函数及其表示法要点归纳
函数的表示法知识点
函数的表示法1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值。
列表法：便于查出函数值。
图象法：便于量出函数值5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
函数及其表示知识点
函数及其表示知识点一、函数的定义和特征在数学中，函数是一种关系，它将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。
函数通常用字母表示，例如f(x)或g(y)，其中x和y是输入值，f(x)和g(y)是对应的输出。
函数的定义可以用多种方式表达，比如公式、算法或图表。
函数的核心特征是单值性和一对一性。
单值性要求每个输入对应唯一的输出，而一对一性则要求每个输出值只能由一个输入产生。
二、函数的符号表示函数可以用多种符号来表示，最常见的是用函数名和自变量表示函数。
例如，f(x)表示一个以x为自变量的函数。
函数的符号表示还可以用映射符号箭头“→”表示，例如f: x→f(x)。
在离散数学中，函数也可以使用集合的形式表示。
例如，如果定义了一个函数f，将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以用f: A→B表示。
三、函数的图像表示函数的图像是一种常用的表示方式。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的特点和关系。
函数的图像通常是在笛卡尔坐标系中绘制的。
横轴表示自变量，纵轴表示函数的值。
函数的图像可以是曲线、直线、折线等不同形状。
曲线图像可以反映函数的变化趋势和特征，而直线和折线图像则更加简单明了。
四、函数的性质和分类函数有许多性质和分类。
其中一些重要的性质包括：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。
2. 奇偶性：如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数；如果满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数。
3. 增减性：函数的增减性描述了函数的单调性。
如果函数在定义域上是递增的，称其为增函数；如果在定义域上是递减的，称其为减函数。
根据函数的具体形式和性质，我们可以将函数进行分类，常见的函数包括：1. 线性函数：形如f(x) = kx + b的函数，其中k和b是常数。
2. 幂函数：形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
3. 指数函数：形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。
函数的概念及其表示方法知识点及题型总结
函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。
函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R;2．反比例函xk x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.变式：求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例2 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f【抽象函数定义域的求法】 例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域二、函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结
高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结函数是高中数学中一个重要的知识点，涉及到函数的概念、性质、图像、分类和应用等方面。
以下是高中数学中关于函数的知识点总结。
1、函数的定义：对于一个自变量集合D和一个值域集合R，如果存在一种规律使得对于任意一个自变量x∈D，都能唯一确定一个值y∈R，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量，f称为函数。
2、函数的表示方法：（1）显式表示法：y=f(x)（2）参数表示法：y=f（x,a,b,c……）（1）定义域：x的取值范围（2）值域：对于定义域中的每一个x，其得到的函数值y的集合（3）奇偶性：f(x)=f（-x）时，称函数f(x)为偶函数；f（x）=-f（-x）时，称函数f（x）为奇函数；对于任意函数f（x），其可分解为奇函数和偶函数的和（4）单调性：若对于定义域D内的任意两个数x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则函数f（x）在D内单调递增；若对于定义域D内的任意两个数x1<x2，都有f（x1）>f（x2），则函数f（x）在D内单调递减；若函数f（x）在D内单调递增或单调递减，则称其为单调函数（5）周期性：若存在一个正数T，使得对于定义域D内的任意x，均有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期4、函数的图像:（1）一般函数的图像：曲线（2）奇函数的图像：关于原点对称（4）周期函数的图像：具有一定的对称性（1）初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（2）组合函数：由多个初等函数组合而成（3）参数方程、隐函数、微积分中的函数等函数在数学中的应用范围非常广泛，涉及到数学、物理、化学、工程、生物等多个领域。
例如：（1）最值问题（2）曲线的切线和法线（3）求函数的零点、极值、间断点（4）微积分、求导和积分（5）奇偶性的应用综上所述，函数是高中数学中的重要知识点，需要掌握其定义、性质、分类和应用等方面的内容。
函数及其表示和基本性质
1.知识点：函数的表示法掌握几种表示方法：解析法、图象法、列表法根据题目内容列出对应的函数式子，需要分类讨论。
掌握分段函数和映射的特点：映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。
