（血，）为样本点的中心回归直线一n T7
归直线：
的J^
求线性回归方程
观察两相关变量得如下表:
求两变量间的回归方程
解1:列表:
■
112345678910
Xi-1・2-3・4・553421
-9-7-5-3-115379兀y9141512551512149
计算得：兀=0』=0 22x? = J7, =110
i=l 1=1
」o ___
Ex ”一
z —1
a = y-bx = 0—方・0 = 0 1X0—10x0 110—10x0
・・・所求回归直线方程为yd 求线性回归直线方程的步骤:
第1步：列表x^y^Xty,
第二步：计算品，茲,£“ ；
1=1 1=1 1第二步：代入公式计算方卫的值;
第四步：写出直线方程。

蕊莎下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产
品过程中记录的产量巩吨)与相应的生产能输(吨标准煤)的几组对照数据.
(1)请画出上表数据的散点
(2)请根据上耒提供的数据，用最小二乘法求出J关于
兀的线性归方程j = bx + a <
（参考数值：3x 2.5 + 4x 3+ 5x 4+ 6x 4.5 =66.5）
0 3 4 5 6臥产量:吨）
<9下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产 品过程中记
录的产量兀（吨）与相应的生产能耗y
（吨标准 煤）的几组对照数据.
【解】⑴由题设所给数
3 4 5 6臥产量:吨）
据，可得散点图如图所示:
⑴请画出上表数据的散点圏
y （能耗:吨标准
煤）
3
5
(2) = yi?=3a+42+5a+tf =S6
j_66.5-4x4.3x3.5_66.5-63
5= 86-4x4.? =_S6^r
Wfi®肪程为)=07i+0.35
Q)当w就时j =0.7x100+0.35 = ?035
预时100吨甲咅融护醸tts爛鵜炉70.35=19.65盹
练习：
1.（2011辽宁理）调查了某地若干户家庭的年收入班单位:
万元）和年饮食支出y（单位:万元），调查显示年收入x与年饮
L=| 小08LIST馭食支的具有线性相关关系，并由调查数据得到y对工的归直线方程莎=0.254兀+ 0.321
由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食
支出平均増加万元.
2 •下表是某厂—4月份用水量（单位:百吨）的一组数据
月份X1234
用水量y 4.543 2.5由散点图可知，用水量丿与月份x之间有较好
的线性相关关系虎线性回归直线方程是y =
— 0.1x+a「则a 等于（
A. 105
B. 5.15
D. 5.25
3.（2011.山东理7）某产品的广告费用比与销售额y 的 统
计数据如下表：
据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（
根据上表可得回归方程y =bx +a
中的b 为9・4,
A.63.6万元
C.67.7万元 B.65.5万元
D.72.0万元
本章回顾
本章介绍了从总体中抽取样本的常用方法，并通过
实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体 水
平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测.
总体、
总体特征数 总休分布 样本特征数 样本分布 分层抽样 系统抽样 简单随机抽样
ISI ■ HI • 分组频 频率 [150,170)
0.04 [170,190) g
[190,210)
0.0500025 0.36 [210,230) 50 0.50 0.025
[230,250] 5
合计100
例子：2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位5000 个。

为了解展览期间成交状况,现从中抽取100展位的 成交额（万元）■制成如下频率分布表和频率分布直方
0QQ2 0.018 频率/
组距
矗过直方图估计:
⑴众数；220万元 最高矩形区间中点
(2 )中位数；212万元
面积相等(概率0・5 )
(3 )平均数；209・4万元
区间中点与相应概率
之积的和 例子：2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位5000 个。

为了解展览期间成交状况,现从中抽取若干展位的 成交额(万元)■制成如下频率分布表和频率分布直方。

罰频率/组距 0.50 0.022 0.018 0.014 0.010 0.006 0.0Q2
2•方差，标准差 设一
组样本数据〃兀2丄，
七，，其平均数为I,则
称 1 / —
=—、:（乞-兀F __
z = 1
/ 1 n 1・平均数 Cly + 6^2 + L + Clyi
n
为这个样本的方差，其算术平方根
$ = 4 —工（羽_丸）2
_
V n i=\ 为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差. "小猶八J・方差,标准差是用来刻画样本的稳定性;
2,比较的标准——越小越好。

•活页P28变量间的相互关系。