刚度

刚度

刚度是指受外力作用的材料、构件或结构抵抗变形的能力。材料的刚度由使其产生单位变形所需的外力值来度量。刚度与物体的材料性质、几何形状、边界支持情况以及外力作用形式有关。材料的弹性模量和剪切模量越大，则刚度越大。在宏观弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力。它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。刚度可分为静刚度和动刚度。

在自然界，动物和植物都需要有足够的刚度以维持其外形。在工程上，有些机械、桥梁、建筑物、飞行器和舰船就因为结构刚度不够而出现失稳，或在流场中发生颤振等灾难性事故。因此在设计中，必须按规范要求确保结构有足够的刚度。研究刚度的重要意义还在于，通过分析物体各部分的刚度，可以确定物体内部的应力和应变分布，这也是固体力学的基本研究方法之一。

静载荷下抵抗变形的能力称为静刚度，即引起单位位移所需要的力。动载荷下抵抗变形的能力称为动刚度，即引起单位振幅所需的动态力。如果干扰力变化很慢，即干扰力的频率远小于结构的固有频率，动刚度与静刚度基本相同。干扰力变化极快，即干扰力的频率远大于结构的固有频率时，结构变形比较小，即动刚度比较大。当干扰力的频率与结构的固有频率相近时，有共振现象，此时动刚度最小，即最易变形，其动变形可达静载变形的几倍乃至十几倍。静刚度一般用结构的在静载荷作用下的变形多少来衡量，动刚度则是用结构的固有频率来衡量。因此，动刚度是衡量结构抵抗预定动态激扰能力的特性。

静载荷

静载荷即构件所承受的外力不随时间而变化，而构件本身各点的状态也不随时间而改变，就是构件各质点没有加速度。如果整个构件或整个构件的某些部分在外力作用下速度有了明显改变，即发生了较大的加速度，研究这时的应力和变形问题就是动载荷问题。

静载荷包括不随时间变化的恒载（如自重）和加载变化缓慢以至可以略去惯性力作用的准静载（如锅炉压力）。

动载荷

动载荷包括短时间快速作用的冲击载荷（如空气锤）、随时间作周期性变化的周期载荷（如空气压缩机曲轴）和非周期变化的如（汽车发动机曲轴）。

静载荷和动载荷对于构件的作用是不同的。例如起重机中以加速度提升的绳索。当物体静止不动或以等速上升时，绳索所受拉力等于物体的重量，物体的重量对绳索为静载荷作用。但是如果绳索吊着物体以加速度上升，绳索就要受到较大的拉力。这时物体的重力便引起了动载荷作用。

在工程中，构件受动载荷作用的例子很多。例如，内燃机的连杆、机器的飞轮等，在工作时它们的每一微小部分都有相当大的加速度，因此是动载荷问题。当发生碰撞时，载荷在极短的时间内作用在构件上，在构件中所引起的应力可能很大，而材料的强度性质也与静载荷作

用时不同，这种应力成为冲击应力。此外，当载荷作用在构件上时，如果载荷的大小经常作周期性的改变，材料的强度性质也将不同，这种载荷作用下的应力成为交变应力。冲击应力和交变应力的计算也是动载荷问题。

静刚度

静刚度的广义计算公式如下，

K=F/δ

（1）式中，F为作用于结构的广义力，δ是由广义力产生的广义位移。

一般来说，刚度和弹性模量是不一样的。弹性模量是物质组分的性质，而刚度是结构的性质。也就是说，弹性模量是物质微观的性质，而刚度是物质宏观的性质。材料力学中，弹性模量与相应截面几何性质的乘积表示为各类刚度，如GI为扭转刚度，EI为弯曲刚度，EA为拉压刚度，GA为剪切刚度。

动刚度

假设输入的激振力为，

P=p(ω)e iωt=p1ω,p2ω,⋯,p nω,⋯,p NωT e iωt

（2）响应为，

X=x(ω)e iωt=x1ω,x2ω,⋯,x nω,⋯,x NωT e iωt

（3）则N自由度系统的动力学方程为，

M X+C X+K X=P

（4）式4中，M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵。

采用模态叠加法，各点响应为各阶模态响应的线性组合，则可假设响应为，

X=Φξωe iωt

（5）式5中，Φ为系统的模态变换矩阵，可把响应从物理坐标系x(ω)转化为模态坐标系ξω，

x(ω)=Φξω

（6）式5和6中，

Φ=ϕ1,ϕ2,⋯,ϕr,⋯ϕN

（7）

ξω=ξ1ω,ξ2ω,⋯,ξrω,⋯ξNωT

（8）第r阶模态向量为，

ϕr=ϕ1r,ϕ2r,⋯,ϕnr,⋯,ϕNr T

（9）

将式5代入式4，两边同除e iωt得，

−ω2MΦξω+iωCΦξω+KΦξω=p(ω)

（10）两边同乘ΦT，

−ω2ΦT MΦξω+iωΦT CΦξω+ΦT KΦξω=ΦT p(ω)

（11）根据模态正交性，式10解耦后变为，

−ω2M diaξω+iωC diaξω+K diaξω=ΦT p(ω)

（12）式12中，M dia为主刚度矩阵，C dia为主阻尼矩阵，K dia为主刚度矩阵。

对式12展开可以求得第r阶模态对应的解为，

ξrω=

ϕr T p(ω)

2

r r r

（13）

通过把模态坐标转换为物理坐标，可以得到测点L的响应为，

x Lωe iωt=ϕLrξrωe iωt

N

r=1

（14）下面通过对单点激励的频响函数来引入源点动刚度的理论依据，假设对单点P进行激励，对单点L进行响应分析。

激振力P的表达式为，

P=p(ω)e iωt=0,⋯,0,p Qω,0,⋯,0T e iωt

（15）将式15代入式13中得，

ξrω=

ϕQr p Qω

−ω2m r+iωc r+k r

（16）

将式16代入式14得，

x Lωe iωt=

ϕLrϕQr p Qωe iωt

2

r r r

N

r=1

（17）

通过式17可以得到响应点L与输入点Q之间的频响函数为，

H LQ(ω)=x Lωe iωt

Q

iωt

=

ϕLrϕQr

2

r r r

N

r=1

（18）

当响应点L与输入点Q为同一点时，式18就变为源点的频响函数，即源点动刚度的倒数，