第四章_高次单元及空间问题的有限元

第 四 章 高 次 单 元 及 空 间 问 题 的 有 限 元 §4.2 四节点矩形单元
1.单元的位移函数 1.单元的位移函数
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将i，j，m，p四个节点的位移分量代入上式，并 四个节点的位移分量代入上式， 写成矩阵形式有： 写成矩阵形式有：
ξ ξ＝-1 ξ＝1 η＝ - 1 2 4 η＝ 1
η
3
1
边长为2 边长为2的正方形单元
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局部坐标对整体坐 标的坐标变换函数
通过坐标变换可以得到任意四边形的位移模式
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b 应变矩阵及其计算
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位移 模式
4. 平面等参单元
位移模式和局部坐标对整体坐标的变换采用了相 同形式和相同参数的单元称为等参数单元。 同形式和相同参数的单元称为等参数单元。 四节点等参单元 a 等参单元的构造
第 四 章 高 次 单 元 及 空 间 问 题 的 有 限 元 位移模式选取的不同， 位移模式选取的不同，从解题的过 程来看，它只影响了应变矩阵[B]的 程来看，它只影响了应变矩阵[B]的 变化， 变化，从而带来单元刚度矩阵和载 荷移置的变化。而其余各步， 荷移置的变化。而其余各步，包括 从单刚组集成总刚， 从单刚组集成总刚，总刚方程组的 求解，应变、 求解，应变、应力的计算等均与常 应变三角形单元的过程相同。因此， 应变三角形单元的过程相同。因此， 以下在介绍高次单元时， 以下在介绍高次单元时，我们只侧 重于进行单元的性态分析。 重于进行单元的性态分析。
3. 单元荷载移植
集中力
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γ为重度
体力 设体力密度为： 设体力密度为：
重力的移置： 重力的移置：
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则：
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例如三角形 分布荷载 面力
《 工 程 地 质 数 法 》 值
第四章 高次单元 及空间问题的有限元
邓 辉
成都理工大学环境与土木工程学院
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单元的 和位移
§4.1高次单元的提出及高次位移模式的构造 4.1高次单元的提出及高次位移模式的构造
1.有限元解的收敛性 1.有限元解的收敛性
2.高次位移模式的构造 2.高次位移模式的构造
构造高次的位移模式，当然首先应考虑的是形函数 构造高次的位移模式， 的完备性和协调性，同时要考虑几何各向同性。 的完备性和协调性，同时要考虑几何各向同性。
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例如构造一个含八项的三次位移模式 例如构造一个含有四项的二次位移模式
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则：
u = N i ui + N j u j + N m u m + N p u p
v = N i ui + N j u j + N m u m + N p u p
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矩阵形式 其中应变矩阵
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要使得位移模式暨满足完备性和协调性，同时又实 要使得位移模式暨满足完备性和协调性， 现几何各向同性的方法是根据帕斯卡三角形来选择 位移模式，在所选的多项式位移模式中， 位移模式，在所选的多项式位移模式中，若包含三 角形对称轴一边的任意一项， 角形对称轴一边的任意一项，则必须同时包含另一 边的对称项。 边的对称项。
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所以所画单元不 能为凹多边形 由于 所以 而
J ≠0
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所以 c 单元刚度矩阵及其计算 坐标变换
利用高斯积分得
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表面力 体积力 d 荷载的移置 集中力
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若边界荷载为线性分布，则可利用平行力系的原理 若边界荷载为线性分布， 将分布力等效地移置到节点上。 将分布力等效地移置到节点上。这比进行积分运算 要简单很多。在面问题中， 要简单很多。在面问题中，将边界力转化为等效节 点荷载一般不必作积分运算， 点荷载一般不必作积分运算，如下图所示线性分布 的荷载可按下述方法处理。 的荷载可按下述方法处理。
将上部积分结果代入单元刚度矩阵，并经简化后 将上部积分结果代入单元刚度矩阵， 可得平面应力问题的单元刚度矩阵各元素为： 可得平面应力问题的单元刚度矩阵各元素为：
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一般来说，为了方便起见， 一般来说，为了方便起见，通常将集中 载荷作用点设置为单元节点，这样， 载荷作用点设置为单元节点，这样，无 须再进行移植。 须再进行移植。
2.单元应变矩阵及刚度矩阵 2.单元应变矩阵及刚度矩阵
单元应变矩阵
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注意[B]中的元素 注意[B]中的元素，非常数 中的元素， 而： 单元刚度矩阵 由前面可知： 由前面可知：
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对于均部的面力可以简化为： 对于均部的面力可以简化为： 对于均匀分布、三角形分布和梯形分布等形式的 对于均匀分布、 荷载移植可按下式进行
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注意：八节点四边形等参单 注意： 元以及空间单元不要求同学 们掌握。 们掌握。