记作f：A→B分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．3.知识点二：函数的基本性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .例题：已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则()A．f(6)>f(7)B．f(6)>f(9)C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)[答案] D[解析]∵y＝f(x＋8)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，∴f(10)＝f(6)<f(7)＝f(9)，故选D函数最大（小）值（定义见课本p36页）○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；课后习题：某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t＝0表示，其后t的取值为正，则上午8时的温度为()A．8℃B．112℃C．58℃D．18℃．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．[0,1]D ．{－1,1}函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．{1，3，5}D ．R对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 (x ≥0)(x ＋1)2 (x <0)，下列结论中正确的是( ) A ．是奇函数，且在[0,1]上是减函数B ．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数C ．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数D ．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (0，－5)，B (5,0)，它的对称轴为直线x ＝2，则这个二次函数的解析式为________．.已知函数f (x )＝2x x 2＋1 (1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；（3）求f(1)和f（-2）。
初中函数知识点总结图
初中函数知识点总结图初中函数知识点总结图函数是数学中的一种基本概念，也是数学与其他学科之间重要的桥梁，对于学习数学的同学来说，掌握函数的概念和相关知识点是非常重要的。
下面是初中函数知识点的总结图。
一、函数的概念函数是一种特殊的依赖关系，即每个自变量对应唯一一个因变量。
函数可以用集合对来表示，也可以用具体的公式来描述。
函数的自变量通常表示为x，因变量通常表示为y。
二、函数的表示方法1. 函数的集合对表示法：{(x, y)}函数的集合对表示法是最简单的一种表示方法，其中x为自变量的取值，y为对应的因变量的取值。
2. 函数的函数式表示法：y = f(x)函数的函数式表示法是一种常见的表示方法，其中f表示函数的名称，x为自变量，y为因变量。
三、函数的性质1. 定义域和值域定义域是函数输入值的范围，值域是函数输出值的范围。
2. 奇偶性如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；否则，函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 单调性如果对于任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；如果对于任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数；否则，函数既不是递增函数也不是递减函数。
4. 零点如果f(x0) = 0，且x0为函数的定义域内的一个点，则x0称为函数的零点。
5. 极值如果对于函数f(x)，存在一个区间(x1, x2)，在这个区间内，函数在某点x0处的函数值f(x0)大于等于f(x1)和f(x2)的函数值，或者小于等于f(x1)和f(x2)的函数值，则函数在x0处取得极值。
四、函数的图像函数的图像是函数在直角坐标系上的图形表示，通过函数的图像可以直观地了解函数的性质。
五、常见的函数类型1. 一次函数一次函数也称为线性函数，表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
一次函数的图像是一条直线。
04函数及其表示
题 型四
分段函数及其应用
【例 4】(09 年山东改编)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝ log21－x， x≤0， 则 f(2 013)的值为______． 0 fx－1－fx－2，x>0，
变式训练 4
பைடு நூலகம்
sin x( x 0) 1.已知f x 1 , 求f lg x x 0
f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1=f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1=f(-1)+f(1)-2, ∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1=f(-2)+f(1)-4, ∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1=f(-3)+f(1)-6, ∴f(-3)=6.
函 数
基本性质
周期性 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)= f (0)=0.
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.
正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数
1 f 9 的值 2
1
sin( x 2 ), 1 x 0, 2.（05山东卷函数) f ( x) x 1 ， 若 e , x 0.
