湖北2010年高考数学试卷真题及答案

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2010年湖北卷(理科数学)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是 A ．E B ．F C ．G D ．H2.设集合22{(,)|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3.在ABC ∆中，15a =，10b =，60A ∠=，则cos B = A.223-B.22366- 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A.512 B.12 C.712 D.34 5已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC +=mAM 成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．5 6将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，600.采用系统抽样疗法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9x y o FE G H117如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n x S →∞=A ．22r π B.283r π C.24r π D.26r π8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54 9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 A.[1,122]-+ B.[122,122]-+ C.[122,3]- D.[12,3]- 10．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为 {}12min ,,n x x x …,.已知ABC ∆的三边长为a ，b ，c （a b c ≤≤），定义它的倾斜度为max{,,}min{,,}a b c a b cl b c a b c a=⋅则“1l =”是“ABC ∆为等边三角形”A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在204(3)x +展开式中，系数为有理数的项共有项.12己知2z x y =-，式中变量,x y 满足约束条件12y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为 .13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．Or14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 78 9 10Px0.10.3y已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为． 15．设0a >，0b >,称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段的长度是a ，b 的几何平均数，线段的长度是a ，b 的调和平均数．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()cos()cos()33f x x x ππ=+-，11()sin 224g x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合． 17．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万ABDOE元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+（010x ≤≤），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 18.(本小题满分12分)如图，在四面体ABOC 中，OC OA ⊥，OC OB ⊥，120AOB ∠=，且OA OB =1OC ==.（Ⅰ）设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使PQ OA ⊥,并计算ABAQ的值；（Ⅱ）求二面角O AC B --的平面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差是1.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(,0)M m 且与曲线C 有连个交点A ,B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足：112a =，()()11312111n n n n a a a a ++++=--, 10n n a a +⋅<（1n ≥）；数列{}n b 满足：221n n n b a a +=-（1n ≥）.AOBC（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.21.(本小题满分14分)已知函数()bf x ax c x =++（0a >）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-y.（Ⅰ）用a 表示出b ,c ；（Ⅱ）若()ln f x x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：1+1111ln(1)232(1)n n n n ++++>+++（1n ≥）.。

2010年湖北高考文科数学试题及答案

绝密*启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学本试题卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分，考试用时120分钟。

*祝考试顺利*注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A （或B ）后的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题迁出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合M={1,2,4,8},N={x|x 是2的倍数}，则M ∩N=A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8} D{1,2,8}2.函数f(x)=sin(),24x x R π-∈的最小正周期为 A. 2π B.x C.2π D.4π 3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4B. 14C.-4 D-144.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .A. ①②B. ②③C. ①④D.③④5.函数y =的定义域为 A.( 34,1) B(34,∞) C （1，+∞） D. ( 34,1)∪（1，+∞） 6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A ．45 B. 56 C. 5654322⨯⨯⨯⨯⨯ D.6543⨯⨯⨯⨯27.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A.1B. 1C. 3+D 3- 8.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实m 使得AM AC mAM +=成立，则m =A.2B.3C.4D.59.若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是A.[1-1+B.[1C.[-1,1+D.[1-10.记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的 A,充分布不必要的条件 B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分。

2010年高考试题--数学文(湖北卷)解析

2010年高考试题——数学文（湖北卷）解析版1．【答案】C【解析】因为N={x|x 是2的倍数}={…，0，2，4，6，8，…}，故{}2,4,8M N =所以C 正确. 2．【答案】D 【解析】由T=|212π|=4π，故D 正确. 3．【答案】B【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.4.【答案】C【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a 、c 还可以平行或异面；③中a 、b 还可以相交；④是真命题，故C 正确. 5.【答案】A【解析】由0.5(43)0log x ->且4x-3>0可解得314x <<，故A 正确. 6.【答案】A【解析】因为每位同学均有5种讲座可选择，所以6位同学共有65555555⨯⨯⨯⨯⨯=种，故A 正确. 7.【答案】C【解析】依题意可得：31212()22a a a ⨯=+，即3122a a a =+，则有21112a q a a q =+可得212q q =+，解得1q =或1q =所以892329101167781131a a a q a q q q q a a a q a q q+++====++++，故C 正确 8.【答案】B【解析】由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则23AM A D =①，因为AD 为中线则2AB AC AD mAM +==，即2AD m A M =②，联立①②可得m=3，故B 正确.9.【答案】D【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2,3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线y=x-b距离等于2，解得1b =+，当直线过（0，3）时，解得b=3,故13,b -≤所以D 正确. 10.【答案】B【解析】若△ABC 为等边三角形时，即a=b=c ，则m a x ,,1m i n ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则l =1；若△ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以B 正确.11.【答案】45【解析】210(1)x -展开式即是10个（1-x 2）相乘，要得到x 4，则取2个1-x 2中的（-x 2）相乘，其余选1，则系数为222410()45C x x ⨯-=，故系数为45. 12.【答案】5【解析】同理科 13.【答案】0.9744【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则3314(0.9)(10.9)0.2916P C =⨯-=；若共有4人被治愈，则42(0.9)0.6561P ==，故至少有3人被治愈概率120.9744P P P =+=.14.【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.15.【答案】[2,,0【解析】依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时12max (||||) 2 PF PF +=，当P 在椭圆顶点处时，取到12max (||||)PF PF +为1)+，故范围为[.因为00(,)x y 在椭圆2212x y +=的内部，则直线0012x x y y ⋅+⋅=上的点（x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、图象变换以及最值等基础知识和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）111()cos 2sin(2)sin 2()22224f x x x x ππ==+=+，所以要得到f （x ）的图象只需要把g （x ）的图象向左平移4π个单位长度，再将所得的图象向上平移14个单位长度即可.（Ⅱ）1111()()()cos 2sin 2)22444h x f x g x x x x π=-=-+=++.当2x+4π=2k π+z ()k Z ∈时，h （x ）取得最小值14= h （x ）取得最小值时，对应的x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 16.本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法.（满分12分）解:（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表（Ⅱ）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[)1.15,1.30中的概率约为0.47. （Ⅲ）12010020006⨯=，所以水库中鱼的总条数约为2000条.18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（满分12分）（Ⅰ）在平面OAB 内作ON ⊥OA 交AB 于N ，连接CN ，在△AOB 中，120AOB ∠=且OA=OB,030AB OBA ∴∠=∠=。

2010年高考试题— —数学理 (湖北卷)解析

2010年高考试题——数学理（湖北卷）解析版1．【答案】D【解析】观察图形可知3z i =+,则3211z i i ii+==-++，即对应点H （2，－1），故D 正确.2．【答案】A 【解析】画出椭圆221416xy+=和指数函数3xy =图象，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则AB 的子集应为{}{}{}1212,,,,A A A A ∅共四种，故选A.3．【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a b AB=可得1510sin 60sin B=解得sin 3B =又因为b a <，则B A <，故B为锐角，所以cos 3B ==，故D 正确.4．【答案】C【解析】用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生的概率为451615()()()212C P A B P A P B C==⨯=则所求概率 71()12P A B =-=，故C 正确。

