利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数(技术专攻)
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值； ⑷ 在C2 单元格中输入公式
专业课
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“=LN(B2-$I$8)”，用填充柄填充C3～C6 单元格，C2～C6 单 元格的值为i x ，即ln( −γ )
专业课
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i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填 充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复 杂，应用不便，即便是计算 机水平发达的今天
专业课
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，也只能通过Matlab 或其他计算机语言编程计算。EXCEL 提供了超强的 数学运算、统计分析等实用程序 ，利用它
的规划求解功能可以快速、
专业课
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高效地求解三参数威 布尔分布的参数估计问题。
2. 三参数威布尔分布模型 威布尔分布的寿命分布函
专业课
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应用。
在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。
威布尔分布参数估计方法有很多， 国内外一直有人在进行相关研究[3-
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专业课
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]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数 和尺度参数的估计。在众多的估计方法中，能用于三 参
数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估
专业课
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计法、最大相关系数优化法、概率权重矩法、 灰色估计
专业课
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能更是求解最优化问题的强有力工具，（6）式所表示的 方程利用 EXCEL 的“规划求解”功能可很容易解出，然 后再利用其散点图的趋势线功能即可求
专业课
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出形状 参数和尺度参数。本文通过实例，就相关系数优化法， 用EXCEL 进行求解。
例：选取5 台某产品进行可靠性试验，失效时间分别是
专业课
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3～H6 单元格， H2～H6 单元格的值为 −γ ⒁ 在I2 单元格中输入公式“=($C$9-F2)/(B2-$I
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$8)”，用填充柄填充I3～I6单元格，I2～ I6 单元格的值为 ； ⒂ 在F8 单元格中输入公式“=SUM(H2:H6)”，F8单元格的
专业课
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E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充 E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
专业课
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( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
专业课
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27,32,36,42,49，已知产品寿命 服从威布尔分布，试估计 分布参数。
1) 准备数据表 按图1 准备数据表 ⑴ 在A2～A6
专业课
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单元格中输入产品失效的顺序号1～5； ⑵ 在B2～B6 单元 格中输入产品的失效时间27、32、36、42、49；
⑶ 在I8 单元
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格中输入位置参数γ 的迭代初值，初值可选择接 近于第一个失效时间，也 可用图估计法的估计值作为初
数由下式给出 式中：m 称为形状参数
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，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位 置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会 失效，对
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于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数 威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进 行估计。
3. 最大相关系数优化法 对（ 专业课
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来自百度文库
1）式做变形处理，并取两次自然对数得到： 4. 用EXCEL 进行参数估计 （6）式所表示的方程十分复杂，解该方程 一般是通过编程，用数值解法
专业课
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求出γ ，然后 求再用最小二乘法或其他方法求解 形状参数和尺度参数。MS EXCEL 具有强大的统计和计 算 功能，其“规划求解”功
专业课
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当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于 建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指 数分布，适合于建
专业课
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模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老 化失效。
设有n 个产品进行寿命试验数据，按失效时间先后得到的寿
命数据
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失效时间(顺序统计 量)为 n t ≤ t ≤Λ ≤ t 1 2 ，对应 的累计失效概率(经验分布函数)为( ) ( ) ( )
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1 2 n F t ≤ F t ≤Λ ≤ F t 。
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中
位秩算
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法求得：
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=LN(LN(1/(1-E2)))”，用填充柄填充F3～F6 单元格，F2～ F6 单元格的值为为i y ，即 1 ( ) ln ln 1
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i − F t ； ⑻ 在G2 单元格中输入公式“=C2*F2”，用 填充柄填充G3～G6 单元格，G2～G6 单元格 的值为i
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i x ⋅ y ； ⑼ 在C7 单元格中输入公式 “=AVERAGE(C2:C6)”，C7 单元格的值为x ； ⑽ 在C8 单元 格中
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输入公式“=SUM(D2:D6)”，C8 单元格的值为Σ= n i i x ` 2 ； ⑾ 在C9 单元格中输入公式“=AVER
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在 实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量 研究表明，用三参数威
专业课
1
布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲
劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理； 在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，
专业课
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采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精 度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领 域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的
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AGE(F2:F6)”，C9 单元格的值为y ； ⑿ 在C10 单元格中输 入公式“=SUM(G2:G6)”，C10 单元格的值为&Sigma
