常数项级数审敛法
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高等数学级数1(2)
l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1
3
n
( 2) 3
n 1
n
1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin
3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1
1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n
则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.
6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1
7-2数项级数的审敛法
·复习 1 级数的概念。
2 级数的敛散性。
3 级数的性质。
·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。
一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。
我们先来考察正项级数的敛散性。
·讲解新课7-2 常数项级数的审敛法（一）一 正项级数及其审敛法定义 如果级数∑∞=1n n u 的每一项都是非负数，即0n u ≥，(1,2)n = ，那么称级数∑∞=1n n u 为正项级数．如果级数∑∞=1n n u 是一个正项级数，那么它的部分和数列{}n S 是一个单调增加数列：12......n S S S ≤≤≤≤，如果数列{}n S 有界，即n S 总不大于某一个常数M ，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数∑∞=1n n u 必收敛于和S ，且n S S M ≤≤；反之，如果正项级数∑∞=1n n u 收敛于和S ，即lim n x S S →∞=，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知：∑∞=1n n u 有界，因此可得如下结论：定理 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。
由此定理可知：如果正项级数∑∞=1n n u 发散，则当n →∞时，它的部分和数列n S →∞，即：1n n u ∞==+∞∑1 比较审敛法设有两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，如果n u ≤n v ),3,2,1( =n 成立，那么（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛.（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p －级数。
定义 当0p >时 ，11111123L L ppppn nn∞==+++++∑.称为 p －级数特别地：当1p =时，p －级数是调和级数11n n∞=∑。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
微积分学PPt标准课件06-第6讲常数项级数审敛法
故 M > 0 (不妨取 M > 1) , N > 0, 当 n > N 时,
un M 1 vn
即
0 vn < un
由比较判别法, 当 = 时,
vn 发散 un 发散
n1
n1
20
例4
判别级数
n1
1 n2 a2
的敛散性 ( a > 0 为常数).
1
解 因为 lim n2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
34
二. 任意项级数的敛散性 1.交错级数及其敛散性 定义
交错级数是各项正负相间的一种级数, 它的一般形式为
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1 u2 u3 u4 (1)n un
其中, un 0 ( n = 1 , 2 , … ).
35
定理 (莱布尼兹判别法)
S2m u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2m2 u2m1) u2m u1
2n 1 2n
(n =1, 2, …)
故 当n 1 时, 有
n 1
n1
Sn k 1 2k 1 k 1 2k
1
1
1
n
2 2
1 1
1
1 2n
1
2
即其部分和数列 {Sn} 有界,
从而,
级数
1 n1 2n 1
收敛.
8
3. 正项级数敛散性的比较判别法
设有正项级数 un 与 vn,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第六讲 常数项级数的审敛法
脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
1
第二章 数列的极限与常数项级数
12-1(A)无穷级数-常数项级数的审敛法
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 一般项 un趋于零, 即
n1
un收
敛
lim
n
un
0.
*证 设 un s, 由 un sn sn1 ,
有
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意 1. 一般项不趋于零级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
。
解an
6
cos
n
6
6
6
0 , 原 式 发 散 。
16/26
*例 7 试把循环小数2.317 2.3171717表示
成分数的形式.
解 2.317
2.3 0.017 0.00017 0.0000017
2.3
17 103
17 105
17 107
2.3
17 103
n0
1 100
n
2.3
2T (1
1 2n )
2
让 n ，上述和 2T ．(与实际经验相符！)
可见， 要把无限多项之“和”＝2T 理解为前 n 项之和，当n 时的极限。
但是，如果以如下方式减速前进：
T
T
3
2
T
1
1
0 14
2
1
此时需化为 8 T T T T ？ 234
实际经验不能给我们任何启示！
若先考虑
Sn
19/26
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
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感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
返回
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
常数项级数判别方法
常数项级数的审敛法定义 形如：级数其中即： 正、负项相间的级数称为交错级数。
列如莱布尼茨判别法 莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件则级数收敛，其其和其余项的绝对值注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误 注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件.使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与 大小111()n n n u ∞-=-∑n u >0111,2,3,);n n u u n +≥=L （）（lim 0,n x u →∞=（2）1,s u ≤nr 1.n n r u +≤0n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）111111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑L L（）.1112(1)1234(1)n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L（）.这是一个交错级数又因为n n u u n n +=>=+1111，且显然收敛速度较慢.收敛。