5．【答案】B【解析】由题目条件可知，M 为A B C ∆的重心，连接A M 并延长交B C 于D ，则23A M A D =①，因为A D 为中线2AB AC AD m AM +== ，即 2AD m AM =②, 联立①②可得 3m =，故B 正确。

6．【答案】B【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039⋅⋅⋅⋅⋅⋅构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人，所以B 正确。

7．【答案】C【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：c o s 30,(c o s 30)c o s 30,(c o s 3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r ,r r r 即3r r r r 248⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，则面积依次为：22223927r r r r 41664ππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，所以 22222n 339271lim S lim (r r )r lim (1)r 4r344166414n n n πππππ→∞→∞→∞=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯=-故C 正确.8．【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318C A ⨯=；若有1人从事司机工作，则方案有123343108C C A ⨯⨯=种，所以共有18+108=126种，故B 正确9．【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，解得11b b =+=-，因为是下半圆故可得1b =+，当直线过（0，3）时，解得b=3,故13,b -≤所以C 正确.10.【答案】A【解析】若△ABC 为等边三角形时，即a=b=c ，则ma x ,,1m i n ,,abc a b c b c a b c a⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则l =1；若△ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以A 正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为202012020)(020)r r r r r r r r T C x C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z ，当直线经过A （2，－1）时， z 取到最大值，max 5Z =.13.【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9x y x y +++=+⨯+⨯+⨯=联合解得0.4y =. 15.【答案】CD DE【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB =⋅，故CD =，即CD 长度为a,b 的几何平均数，将OC=, 222a b a b a b a CD OD +-+-===代入O D C E O C C D ⋅=⋅可得C E =2()2()a b O E a b -==+，所以ED=OD-OE=2ab a b+，故DE 的长度为a,b 的调和平均数.16. 本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。

2010年湖北高考理科数学试题和答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位，则201111i i +æöç÷-èø= A ．- iB ．-1 C ．iD ．1 2．已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y yx x ìü==>==>íýîþ,则U C P = A ．1[,)2+¥B ．10,2æöç÷èøC ．()0,+¥D ．1(,0][,)2-¥+¥3．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-Î，若()1f x ³，则x 的取值范围为的取值范围为A ．|,3x k x k k Z pp p p ìü+££+ÎíýîþB ．|22,3x k x k k Z pp p p ìü+££+ÎíýîþC ．5{|,}66x k x k k Z p p p p +££+ÎD ．5{|22,}66x k x k k Z p pp p +££+Î 4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则，则A ．n=0 B ．n=1 C ． n=2 D ．n ³3 5．已知随机变量x 服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（x ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜x ＜2）＝）＝Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．2 6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a-+=-+（a ＞0,且0a ¹）．若()2g a =，则()2f = A ．2 B ．154C ． 174D ．2a7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

2010年湖北省高考数学试卷(文科)

2010年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•湖北）设集合M={1，2，4，8}，N={x|x是2的倍数}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{1，2，4} C．{2，4，8} D．{1，2，8}2．（5分）（2010•湖北）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．（5分）（2010•湖北）已知函数，则f[f（）]=（）A．4 B．C．﹣4 D．﹣4．（5分）（2010•湖北）用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（）①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．A．①②B．②③C．①④D．③④5．（5分）（2010•湖北）函数的定义域为（）A．（，1）B．（，∞） C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）6．（5分）（2010•湖北）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．56B．65C．D．6×5×4×3×27．（5分）（2010•湖北）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣28．（5分）（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．（5分）（2010•湖北）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•湖北）在（1﹣x2）10的展开中，x4的系数为．12．（5分）（2010•湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为．13．（5分）（2010•湖北）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9．则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为（用数字作答）．14．（5分）（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．15．（5分）（2010•湖北）已知椭圆C：的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足，则|PF1|+PF2|的取值范围为，直线与椭圆C的公共点个数．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•湖北）已经函数（Ⅰ）函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象经过怎样变化得出？（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值，并求使用h（x）取得最小值的x的集合．17．（12分）（2010•湖北）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．18．（12分）（2010•湖北）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．19．（12分）（2010•湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房．（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）20．（13分）（2010•湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2010•湖北）设函数，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，确定b、c的值．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（某某卷，解析版）【名师简评】2010年数学考试大纲强调，数学命题要重视基础知识和综合能力的相互结合，在平稳中求创新，重点强调对数学基础知识的考查．从今年考试的试卷情况看，可以说高考数学试题符合考纲的这一要求，值得一提的是，今年高考中对能力考查的力度进一步加大．相对来说今年高考文科数学试题比去年的要简单一些．首先是虽然总体的难度变化不大，但“送分题”明显增加，思维量、运算量也有所增加．其次是尽管难题不多，但由于中档题所占比重加大，除少数题外，几乎每个题目对考生的思维能力、运算能力都提出了一定的要求，更重要的是考题要求考生能够熟练运用基础知识，迅速解决问题．再次是新题型多，推陈出新是高考题的一大特点，尽管客观题、主观题中有很多是常见的题型，但是新题型还是占有一定的比例．再有很多大题都能在教材中找到它的“影子”，如：第17题、19题、20题．总之，回归课本是必须，夯实基础是前提，熟记题型是关键，灵活应变是过程，取得较高分数是结果．本试题卷共4页，三大题21题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M={1,2,4,8}，N={ x x是2的倍数}，刚M N=A.{2,4}B.{1,2.4}C.{2,4,8}D.{1,2,4,8}2.函数()f x3sin()24xπ-，x R∈的最小正周期为A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】D【命题意图】本小题主要考查了正弦型函数()siny A xωϕ=+的周期．【解析】由正弦型函数()siny A xωϕ=+的周期公式：2Tπω=，得2412Tππ==．3.已知函数f（x）={3x log x, x0,2, x0,≤则f19f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=A.4B. 14 C.4- D.14- 【答案】B【命题意图】本小题主要考查了分段函数的有关概念以及指数函数的运算和对数函数的运算．【解析】311log 299f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2112294f f f -⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4.用,,a b c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若,,a b b c ∥∥则a c ∥; ②若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥； ③若a γγ∥,b ∥,则a ∥b ; ④若,a b γγ⊥⊥,则a ∥b . 其中真命题的序号是A. ①②B.②③C. ①④D. ③④5.函数0.5log (43)y x =-的定义域为A. 3(,1)4B. 3(,)4+∞ C. (1,)+∞ D. 3(,1)(1,+)4∞6.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A. 65B.56C.5654322⨯⨯⨯⨯⨯ D.65432⨯⨯⨯⨯【答案】A【命题意图】本小题主要考查了乘法原理以及运用所学知识分析问题、解决实际应用问题的能力．【解析】6名同学中的每一名同学都可以从5个课外知识讲座中任选一种，由乘法原理可知3不同的选法总数是65．7.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a 、121a 、22a 成等差数列，则91078a a a a ++=A ．1+2B ．1-2C ．3+22D ．3-228．已知ABC ∆和点M 满足MA +MB +MC = 0.若存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【命题意图】本小题主要考查了平面向量的线性运算，同时把平面向量与三角形紧密结合起来，体现了在知识交汇点处命题的思路．【解析】因为0MA MB MC ++=，所以M 为ABC ∆的重心．如图所示，在ABC ∆中，点G 是BC 的中9.若直线y x b =+与曲线3y =24x x -有公共点，则b 的取值X 围是A.122,122⎡⎤-+⎣⎦B. 12,3⎡⎤-⎣⎦C.1,122⎡⎤-+⎣⎦D. 122,3⎡⎤-⎣⎦10.记实数12,,n X X X 中的最大数为max{}12,,n X X X ,最小数为min {}12,,n X X X .已知ABC ∆三边的边长为,,a b c (a b c ≤≤),定义它的倾斜度为max ,,min ,,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=则“1=”是“ABC 为等边三角形”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。

