周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 3-4章作业解答
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R
2l
mg
B
F
n
y
0 R cos mg
A
1/ 3
Rd MA 0 lmg cos cos i 1 cos 3 d d cos 1 l l
N d
第3.2题图
3.3)两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起, 且角ABC形成 一直角. 如将此棒的A点用绳系于固定点上, 棒AB和BC的长度分 别为a,b. 则当平衡时, AB和竖直直线所成的角满足下列关系
b2 tan (a 2b)a
3.5)一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为1/2的地板上, 另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍, 爬到 梯的顶端时, 梯尚未开始滑动, 则梯与地面的倾角,最小当为若干? 解: 研究对象为梯子, 人在顶端时,梯子与地面的夹角为, 梯子 y 重量p, 人重3p. 平衡时:
x 0 1 y gt 3 cos v0t 2 cos 3 1 2 z v0t gt 2
再积分,并代入初始条件得: 质点再回到地面
3
t 2v0 / g
3 4 8 h 4 v0 y cos and v 2 gh y cos 0 3 g 3 g2
4.10) 质量为m的小环M, 套在半径为a的光滑圆圈上, 并可沿着圆 圈滑动. 如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点O转动, 试求小 y 环沿圆圈切线方向的运动微分方程. 解: 设坐标系如图, oxy为水平面,它绕z轴转 动,即圆圈为转动参照系 受力分析,重力和约束反力都在z轴方向, 没 有画出. 惯性离心力m2r , 科里奥利力为 FC= -2m×v
3.9)证明对角线长度为d的立方体绕其对角线转动的回转半径为
k d 3 2
解: 这是一个求解转动惯量的问题.对任一轴线转动惯量为:
I I xx cos 2 I yy cos 2 I zz cos 2 2I xy cos cos 2I xz cos cos 2I yz cos cos
a5 I yy I zz 6
5 2 a a I I xx cos 2 I yy cos 2 I zz cos 2 M 6 6
3.12)矩形均质薄片ABCD,边长为a与b, 重为mg, 绕竖直轴AB以初 角速0转动. 此时薄片的每一部分均受到空气的阻力, 其方向垂直 于薄片的平面, 其值与面积及速度平方成正比,比例系数为k. 问经 过多少时间后，薄片的角速度减为初速度的一半?
解:在匀质薄片上沿AD方向取一宽为dx长条 做微元,到转轴的距离为x 每一个微元受空气阻力 df k ( x ) 2 bdx 整个薄片受阻力矩为 : a k 2ba 4 2 M f dM f kx( x ) bdx
0
B
C b
A
a
D
整个薄片绕AB轴的转动惯量为: I AB
第十四讲 作业复习(二)
3.1)半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒斜靠在 碗缘, 一端在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长度为c, 试证棒的全 长为 4c 2 2r 2 N
c
证: 研究对象为棒, 建立直角坐标系并 受力分析如图.
平衡方程
y
A
R
B mg
x
F
n
x
0 R cos mg sin R mg tan
2 sin 0
4.12) 一质点如以初速v0在纬度为的地方竖直向上射出, 达到h 高度复落至地面. 假定空气阻力可以忽略不计, 试求落至地面时 的偏差.
解: 设地球为转动坐标系,在北纬处, 由地心指向为单位矢量k指 向, j表示东, i为南.地球自转角速度为绕地轴匀速转动状态
1 Fx 0 NB N A 2 i 1
n
A
3p p
NA
Fy 0
i 1 n
n
1 N A NB 4 p 3
NB
B
x
1 l M 0 p l 3 pl N l B A cos N Al sin 0 3 2 i 1
41 tan 24
vB v A rBA vBx v Ax y B v v x Ay B By
and
yB 0, xB a
a a b b
2 2
A D y a
vBx v Ax v A cos v A vBy v A sin a v A
b2 tan 2 a 2ab
解: 研究对象为ABC结构,受力分析如图.
按照题意,知道 B
R A
m1 g
m1 a, m2 b
平衡时:
n
m2g
C
a m2b b M 0 m g sin m g cos a sin tan A 1 2 2 (m1 2m2 )a 2 i 1
4.2) 一直线以匀角速在一固定平面内绕一端O转动. 当直线位于Ox 的位置时, 有一质点P开始从O点沿该直线运动. 如欲使此点的绝对 速度v的量值为常数, 问此点应按何种规律沿此直线运动?
