椭圆的离心率专题训练汇总

椭圆的离心率专题训练（带详细解析）
一．选择题（共29小题）
1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆
C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A
．B
．C
．D
．
2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）
A
．B
．C
．D ．
3．（2015•
湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为
点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A
．B
．C
．D
．
4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的
两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．
5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．
6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）
A
．B
．C
．D ．
7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A
．B
．C
．D ．
8．（2015•
朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾
斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（ ）
A
．B．2
﹣C．2（2﹣）D ．
9．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足
，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A
．B
．
C
．D ．或
10．（2015•怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A
．B
．C
．D
．
11．（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（0，）C
．D ．
12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．
13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直
线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．一l
14．（2015•宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．
15．（2015•
郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的
直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．
16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为
F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．
17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，
且满足|
|=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）
A
．B
．C
．D ．
18．（2015•甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）
19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D ．﹣1
20．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存
在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]
21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点
A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）
22．（2015•杭州一模）设F1、F2为椭圆C
：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l
过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（ ）
A．2
﹣B．3
﹣C．11﹣6D．9﹣
6
23．（2015•宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C ：
+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为
椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，]B．（0，]C．[，]D．
[，1）
24．（2015•南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]
25．（2015•张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A
．B
．C
．D
．
26．（2015•永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线
l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A
．B
．C
．D ．
27．（2015•
山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交
椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）
28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
A
．B
．C
．D
．
29．（2015•江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动
圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（ ）
A
．B
．C
．D ．
a
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A
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o 参考答案与试题解析
一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆
的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆
C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：分等腰三角形△F 1F 2P 以F 1F 2为底和以F 1F 2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆
焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、c 的不等式，解之即可得到椭圆C 的离心率的取值范围．解答：解：①当点P 与短轴的顶点重合时，
△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，
此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；
②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，
∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上
因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，
在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c+2c ＞2a ﹣2c ，由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞．
当e=时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e
且e ≠时也存在2个满足条件的等腰
△F 1F 2P
这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）
e a
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A
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点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形，求椭圆离心率e 的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．　2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程
表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：
表示焦点在x 轴上且离心率小于
的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大
小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：
解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，
∴a ＞b ＞0，a ＜2b
它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程
表示焦点在x 轴上且离心率小于
的椭圆的概率为
P=
=
，
故选B ．
a
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A
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s o 点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且
这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．　
3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为
点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e 的
取值范围为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：
AB=NF ，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ，由离心率公式e=
=
由
的范围，进一步求出结论．
解答：
解：已知椭圆
（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右
焦点，设左焦点为：N
则：连接AF ，AN ，AF ，BF 所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccos α+2csin α利用e=
=
n d
A
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s o 所以：则：
