数理逻辑习题部分解答

一、命题逻辑
3．将下列命题符号化。
（3）如果公用事业费用增加或者增加基金的要求被否定，那么当且仅当现有计算机设不适用的时候，才需购买一台新计算机；
（5）虽然天气很好，xx还是不来；
（7）停机的原因在于语法错误或程序错误；
解：
（3）设P：
公用事业费用增加；Q：
要求增加基金；
R：
现有计算机设备适用；S：
（3）(x) P(x,y)(z)Q(z)；
（5）(y)(x)(z)(u)(v)P(x, y, z, u, v)。
解：
（1）求前束范式
(x)(P(x)(y)Q(x,y))(x)(P(x)(y)Q(x,y))(x)(y)(P(x)Q(x,y))
求Skolem范式
(x)(P(x)(y)Q(x,y))(x)(y)(P(x)Q(x,y))P(x)Q(x,f(x))
⑥Q
此，6是奇数；
证明：
设P：6是偶数；Q：2整除7；R：5是素数
则上述句子可符号化为：
PQ，RQ，RPI
P
⑥RT，④，⑤，I
⑦RP
⑧RRT，⑥，⑦，I
（3）若今天是星期二，那么我要考计算机科学或经济学；若经济学教授病了，就不考经济学；今天是星期二，并且经济学教授病了。所以，我要考计算机科学；证明：
证明：
设P：
红队第三；Q：
黄队第二；R：
蓝队第四；S：
白队第一。
则上述句子可符号为：
P(QR)，SR，QSR
P
P（附加前提）
T，①，②，I
P
T，③，④，I
P
⑦RT，⑤，⑥，I
⑧SRCP，②，⑦
（2）如果6是偶数，则2不能整除7；或者5不是素数，或者2整除7；5是素数。因①SP
②S
③P
④P(QR)
⑤QR
设P：
今天是星期二；Q：
我要考计算机科学；R：
我要考经济学；S：
经济学教授病了。
则上述句子可符号化为：
P(QR)，SR，PSQ
①PS
②S
③SR
④R
⑤P(QR)
⑥P
⑦QR
⑧QP
T，①，I
P
T,②,③,I
P
T,①,I
T,⑤,⑥,I
T,④,⑦,I
②P
③PQ
④Q
⑤RQ
二、谓词逻辑
1．用谓词和量词，将下列命题符号化。
（4）所有的有理数都是实数；所有的无理数也是实数；虚数不是实数。因此，虚数即不
是有理数也不是无理数；
解：
（1）设P(x)：
x是一个大学生；Q(x)：
x是xx；S(x)：
x是理科生；T(x)：
x是优等生；c：
小张；则上述句子可符号为：
(x)(P(x)(Q(x)S(x)))，(x)(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
（3）①(x)(y)(x＞y) P
②(y)(z＞y)ＵS,①
③(z＞c)ES,②
④(x)(x＞c)ＵG,③
⑤ c＞c US,④
解：
由于在第②步中含有自由变元符号z，所以在消去量词(y)时，应选的常量符号为含有z作为下标的常量符号c
z。正确的推导可为：
①(x)(y)(x＞y) P
②(y)(z＞y)ＵS,①
○T，④，⑦，I
T，⑧，⑨，I
T，⑩，E
11
UG，○
③(z＞c
z)ES,②
（4）①(x)(y)(x＞y)P
②(y)(z＞y)US,①
③(z＞c
Z)ES,②
④(x)(x＞x)UG,③
解：
在第③步中，常量符号c
z中的z是一个下标符号，因此，不能对下标z使用UG规则。正确的推导可为：
①(x)(y)(x＞y)P
②(y)(z＞y)US,①
③(z＞c
Z)ES,②
（3）设W(x)：
x是白色的；Q(x)：
x是乌鸦；R(x)：
x是北京鸭；则上述句子可符号化为：
(x)(W(x)Q(x))，(x)(R(x)W(x))(x)(R(x)Q(x))
①(x)(R(x)W(x))P
②R(x)W(x)US，①
③(x)(W(x)Q(x))P
④(x)(W(x)Q(x))T，③，E
⑤W(x)Q(x)US，④
①(x)(P(x)→Q(x))P
②P(y)→Q(y)US,①
（2）①P(x)→Q(c)P
②(x)(P(x)→Q(x))EG,①
解：
在第①步中x是以自由变元的身份出现，所以在对个体常量加入量词时，该量词的变元符号不能在原公式中以自由变元的身份出现。正确的推导可为：
①P(x)→Q(c)P
②(y)(P(x)→Q(y))EG,①
（3）求前束范式
(x)(P(x,y)(z)Q(z))(x)(P(x,y)(z)Q(z))((z)Q(z)P(x,y)))