解:这是一个平面转动.如图坐标系 r r i rj v r
将这个结果反代入第一式, 忽略2项. 化简,得
0 x 2gt cos 2v0 cos y 0 x g z 2 y gt cos 2v0t cos 再进行积分,并代入初始条件得: z v0 gt
B x b C
a b
2
2
a
解2:用寻找瞬心法,过A做vA垂线，瞬心在O点，距离A为vA/. 连OB， 因角+=90o， 所以
OB OA 2 AB 2 2OA AB cos 1
v 2 2v
ab a 2 b2
2a 2
vB OB v 2 2v
设立方体密度为ρ, dm=ρ dxdydz, M=a3 ρ. 现选取过质心为原点, 平行各边为轴的坐标系,则惯量积为零. 3 cos cos cos 3 a/2 a/2 a/2 5 a 2 2 2 2 对 I xx y z dm dx dy y z dz 6 a / 2 a / 2 a / 2 同理 对角线转动惯量
x
x x
2 r v2 r
2
o
dr v 2 r 2 r dt r t dr 1 v 1 r d t t sin r sin t 2 v v 2 r 0 0
P
x
4.6) 一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速 转动, 管中有一质量为m的质点. 开始时, 细管取水平方向, 质点距 转动轴的距离为a, 质点相对于管的速度为v0. 试求质点相对于管的 运动规律. 解:这是一个平面转动.如图坐标系,受力分 析, 重力mg,约束反力N, 惯性离心力m2r, 科里奥利力FC=2m×v 约束反力和 科里奥利力垂直于管轴线方向 N mg m2r FC
ab a 2 b2
2a 2
3．20)质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上. 柱的 外面绕有轻绳, 绳子跨过一个很轻的滑轮, 并悬挂一质量为m的物 体, 设圆柱体只滚不滑, 并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的, 求 圆柱体质心的加速度a1, 物体的加速度a2及绳中张力T.
解:这是平面平行运动, 对象圆柱和 物体 受力分析如图,坐标系向右,向 下为正
M ( x, y )x
2 ma F m r 2m v
本题要求沿圆切线运动,用自然坐标内禀方程 dv 2 2 m m r sin m 2a cos sin m 2 a sin dt 2 2 2 dv and m ma dt 最后得
2y sin C1 x 2my sin x m 2 z cos x sin C2 2m z sin y cos x y m m gt 2y cos C3 z cos mg 2my z 2y sin x y 0, z v0 , 在t =0, x 2 z cos x sin y x y z0 z v0 gt 2y cos
d a 2 d k 2ba 4 I AB M AB m dt 3 dt 4 4m t 3kba20
4 a 3 2 ba ma x 2dm x 2bdx 3 3 0
0 / 2
d
0
3kba2 dt 2 4m 0
t
3.16)一矩形板ABCD在平行自身的平面内运动, 其角速度为定值 . 在其一瞬时, A点的速度为v, 其方向则沿对角线AC. 试求此瞬 时B点的速度.以v, 及矩形的边长等表示之假定AB＝a, BC＝b. 解1:用解析法,选取坐标如图, 以A为基点 O
m r m 2 r mg sin t r 2 r g sin t
对应齐次方程 r 2 r 0 通解为 r c1et c2e t g sin t 观察得, 非齐次的特解为 2 2 这样可以定出 g c1和c2的值, 从 故方程通解为 r c1et c2 e t sin t 2 2 而得到解 g 在t=0时, a c1 c2 , r v0 c1 c2 2 2
l M 0 Rc sin mg cos c B 2 i 1
又几何条件
r 2 (c / 2) 2 tan c/2
联立上述方程, 得
4 c 2 2r 2 l c
3.2)长为2l的均质棒, 一端抵在光滑墙上, 而棒身则如图示斜靠 在与墙相距为d的光滑棱角上.求棒在平衡时与水平面所成的角 度 . 解: 研究对象为棒, 受力分析如图. 建立直角坐标系为x轴水 平向右, y竖直向上 平衡方程
T
N
T
物体 : ma2 mg T 圆柱 : Ma1 T f d 1 T f R, I 0 MR 2 dt 2 xC a1 d xC R , dt R R a A 2a1 a2 I0
M
r
f Mg
m
mg
4mg 8mg a1 , a2 3M 8m 3M 8m 3Mmg T 3M 8m
2l
mg
B
F
n
y
0 R cos mg
A
1/ 3