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;= ⋅ n i i i x y ` ； ⒀ 在H2 单元格中输入公式 “=($C$7-C2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充H
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“=LN(B2-$I$8)”，用填充柄填充C3～C6 单元格，C2～C6 单 元格的值为i x ，即ln( −γ )
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i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填 充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复 杂，应用不便，即便是计算 机水平发达的今天
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，也只能通过Matlab 或其他计算机语言编程计算。EXCEL 提供了超强的 数学运算、统计分析等实用程序 ，利用它
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高效地求解三参数威 布尔分布的参数估计问题。
2. 三参数威布尔分布模型 威布尔分布的寿命分布函
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应用。
在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。
威布尔分布参数估计方法有很多， 国内外一直有人在进行相关研究[3-
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]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数 和尺度参数的估计。在众多的估计方法中，能用于三 参
数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估
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计法、最大相关系数优化法、概率权重矩法、 灰色估计
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能更是求解最优化问题的强有力工具，（6）式所表示的 方程利用 EXCEL 的“规划求解”功能可很容易解出，然 后再利用其散点图的趋势线功能即可求
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出形状 参数和尺度参数。本文通过实例，就相关系数优化法， 用EXCEL 进行求解。
例：选取5 台某产品进行可靠性试验，失效时间分别是
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3～H6 单元格， H2～H6 单元格的值为 −γ ⒁ 在I2 单元格中输入公式“=($C$9-F2)/(B2-$I
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E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充 E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
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( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
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27,32,36,42,49，已知产品寿命 服从威布尔分布，试估计 分布参数。
1) 准备数据表 按图1 准备数据表 ⑴ 在A2～A6
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单元格中输入产品失效的顺序号1～5； ⑵ 在B2～B6 单元 格中输入产品的失效时间27、32、36、42、49；
⑶ 在I8 单元
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格中输入位置参数γ 的迭代初值，初值可选择接 近于第一个失效时间，也 可用图估计法的估计值作为初
数由下式给出 式中：m 称为形状参数
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，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位 置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会 失效，对
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于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数 威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进 行估计。
3. 最大相关系数优化法 对（ 专业课
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1）式做变形处理，并取两次自然对数得到： 4. 用EXCEL 进行参数估计 （6）式所表示的方程十分复杂，解该方程 一般是通过编程，用数值解法
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求出γ ，然后 求再用最小二乘法或其他方法求解 形状参数和尺度参数。MS EXCEL 具有强大的统计和计 算 功能，其“规划求解”功
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当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于 建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指 数分布，适合于建
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模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老 化失效。
设有n 个产品进行寿命试验数据，按失效时间先后得到的寿
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失效时间(顺序统计 量)为 n t ≤ t ≤Λ ≤ t 1 2 ，对应 的累计失效概率(经验分布函数)为( ) ( ) ( )
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1 2 n F t ≤ F t ≤Λ ≤ F t 。
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中
位秩算
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法求得：
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=LN(LN(1/(1-E2)))”，用填充柄填充F3～F6 单元格，F2～ F6 单元格的值为为i y ，即 1 ( ) ln ln 1
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i − F t ； ⑻ 在G2 单元格中输入公式“=C2*F2”，用 填充柄填充G3～G6 单元格，G2～G6 单元格 的值为i
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i x ⋅ y ； ⑼ 在C7 单元格中输入公式 “=AVERAGE(C2:C6)”，C7 单元格的值为x ； ⑽ 在C8 单元 格中
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输入公式“=SUM(D2:D6)”，C8 单元格的值为Σ= n i i x ` 2 ； ⑾ 在C9 单元格中输入公式“=AVER
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在 实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量 研究表明，用三参数威
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布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲
劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理； 在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，
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采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精 度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领 域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的
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AGE(F2:F6)”，C9 单元格的值为y ； ⑿ 在C10 单元格中输 入公式“=SUM(G2:G6)”，C10 单元格的值为&Sigma
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;= ⋅ n i i i x y ` ； ⒀ 在H2 单元格中输入公式 “=($C$7-C2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充H