2010年湖北卷高考理科数学试题

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.若i 为虚数单位，图中复平面内点z 表示复数z ，则表示复数1z i+的点是 A.E B.F C.G D.H2.设集合{(A x =，22|1}416)x y y +=，{(B x =，)|3}x y y =，则A B 的子集的个数是A.4B.3C.2D.13.在ABC ∆中，15a =，10b =，60A =︒，则cos B = A.22 B.23 C.6 D.634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是A.512B.12C.712D.345.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC +=+.若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m = A.2 B.3 C.4 D.56.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为A.26，16，8B.25，17，8C.25，16，9D.24，17，97.在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=A.22r πB.283r πC.24r πD.26r π8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每个从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.549.若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是A.[1-，1+B.[1-，1+C.[1-，3]D.[1-3]10.记实数1x ，2x ，....，n x 中的最大数为1max{x ，2x ，....，}n x ，最小数为1min{x ，2x ，....，}n x ．已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤），定义它的倾斜度为max{a b τ=，b c ，}min{c a a b ，b c ，}c a，则“1τ=”是“ABC ∆为等边三角形”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在题中横线上.11.在20()x 的展开式中，系数为有理数的项共有_______项. 12.已知2z x y =-，式中变量x 、y 满足约束条件12y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为_______.13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_______cm.14.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ15．设0a >，0b >，则2ab a b+为a 、b 的调和平均数.如图，C 为线段AB 上的点，AC a =，CB b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度为a 、b 的算术平均数，线段_______的长度是a 、b 的几何平均数，线段_________的长度是a 、b 的调和平均数.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()cos()cos()33f x x x ππ=+-，11()sin 224g x x =-. ⑴求函数()f x 的最小正周期；⑵求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合.17.（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()(010)35k C x x x =≤≤+.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.⑴求k 的值及()f x 的表达式；⑵隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.18.(本小题满分12分)如图，在四面体ABOC 中，OC OA ⊥，OC OB ⊥，0120AOB ∠=且1OA OB OC ===.⑴设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ OA ⊥，并计算AB AQ的值； ⑵求二面角O AC B --的平面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1F ，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.⑴求曲线C 的方程；⑵是否存在正数m ，对于过点(M m ，0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：112a =，113(1)2(1)11n n n n a a a a ++++=--，10(1)n n a a n +<≥；数列{}nb 满足：221(1)n n n b a a n +=-≥.⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.21.（本小题满分14分）已知函数()(0)b f x ax c a x=++>的图象在点(1，(1))f 处的切线方程为1y x =-. ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x ≥在[1，)+∞上恒成立，求a 的取值范围； ⑶证明：1111ln(1)(1)232(1)n n n n n +++⋅⋅⋅+>++≥+.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (文科). 解析版

⎩1 绝密*启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学本试题卷共 4 页，三大题 21 小题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。

*祝考试顺利*注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A （或 B ）后的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题迁出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共 10 小题，每小 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 M={1,2,4,8},N={x|x 是 2 的倍数}，则 M ∩N= ()A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8} D{1,2,8} 1．【答案】C【解析】因为 N={x|x 是 2 的倍数}={…，0，2，4，6，8，…}，故 M N = {2, 4,8} 所以 C 正确.2.函数 f(x)=3 sin( x - π, x ∈ R 的最小正周期为()) 2 4A.πB.xC.2πD.4π22．【答案】D 【解析】由 T=|2π|=4π，故 D 正确. 1 2⎧log 3 x , x > 0 3.已知函数 f (x ) = ⎨2x , x ≤ 01 ，则 f ( f ( )) = ()9 1A.4B.43．【答案】BC.-4 D-4【解析】根据分段函数可得 f (1) = log 9 1 = -2 ，则 3 9 1f ( f ( )) 9 = f (-2) = 2-2 = 1 ，4所以 B 正确.4.用 a 、b 、c 表示三条不同的直线， y 表示平面，给出下列命题：①若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ；②若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c ； ③若 a ∥ y ， b ∥ y ，则 a ∥ b ；④若 a ⊥ y ， b ⊥ y ，则 a ∥ b . 其中正确的是 ()A. ①②B. ②③C. ①④D.③④2 2 2 14.【答案】C【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中 a 、c 还可以平行或异面；③中 a 、b 还可以相交；④是真命题，故 C 正确.5 . 函数 y = 的定义域为( )log 0.5 (4 x - 3)A.(3 3 ,1)B( 44,∞)C （1，+∞） D. (3 ,1)∪（1，+∞）45.【答案】A【解析】由 log 0.5( 4 x -3)>0 且 4x-3>0 可解得 3< x < 1，故 A 正确.46．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ． 546.【答案】AB. 65 5⨯6 ⨯ 5⨯ 4 ⨯ 3⨯ 2C.2D. 6 ⨯ 5⨯ 4 ⨯ 3⨯ 2【解析】因为每位同学均有 5 种讲座可选择，所以 6 位同学共有5⨯ 5⨯ 5⨯ 5⨯ 5⨯ 5 = 56种，故 A 正确.7.已知等比数列{ a }中，各项都是正数，且 a ， 1a , 2a 成等差数列，则a 9 + a 10= ()m 123 2a + aA.1+B. 1-C. 3 + 2 7.【答案】C 78D 3 - 2 【解析】依题意可得： 2 ⨯ 1 = a + 2a，即 a = a + 2a ，则有 a q 2 = a + 2a q 可得( 2a 3 ) 1 23 1 2 1 1 1q 2 = 1+ 2q ，解得q = 1+ 2 或 q = 1- （舍）a + a a q 8 + a q 9 q 2 + q 32 所以 9 10 = 1 1= = q = 3+ 2 ，故 C 正确 a + a a q 6 + a q 71+ q7 8 1 18.已知 ∆ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC = 0 .若存在实 m 使得 AM + AC = m AM 成立，则 m =A.2B.3C.4D.58.【答案】B2【解析】由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D ，则 AM = AD ①，3因为 AD 为中线则 AB + AC = 2AD = m AM ，即 2 AD = m AM ②，联立①②可得 m=3，故 B 正确.9.若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 - 有公共点，则 b 的取值范围是( )A.[1- 2 9.【答案】D,1+ 2 ] B.[1- 2 ,3]C.[-1,1+ 2 2 ]D.[1- 2 ,3]22 2 4x - x 22 2 2≤ ≤ = • 10 ⎨ ⎩1 4 【解析】曲线方程可化简为(x - 2)2 + ( y - 3)2= 4(1 ≤ y ≤ 3) ，即表示圆心为（2,3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线 y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线 y=x-b 距离等于 2，解得b=1+2 b = 1 + 2 或b=1-2 2 ，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得 b=3,故1 - 2≤ b ≤ 3, 所以 D 正确.10.记实数 x 1 , x 2 , … x n 中的最大数为 max { x 1 , x 2 , … x n }，最小数为 min{ x 1 , x 2 , … x n }.已知 ∆ABC 的 a b c a b c三边边长为a 、b 、c （ a b c ）,定义它的倾斜度为t max{ , , } min{ , , },b c a b c a则“t=1”是“ ∆ABC 为等边三解形”的( ) A, 充分布不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 10.【答案】B 【解析】若△ABC 为等边三角形时，即 a=b=c ，则max ⎧ a , b , c ⎫ = 1 = min ⎧ a b c ⎫ 则 l =1；若△ABC⎨ b c a ⎬ ⎨ , , ⎬为等腰三角形，如 a=2,b=2,c=3 时， ⎩ ⎭ ⎩ b c a ⎭则max ⎧ a , b , c ⎫ = 3 , min ⎧a b c ⎫ = 2 ，此时 l =1 仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以 B 正确.⎨ b c a ⎪ 2 ⎨ , , ⎬ 3⎩⎭ ⎩b c a ⎭二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分。