Rd MA 0 lmg cos cos i 1 cos 3 d d cos 1 l l
N d
第3.2题图
3.3)两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起, 且角ABC形成 一直角. 如将此棒的A点用绳系于固定点上, 棒AB和BC的长度分 别为a,b. 则当平衡时, AB和竖直直线所成的角满足下列关系
b2 tan (a 2b)a
3.5)一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为1/2的地板上, 另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍, 爬到 梯的顶端时, 梯尚未开始滑动, 则梯与地面的倾角,最小当为若干? 解: 研究对象为梯子, 人在顶端时,梯子与地面的夹角为, 梯子 y 重量p, 人重3p. 平衡时:
x 0 1 y gt 3 cos v0t 2 cos 3 1 2 z v0t gt 2
再积分,并代入初始条件得: 质点再回到地面
3
t 2v0 / g
3 4 8 h 4 v0 y cos and v 2 gh y cos 0 3 g 3 g2
4.10) 质量为m的小环M, 套在半径为a的光滑圆圈上, 并可沿着圆 圈滑动. 如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点O转动, 试求小 y 环沿圆圈切线方向的运动微分方程. 解: 设坐标系如图, oxy为水平面,它绕z轴转 动,即圆圈为转动参照系 受力分析,重力和约束反力都在z轴方向, 没 有画出. 惯性离心力m2r , 科里奥利力为 FC= -2m×v
3.9)证明对角线长度为d的立方体绕其对角线转动的回转半径为
k d 3 2
解: 这是一个求解转动惯量的问题.对任一轴线转动惯量为:
I I xx cos 2 I yy cos 2 I zz cos 2 2I xy cos cos 2I xz cos cos 2I yz cos cos
a5 I yy I zz 6
5 2 a a I I xx cos 2 I yy cos 2 I zz cos 2 M 6 6
3.12)矩形均质薄片ABCD,边长为a与b, 重为mg, 绕竖直轴AB以初 角速0转动. 此时薄片的每一部分均受到空气的阻力, 其方向垂直 于薄片的平面, 其值与面积及速度平方成正比,比例系数为k. 问经 过多少时间后，薄片的角速度减为初速度的一半?
解:在匀质薄片上沿AD方向取一宽为dx长条 做微元,到转轴的距离为x 每一个微元受空气阻力 df k ( x ) 2 bdx 整个薄片受阻力矩为 : a k 2ba 4 2 M f dM f kx( x ) bdx
0
B
C b
A
a
D
整个薄片绕AB轴的转动惯量为: I AB
第十四讲 作业复习(二)
3.1)半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒斜靠在 碗缘, 一端在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长度为c, 试证棒的全 长为 4c 2 2r 2 N
c
证: 研究对象为棒, 建立直角坐标系并 受力分析如图.
平衡方程
y
A
R
B mg
x
F
n
x
0 R cos mg sin R mg tan
2 sin 0
4.12) 一质点如以初速v0在纬度为的地方竖直向上射出, 达到h 高度复落至地面. 假定空气阻力可以忽略不计, 试求落至地面时 的偏差.
解: 设地球为转动坐标系,在北纬处, 由地心指向为单位矢量k指 向, j表示东, i为南.地球自转角速度为绕地轴匀速转动状态
1 Fx 0 NB N A 2 i 1
n
A
3p p
NA
Fy 0
i 1 n
n
1 N A NB 4 p 3
NB
B
x
1 l M 0 p l 3 pl N l B A cos N Al sin 0 3 2 i 1
41 tan 24
vB v A rBA vBx v Ax y B v v x Ay B By
and
yB 0, xB a
a a b b
2 2
A D y a
vBx v Ax v A cos v A vBy v A sin a v A
b2 tan 2 a 2ab
解: 研究对象为ABC结构,受力分析如图.
按照题意,知道 B
R A
m1 g
m1 a, m2 b
平衡时:
n
m2g
C
a m2b b M 0 m g sin m g cos a sin tan A 1 2 2 (m1 2m2 )a 2 i 1
4.2) 一直线以匀角速在一固定平面内绕一端O转动. 当直线位于Ox 的位置时, 有一质点P开始从O点沿该直线运动. 如欲使此点的绝对 速度v的量值为常数, 问此点应按何种规律沿此直线运动?