f (1) f (a) 2 则 a 的所有可能值为（ C ）
函数常用公式及知识点总结
函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。
线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。
二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。
指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。
4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。
对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。
5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。
二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。
如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。
3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。
平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。
4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。
复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。
高一数学函数知识点归纳总结大全
高一数学函数知识点归纳总结大全函数是数学中非常重要的概念之一，在高一阶段的数学学习中，我们会接触到许多有关函数的知识点。
本文将对高一数学函数知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们系统地理解和掌握这些内容。
一、函数的定义和表示方法函数是一个将一个集合中的元素（称为自变量）映射到另一个集合中的元素（称为因变量）的规则。
函数可以用各种方式来表示，常见的有解析式、图像和表格。
1. 解析式表示法：函数可以用解析式来表示，通常采用f(x)或y的形式表示。
例如：f(x) = 2x + 1，y = sin(x)。
2. 图像表示法：函数的图像是用直角坐标系上的点表示的，其中自变量通常对应横坐标，因变量对应纵坐标。
3. 表格表示法：函数可以用表格形式来表示，其中列出自变量的取值和对应的因变量的取值。
二、函数的性质了解函数的性质有助于我们更好地理解函数的特点和行为。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有使得函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数的所有可能的因变量的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) =f(x)成立，则函数是偶函数；如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则函数是奇函数；否则函数既不是偶函数也不是奇函数。
3. 单调性：如果函数的自变量增加时，其对应的因变量是单调递增或单调递减的，我们称这个函数是单调函数。
4. 周期性：如果函数的某个正数T满足对于函数的所有x值都有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性，T是函数的一个周期。
三、常见函数的类型在高一阶段，我们会学习到以下几类常见的函数。
1. 一次函数：一次函数的解析式为f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条斜率为a的直线。
2. 二次函数：二次函数的解析式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
数学所有函数知识点总结
数学所有函数知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种特殊的关系，其中每个自变量的值都对应一个唯一的因变量的值。
通俗来讲，函数就是一个“黑匣子”，输入一个自变量，通过某种规律运算之后，得到一个因变量的值。
函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
二、函数的表示1. 显式表示法：y = f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示因变量和自变量的关系。
2. 参数方程表示法：x=f(t), y=g(t)，其中t是参数。
3. 值域法：f: X → Y，表示自变量X的取值范围与因变量Y的取值范围之间的对应关系。
4. 函数图形表示法：通过画出函数的图形来表示函数的性质和特点。
三、函数的分类1. 按定义域和值域的关系分类：一元函数、多元函数。
2. 按函数的解析表达式的形式分类：代数函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数、双曲函数、常数函数、分段函数等。
3. 按导数的存在性分类：可导函数、不可导函数。
四、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 奇偶性：奇函数和偶函数。
3. 单调性：增函数和减函数。
4. 周期性：周期函数。
5. 对称性：轴对称函数和中心对称函数。
五、函数的运算1. 四则运算：加法、减法、乘法、除法。
2. 复合运算：f(g(x))，表示g(x)的结果再作为自变量输入到f(x)中进行运算。
3. 反函数运算：如果f(x)是函数，且f(x)在其定义域内是一一对应的，那么可以定义一个函数g(x)，使得g(f(x)) = x，这个函数称为f(x)的反函数。
六、函数的极限1. 函数极限的概念：当自变量趋于某个值时，因变量的值趋于一个确定的值。
2. 极限的性质：有界性、保号性、夹逼性、局部有界性、局部保号性、局部夹逼性。
3. 函数极限的计算方法：利用极限的性质和函数的性质进行计算。
七、函数的导数1. 导数的概念：定义导数为函数在某一点的切线的斜率，也可以表示为函数的变化率。
函数及其表示总复习
2．函数的表示法 表示函数的常用方法有： 解析法、图象法 、列表法 .
3．映射的概念 设 A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对
应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集 合 B 中 都有唯一 定的元素 y 与之对应，那么就称对 应 f：A →B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射. 4．函数与映射的关系 由映射的定义可以看出，映射是 函数 概念的推广，
解 由题意知：xx＋＋2x≥＋02≤5 或xx＋－2x<－02≤5 ， 解之得－2≤x≤32或 x<－2. 所以原不等式的解集为－∞，32.
探究提高 分段函数是一个函数，要注意每一分支中的自
变量的取值范围，这些范围的并集形成函数的定义域．同
样它的值域应是各阶段相应 y 的范围的并集．
巩固练习 (2010·湖北)已知函数 f(x)＝l2oxg，3x，xx≤＞00，，
(2)由于函数 f(x)＝ x· x＋1的定义域为{x|x≥0}，而 g(x) ＝ x2＋x的定义域为{x|x≤－1 或 x≥0}，所以它们不是 同一函数． (3)两个函数的定义域、值域和对应关2 (2010·湖北)函数 y＝ log0.514x－3的定义域为
()
解析 y＝|xx|＝1－，1，x>x0<，0， 排除 A； y＝|x－1|＝1x－－x1，，xx≥ <11，， 排除 B； yy＝ ＝xx32x＋ ＋2＝x1＝|x|x＝，定x－义x 域xx、≥<0对0应，关y系＝均3 x相3 ＝同x．，排除 C.
答案 D
题型分类 深度剖析
题型一 对函数概念的准确理解 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数：
例3、 已知函数y f (x 1)的定义域为[2,3], 求函数y f (2x 1)的定义域.
