复数的有关概念教案

复数的有关概念教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二数学选修2-2教案

课题： 5.2复数的有关概念

【教学目标】

1.进一步学习复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件.

2.理解复数的几何意义和复数的模，并应用其解决相关问题.

【教学重点】 理解复数相等的充要条件，复数的几何意义和复数的模

【教学难点】 应用复数的几何意义和模解决相关问题

【教法学法】 引导探究、练习法、讨论法

【授课课型】 新授课

【授课课时】 1课时

【教具学具】 三角板

【教学过程设计】

一、导入：复习回顾

1．定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，其中i 叫作虚数单位，满足i 2＝－1.

2．表示：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫作复数的代数形式，a 与b 分别叫作复数z 的实部与虚部．

3．分类：复数：a ＋b i(a ，b ∈R )

⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)

虚数(b ≠0)⎩

⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)

二、知识梳理

1、复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .

2、复平面

当直角坐标平面用来表示复数时，我们称之为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴。实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除了原点外，都表示纯虚数．

3、复数的几何意义

①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应有序实数对（a,b ）

②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应向量=(,)OZ a b →

4、复数的模

复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模22|z a b =

+（复数不能比较大小，但模可以比较大

小） 三、题型讲解

题型一：复数模的计算

例1：在复平面内表示下列复数，并分别求出它们的模

（1）-2+3i (2)132i (3) 3-4i (4)-1-3i 变式训练1: 若|log 3m ＋4i|＝5，则实数m ＝________.

解析：由log 23m ＋16＝25，

∴log 23m ＝9，∴log 3m ＝3或－3，

∴m ＝27或127

. 变式训练2．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .

解析：因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)．

则|z －1|＝|b i －1|＝1＋b 2.

又|－1＋i|＝2，

由已知|z －1|＝|－1＋i|，得1＋b 2＝2，

解得b ＝±1，所以z ＝±i.

(2)已知复数z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i ，对于任意x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，则实数a 的取值范围是________．

(2)因为|z 1|>|z 2|，所以x 4＋x 2＋1>(x 2＋a )2，

所以(1－2a )x 2＋(1－a 2)>0对x ∈R 恒成立．

当1－2a ＝0，即a ＝12

时，不等式成立； 当1－2a ≠0，即a ≠12

时，需 ⎩⎪⎨⎪⎧

1－2a >0，(1－2a )(1－a 2)＞0，

所以－1

， 综上，a ∈(－1，12

]．

题型二：复数相等

例2：已知21(1)()x y i x y x y i -++=-+--，求实数,x y 的值。

解：因为x ，y 均为实数，所以211x x y y x y -=-⎧⎨+=--⎩，即32x y =⎧⎨=-⎩

变式训练3：已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(21)(3)x y i y i -+-=-，求x 和y 的值。注意：题目条件,x y R ∈，若,x y 未说明是实数，则不能这样解，比如若x 为纯虚数，则可设x bi =∈≠（b R 且b 0）

，然后再根据复数相等求相应的,x y

题型三：复数与复平面点的关系

例3．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：

(1)位于第四象限；(2)位于x 轴的负半轴上．

(3)位于x 轴上方;（4）位于直线10x y -+=上

解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

m <3或m >5－7

(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧

m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②， 由②得m ＝－7或m ＝4.

∵m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，

∴m ＝4，

∴当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．

(3)当实数m 满足2

3280m m +->，即47m m ><-或时，点位于x 轴上方

（4）由已知得m 2－8m+15－m 2－3m +28+1=0

∴m ＝-4

变式训练4：当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：∵23＜m ＜1，∴2＜3m ＜3，－13

＜m －1＜0， ∴0＜3m －2＜1，

∴z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限．

答案：D

题型四：复数与复平面内向量的关系

2．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则

向量AC →对应的复数为________．

解析：因为向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋

i ，

所以OA →＝(－1,1)，OB →＝(2,3)，BC →＝(－2,1)，

所以AB →＝OB →－OA →＝(2,3)－(－1,1)＝(3,2)，

AC →＝AB →＋BC →＝(3,2)＋(－2,1)＝(1,3)，

即向量AC →对应的复数为1＋3i.

变式训练5：已知两个向量,a b →→对应的复数分别是123,55z z i ==-+，求向量,a b →→的夹角。

四、课堂小结

1、复数相等的充要条件；

2、复数的几何意义；

①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应有序实数对（a,b ）

②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应向量=(,)OZ a b →

五、板书设计

六、课后反思