解:这是一个平面转动.如图坐标系 r r i rj v r
将这个结果反代入第一式, 忽略2项. 化简,得
0 x 2gt cos 2v0 cos y 0 x g z 2 y gt cos 2v0t cos 再进行积分,并代入初始条件得: z v0 gt
B x b C
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2
2
a
解2:用寻找瞬心法,过A做vA垂线，瞬心在O点，距离A为vA/. 连OB， 因角+=90o， 所以
OB OA 2 AB 2 2OA AB cos 1
v 2 2v
ab a 2 b2
2a 2
vB OB v 2 2v
设立方体密度为ρ, dm=ρ dxdydz, M=a3 ρ. 现选取过质心为原点, 平行各边为轴的坐标系,则惯量积为零. 3 cos cos cos 3 a/2 a/2 a/2 5 a 2 2 2 2 对 I xx y z dm dx dy y z dz 6 a / 2 a / 2 a / 2 同理 对角线转动惯量
x
x x
2 r v2 r
2
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dr v 2 r 2 r dt r t dr 1 v 1 r d t t sin r sin t 2 v v 2 r 0 0
P
x
4.6) 一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速 转动, 管中有一质量为m的质点. 开始时, 细管取水平方向, 质点距 转动轴的距离为a, 质点相对于管的速度为v0. 试求质点相对于管的 运动规律. 解:这是一个平面转动.如图坐标系,受力分 析, 重力mg,约束反力N, 惯性离心力m2r, 科里奥利力FC=2m×v 约束反力和 科里奥利力垂直于管轴线方向 N mg m2r FC
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3．20)质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上. 柱的 外面绕有轻绳, 绳子跨过一个很轻的滑轮, 并悬挂一质量为m的物 体, 设圆柱体只滚不滑, 并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的, 求 圆柱体质心的加速度a1, 物体的加速度a2及绳中张力T.
解:这是平面平行运动, 对象圆柱和 物体 受力分析如图,坐标系向右,向 下为正
M ( x, y )x
2 ma F m r 2m v
本题要求沿圆切线运动,用自然坐标内禀方程 dv 2 2 m m r sin m 2a cos sin m 2 a sin dt 2 2 2 dv and m ma dt 最后得
2y sin C1 x 2my sin x m 2 z cos x sin C2 2m z sin y cos x y m m gt 2y cos C3 z cos mg 2my z 2y sin x y 0, z v0 , 在t =0, x 2 z cos x sin y x y z0 z v0 gt 2y cos
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4 a 3 2 ba ma x 2dm x 2bdx 3 3 0
0 / 2
d
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3.16)一矩形板ABCD在平行自身的平面内运动, 其角速度为定值 . 在其一瞬时, A点的速度为v, 其方向则沿对角线AC. 试求此瞬 时B点的速度.以v, 及矩形的边长等表示之假定AB＝a, BC＝b. 解1:用解析法,选取坐标如图, 以A为基点 O
m r m 2 r mg sin t r 2 r g sin t
对应齐次方程 r 2 r 0 通解为 r c1et c2e t g sin t 观察得, 非齐次的特解为 2 2 这样可以定出 g c1和c2的值, 从 故方程通解为 r c1et c2 e t sin t 2 2 而得到解 g 在t=0时, a c1 c2 , r v0 c1 c2 2 2
l M 0 Rc sin mg cos c B 2 i 1
又几何条件
r 2 (c / 2) 2 tan c/2
联立上述方程, 得
4 c 2 2r 2 l c
3.2)长为2l的均质棒, 一端抵在光滑墙上, 而棒身则如图示斜靠 在与墙相距为d的光滑棱角上.求棒在平衡时与水平面所成的角 度 . 解: 研究对象为棒, 受力分析如图. 建立直角坐标系为x轴水 平向右, y竖直向上 平衡方程
T
N
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物体 : ma2 mg T 圆柱 : Ma1 T f d 1 T f R, I 0 MR 2 dt 2 xC a1 d xC R , dt R R a A 2a1 a2 I0
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4mg 8mg a1 , a2 3M 8m 3M 8m 3Mmg T 3M 8m