兀 2/r 3/r (l)/(l)=su?—, X2)=siz? —，f(3)=sm — =sm — , f(4)=sin — =sin 4- J J J J J
c •龙 • 7i ・ 2/r . 2TT
(),sin —，一 sin —, sin ——，一 sin ——
5 5 5 5
(2)令 a n =n 2
-2\n.由 0“<禺+】得，n-11 n<(n+1 )2-21 («+1) => n> 10.故斤丘｛11, 12, 13,…｝. 【解后归纳】
考察数列｛血的单调性，关键是看外<如］(或给>伽】)成立与否.
【例2］判断并证明函数心尸(XWN )的单调性.
」厂＞0"N ),故勢=富+伫＜1, (V x +1 + J x)
/(兀) J x + 2 + Jx + 1
Xx+l)
【解后归纳】(1)将分子有理化，是逆向思维，(2)当被比较的两个量是正数时，可考虑比较商. 【例
3】 设数列｛禺｝的前n 项和为S n , f\.(3-ni)S n +2ma n =m+3(n EN*),其中m 为常数H.加工・3.
【解前点津】 化函数.心)为
再比较f(x+\)与.心)的人小. 【规范解答】 证明：f(x)=
71
，A5)=o,
【规范解答】 故值域为
(1)求证:｛«…｝是等比数列.
(2)若函数｛禺｝的公比q=j\m),数列｛仇｝满足：求证:
等差数列，并求仇.
【解前点津】(1)将给与S“的递推式转化为关于為与為+1的递推式；(2)通过变形，证明
-——⑺22)是一个与无关的常数.
b n b n-\
【规范解答】证明：⑴由条件：加》+2;a” =/n + 3两式相减得：(3讪)如]+2加(如]
1(3 一fn)S n+l + 2ma n+i = m + 3
-^)=o =>也=卫_与”无关，故仏｝是一个公比为旦_的等比数列.
(2)由b“=l, q=/(加)=2^, b=l Abn})=l ・ m + 3 2 2
a n m + 3 m + 3
£｝是首项和公羌为訥等差数列，R+守宇，.咖士
【解后归纳】将禺与S”这种异类的递推公式转化为冷与如1(或S”与S申)这种同类的递推公式, 是变形的“常用方法”，常用的结论是：给+LS”+1・S“.
【例4】已知等比数列仇｝的各项为不等于1的正数，数列5｝满足儿 =2(G>0, G HI),
log“ 耳
设>*3=18,『6=12.
(1)数列｛%｝的前多少项和最大?最大值为多少？
(2)试判断是否存在自然数M,使得QM时，兀”>1恒成立,若存在，求出相应的M；若不存在, 请
说明理由.
(3)令a”=log心兀时心>13, nEN*),试比较a n与如】的大小.
【解前点津】通过计算)屛讪，考察｛%｝的属性，才能计算其前«项和
x
【规范解答】(l)y n=21og e A,r )0+1=210&並+1=>%+1 讪=210&並+i-2Iog(並=210臥亠~ , T 仇｝为等比
X
数列,・・・土为定值,・•・｛y n｝为等差数列，乂y6-y3=3J=12-18 , Z. d=-2.y｝=y r2d=22 , Z.
S“=22卄一D (・2)=・/+23〃,・••当,尸11或”12时，S”取最人值132.
2
(2)已知％=22+(几・1) • (-2)=21og內》, .\x n=a l2'n,又x…=a l2'n>\ tU成立，・••当a>l 时，12-n>0, n<12；当0\2.
・••当Ovavl时,存在M=12,当QM时,忑>1恒成立.
(3)d“=log：E= — = —~ =1 + —-—,已知在(13, +8)上是减函数，:.a tl>a n+],
n log’s [2-n n-12
【解后归纳】 存在性问题，常从计算，假设存在推导入手，值得注意的是：①假设应与条件背 景相符合，②对结果进行检验. •对应训练分阶提升 一、基础夯实
1.数列佃｝是公差不为0的等差数列，且如、©0、⑷5是等比数列｛加的连续三项，若等比数列｛仇｝
的首项勿=3,则加等于
3.
已知a”=sin —+cos —,则无穷数列｛a”｝中
（）
n n A.
有最大项无最小项 B.有最小项无最大项 C.既有最人项又有最小项
D.既无最人项又无最小项
4. 设 Q “=COS (+ ] 一 4n ),则数列{a H } A.单调递增 B.单调递减 C.先递增后递减 D.先递减后递增
5.
设 a n =a J
+bn 且尙=1,他=5,贝IJ 他
（）
A.71
B.72
C.73
D.74
6. 设数列仇｝, ｛九｝满足递推关系式:x n +x n y…= 1 -n+rT-n 及y n +x…y n =2n 2
-n\则以卜结论正确的是（）
A. ｛x”｝是递增数列，｛），”｝是递减数列
B. ｛x“｝是递减数列，｛%｝是递增数列
C. ｛/｝与｛%｝都是递增数列 。.｛无｝与｛曲都是递减数列
7. 设a“=log ］（4"・2"M+259）,则在无穷数列｛冷｝中，必冇
（）
3
A.最大项是・1
B.最小项是・1
C.最人项是1
D.最小项是1
9. 若无穷数列｛* ＞各项和为S,则10邸的值为
A.
24 y
2.在数列｛给｝中, B.5
a”=/・22〃+10, A."
B.9个 9
C.2
D.-
5
则满足切=4伽知）的等式有
C 」0个
D11个
8.已知正项无穷数列闪｝, ｛）%｝满足递推关系：2x n -y n =n, 3兀;=3/?・1侧lim
"TOO
的值
为
A.5
B.4 ()
D.2