(x)(P(x,y)(z)Q(z))((z)Q(z)P(x,y)))(x)(P(x,y)(z)Q(z))((u)Q(u)P(x,y)))(x)(z)(u)((P(x,y)Q(z))(Q(u)P(x,y)))
(PQ)RSQ(PS)PQRS1
（2）((PQ)(QR)Q)P(PQ)(QR)QP
(PQ)QP(PQ)(PQ)1
（3）(P(QR)(RS))(QS)P(QR)(RS)(QS)
P(R(QS))(QS)PRQ
S
14．符号化下列论断，并用演绎法验证论断是否正确。
（1）有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；或者白对不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。因此，如果白队第一，那么蓝队第四；
购买一台计算机；
则命题可符号化为：
(PQ)(RS)。
（5）设P：
天气很好；Q：
xx来；
则命题可符号化为：
PQ。
（7）设P：
停机的原因在于语法错误；Q：
停机的原因在于程序错误。
则命题可符号化为：
PQ。
4．设命题P：
这个材料很有趣；Q：
这些习题很难；R：
这门课程使人喜欢。将下列句子符号化。
（4）这个材料很有趣意味着这些习题很难，反之亦然；
（4）会叫的狗未必会咬人；
（5）每个人的外祖母都是他母亲的母亲；
（6）任何金属均可溶解于某种液体之中；
解：
（4）设：
D(x)：
x是会叫的狗，R(x)：
x是会咬人的狗。
则上述句子可符号化为：
(x)(D(x)R(x))
（5）设H(x)：
x是人，G(x,y)：
x是y的外祖母，M(x,y)：
x是y的母亲。
则上述句子可符号化为：
⑥W(x)Q(x)T，⑤，E
⑦R(x)Q(x)T，②，⑥，I
⑧(x)(R(x)Q(x))UG，⑦
（4）设Q(x)：
x是有理数；R(x)：
x是实数；N(x)：
x是无理数；C(x)：
x是虚数；则上述句子可符号化为：
(x)(Q(x)R(x))，(x)(N(x)R(x))，(x)(C(x)R(x))(x)(C(x)(Q(x)N(x)))①(x)(Q(x)R(x))P
x具有广博的知识；则上述句子可符号化为：
(x)(P(x)S(x))，(x)(Q(x)S(x))(x)(Q(x)P(x))
①(x)(P(x)S(x))P
②(x)(Q(x)S(x))P
③P(y)S(y)US，①
④Q(y)S(y)US，②
上述公式无法推出Q(y)P(y)，即无法推出(x)(Q(x)P(x))。所以，此论证并非是正确的。
②Q(x)R(x)US，①
③(x)(N(x)R(x))P
④N(x)R(x)US，③
⑤(x)(C(x)R(x))P
⑥C(x)R(x)US，⑤
⑦R(x)C(x)T，⑥，E
⑧Q(x)C(x)T，②，⑦，I
⑨N(x)C(x)
⑩(Q(x)C(x))(N(x)C(x))
11(C(x)(Q(x)N(x)))○12(x)(C(x)(Q(x)N(x)))
12．将下列命题符号化，并用演绎法证明其论证是否正确。
（1）每一个大学生，不是文科学生，就是理工科学生；有的大学生是优等生；小张不是文科生，但他是优等生。因而，如果小张是大学生，他就是理工科学生；
（2）伟大的物理学家都具有广博的知识；新闻记者具有广博的知识。所以新闻记者是伟大的物理学家；
（3）不存在白色的乌鸦；北京鸭是白色的。因此，北京鸭不是乌鸦；
（5）或者这个材料很有趣，或者这些习题很难，并且两者恰具其一。
解：
（4）PQ
（5）(PQ)(PQ)或者(PQ)(PQ)
12．用基本等价公式的转换方法验证下述论断是否有效。
（1）P→Q,R∧S,┐QP∧S；
（2）┐(P∧┐Q),┐Q∨R,┐Q┐P；
（3）P,Q→R,R∨SQ→S。
解：
（1）(PQ)(RS)Q(PS)((PQ)(RS)Q)(PS)
①Q(c)T(c)P
②(x)(P(x)(Q(x)S(x)))P
③P(c)(Q(c)S(c))US，②
④P(c)P(附加前提)
⑤Q(c)S(c)T，③，④，I
⑥Q(c)T，①，I
⑦S(c)T，⑤，⑥，I
⑧P(c)S(c)CP，④，⑦
（2）设P(x)：
x是伟大的物理学家；Q(x)：
x是新闻工作者；S(x)：
求Skolem范式
(x)(P(x,y)(z)Q(z))(x)(z)(u)((P(x,y)Q(z))(Q(u)P(x,y)))
(P(a,y)Q(z))(Q(f(y,z))P(a,y))
11．指出下列推导中的错误，并加以改正。
（1）①(x)P(x)→Q(x)P