函数及其表示法要点归纳
函数及其表示法要点归纳
一、学习目标
1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域；
2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法；
3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。
二、重难点归纳
1．学习函数概念一定要注意理解其实质．
⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．．
确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2．
⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与
()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x
= a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值． ⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数，若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定．所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素．如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函
数，而与自变量和因变量用什么字母表示无关；反之，如果两个函数表示同一种函数关系，则它们的定义域和对应法则也相同．
2．函数的表示方法
表示一个函数可用三种方法：解析法、图象法、列表法，它们各有特点，其中解析法是用解析式y =()f x 表示两个变量x 、y 的函数关系的方法，在理论研究方面尤为重要，但并不是每个函数的都有解析式，有时就是有解析式也不一定容易求出来。用列表的方法解决某些问题时，简明扼要，是解决一些相关数学问题的有效方法。函数图象是函数关系的直观表达形式，其中蕴涵了函数的一切信息，函数的图象为数形结合带来了便利条件，从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键．
3．函数定义域常见问题
求函数定义域一般有三类问题：第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数[()]f g x 的定义域或由[()]f g x 的定义域确定函数()f x 的定义域。其中熟练掌握一些基本初等函数(一次函数、二次函数、分式函数)的定义域是求函数定义域的关键。
4． 刻理解对应与映射两个概念
映射是两个集合之间的一种对应．．
关系，对应与集合一样，是一个原始概念，不能用更基本的概念映射是两个集合之间的一种对应．．
关系，对应与集合一样，是一个原始概念，不能用更基本的概念来定义它．理解对应．．
概念应注意下列三点： ⑴A 的元素都能在f 下确定至少一个元素属于B ，即A 的元素都“参加”；
⑵A 的元素在f 下确定的元素存在即可，个数不限；
⑶“两允许两不允许”，即允许集合B 中有剩余元素，不允许集合A 中有剩余元素，允许多对一，不允许一对多．
5．函数是特殊的映射
用映射观点这样解释函数的定义，说明函数就是映射，是一类特殊的映射，而映射并不一定是函数，这一点可以从函数定义的三个“都．
”中反映出来．所以，每一个函数都要有映射的三大件：对应法则，原象集和象集．
三、例题精析
例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域．
解：由)(2x f 的定义域是[1，2]，是指1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，
即函数)(x f 的定义域是[1，4]．
评析：一般地，已知函数))((x f ?的定义域是A ，求)(x f 的定义域问题，相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ，据此求)(x ?的值域问题．
例2 已知函数)(x f 的定义域是[1，4]，求函数)(2x f 的定义域．
解：由)(x f 的定义域是[1，4]，意思是凡被f 作用的对象都在[1，4]中，即要使)(2x f 有意义，
则有1≤x 2≤4 ? 1≤x ≤2或－2≤x ≤－1．
∴函数)(2x f 的定义域是[1，2][－2，－1]．
评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数))((x f ?的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(x f 的定义域是A ，则x 必须是A 中的元素，而不能是A 以外的元素，否则，)(x f 无意义．因此，如果)(0x f 有意义，则必有x 0∈A ．所以，这类问题实质上相当于已知)(x ?的值域是A ，据此求x 的取值范围，即由)(x ?∈A 建立不等式，解出x 的范围．例2和例1形式上正相反．
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点
华师大版八年级数学下册第17章函数及其图象【说课稿】函数的表示法
17.2.3 函数的表示法 各位专家、老师，大家好： 今天我说课的课题是函数的表示法，下面我将从以下几个方面进行阐述。首先我对本节教材进行简要分析： 1.说教材 本节内容是华师大版八年级数学（下）的第17章《函数及其图象》第二节第三课时，教学用一课时，该课时主要学习函数的三种表示方法及其简单应用，进一步加深对函数概念的理解。本节课中掌握函数的三种方法表示的以及各自的特点并灵活运用是教学的重点，对一个实际问题如何恰当地选择适当的表示方法，并对离散型函数及分段函数的理解成为教学的难点，为了突出重点、突破难点，深刻理解函数概念中的对应法则就是关键所在。基于以上对教材的认识，根据数学课程标准中提出的要求，考虑到学生已有的认知结构与心理特征，制定如下的教学目标。 2.说目标 （1）知识与技能： ①掌握函数的三种表示方法，明确每种方法的特点，尤其是解析法。 ②通过学习函数的三种表示法及其之间的相互转化，提升对函数概念的理解。 ③认识分段函数，并会初步应用。 ④初步学会用数学方法分析、解决实际问题，发展应用意识。 （2）过程与方法： ①通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量与变量之间的依赖关系的重要的数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 ②在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 ③通过具体的实例，了解简单的分段函数。 （3）情感、态度价值观： ①从学生熟知的实际问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。 ②把数学和实际相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。 ③通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养合作意识。为突出重点、突破难点、抓住关键，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈设计思路。 3.说教学方法 教法选择与教学手段：基于本节课的特点我着重采用指导自学、讨论交流、讲练结合的教学方法，进行优化组合，发挥各种方法的长处和优点，实现教学过程的
《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y = ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+ 《函数的概念》说课稿 浙江师范大学教师教育学院孙庆括 邮箱：sunqingkuo126@https://www.360docs.net/doc/6e13405354.html, QQ：441435300 各位领导和老师： 大家好！ 我说课的内容是人教版高中数学新教材必修1第一章第二节第一课时函数的概念。我将从教材分析、学情分析、教学过程、板书设计等四个方面汇报我的教学设想。 一、教材分析（5分钟） 教材分析包括教材的编写意图、教学重点与难点、教学目标设计和教法与学法选择。 1、教材的编写意图 “函数”是高中数学的核心概念，函数的思想方法贯通整个高中数学课程，它不仅对所学过的集合作了巩固和发展，而且也是学好指数函数、对数函数、三角函数以及数列等后继知识的基础和工具。下面从纵横两个方面作简要分析： 横向分析：旧教材在导入新课时基本上采用复习回顾初中函数知识导入新课或直接单刀直入给出新知识点，强调数学知识的逻辑性、系统性和连续性，而幼师学生往往初中数学基础薄弱，齐加尼克现象突出，面对枯燥乏味理论的数学知识早已失去兴趣，缺乏学习动力，这种导入将是无效的。新教材注重问题情境的设置，选取了丰富的背景实例和应用实例，从学生熟悉的生活情境或趣味问题导入，最能激发人们的思维活动，唤起学习兴趣和主动的参与意识。 纵向分析：初中时学生都接触了函数，比如一次函数、反比例函数和二次函数，只强调函数是两个变量间的依赖关系，不涉及抽象符号f(x)，不强调定义域和值域，采用的定义是“变量说”，是一个描述性概念，而对“变量”，“变化”，“对应关系”等涉及函数本质的内容，要求是初步的。高中阶段要建立函数的“对应说”，突出函数概念的核心与本质是“对应关系”，虽然它比“变量说”更具一般性，但两者的本质一致。不同的是：①表达方式不同，高中用集合与对应语言表达；②明确了定义域和值域；③引入了抽象符号f(x)。 2、教学重点与难点 根据上述分析，教学重点为通过丰富实例，使学生感受和体会在两个集合之间所存在的 对应关系f ，进而用集合和对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。 自然地，本节课的难点主要是抽象符号) (x f y 的理解，尤其对f 的意义的理解。 3、教学目标设计 布鲁姆认为，科学的确立学习目标是教学的首要环节。根据以上分析及学生的认知特点，本节课目标如下： （1）知识与技能：通过实例分析，让学生理解函数概念的本质、构成函数的三要素， 函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? + 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-. 第六章一次函数 6.１函数 一、教材分析 1、教材地位及作用 《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》第一节的内容。函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。 2、教学目标分析 知识与技能目标 (1)．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数； (2)．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值； (3)．了解函数的三种表示方法。 过程与方法目标 经历从具体实例中抽象概括的过程，进一步发展学生的抽象思维能力，提高把所学知识与现实世界相联系的意识和能力 情感与态度目标 体验数学来源于客观实际的需要，培养学生学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情，在解决问题中体会数学的应用价值，并感受成功的喜悦，建立学习的信心。 教学重点： (1)．掌握函数的概念，以及函数的三种表示方法； (2)．会判断两个变量之间是否是函数关系。 教学难点：对函数概念的理解 二、说教法与学法 教法：在本节课中结合多媒体手段，采用启发式、探究式教学，让学生“尝试发现，探索讨论”。导入新课时，为迅速集中学生注意力，激发学习兴趣，我采用情景导入法；，把握教学重点的过程中在遵循学生认知规律的前提下，我采用引导发现法；突破难点时，我采用 分组讨论、讲练结合法。 学法:在学法上通过三个问题情境，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。让学生通过对三个问题的观察、分析、归纳、总结出函数的概念。 三、说教学过程 第一环节：创设情境、导入新课 展示一些与学生实际生活有关的图片，如行驶的汽车、城市某天气温变化图、旋转的摩天轮，让学生观察，引导发现图片情景中的变量（汽车行驶的路程与时间，气温随时间变化而变化，摩天轮某一座舱的高度随时间变化而变化）。教师设问：这些问题中分别有几个变量，这些变量间存在着怎样的关系呢？ 