2010年普通高考湖北卷理科数学参考答案

2 2 1 2 n－1 于是，an＋1－an＝，对正整数 n 赋值得 43
2 2 1 2 0 a2－a1＝ 43
2 2 1 2 1 a3－a2＝ 43 2 2 1 2 2 a4－a3＝ 43
…………
2 1 2 n－2 2 an－an－1＝ 43
D
A
A
Q
B
18 题(Ⅰ)图
1
(Ⅱ)在棱 AC 上任取一点 E，过 E 点在平面 ACO 内作 EF⊥AC 交 AO 于点 F，过 E 点在平面 ACB 内作 EG⊥AC 交 AB 于点 G，则∠GEF 为二面角 O-AC-B 的平面角．连 FG，设 AE＝a，则易知 EF＝x，AF＝ 2x，而 cos∠CAB＝cos∠CAO·cos∠BAO＝cos45° ·cos30° ＝ 6 ， 4
G
B
18 题(Ⅱ)图
15x2 －2x2 3 3
15 x 3
＝
2x·
15 ． 5
即二面角 O-AC-B 的余弦值为
19．本小题主要考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算能力．(满分 12 分) 解：(Ⅰ)设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x，y)满足： (x－1)2＋y2－x＝1(x＞0)．化简得 y2＝4x (x＞0) (Ⅱ)设过点 M(m，0) (m＞0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)
m2－6m＋1＜0，即3－2 2＜m＜3＋2 2 由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m，0)且与曲线 C 有两个交点 AB 任一直线， → → 都有FA·FB＜0，且 m 的取值范围是(3－2 2，3＋2 2)．
2
2

2010湖北高考数学卷(理科)附答案__free

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi的点是A． E B. FC. GD. H2．设合集A＝{(x，y)|24x＋216y＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则BA 的子集的个数是A．4B．3C．2D．13．在△ABC中，a＝15，b＝10 ，A＝60度，则cosB＝A. －223Ｂ．223Ｃ．－63Ｄ．634．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．345．已知△ABC和点M满足MA+MB+MC＝0．若存在实数m使得AB+AC＝m AM成立，则m＝A．2 B．3 C．4 D．56．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I 营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区．三个营区被抽中的人数依次为A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。

７．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前n个圆的面积之和，则n n s ∞→lim ＝A ．22r π B ．283rπC ．24r π D ．6r π８．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．549．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是A ．[1,122]-+B ． [122,122]-+C ． ]3,221[-D ．[12,3]-10．记实数12,,x x …,n x 中的最大数为max ｛12,,x x …,n x ｝，最小数为min ｛12,,x x …,n x ｝．已知△ABC 的三边边长为,,a b c （a b c ≤≤），定义它的倾斜度为L ＝max ｛,,a b c b c a ｝⨯min ｛,,a b cb c a｝，则“L ＝1” 是“△ABC 为等边三角形“的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．在204(3)x y +的展开式中，系数为有理数的项共有项．12．已知Z ＝y x -2，式中变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤21x y x x y ，则Z 的最大值＝_________；13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。

湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2010 年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析1．（5 分）（2010?湖北）若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数Z ，则表示复数点是（）分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点．【解答】解：观察图形可知z=3+i ，、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） A ．E【考点】【专题】【分析】B ．F 复数的代数表示法及其几何意义；计算题．首先在图形上看出复数 z 的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以C ．GD ． H复数代数形式的乘除运算．A ．B ．C ．D ．为椭圆和指数函数 y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为 A 1、 A 2，则 A ∩B 的子集应为 ?，｛A 1｝，｛A 2｝，｛A 1，A 2｝共四种，故选 A ．【点评】此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，道不错的题．【分析】根据正弦定理先求出 sinB 的值，再由三角形的边角关系确定 ∠B 的范围，进而利22用 sinB+cos B=1 求解．解得，又∵ b <a ，∴B < A ，故 B 为锐角，，，故选 D ．【点评】正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．4．（ 5 分）（ 2010 ?湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记 “硬币正面向上 ”为事件 A ，“骰子向上的点数是 3”为事件 B ，则事件 A ，B 中至少有一件发生的概率是（）【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．解答】解：根据正弦定理3．（5 分）（ 2010 ?湖北）在 △ABC【考点】正弦定理． A ． B ． C ．﹣中， a=15， b=10， A=60 °，则 cosB=（） D ．【分析】根据题意，“事件A ，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A ）、P （B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．【解答】解：根据题意，“事件A，B 中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A ）= ，P （B）=，则P（）=（1﹣）（1﹣）=，=，则“事件A ，B 中至少有一件发生”的概率为1﹣=；故选C ．【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．5．（5分）（2010?湖北）已知△ABC 和点M 满足．若存在实数m 使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】解题时应注意到，则M 为△ ABC 的重心．【解答】解：由知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则= = ，所以有，故m=3 ，故选：B．【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．6．（5 分）（2010?湖北）将参加夏令营的600 名学生编号为：001，002，⋯600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50 的样本，且随机抽得的号码为003．这600 名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003 号，以后每隔12 个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12 为公差的等差数列，8故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人，在 301 至 495 号中共有 17 人，则 496 到 600 中有人．故选 B【点评】本题主要考查系统抽样方法．7．（5 分）（ 2010?湖北）如图，在半径为 r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 S n 为前 n 个圆的面积之和，则【解答】解：依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为： r ， r?cos30°，（r?cos30°）cos30°，（r?cos30°，cos30°） cos30°，即，即，则面积依次为：，所以故选 C ．【点评】本题考查函数的极限，解题时要认真审题，仔细计算，避免出错．8．（ 5分）（2010?湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ A ．152 B ．126 C ．90 D ． 54【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．A ．2πr 2B ． πr 2C ．4πr 2 D ． 6πr 2【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为：由此可以求出则 S n 的值．S n =(【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，① 甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，② 甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分情况讨论，① 甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18 种；② 甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2 种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有 A 32×C32×A 22=3×2×3×2=36 种；2 1 1 22°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A 32×C31×C21×A22=72 种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126 种，故选B ．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．9．（5 分）（2010 ?湖北）若直线y=x+b 与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[ ，] B．[ ，3] C．[﹣1，] D．[ ，3] 【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】本题要借助图形来求参数b 的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4 （1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2 的半圆，画出图形即可得出参数b 的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2 的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D ．【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．10．（5 分）（ 2010?湖北）记实数 x 1，x 2，⋯x n 中的最大数为 max{x 1，x 2，⋯x n } ，最小数为 min{x 1，x 2，⋯x n } ．已知 △ABC 的三边边长为 a 、b 、c （ a ≤b ≤c ），定义它的倾斜度为 t=max{ ，， } ?min{ ，， } ，x ，则 “t=1 ”是“△ ABC 为等边三角形 ”的（）A ．充分但不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】观察两条件的互推性即可求解．【解答】解：若 △ABC 为等边三角形时，即 a=b=c ，则则 t=1 ；假设 △ABC 为等腰三角形，如 a=2， b=2， c=3 时，则，此时 t=1 仍成立，但 △ ABC 不为等边三角形，所以 “t=1”是“△ABC 为等边三角形 ”的必要而不充分的条件．故选 B ．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题．二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）11．（5 分）（2010?湖北）在（ x+ ） 20的展开式中，系数为有理数的项共有 6 项．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，系数为有理数， r 必为 4 的倍数．【解答】解：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0，4， 8， 12， 16， 20共 6 种，故系数为有理数的项共有 6 项．故答案为 6【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考点】简单线性规划．专题】常规题型；作图题．12．（5 分）（2010?湖北）已知 z=2x ﹣y ，式中变量大值为 5 ．x ， y 满足约束条件则 z 的最【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x ﹣y 过可行域内的点A 时，从而得到z=2x ﹣y 的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x ﹣z，当直线经过A（2，﹣1）时，z 取到最大值，Z max=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．13．（5 分）（2010?湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4 cm．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r ，则由3V 球+V 水=V 柱可得3×，解得r=4 ．故答案为：4【点评】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．14．（5 分）（2010?湖北）某射手射击所得环数的值为0.4 ．ξ7 8P x 0.1【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】压轴题．1，得到关于x 和y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x 和y 的关系式，联立方程，解出要求的y 的值．ξ的分布列如下，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y9 100.3 y分析】根据分布列的概率之和是【解答】解：由表格可知： x+0.1+0.3+y=1 ，7x+8×0.1+9×0.3+10 ×y=8.9 解得 y=0.4 ．故答案为： 0.4．【点评】本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神．15．（5 分）（ 2010?湖北）设 a >0，b >0，称为 a ， b 的调和平均数．如图， C 为线段 AB 上的点，且 AC=a ， CB=b ，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆．过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D ．连接 OD ， AD ，BD ．过点 C 作OD 的垂线，垂足为 E ．则图中线段 OD 的长度是 a ， b 的算术平均数，线段 CD 的长度是 a ，b 的几何平均数，线段 DE 的长度是 a ， b 的调和平均数．【考点】直角三角形的射影定理；平均值不等式．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】在直角三角形中，由 DC 为高，根据射影定理可得 CD 2=AC ?CB ，变形两边开方，得到 CD 长度为 a ，b 的几何平均数；根据 a ，b 与 OC 之间的关系，表示出 OC 的长度，根据直角三角形 OCE 和直角三角形 CDE 之间边的关系得到 CE 的长，得到 OE 进而 ED ，得到结果．【解答】解：在 Rt △ADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 CD 2=AC?CB ， ∴ ，即 CD 长度为 a ， b 的几何平均数，将 OC= 代入 OD?CE=OC?CD 可得故， ∴ED=OD ﹣ OE=∴DE 的长度为 a ， b 的调和平均数．故选 CD ； DE【点评】本题是一个新定义问题，解题过程中主要应用直角三角形边之间的比例关系，比例式，本题是一个平面几何与代数中的平均数结合的问题，是一个综合题．三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16．