高中数学函数知识点归纳
高中数学函数知识点归纳高中数学函数知识点归纳（上）函数是高中数学中一个非常重要的知识点，是数学中的基础概念之一。
函数的研究和应用贯穿于高中数学的整个教学过程。
下面将对高中数学中函数的知识点进行系统的归纳总结。
一、函数的定义及其表达方式1. 函数的定义函数是指在两个集合之间有规律地对应元素的关系。
一般地，设A、B是两个非空集合，则f是从A到B的函数，如果对于任意的a∈A，有且只有一个b∈B与之对应，即f(a)=b，称b是a的像，a是b的原像，记作f：A→B。
2. 函数的表达方式（1）显式表达式：y=f(x)，y是关于x的函数，f(x)是y的表达式。
（2）参数方程：x=f(t)，y=g(t)，t是参数，x和y均为t的函数。
（3）极坐标方程：r=f(θ)，θ是极角，r是极径。
二、函数的性质及其应用1. 奇偶性设f(x)是定义在R上的函数，如果对于任意x有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数。
如果对于任意x有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为一般函数。
奇偶性可以通过图像的对称性来判断。
2. 周期性设f(x)是定义在R上的函数，如果存在一个正数T，使得对于任意x有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
周期性可以通过函数的图像来判断。
3. 单调性设f(x)是定义在[a,b]上的函数，如果对于任意的x1<x2有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调不降的；如果对于任意的x1<x2有f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调不增的；如果存在x1<x2，使得f(x1)<f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调递增的；如果存在x1<x2，使得f(x1)>f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调递减的。
4. 函数的极限当自变量趋近于某一值的时候，函数值也会趋近于某一值，这种趋近可以用极限来描述。
高中数学必修一之知识讲解-函数及其表示方法
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；x a x b a b<≤=；[){|},(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
函数的概念及表示方法
函数的概念及表示方法一、 知识梳理1、函数：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数)(x f 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=，)(2、对于函数A x x f y ∈=，)(，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域。
3、函数的三要素：定义域、值域和对应关系。
4、表示函数常用的三种方法是解析法、图像法和列表法5、在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数6、分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集二、 典例精析例1、 下列式子是否能确定y 是x 的函数？（1）222=+y x （2）111=-+-y x （3）x x y -+-=12例2、 下列各题中的两个函数相等吗？请说明理由。
（1）()2)()(x x g x x f ==， （2）3)(39)(2+=--=x x g x x x f ，例3、已知集合{}{}54321，，，，==B A ，则从A 到B 的函数)(x f 有 个例3、 求下列函数的定义域（1）21)(-=x x f （2）241)(+-∙-=x x x f （3）()x x x y -+=01 （4）213)(+++=x x x f例4、（1）若函数)(x f 的定义域为[]41，，求)2(+x f 的定义域（2）已知)1(+x f 的定义域为[]30，，求)(x f 的定义域例4、 已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 取值范围变式：已知函数862++-=k kx kx y 的定义域是R ，求实数k 的取值范围例5、 求下列函数的值域：（1）{}5432112，，，，，∈+=x x y （2）1+=x y （3）1+=x x y （4）2211xx y +-= （5）245x x y -+= （6）12--=x x y （7）152222++++=x x x x y例6、 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=222112)(2x x x x x x x f ，，， 中，若3)(=x f ，则x 的值为例7、 作出下列函数的图像：（1）112-+=x x y （2）122+-=x x y变式：讨论关于x 的方程)(342R a a x x ∈=+=的实数解的个数例8、 求下列函数的解析式（1） 已知)(x f 是二次函数，且1)()1(2)0(-=-+=x x f x f f ，，求)(x f（2） 已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f（3） 已知函数x x x x x f 11)1(22++=+，求)(x f （4） 已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f三、 过关精炼1、下列说法中，不正确的是（ ）A 、函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应B 、函数的定义域和值域一定是不含0的集合C 、定义域和对应法则完全相同的函数表示同一个函数D 、若函数的定义域中只有一个元素，则值域也只含有一个元素2、函数x x y 22-=的定义域为{}3210，，，，那么其值域为（ ） A 、{}301-，，B 、{}3210，，，C 、{}31≤≤-y yD 、{}30≤≤y y 3、与x y =为同一个函数的是（ ）A 、()2x y =B 、2x y =C 、()⎩⎨⎧<->=)0(0x x x x y D 、x y = 4、若)()2(32)(x f x g x x f =++=，，则)(x g 等于（ ）A 、12+xB 、12-xC 、32-xD 、72+x5、一个面积为2100cm 等腰梯形，上底长为xcm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为（ ）A 、)0(50>=x x yB 、)0(100>=x x yC 、)0(50>=x x yD 、)0(100>=x x y6、已知a a f x x f ，则，16)(13)(=+==7、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域8、求下列函数的值域（1）x x y 422+--= （2）3222-+=x x y（3）{})3210(16322，，，∈-++-=x x x x x y。
7知识讲解-函数及其表示方法-基础