意图：通过创设丰富的现实情境，来激发学生的学习兴趣和求知欲望，为新课的开展创设良好的教学氛围， 第二环节：展现背景，提供概念的素材 问题 1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有什么规律呢？课本177页图6-1就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h（米)之间的关系.你能从此图观察出有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值，你都能找到相应的h值吗？ 问题2.（1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如课本178页图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 在这个问题中的变量有几个？分别是什么？ 问题3.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）. （1）公式中有几个变化的量？计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？（2）给定一个v值，你都能求出相应的s值吗？ 函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 《函数》说课稿 一、目的要求： 1、 本课的地位和作用 函数一章在高中数学的学习中起着承上启下的作用，它是在初中初步探讨函数的概念，函数关系的表示方法、图象的位置等基础上，对函数概念的再认识，即用集合映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并研究了单调性和奇偶性这两个重要特征，为今后的学习打下良好的基础，为进一步学习三角函数、函数的周期性及选修内容中的极限、导数、积分提供了良好的保证。这些内容是函数及应用研究的深入及提高，也是今后进一步高等数学和参加工农业生产建设需要具备的基础知识。本章的学习对中学生数学学习起着决定性的作用。而且不仅是知识性方面，更重要的学习方法方面，也将是终身受益的一章。作为该章的起始课之一，本节课的地位也就不言而愈了。 2、 教学目标 （1）知识目标： 理解函数的概念，明确决定函数的三要素，即定义域、值域和对应法则；进一步理解对应法则的意义。 （2）能力目标： 通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；培养学生理论联系实际的能力。 （3）情感目标： 激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学态度和勇于创新的精神。 3、教学重点：在映射的基础上理解函数的概念 4、教学难点：函数的概念 二、教学内容分析 1、函数的概念在初中已作过介绍，它是这样表述的： 设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，都有惟一的值y 与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 我们看到，这里是用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。但是，由于这个定义并未完全揭示出函数概念的本质，在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个集合之间的一种映射，按照这种观点，函数是两个数集（或其某个子集）之间的一种特殊的映射，这样就使我们对函数概念有了更深一层的认识。 2、函数概念有三个要素：对应法则，定义域和值域。 函数的对应法则通常用记号f 表示，函数记号)(x f y 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”作用下得到y 。在比较简单的情况下，对应法则f 可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则要用几个解析式来表示，有时甚至不可能用解析式来表示，而要用其他方式（如列表、图象）来表示。 定义域是指原象的集合，即自变量的取值范围。应指出初中讲函数概念时，为便于接受未提出较为抽象的“定义域”的术语，而采用了较为通俗的“自变量的取值范围”的说法，对于两个对应法则相同的函数来说，如果定义域不同，应该被看作是不同的函数，在中学阶段， 函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称 f:Ａ→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数。 例１. 下列从集合A到集合Ｂ的对应关系中,能确定y是x的函数的是（ ) ①｛x x∈Ｚ},{y y∈Z}，对应法则f：x→ 3 x; ②{ｘｘ＞0∈R｝, {y y∈R},对应法则ｆ：x→2y＝3ｘ; ③, 对应法则f:x→2x; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是（ ) ①②③④ 变式２. 下列式子能确定y是ｘ的函数的有（) ①22 x y+=2 1= Ａ、0个Ｂ、１个 C、2个 D、3个变式3．已知函数（x)，则对于直线(ａ为常数),以下说法正确的是（） A.(x）图像与直线必有一个交点（x）图像与直线没有交点 (x）图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点 变式4.对于函数ｙ=f(ｘ）,以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同 A ．1个 B ．2个 C.３个 Ｄ.4个 变式５．设集合M ＝｛0≤x≤2}，N ＝{０≤ｙ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合Ｍ到集合N 的函数关系的有( ) A.①②③④ B ．①②③ Ｃ.②③ D.② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例２． 下列哪个函数与相同( ） ①. x ②.y = ③． 2 y = ④ ⑤.33x y =；⑥.2x y = 变式1.下列函数中哪个与函数y ) A ． y = B ． y =-y =- D ． y x = 变式２. 