专题06 动点与平行四边形存在性问题大视野(解析版)

专题06 动点与平行四边形存在性问题大视野

【例题精讲】

题型一、平行四边形存在性问题

例1. 【2019·长沙市天心区期中】如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=√5．

（1）求点C的坐标；

（2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式；

（3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二、特殊平行四边形（矩形）存在性问题

例1. 【2019·武汉市期中】如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．

（1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形；（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

例2. 【2019·禹城市期末】如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交△ACB的角平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．

题型三、特殊平行四边形（菱形）存在性问题

例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．

（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；

（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

题型四、特殊平行四边形（正方形形）存在性问题

例1. 【2019·华蓥市期末】如图，已知一次函数y=

1

2

x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个

动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=1

3 MP，

MB=1

3

OM，OE=

1

3

ON，ND=

1

3

NP．

（1）b=______；

（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（3）在直线y=

1

2

x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点

P的坐标；若不存在，请说明理由．

【刻意练习】

1. 【2019·阳江市期中】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-1）

（1）AC的长为______；

（2）求证：AC△BC；

（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标______．

2. 【2018·莆田市期中】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF△BC，交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）填空：

△当AB=AC时，四边形ADCF是______形；

△当△BAC=90°时，四边形ADCF是______形．

3. 【2018·琼中县期中】如图在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．

4. 【2019·宿迁市期末】如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．

5. 【2019·惠州市期末】如图所示，在梯形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度

运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？

（2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？

6. 【2019·武昌期末】如图，在平面直角坐标系中，OA =OB , △OAB 的面积是2.

（1）求线段OB 的中点C 的坐标.

（2）连结AC ，过点O 作OE △AC 于E ，交AB 于点D ，△直接写出点E 的坐标.

△连结CD ，求证：△ECO =△DCB .

（3）点P 为x 轴上一动点，点Q 为平面内一点，以点A 、C 、P 、Q 为顶点作菱形，直接写出点Q 的坐标.

7. 【2018·襄阳市期中】如图,矩形OABC 的边OA ,OC 分别与坐标轴重合,并且点B 的坐标为（8，）.将该矩形沿OB 折叠,使得点A 落在点E 处,OE 与BC 的交点为D .

（1）求证:△OBD 为等腰三角形;

（2）求点E 的坐标;