即：椭圆离心率e 的取值范围为[]
故选：A 点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角
函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．　
4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆
交于不同的
两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．
分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a 2b 2，求得关于
的方程求得e ．
解答：
解：两个交点横坐标是﹣c ，c
所以两个交点分别为（﹣c ，﹣
c ）（c ，
c ）
代入椭圆=1
两边乘2a 2b 2
则c 2（2b 2+a 2）=2a 2b 2
∵b 2=a 2﹣c 2
c 2（3a 2﹣2c 2）=2a^4﹣2a 2c 22a^4﹣5a 2c 2+2c^4=0（2a 2﹣c 2）（a 2﹣2c 2）=0
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=2，或∵0＜e ＜1所以e==
故选A 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a ，b 和c 的关系．　
5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是
C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的
性质即可求得答案．解答：解：设|PF 2|=x ，
∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，
又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ∴2a=3x ，2c=x ，
∴C 的离心率为：e=
=
．
故选A ．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考
查理解与应用能力．　
6．（2015•绥化一模）已知椭圆
，F 1，F 2为其左、右焦点，P
为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其
中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．
n d
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s 分析：在焦点△F 1PF 2中，设P （x 0，y 0），由三角形重心坐标公式，可得重心G 的纵坐标，
因为
，故内心I 的纵坐标与G 相同，最后利用三角形F 1PF 2的面积等于
被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a 、b 、c 的等式，即可解得离心率
解答：解：设P （x 0，y 0），∵G 为△F 1PF 2的重心，
∴G 点坐标为 G （，），
∵，∴IG ∥x 轴，
∴I 的纵坐标为，
在焦点△F 1PF 2中，|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c
∴
=•|F 1F 2|•|y 0|
又∵I 为△F 1PF 2的内心，∴I 的纵坐标
即为内切圆半径，
内心I 把△F 1PF 2分为三个底分别为△F 1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴
=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）|
|
∴•|F 1F 2|•|y 0|=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）|
|
即×2c •|y 0|=（2a+2c ）||，
∴2c=a ，
∴椭圆C 的离心率e==
故选A 点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应
用，椭圆离心率的求法　
7．（2015•长沙模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆
的两个焦点，P 为椭
圆上一点且
，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
a
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o 考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：
设P （m ，n ），由
得到n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得
到 b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得到 m 2 的解析式，由m 2≥0及m 2≤a 2求得
的范围．
解答：
解：设P （m ，n ），
=（﹣c ﹣m ，﹣n ）•（c ﹣m ，﹣n ）=m 2﹣c 2+n 2，
∴m 2+n 2=2c 2，n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆
得b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，
把①代入②得m 2=≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，
b 2≤2
c 2，a 2﹣c 2≤2c 2，∴≥
．
又 m 2≤a 2，∴
≤a 2，∴
≤0，故a 2﹣2c 2≥0，∴≤
．
综上，≤≤，
故选：C ．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．　
8．（2015•朝阳二模）椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾
斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．2﹣
C ．2（2﹣
）D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：
如图，Rt △MF 2 F 1中，tan60°=
=，建立关于a 、c 的方程，解方程求出 的
值．
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d 解答：解：如图，
在Rt △MF 1F 2中，∠MF 2F 1=60°，F 1F 2=2c
∴MF 2=4c ，MF 1=2c MF 1+MF 2=4c+2c=2a ⇒e==2﹣
，
故选B ．
点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．
9．（2015•新余二模）椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足
，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
或
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C 的离心率e 的计算公式即可得出解答：
解：∵椭圆C 上的点P 满足
，∴|PF 1|=
=3c ，
由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2a ﹣3c ．
利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c ）≥3c ，3c+2c ≥2a ﹣3c ，
化为
．
∴椭圆C 的离心率e 的取值范围是
．
故选：C ．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知
识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．　
A
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10．（2015•怀化二模）设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．
分析：先根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，再利用余弦定理化简整理得cos ∠PF 1F 2=
﹣1，进而根据均值不等式确定|PF 1||PF 2|的范围，进而确定cos ∠PF 1F 2
的最小值，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，确定椭圆离心率的取值范
围．解答：
解：F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），c ＞0，设P （x 1，y 1），
则|PF 1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex 1．
在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°==
，
解得x 12=
．
∵x 12∈（0，a 2]，∴0≤＜a 2，即4c 2﹣3a 2≥0．且e 2＜1
∴e=≥
．
故椭圆离心率的取范围是 e ∈
．
故选A ．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P 点在短轴的端点时∠F 1PF 2值最大，这个结论可以
记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．　
11．（2015•南昌校级二模）设A 1，A 2分别为椭圆
=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，若
在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
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s 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据题意设P （asin α，bcos α），所以根据条件
可得到
，
b 2换上a 2﹣
c 2从而可得到
，再根据a ，c ＞0，即可解出离心率的取值
范围．
解答：
解：设P （asin α，bcos α），A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0）；
∴，；
∴；
∴；
∴，a ，c ＞0；
∴解得；
∴该椭圆的离心率的范围是（
）．
故选：C ．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，
以及b 2=a 2﹣c 2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P 点坐标是求解本题的关键．　
12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C 的两个焦点为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点M ，N ，若|MF 2|=|F 1F 2|，且|MF 1|=4，|NF 1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设椭
（a ＞b ＞0），运用椭圆的定义，可得
|NF 2|=2a ﹣|NF 1|=2a ﹣3，|MF 2|+|MF 1|=2a ，即有2c+4=2a ，取MF 1的中点K ，连接KF 2，
A
l
l
t
h
i
n
g
s
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n
t
h