下列各组函数表示相等函数的是( ） A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =- C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（ｘ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z 变式3． 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ 复习要点 一题型 1、填空题（每题3分，共18分） 2、单项选择题（每题3分，共21分） 3、计算题（每题6分，共36分） 4、解答题（4小题，共25分） 二知识点 第一章复数与复变函数 1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。 一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ 2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。 3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。 4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。 5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。 6、理解复变函数的概念。 7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。 例：1.1；1.2 习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5 第二章解析函数 1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。 对于点：解析→可导→连续对于区域：解析?可导 2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。 3、了解柯西—黎曼方程。 4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。 例：1.4；2.1；3.1；3.2 习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3） 第三章复变函数的积分 1、熟悉复积分的概念及其基本性质。 2、了解复积分计算的一般方法。 3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。 本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。 （1）牛顿—莱布尼茨公式。 （2）柯西积分定理。 （3）柯西积分公式。 （4）高阶导数公式。 （5）复合闭路定理。 注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。 例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1 习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7 第四章级数 1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。 2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。 3、熟悉幂级数的概念，会求幂级数的收敛半径。 人教B版数学必修1 第二章函数 2.1.2 函数的表示方法（第1课时） 教案及说课稿 新宾县朝鲜族中学 李锦玉 2019年10月11日 2.1.2 函数的表示方法（第1课时）教案 教学目标： 知识与技能 掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会表示方法的特点。过程与方法 能根据实际情景选择恰当的方法表示一个函数以获取有用的信息，培养学生灵活运用知识的能力；初步体会用函数知识解决实际问题的方法。 情感态度与价值观 体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受数学的直观性。 重点 函数的三种表示方法的简单运用。 难点 根据不同的需要选择恰当的表示方法表示一个函数。 教学准备 教学环节问题 预设 师生 互动 设计 意图 引入课题课前作业： 某种笔记本的单价是2元，买 X 个笔记 本需要y元。你能用几种方法 表示这个函数？ 想一想：每个函数都可以有列 表法、图象法、解析法三种形 教师：出示课前作业题， 展示学生作业。 师生：共同检查评议。 教师：提示解题规律 学生举例说明 在学生原有认 知的基础上， 借助“现实生 活中的实例” 为学习函数表 示法作铺垫， 注重知识之间 的联系，调动 2.1.2 函数的表示方法（第1课时）说课稿 根据本节教材的特点和教学内容的结构特征，依据学生的认知规律，结合学生的实际水平，制定本节课的教学设计说明如下： 一、说教材 《函数的表示方法》是高中新教材人教B版必修1第二章第一节第二部分的内容。学生在初中已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素之一，即对应关系的表达方式。学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的，同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方法表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。 二、说学情 本人所教的高一学生（16人）课堂纪律较好，但数学基础不够扎实，思维不够活跃，逻辑推理和分析概括的能力较弱。因此在教学中会放慢进程，更加注重启发学生，让学生自主回答。函数这一模块内容最多，比较抽象，学生学习确有许多困难。基于高中阶段所接触的许多函数都可用不同的方法表示，因此教师通过设置问题去帮助学生积极主动地感受、分析、归纳三种方法的各自优点及不足，逐步过渡到能合理选用和灵活转换函数的各种表示形式，这也是向学生渗透高一数学函数的概念及表示方法
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