（ 12 分）（ 2010 ?湖北）已知函数 f （ x ）=cos （ +x ） cos （ ﹣x ），g （x ）= sin2xⅠ ）求函数 f （ x ）的最小正周期；得到Ⅱ）求函数 h （x ）=f （x ）﹣ g （ x ）的最大值，并求使 h （ x ）取得最大值的 x 的集合．考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题】计算题．分析】（Ⅰ ）对于求函数 f （x ）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦 T=Ⅱ ）对于函数 h （x ）=f （x ）﹣ g （x ），把 f （x ）与 g （ x ）解析式代入后，依照两角和余【点评】本题主要考查三角函数的周期和最值问题，弦公式和降幂公式等，属于三角函数的综合性问题．还是在于对三角函数性质的掌握，本题难度系数17．（ 12 分）（ 2010?湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度 x （单位： cm ）满足关系： C （ x ）=（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元．设 f （x ）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．（Ⅰ ）求 k 的值及 f （ x ）的表达式．（Ⅱ ）隔热层修建多厚时，总费用 f （x ）达到最小，并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】应用题．【分析】（ I ）由建筑物每年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度 x （单位： cm ）满公式展开后，再利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式周期即可求出．弦公式的逆用化成一个角一个函数为 h （x ） =cos ( 2x+），由于定义域为全体实数 R ，故易知最值为此确定角，而此时角2x+x应为 x 轴正半轴的所有角的取值，即 2x+ =2k π，k ∈Z ．由解答】 cos x解：（1） f （x ）=cos （ +x ） cos （ ﹣x ）=（ cosx ﹣ cos2x ﹣ ，∴f （x ）的最小正周期为=πsinx ) cosx + sinx )2）h （ x ）=f （x ）﹣ g （ x ） ﹣sin sin2x ) = cos=2x+ )cos2x ﹣ sin2x= ( cos2x ﹣sin2x ) = ( cos cox2x∴当 2x+ =2k π，k ∈Z ，即 x=k π﹣ ，k ∈Z 时， x ）取得最大值，且此时 x 取值集合为 {x|x=k π﹣，k ∈Z} 并兼顾检测了学生对两角和，而解决有关复合角三角函数问题的关键0.6差的正余足关系：C（x）= ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元．我们可得C（0）=8，得k=40 ，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II ）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40 ，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为（Ⅱ ），令f'（x）=0，即解得x=5 ，（舍去）．当0<x<5时，f′（x）<0，当5<x<10 时，f ′（x）> 0，故x=5 是f （x ）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70 万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．18．（12 分）（2010?湖北）如图，在四面体ABOC 中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120 °，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC 的中点，Q为AB 上一点，使PQ⊥ OA ，并计算的值；（Ⅱ ）求二面角O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值．考点】平面与平面之间的位置关系．专题】计算题．分析】解法一：（1）要计算的值，我们可在平面OAB 内作ON⊥ OA 交AB 于N，连接NC ．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ ，则易求出的值．（2）要求二面角O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得∠OPN 为二面角O﹣AC﹣B 的平面角，然后解三角形OPN 得到二面角O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值．解法二：取O 为坐标原点，分别以OA，OC 所在的直线为x 轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，（1）由A、Q、B 三点共线，我们可设，然后根据已知条件，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即的值；（2）要求二面角O﹣AC ﹣B 的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC 及平面ABC 的法向量，然后根据求二面角O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解．【解答】解：法一：（Ⅰ ）在平面OAB 内作ON⊥OA 交AB 于N，连接NC．又OA ⊥ OC，∴ OA ⊥平面ONC∵NC? 平面ONC，∴OA ⊥NC．取Q 为AN 的中点，则PQ∥ NC．∴PQ⊥OA在等腰△AOB 中，∠ AOB=120 °，∴∠ OAB= ∠OBA=30 ° 在Rt△AON 中，∠OAN=30 °，在△ONB 中，∠NOB=120 °﹣90°=30°=∠NBO，∴NB=ON=AQ ．解：（Ⅱ）连接PN，PO，由OC⊥OA，OC⊥OB 知：OC⊥平面OAB ．又ON? 平面OAB ，∴OC⊥ON又由ON ⊥OA，ON⊥平面AOC．∴OP 是NP 在平面AOC 内的射影．在等腰Rt△COA 中，P为AC 的中点，∴AC ⊥OP根据三垂线定理，知：∴AC ⊥NP∴∠ OPN为二面角O﹣AC﹣B 的平面角在等腰Rt△COA 中，OC=OA=1 ，∴在Rt△ AON 中，，∴在Rt△ PON 中，．解法二：（I）取O为坐标原点，分别以OA ，OC所在的直线为x 轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图所示）则∵P为AC 中点，∴设，∵．∴∴．∵，∴ 即，．所以存在点使得PQ ⊥OA 且．（Ⅱ ）记平面ABC 的法向量为=（n1，n2，n3），则由，，且，得，故可取又平面OAC 的法向量为=（0，1，0）．两面角O﹣AC ﹣B 的平面角是锐角，记为θ，则【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12 分）（2010?湖北）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1．（Ⅰ ）求曲线C 的方程；（Ⅱ ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C 有两个交点A，B 的任一直线，都有< 0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ ）设P（x，y）是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m （包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现? <0 的等价转化；最后通过m、t 的不等式求出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C 上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x> 0）．（Ⅱ ）设过点M （m，0）（m> 0）的直线l 与曲线C 的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．得 y 2﹣4ty ﹣4m=0，△=16（t 2+m ）> 0，． ? （ x 1﹣1）（ x 2﹣1）+y 1y 2=x 1x 2﹣（ x 1+x 2）+1+y 1y 2<0②由① 式，不等式 ③ 等价于 m 2﹣ 6m+1<4t 2④对任意实数 t ，4t 2的最小值为 0，所以不等式 ④ 对于一切 t 成立等价于 m 2﹣6m+1<0，解得．由此可知，存在正数 m ，对于过点 M （m ，0）且与曲线 C 有两个交点 A ，B 的任一直线，都有，且 m 的取值范围．点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．<0（n ≥1），数列 {b n }满足： b n =a n+12﹣a n 2（n ≥1）．（Ⅰ ）求数列 {a n }，{b n }的通项公式（Ⅱ ）证明：数列 {b n } 中的任意三项不可能成等差数列．【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质．【专题】计算题；应用题；压轴题．【分析】（1）对化简整理得，令 c n =1﹣a n 2，进而可推断数列 {c n }是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得 c n ，则 a 2n 可得，进而根据 a n a n+1< 0 求得 a n ．（2）假设数列 {b n } 存在三项 b r ，b s ，b t （r <s <t ）按某种顺序成等差数列，由于数列 {b n }为等比数列，于是有 b r >b s >b t ，则只有可能有 2b s =b r +b t 成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为 2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．设 l 的方程为 x=ty+m ，由 20．（13 分）（2010?湖北）已知数列 {a n }满足：，a n a n+1 aa于是不等式 ② 等价于又解答】解：（ Ⅰ ）由题意可知，令 c n =1﹣ a n 2，则切线方程为 y=x ﹣ 1．1）用 a 表示出 b ，c ；2）若 f （ x ） ≥lnx 在［1 ， + ∞）上恒成立，求 a 的取值范围．考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．专题】计算题；压轴题．，则数列 {c n }是首项为，公比为的等比数列，即， a n a n+1< 0因为故（Ⅱ ）假设数列 {b n } 存在三项 b r ， b s ， b t （ r < s < t ）按某种顺序成等差数列，由于数列 {b n } 是首项为，公比为的等比数列，于是有2bs =b r +b t 成立，则只有可能有 2b r =b s +b t 成立，化简整理后可得，由于 r < s < t ，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列 {b n } 中任意三项不可能成等差数列．【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，过吧递推式变形转换成等差或等比数列．常可把通21．（14 分）（ 2010?湖北）已知函数f （ x ）=ax+ +c （ a > 0）的图象在点（ 1， f （1））处的 2=（）【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1 处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax+ +1﹣2a﹣lnx ，x ∈[1 ，+ ∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a 的范围，分别进行求解即可求出a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ ），则有，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f （x）﹣lnx=ax+ +1﹣2a﹣lnx ，x ∈[1 ，+ ∞）则g（1）=0，（i ）当，若，则g′（x）＜0，g（x ）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f （x）＞lnx ，故f（x ）≤lnx 在[1，+∞）上恒不成立．ii)若f（x）＞lnx ，故当x≥1时，f（x ）≥lnx 综上所述，所求a 的取值范围为点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．∴即对应点H（2，﹣1），故选D ．【点评】本题考查复数的几何意义，考查根据复数的代数形式，在坐标系中找出对应的点，根据复平面上的点写出对应的复数的表示式，本题是一个基础题．x 2．（5 分）（2010?湖北）设集合，B={ （x，y）|y=3* * * * *x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】交集及其运算；子集与真子集．【专题】数形结合．【分析】由题意集合，B={ （x，y）|y=3x} ，画出A，B 集合所表示的图象，看图象的交点，来判断 A ∩B 的子集的个数．【解答】解：∵集合，。