使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小比较 与大小的方法有: 比值法差值法11111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑1n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1||.10n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +11n nu u +<10n n u u +->11n n u u +≥（）lim 0n x u →∞=(2)则交错级数111() n n n u ∞-=-∑。
10-2 常数项级数的审敛法
l 3l 即 v n < un < v n 2 2
由比较审敛法的推论, 由比较审敛法的推论
∞
∞
(n > N )
∞ 3l （ i） ∑ v n收 敛 ⇒ ∑ vn收敛 ⇒ ∑ un收敛 ） n =1 n =1 2 n =1
l un收 敛 ⇒ ∑ vn收敛 ⇒ ∑ vn收敛 （ ii） ） n =1 n =1 2 n =1
所以原级数发散。 所以原级数发散。
∑
n =1
∞
1 n+1 ln( ), n n+1 ∵
而∑ 3 收敛, n=1 2 n
∞
1 1 n+1 ln( )~ 3 n n+1 n2
1
所以原级数收敛。 所以原级数收敛。
13
定理 10.2.4 (比值审敛法 达朗贝尔 比值审敛法,达朗贝尔 审敛法) 比值审敛法 达朗贝尔D’Alember审敛法 审敛法
∑
∞
∑
∞
收敛, ∑1 v n 收敛 则 ∑ u n 收敛 ; n=
n=1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
发散, 发散. ∑ v n 发散 则 ∑ u n 发散. = =
n 1 n 1
∞
∞
9
un =l 证明 (1) 由 lim n→ ∞ v n
∃ N , 当 n > N时 ,
l 对于ε = > 0, 2 l un l l− < <l+ 2 vn 2
n =1 n =1
∞
∞
k > 0和正整数N，当n ≥ N 时，有un ≤ kvn , 则：
（ 1 ）∑ v n 收 敛
n =1 ∞ ∞
⇒ ⇒
第13章 无穷级数重点内容与练习
都收敛
（B）
un 与
un2 都发散
n 1
n 1
n 1
n 1
（C） un 收敛，而
u
2 n
发散（D）
un 发散，而
un2
n 1
n 1
n 1
n 1
收敛
6. 级数 sin( n2 1) （ ）．答案： B n1
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛 （D）敛散性无法判定
7.
级数
n1
sin n n2
( )．
（A） a ,b （B） a 2 ,b 2 2 +
2
2
2
2
(C) a ,b
22
答案： D ．
（D） a 2 ,b
2
2
x2 1, 0 x ,
25.设
f
(x)
x2
1,
则 f (x) 以周期为 2 的傅
x 0.
里叶级数在点 x 处收敛于
．
答案： 2 ．
1 n
（
）．答案： C
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散
（D）无法确定
8. 设正项数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散， n1
试讨论
(1)n (1 an1 ) 的敛散性．
n1
an
解：依题知
lim
n
an
存在，设
lim
n
an
a
则
a
0
，且
an a, n 1, 2,
而 (1)n (1 an1 ) an an1 an an1
ln
2
2
x
．当
1102常数项级数的审敛法-2
n=2
n −1
的收敛性.
x − (1 + x ) ∵ x ≥ 2时, ( 时 < 0, )′ = x −1 2 x ( x − 1)2
x 故x ≥ 2时,函数 单调递减 , x −1
∴ n ≥ 2时, 有 un > un +1 ,
n 又 ∵ lim un = lim = 0, n→ ∞ n→ ∞ n − 1
例1 判定级数 ∑
∞ (−1)n
n=1
n
的收敛性.
1 解 这是一个交错级数 , 且un = , n
1 1 ∵ un = ≥ = un +1 , 且 lim un = 0, n n+1 n→ ∞
由莱布尼茨定理知, 级数收敛. 由莱布尼茨定理知, 原级数收敛.
例2 判定级数 ∑ 解
∞ (−1)n n
练习题
一 .判定下列级数的收敛性 : 判定下列级数的收敛性
1. ∑ n ; n =1 n 1 4. ∑ ; n = 2 ln n 1 7. ∑ arcsin ; n n= 2 n
∞ 1 ∞
∞
1
2. ∑
∞
1 nn n
n =1
;
3. ∑
∞
1
2n
n =1 n
; n
5. ∑
∞
∞ ( −1)n
n = 2 ln n
∞ ∞
∞ ( −1)n
解 由莱布尼茨定理知 ,级数收敛 , 级数收敛
1 又 ∵ ∑ un = ∑ 发散 , n =1 n =1 n + n
故原级数收敛,且为条件收敛. 故原级数收敛,且为条件收敛.
◆说明: (1)若 ∑ un 收敛 , 则 ∑ un也收敛; 说明:
【2019年整理】第十一章常数项级数审敛法
则 n sn
vn发散. n 1
不是有界数列 定理证毕.
推论: 若
u 收敛( 发散)
n 1 n
n 1
且 v n kun ( n N )( kun v n ) , 则 v n 收敛(发散).
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n y
n n
s,
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 7 判别级数 的收敛性. n1 n 2
x (1 x ) ( ) 解 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1) x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
取 0 0 1
N，使当n N时
则 r 0 1
由 lim n un 知
n
n
un 0 r
n
n r 收敛及比较审敛法得
un r
由
n N 1
(n N )
un n N 1
收敛
un n 1
收敛
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,
湖南大学微积分06-第6讲常数项级数审敛法
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
当 p >1 时, 按 1, 2, 22, 23, …, 2n, …项 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：
于是, P级数加括号后生成的级数的每一项均
小于以
r
1 2 p1
1
为公比的等比级数的相应项,
故当 p >1 时, P 级数收敛.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
n1
证 (2)
n
n
记 Sn uk , Gn vk ,
k 1
k 1
0 un vn (n = 1, 2, …)
0 Sn Gn
若 un 发散, 则部分和Sn 无界, 从而 vn
n1
n1
的部分和Gn 也无界, 故级数 vn 发散 .