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r
b
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g
a
r
e
g
o
o
d
f
o
r
s
o 则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．
解答：
解：设椭圆（a＞b＞0），
F1（﹣c，0），F2（c，0），
|MF2|=|F1F2|=2c，
由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，
|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，
即a﹣c=2，①
取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，
由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，
即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②
由①②解得a=7，c=5，
则离心率e==．
故选：D．
点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．
13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直
线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．一l
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
n d
A
l l t h i n
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b e
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a r
e g
o o
d f
分析：
求出F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：
解：设F （﹣c ，0）关于直线
x+y=0的对称点A （m ，n ），则
，
∴m=，n=c ，
代入椭圆方程可得，
化简可得e 4﹣8e 2+4=0，∴e=
﹣1，
故选：D ．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
14．（2015•宁城县三模）已知F 1，F 2分别为椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P
为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），通过|F 1F 2|=2|PF 2|，求出椭圆的离心率e ．解答：
解：F 1，F 2分别为椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，
设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），
P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，可得2c=2
，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0．
i
n
t
h
e
i
r
b
e
i
n
g
a
r
e
解得e=．
故选：D．
点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法．　
15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．
考
点：
椭圆的简单性质．
专
题：
计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分
析：
由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点
P（﹣c﹣x0，﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．
解
答：
解：由题意作图如右图，
l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），
∵2|PF1|=3|QF1|，
∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；
又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，
∴2|MP|=3|QA|，
又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，
∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），
解得，x0=﹣，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴（c+x0+）=2c；
将x0=﹣代入化简可得，
a
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b
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a
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e
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o
d
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o
r
s 3a2+5c2﹣8ac=0，
即5﹣8+3=0；
解得，=1（舍去）或=；
故选：A．
点
评：
本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．
16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为
F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，
且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．
解答：解：如图所示，
在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．
n d
A
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o o
d 又|MF 2|=2|OA|，在Rt △OMF 2中，∴∠AF 2F 1=60°，在Rt △AF 1F 2中，|AF 2|=c ，|AF 1|=c ．∴2a=c+c ，∴
=
﹣1．
故选：C ．
点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．　
17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1、F 2，M 是椭圆C 上一点，
且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．
分析：
由已知可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，进而在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=
a ，在△OF 2M 中，
|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，结
合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．解答：
解：∵|MF 1|=|MO|=|MF 2|，
由椭圆定义可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，即|MF 2|=a ，|MF 1|=a ，
在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，
A
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b e
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o o
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s o
则cos ∠MOF 1=
=，
在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，
则cos ∠MOF 2=
=，
由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，即为
+
=0，
整理得：3c 2﹣2a 2=0，即
=，即e 2=，
即有e=．
故选：D ．点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a ，c 的方
程是解答的关键，难度中档．　
18．（2015•甘肃校级模拟）设F 1，F 2分别是椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，若在
直线x=上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，
）
B ．（0，
）C ．（
，1）
D ．（
，1）
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：
由已知P （
，y ），可得F 1P 的中点Q 的坐标，求出斜率，利用，
可得y 2=2b 2﹣
，由此可得结论．
解答：
解：由已知P （
，y ），得F 1P 的中点Q 的坐标为（
），
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s o ∴，
∵
，∴y 2=2b 2﹣
，
∴y 2=（a 2﹣c 2）（3﹣）＞0，
∴3﹣
＞0，
∵0＜e ＜1，∴
＜e ＜1．
故选：C ．点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F 1P 的中点Q
的坐标是解答该题的关键，是中档题．　
19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+
=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，若椭圆上存
在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．﹣1
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：首先，写出焦点F 的坐标，然后，根据△AOF 为正三角形，建立等式，求解其离心
率．解答：解：如下图所示：
设椭圆的右焦点为F ，根据椭圆的对称性，得直线OP 的斜率为k=tan60°=，∴点P 坐标为：（c ，
c ），
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s o 代人椭圆的标准方程，得
，
∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2，
∴e=．
故选：D ．点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想
法设法建立关于a ，b ，c 的等量关系，然后，进行求解．　
20．（2015•包头一模）已知椭圆C ：
=1（a ＞b ＞0）和圆O ：x 2+y 2=b 2，若C 上存
在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆
C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．[，1）
B ．[，1）
C ．[，1）
D ．（1，]
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，由于△MEF 为正三角形，可得∠OME=30°，
OM=2b ≤a ，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，
∵△MEF 为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b ，则2b ≤a ，
∴，
∴椭圆C 的离心率e==
．
又e ＜1．
∴椭圆C 的离心率的取值范围是
．
故选：C ．
a
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s o 点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．　
21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）上的一点
A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于
B ，
C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（
，
）B ．（
，1）
C ．（
，1）D ．（0，
）考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：
A
．根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD ＜45°，且1＞
，化
为
，解出即可．
解答：解：如图所示，
设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：
，
取y=
，A
．
∵△ABC 是锐角三角形，
∴∠BAD ＜45°，∴1＞
，
化为
，
n d
A
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s o 解得．
故选：A ．
点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
22．（2015•杭州一模）设F 1、F 2为椭圆C ：
+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线l
过焦点F 2且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e 2=（ ）
A ．2﹣
B ．3﹣
C ．11﹣6
D ．9﹣6
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则
|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m ，再由勾股定理，可得a ，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，
若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，
由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，
即有4a=2m+
m ，即m=2（2﹣
）a ，
则|AF 2|=2a ﹣m=（2
）a ，
在直角三角形AF 1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣）2a 2+4（）2a 2，
即有c 2=（9﹣6
）a 2，
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即有e 2=
=9﹣6．
故选D ．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的
运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键．　
23．（2015•宜宾模拟）直线y=kx 与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）交于A 、B 两点，F 为
椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF ∈（0，]，则椭圆C 的离心率的取值范围是（
）A ．（0，
]B ．（0，
]C ．[，]D ．[
，1）
考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：
设F 2是椭圆的右焦点．由
•=0，可得BF ⊥AF ，再由O 点为AB 的中点，
OF=OF 2．可得四边形AFBF 2是矩形．设∠ABF=θ，可得
BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，利用椭圆的定义可得BF+BF 2=2a ，可得e=
，即可得出．
解答：解：设F 2是椭圆的右焦点．
∵
•
=0，
∴BF ⊥AF ，
∵O 点为AB 的中点，OF=OF 2．∴四边形AFBF 2是平行四边形，∴四边形AFBF 2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，
∵BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，
BF+BF 2=2a ，
∴2ccos θ+2csin θ=2a ，∴e=
，
sin θ+cos θ=，
∵θ∈（0，
]，
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∴∈
，
∴∈．∴∈，
∴e ∈．
故选：D ．
点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角
和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
24．（2015•南宁三模）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆=1（a ＞b ＞0）的两个
焦点，若椭圆上存在点P 满足•
=2c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．[，
]B ．（0，
]C ．[
，1）D ．[
，
]
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设P （x 0，y 0），则2c 2=
，化为
．又
，可得
=
，利用，利用离心率计算公式即可得出．
解答：
解：设P （x 0，y 0），则2c 2=
=（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）
=
+
，化为
．
a
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s o 又，∴=，
∵
，
∴
，
∵b 2=a 2﹣c 2，∴，
∴
．
故选：A ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查
了推理能力与计算能力，属于中档题．　
25．（2015•张掖模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是椭圆
=1（a ＞b ＞0）的左右
两个焦点，P 为椭圆上的一点，且
，则椭圆的离心率的取值范围为（
）A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：
设P （x 0，y 0），则
，可得：
=
．由于
，
可得
=c 2，化为
=
，利用
，及其离心
率计算公式即可得出．解答：
解：设P （x 0，y 0），则
，
∴=
．
∵
，
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s ∴（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=c 2，化为
=c 2，
∴
=2c 2，
化为=，
∵，
∴0≤
≤a 2，
解得．
故选：D ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变
形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．　
26．（2015•永州一模）已知两定点A （﹣1，0）和B （1，0），动点P （x ，y ）在直线
l ：y=x+2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：作出直线y=x+2，过A 作直线y=x+2的对称点C ，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即
可得到a 的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．解答：
解：由题意知c=1，离心率e=，
椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则c=1，
∵P 在直线l ：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．
过A 作直线y=x+2的对称点C ，
设C （m ，n ），则由
，
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s o 解得，即有C （﹣2，1），
则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，
此时a 有最小值
，
对应的离心率e 有最大值
，
故选C ．
点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档
题．　
27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交
椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k ＜，则椭圆的离心
率的取值范围是（ ）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（0，）
D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
作出图形，则易知|AF 2|=a+c ，|BF 2|=
，再由∠BAF 2是直线的倾斜角，易得
k=tan ∠BAF 2，然后通过0＜k ＜，分子分母同除a 2得0＜
＜求解．
解答：
解：如图所示：|AF 2|=a+c ，|BF 2|=
，
∴k=tan ∠BAF 2=
，
a
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s 又∵0＜k ＜，
∴0＜＜，
∴0＜＜，
∴＜e ＜1．故选：D ．
点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度
不大，但需要灵活运用和转化知识．　
28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C 1：
=1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆
C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=
，则椭圆C 1的离
心率的取值范围是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C
的离心率的取值范围．解答：解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，
∵∠BPA=
，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，
∴cos ∠AOP=
=，∴|OP|==2b ，。