函数及其表示方法要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{|}(,);<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b(]x a x b a b≤<=；{|},<≤=；[){|},x a x b a b(][)x x b b x a x a≤=∞≤=+∞.{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1：下列式子是否能确定y 是x 的函数？（1）222;x y +=（21;（3）y =【答案】（1）不能 （2）能（3）不能【解析】（1）由222,x y +=得y =y 是x 的函数，如当1x =时，由它所确定的y 值有两个，即y=1±.（2）1,=得2(11y =+，∴当x 在{}|1x x ≥中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数.（3）由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x ∈∅， 故由它不能确定y 是x 的函数.例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g = （2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g += （4）|x |)x (f =；2x )x (g =【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是 【解析】(1) ()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是全体实数，因此是不同的函数；(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数；(3) ()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4) ()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数； (2)2x y =与y=|x|是同一函数； (3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数. 【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. 类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =（3）0y = 【答案】（1）[―8，3]；（2）{－1}；（3）（－∞，0）【解析】（1）要使函数y =则8030x x +≥⎧⎨-≥⎩ ， 解得：－8≤x ≤3．故函数的定义域为[―8，3]（2）要使函数y =则22101010x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得：x =―1．故函数的定义域为{－1}．（3）要使函数0y = 则10||0x x x -≠⎧⎨->⎩，解得：x ＜0．故函数的定义域为（－∞，0）．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)3f (x)|x 1|2=--；(2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1．【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x 1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x ≠-1且x ≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x 10x 3x 1x 30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞； (3)要使函数有意义，须使1x 0,x 0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1.类型三、求函数的值及值域例4. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x 2-46x+40，4x 2-6x-55．【解析】(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x 2-46x+40；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2×(2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；-2(2)() (3)()3x f x f x x ==+. 【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）)+∞；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．【解析】(1)法一：配方法求值域．2224(1)3y x x x =-+=-+，①当[]4,1x ∈--时，max min 28,7y y ==，∴值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，max min 12,3y y ==，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x =，所以函数在区间(],1-∞上单调递减，在区间[)1,+∞上单调递增．所以①当[]4,1x ∈--时，值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，值域为[3，12]．(2))22-23(-1)22,2,y x x x ⎡=+=+≥∴+∞⎣值域为； (3)-23-5551-,0,13333x x y y x x x x +===≠∴≠++++，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）1y x =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x-=+；（4）254y x x =+- 【答案】（1）[)1,+∞；（2）{}|2y y ≠；（3）(]1,1-；（4）[]0,3．【解析】（1）0,11x x ≥≥，即所求函数的值域为[)1,+∞；（2）213x y x +=-2672(3)772333x x x x x -+-+===+---，703x ≠-，2y ∴≠，即函数的值域为{}|2y y ≠； （3）2211x y x-=+2211x =-++ 函数的定义域为R22211,021x x ∴+≥∴<≤+，221111x ∴-<-+≤+，(]1,1y ∴∈-，即函数的值域为(]1,1-． （4）25(2)9y x =+=--+20(2)99x ≤--+≤∴所求函数的值域为[]0,3．类型四、映射与函数例6. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)()1,(21)x n f x x n =⎧=⎨=+⎩． （4）是映射，也是函数．（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；(3)A=R ，B=R ，;x1x 1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数.【变式2】已知A ={1，2，3，k }，B ={4，7，a 4，a 2+3a }，a ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =3x +1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值．【答案】a =2，k =5【解析】若x ∈A ，y ∈B ，使B 中元素y =3x +1和A 中的元素x 对应，则当x =1时，y =4；当x =2时，y =7；当x =3时，y =10；当x =k 时，y =3k +1；又由a ∈N *，∴a 4≠10，则a 2+3a =10，a 4=3k +1解得a =2，k =5．类型五、函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +；(2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ；(3)已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．