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大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第六讲 常数项级数的审敛法
脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第二章 数列的极限与常数项级数
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反之，若 an 发散，则 bn 发散.
n1
n1
证明
(1) 设 bn
an bn ,
n1
且 sn a1 a2 an b1 b2 bn
即部分和数列有界
an收 敛. n1
(2) 设 sn (n ) 且 an bn ,
则 n sn 不是有界数列
bn发 散. n1
p
级
数
当 当
p p
1时 1时
, ,
收敛 发散
补充：积分审敛法
例２ 判定级数
1
的敛散性
n1 n 2n
解 由于
11 n 2n 2n (n 2)
而等比级数
1
n1 2n
收敛，由比较审敛法知原级数收敛．
例 3 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
(1) n1
n;
ln(1 1 )
(2) n1
n;
解
(1)
n 时，1 cos 1 n
～
1 2n2
而
1 收 敛 ， 故原级数收敛
n1 2n2
(2) n
时，ln(1
1)～ n
1 n
而
1发散，
故原级数发散
n1 n
注: ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用的等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
n!
(2) n1 10n ;
(1)若an与bn是同阶无穷小，则 an与 bn同敛散
特别地，若an ~ bn (等价无穷小) 则 an与 bn同敛散 (2)若an o(bn ), 且 bn收敛，则 an收敛 (3)若bn o(an ), 且 bn发散，则 an发散
例 5 判定下列级数的敛散性:
(1 cos 1 )
an
当 1时, 取 1 , 使r 1,
, aN 2 ra N 1 , aN 3 ra N 2 r 2aN 1 ,
aN m r m1aN 1 , 而 级 数
r
m
1a
N
收
1
敛,
m1
aN m an收 敛, 故原级数收敛
m 1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
重要基本级数: 几何级数, p-级数, 调和级数.
比较审敛法的不便: 须有参考级数(基本级数); 需要建立不等式.
2.比较审敛法的极限形式:
设 an 与 bn 都是正项级数, 如果
n1
n1
lim an b n
n
k,
则(1) 当0 k 时,二级数有相同的敛散性;
当n N时,
an1
ran
an,
lim
n
an
0.
故原级数发散
时类似可证。
比值审敛法的优点:
不必找基本级数. 直接从级数本身的构成——即一般项来判定其敛散性
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例 级数 1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
an
2 (1)n 2n
3 2n
bn ,
级数 an
n1
n1
2 (1)n 2n
收 敛,
但
an1 an
2 (1)n1 2(2 (1)n )
un ,
lim
n
u2
n
1 6
,
lim
n
u2
n1
3, 2
lim an1 a n
n
lim
n
un
不 存 在.
例 6 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
(2)(3)同理可证.
例 4 判定下列级数的敛散性:
(1) sin 1 ;
n1 n
sin 1
1
(2) n1 3n n ;
解 (1) lim n
n 1
1,
n
1
(
2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim
n
1
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
3. 比阶审敛法 设an 0, bn 0(n ),
(2) 当k 0时，若 bn收敛,则 an收敛;
n1
n1
(3) 当k 时, 若 bn 发散,则 an 发散.
n1
n1
证明
(1) 由lim an k b n
n
对于 k 0,
2
N , 当n N时, k k an k k
2 bn
2
即
k 2
bn
an
3k 2
bn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
常数项级数审敛法
在研究级数时，直接由定义来判定级数的敛 散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法 来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法
正项级数
任意项级数
第二节
正项级数及其审敛法
一、定义与基本定理 1.定义: 如 果 级 数 an中 各 项 均 有an 0， n1 这种级数称为正项级数. 许多级数的敛散性判定问题 都可归结为正项级数的敛散性问题
定理证毕.
推论: 若 an 收敛(发散)
n1
且
bn
kan (n
N
)(kan
bn ) ,则
bn
n1
收敛(发散).
例 1 讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.
解
设
p
1,
1 np
1, n
1发 散 ， 则p 级 数 发 散. n1 n
设 p 1,
由图可知
1 np
n dx x n1 p
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列. 基本定理
正 项 级 数 收 敛 部 分 和 所 成 的 数 列 sn有 界 .
二、审敛法则
1.比较审敛法
设 an和 bn均 为 正 项 级 数 ，
n1
n1
且 an bn (n 1, 2, ) ,若 n1 bn 收敛,则 n1 an 收敛；
y
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 dx 1 xp
n dx x n1 p
y
1 xp
(
p
1)
o 1234
x
11
1
sn 1 2 p 3 p n p
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
1
n dx 1 xp
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1 1 p1
即sn有界, 则p 级数收敛.
2
4.比 值 审 敛 法(达 朗 贝 尔 D’Alembert 判 别 法 )：
设
an
n1
是正项级数,如果
lim
n
a n1 an
(常 数 或 )
则 1 时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 an1 ,
an
即 an1 (n N )