2010年湖北高考数学文科试卷(带答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}1,2,4,8,|2M N x x ==是的倍数，则=MN ( )A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8} D{1,2,8}【测量目标】集合的基本运算（交集）.【考查方式】考查了集合的表示法（描述法、列举法），求集合的交集. 【参考答案】C【试题解析】因为{}|2N x x =是的倍数={…，0，2，4，6，8，…}，故{}=2,4,8MN所以C 正确. 2.函数()f x=πsin(),24x x -∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B. xC.2πD.4π【测量目标】三角函数的周期性.【考查方式】考查三角函数的基本定义，给出三角函数解析式求出最小正周期. 【参考答案】D【试题解析】由T =2π12=4π，故D 正确. 3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，则1(())9f f = ( )A.4B.14C.-4D.14-【测量目标】函数的定义域与值域.【考查方式】根据给出的分段函数解析式,求出结果. 【参考答案】B【试题解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.4.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：①若a b ，b c ，则a c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若ay ，b y ，则a b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a b .哪些是正确的选项 ( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 【测量目标】直线与直线、平面之间的位置关系.【考查方式】考查学生对线线之间、线面之间的位置关系的理解和灵活运用. 【参考答案】C【试题解析】根据平行直线的传递性可知①正确;在长方体模型中容易观察出②中a c 还可以平行或异面; ③中a 、b 还可以相交; ④是真命题,故C 正确 5.函数y =的定义域为 ( )A.(34,1)B.(34,∞) C.（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞）【测量目标】复合函数的定义域.【考查方式】根据根号内值＞0，对数函数内430x -＞求出定义域. 【参考答案】A【试题解析】由0.5log (43)0x -＞且430x -＞可解得314x ＜＜,故A 正确.6．现有6名同学同时进行5个课外知识讲座，6名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（） A ．65B. 56C.5654322⨯⨯⨯⨯⨯D.65432⨯⨯⨯⨯【测量目标】简单的排列组合.【考查方式】结合实际情况，求出满足条件的排列种数. 【参考答案】A【试题解析】因为每位同学均有5种讲座可选择,所以6位同学共有6555555=5⨯⨯⨯⨯⨯种,故A 正确.7.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+( )A.1B. 1C. 3+D 3-【测量目标】等差数列、等比数列的基本性质.【考查方式】根据等差数列等差中项性质求出q ，然后代入91078a a a a ++得到结果.【参考答案】C【试题解析】依题意可得: 231231211112=+2,=+2,=+22a a a a a a a q a a q ⎛⎫⨯⎪⎝⎭即则有（步骤1）可得2=1+2q q ,解得=1+2q 或=12q -（舍去）（步骤2）所以8923291011677811++===3+22+1+a a a q a q q q q a a a q a q q+=+,故C 正确. （步骤3） 8.已知ABC △和点M 满足MA MB MC ++=0.若存在实m 使得AM AC mAM +=成立，则m = ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】考查考生向量的线性运算的理解和运用，给出向量间的线性关系，要求计算出其系数.【参考答案】B【试题解析】由MA MB MC ++=0知，点M 为ABC △的重心，设点D 为底边BC 的中点，则2==3AM AD 21(32⨯)AB AC +=1()3AB AC +，所以有3AB AC AM +=，故m =3，选B.9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（） A.[122-,122+] B.[12,3]- C.[1-,122+]D.[122,3]-【测量目标】直线与圆的标准方程及位置关系.【考查方式】结合直线与圆的方程，利用点到直线距离公式求出解析式中未知参数范围. 【参考答案】D【试题解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆. （步骤1）当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y x b =+距离等于2，解得122122b b =+=-或. （步骤2）因为是下半圆故可得122b =+（舍去），当直线过（0，3）时，解得b =3,故1223,b -≤≤所以D 正确. （步骤3）10.记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC △的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b ct b c a b c a=•则“t=1”是“ABC △为等边三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】命题之间的基本关系、充分必要条件的判断.【考查方式】以三角形三边长条件为背景，考查了命题之间的基本关系、充分必要条件的判断.【参考答案】B【试题解析】若ABC △为等边三角形，即a=b=c ，则max ,,1min ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则t =1；若△ABC 为等腰三角形，如2,2,3a b c ===时，则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以B正确.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分.11.在210(1)x -的展开中， 4x 的系数为______.【测量目标】二项式定理【考查方式】由二项式求其某项展开式系数. 【参考答案】45【试题解析】210(1)x -展开式即是10个21x -相乘，要得到4x ，则取2个21x -中的2x -相乘，其余选1，则系数为222410C ()45x x ⨯-=，故系数为45. 12.已知：2z x y =-式中变量,x y 满足的束条件,1,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤则z 的最大值为______.【测量目标】二元线性规划求最值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出目标函数的最大值．【参考答案】5【试题解析】根据不等式组，可得上图，2z x y =-，联立方程组可得(2,1)-是满足条件的点，所以max 5z =13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）. 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出某件事件的概率，要求求出另外一件相关事件的概率，考查了考生对排列组合和分类讨论思想的理解和运用【参考答案】0.9477【试题解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则3314C (0.9)(10.9)0.2916P =⨯-=；若共有4人被治愈，则42(0.9)0.6561P ==，故至少有3人被治愈概率120.9477P P P =+=. 14.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.【测量目标】圆柱、球的体积公式.【考查方式】考查了球体积公式的基本概念和基本运算，利用体积相等求出其半径【参考答案】4【试题解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得32243ππ8π63r r r r ⨯+⨯=⨯,解得r =4. 15.已知椭圆22:12x C y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线0012x xy y +=与椭圆C 的公共点个数_____. 【测量目标】椭圆的标准方程、直线与椭圆相交.【考查方式】根据椭圆内一点到两焦点距离之和判断公共点个数. 【参考答案】[)2,22,0【试题解析】依题意知，点P 在椭圆内部.由数形结合可得，当P 在原点处时12max (||||)2PF PF += （步骤1）当P 在椭圆顶点处时，取到12max (||||)PF PF +为(21)(21) =2 2 -++，故范围为[2,22. （步骤2）因为00(,)x y 在椭圆2212x y +=的内部，则直线0012x x y y +=上的点（x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个. （步骤3）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数22cos sin 11(),()sin 2.224x x f x g x x -==- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出？(Ⅱ)求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求当()h x 取得最小值时x 的集合. 【测量目标】三角函数的图象及性质，三角函数的恒等变换.【考查方式】给出三角函数解析式，通过图象平移变换得到所求三角函数；把函数()h x 化简得到最简的三角函数解析式，然后根据三角函数基本概念求出最小值和取得最小值时的x 的集合.【试题解析】解：(Ⅰ) 11π1π()cos 2sin(2)sin 2()22224f x x x x ==+=+ （步骤1）所以要得到()f x 的图象只需把()g x 的图象向左平移π4个长度单位，再将所得的图象向上平移14个长度单位即可. （步骤2）（Ⅱ）111π1()()()cos 2sin 2cos 2224244h x f x g x x x x ⎛⎫=-=-+=++ ⎪⎝⎭ 当π22π+π()4x k k +=∈Z 时，()h x 取得最小值11244--+=. ()h x 取得最小值时，对应x 的集合为3|π+π,8x x k k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z . （步骤3）17.（本小题满分12分）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（Ⅰ）在答题卡上的表格中填写相应的频率；（Ⅱ）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少；（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.【测量目标】频率分布直方图、用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】考查考生对频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计. 概率=每一个柱形的体积. 【试题解析】解：（Ⅰ）根据频率分布可知。