【答案】（1）2()483f x x x =++；（2）2()243f x x x =-+；（3）2()2f x x x=---． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.(1)用代入法，22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++．(2)法一：换元法令1t x =+，则1x t =-，所以22()2(1)1243f t t t t =-+=-+即：2()243f x x x =-+.法二：凑配法 2(1)21f x x +=+=22(1)4(1)3x x +-++，所以2()243f x x x =-+． (3)1()2()32f x f x x -=+ ①，用1x代替上式中的x ，得13()2()2f f x x x -=+ ② 由①②联立，消去1()f x，得 2()2f x x x=--- 故所求的函数为2()2f x x x =---． 举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【答案】f(x)=x 2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t 2+2t-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法3)设f(x)=ax 2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x 2+4x+21x 2x )x (f 1c 2b 1a 2c b a 4b a 21a 2-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴；类型六、函数的图象例8.作出下列函数的图象. （1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x +=-；（3）2|2|1y x x =-+． 【解析】(1){21012}x ∈--，，，，，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．（2）213211x y x x +==+--， ∴先作函数3y x =的图象，把它向右平移一个单位得到函数31y x =-的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数211xyx+ =-的图象．如下图（2）．（3）先作22y x x=-的图象，保留x轴上方的图象，再把x轴下方的图象对称翻到x轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到2|2|1y x x=-+的图象，如下图所示（3）．类型七、分段函数例9.函数22,1,(),12,2, 2.x xf x x xx x+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x=，则x的值为（）．A．1 B．1或32C．3± D．3. 【答案】D【解析】若1x≤-，由23x+=，得11x=>-，舍去．若12x-<<，由23x=，得3x=±，由于31-<-，舍去，故3x=．若2x≥，则23,x=得322x=<，舍去．综上知3x=．故选D．举一反三：【变式】已知函数2010()x,xf xx,x>⎧=⎨+≤⎩，若10()+()f a f=，则实数a的值等于（）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】选A【解析】∵10()+()f a f=，∴1()()f a f=-，又∵1＞0，∴1212()=f⨯=∴2()f a=-作出函数()f x的图象，如图则12()f a a=+=-∴3a=-例10．已知函数()11f x x（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．【答案】（1）121()()x x ,y x x .≥⎧=⎨-<⎩（2）如图（3）[)1,+∞．【解析】（1）由题意，去掉绝对值符号，则考虑x ＞1和x ＜1两种情况∴ 当x ≥1时，()11f x x x 当x ＜1时，()112f x x x即121()()x x ,y x x .≥⎧=⎨-<⎩（2）（3）由（2）图形可知，()f x 的值域为[)1,+∞．。
(文章)函数及其表示法要点归纳
函数及其表示法要点归纳一、学习目标1.理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域;2.了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法；3.掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。
二、重难点归纳1.学习函数概念一定要注意理解其实质.⑴山于函数实质上是非空数集之间的对应关系。
按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y二2x+l ”,“y二3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如<4y = x\ xWR”，“y = 5, xWR”等等.但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y二土依，x>0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个实数x,• •在函数值的集合中都有唯二确定的数/(X)与之对应，比如，当x = 4时，/(4)二2 或/(4)=-2.⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系.在函数符号y*⑴中，/是表示函数的对应关系，等式y二/Ct)表明，对于定义域中的任意x,在“对应法则的作用下，即可得到y.因此，/是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。
/(X)可以是解析式，也可以是图象或数表.符号/(x)与/(°)既有区别又有联系./(a)表示当自变量x = a时函数/(X)的值，是一个常量；而是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量./(“)是/(x)的一个特殊值.⑶等式y=/(x)还表明，对于定义域中的任意x,在对应关系/■的作用下, 可得到y.因此，/是使“对应”得以实现的方法和途径.所以，给定一个函数, 若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定.所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素.如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函数，而与自变量和因变量用什么字母表示无关；反之，如果两个函数表示同一种函数关系，则它们的定义域和对应法则也相同.2.函数的表示方法表示一个函数可用三种方法：解析法、图象法、列表法，它们各有特点，其中解析法是用解析式y二/（x）表示两个变量x、y的函数关系的方法，在理论研究方面尤为重要，但并不是每个函数的都有解析式，有时就是有解析式也不一定容易求出来。
函数的表达知识点归纳总结
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函数的表示方法
函数的概念及表示方法重点、难点：1. 对应、函数、映射2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3. 定义域、值域计算的基本方法4. 计算的基本方法5. 分段函数与复合函数1. 函数设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么称:f A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作：(),=∈.个人收集整理勿做商业用途y f x x A其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域；与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}∈叫值域。
f x x A[注意] ①构成函数的三要素：__________、_________、_________。
②A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。
③函数符号()f x的含义：()f x表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看做是对“x”施加某种法则（或运算），如2=-+，f x x x()23当2x=时，可看做对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x为某一个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如22(21)(21)2(21)3[()]2()3-=---+=-+等等。
f x x xg x g x④()f a的区别于联系。
f x与()f x是自变量x的函数，在f x的值，是一个常量；而()f a表示当x a=时，函数()()一般情况下，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特征值。
如一次函数()35f x x =+，当8x =时，()38529f x =⨯+=是一个常量。
个人收集整理 勿做商业用途 ⑤定义域，在实际问题中受到实际意义的制约。
如函数y x =的定义域为{}|0x x ≥；圆半径r 与圆面积S 的函数关系为2S r π=的定义域为{}|0r r >。
个人收集整理 勿做商业用途例1 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) 例2 函数y ＝x x 23与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？同一函数的判断：两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时，才是同一个函数，这说明：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应关系不同，两个函数也是不同；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数。
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函数及其表示法要点归纳
一、学习目标
1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域；
2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法；
3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。
二、重难点归纳
1．学习函数概念一定要注意理解其实质．
⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。
按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．．
确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2．
⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。
()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与
()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x
= a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值． ⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数，若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定．所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素．如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函
数，而与自变量和因变量用什么字母表示无关；反之，如果两个函数表示同一种函数关系，则它们的定义域和对应法则也相同．
2．函数的表示方法
表示一个函数可用三种方法：解析法、图象法、列表法，它们各有特点，其中解析法是用解析式y =()f x 表示两个变量x 、y 的函数关系的方法，在理论研究方面尤为重要，但并不是每个函数的都有解析式，有时就是有解析式也不一定容易求出来。
用列表的方法解决某些问题时，简明扼要，是解决一些相关数学问题的有效方法。
函数图象是函数关系的直观表达形式，其中蕴涵了函数的一切信息，函数的图象为数形结合带来了便利条件，从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键．
3．函数定义域常见问题
求函数定义域一般有三类问题：第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数[()]f g x 的定义域或由[()]f g x 的定义域确定函数()f x 的定义域。
其中熟练掌握一些基本初等函数(一次函数、二次函数、分式函数)的定义域是求函数定义域的关键。
4． 刻理解对应与映射两个概念
映射是两个集合之间的一种对应．．
关系，对应与集合一样，是一个原始概念，不能用更基本的概念映射是两个集合之间的一种对应．．
关系，对应与集合一样，是一个原始概念，不能用更基本的概念来定义它．理解对应．．
概念应注意下列三点： ⑴A 的元素都能在f 下确定至少一个元素属于B ，即A 的元素都“参加”；
⑵A 的元素在f 下确定的元素存在即可，个数不限；
⑶“两允许两不允许”，即允许集合B 中有剩余元素，不允许集合A 中有剩余元素，允许多对一，不允许一对多．
5．函数是特殊的映射
用映射观点这样解释函数的定义，说明函数就是映射，是一类特殊的映射，而映射并不一定是函数，这一点可以从函数定义的三个“都．
”中反映出来．所以，每一个函数都要有映射的三大件：对应法则，原象集和象集．
三、例题精析
例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域．
解：由)(2x f 的定义域是[1，2]，是指1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，
即函数)(x f 的定义域是[1，4]．
评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求)(x f 的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题．
例2 已知函数)(x f 的定义域是[1，4]，求函数)(2x f 的定义域．
解：由)(x f 的定义域是[1，4]，意思是凡被f 作用的对象都在[1，4]中，即要使)(2x f 有意义，
则有1≤x 2≤4 ⇒ 1≤x ≤2或－2≤x ≤－1．
∴函数)(2x f 的定义域是[1，2][－2，－1]．
评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(x f 的定义域是A ，则x 必须是A 中的元素，而不能是A 以外的元素，否则，)(x f 无意义．因此，如果)(0x f 有意义，则必有x 0∈A ．所以，这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域是A ，据此求x 的取值范围，即由)(x ϕ∈A 建立不等式，解出x 的范围．例2和例1形式上正相反．。