2010年湖北省高考数学试卷

2010年湖北省高考数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数的反函数图像过点，则= .2．已知函数的值域为，集合，则= .3．已知，且，则=___________.4．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________（结果保留）. 5．已知（为虚数单位）是一元二次方程( 均为实数)的一个根，则=__________.6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入.7. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________.8. 将参数方程（为参数，）化为普通方程，所得方程是_____ _____.9. 在二项式的展开式中，常数项的值是，则= .10．一质地均匀的正方体三个面标有数字，另外三个面标有数字.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望=___________. 11．已知椭圆内有两点为椭圆上一点，则的最大值为.12.如图，为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为.13.设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数,若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为.14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕,然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤……，得到，则.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数，设，则是（）A.奇函数，在上单调递减B.奇函数，在上单调递增C.偶函数，在上递减，在上递增D.偶函数，在上递增，在上递减17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为，众数为；②乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为；则肯定进入夏季的地区有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个18. 如图所示，向量的模是向量的模的倍，的夹角为,那么我们称向量经过一次变换得到向量.在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（）A.B.C.D.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在中，分别是角的对边，且,若的面积，求的值.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时，它的燃料费是每小时元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行．（1）求的值；（2）求该轮船航行海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是，为侧棱的中点．（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线到平面的距离.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；（3）对（2）题中的，求集合的元素个数.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线的方程；(2) 若过点( )任意作一条直线与双曲线交于两点( 都不同于点)，求证：为定值；(3) 对于双曲线 : ，为它的右顶点，为双曲线上的两点(都不同于点)，且，那么直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点.（理）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1． 2. 3. 4. 5. 19 6．7.8. ( ) 9. 10. 11. 12.13. 14.二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分）15. B 16. B 17. C 18.D三．解答题19．（本题12分）解：由条件可得，……………2分即，……………4分………………………………8分由余弦定理,得………………10分于是，. ………………………………………12分20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意得燃料费，………………………………2分把=10，代入得.………………………………………………6分（2），……………………………………9分= ，………………………11分其中等号当且仅当时成立，解得，……………13分所以，该轮船航行海里的总费用的最小值为2400（元）. (14)分21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分.解：（1）方法一：以中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分由题意得则. .............3分设为向量的夹角，则，.....5分异面直线与所成角的大小为arccos . ...... 6分方法二：取中点，连结.………………………………….2分（或其补角）为异面直线所成的角. ……3分由题意得:在中，;在中，;……………………4分在等腰三角形中，………5分所以异面直线与所成角的大小为. .... 6分（2）方法一：由题意可得,所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为. …………….8分设平面的法向量为，,由得,…………………11分,即. ……………………………………………………12分所以故直线到平面的距离为.…………………………………14分方法二：由题意可得,所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为.…………….8分由题意得，等腰底边上的高为，则，且到平面的距离为，………………………………………12分由得……………………………………………………………13分，则，所以，直线到平面的距离为.……………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分.解：(1)由条件得，即,…………………………..2分所以，. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知所以，，,，…………………………..7分由及得依次成递增的等差数列,……………..8分所以，…………………………..9分满足为常数，所以数列为等比数列. …………………………..10分（3）①当为奇数时，，…………………………..12分同样，可得,所以，集合的元素个数为；……..13分②当为偶数时，同理可得集合的元素个数为. .…..16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。

2010年湖北省高考数学试卷(理科)及答案

2010年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H2．（5分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，97．（5分）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则S n=（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．6πr28．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．549．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．（5分）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有项．12．（5分）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为．13．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．14．（5分）某射手射击所得环数ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为．ξ78910P x0.10.3y 15．（5分）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB 上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x 的集合．17．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．18．（12分）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．19．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．21．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．2010年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点．【解答】解：观察图形可知z=3+i，∴，即对应点H（2，﹣1），故选D．2．（5分）（2010•湖北）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．【解答】解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．3．（5分）（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．4．（5分）（2010•湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．【解答】解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）=，P（B）=，则P（）=（1﹣）（1﹣）=，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1﹣=；故选C．5．（5分）（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m 使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．6．（5分）（2010•湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B7．（5分）（2010•湖北）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n 个圆的面积之和，则S n=（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．6πr2【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为：，由此可以求出则S n的值．【解答】解：依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°，cos30°）cos30°，即，则面积依次为：，所以．故选C．8．（5分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．54【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B．9．（5分）（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D．10．（5分）（2010•湖北）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【分析】观察两条件的互推性即可求解．【解答】解：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则t=1；假设△ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3时，则，此时t=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以“t=1”是“△ABC为等边三角形”的必要而不充分的条件．故选B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•湖北）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有6项．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，系数为有理数，r 必为4的倍数．【解答】解：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0，4，8，12，16，20共6种，故系数为有理数的项共有6项．故答案为612．（5分）（2010•湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为5．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x﹣z，当直线经过A（2，﹣1）时，z取到最大值，Z max=5．故答案为：5．13．（5分）（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：414．（5分）（2010•湖北）某射手射击所得环数ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为0.4．ξ78910P x0.10.3y【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值．【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9解得y=0.4．故答案为：0.4．15．（5分）（2010•湖北）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段DE的长度是a，b的调和平均数．【分析】在直角三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD2=AC•CB，变形两边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与OC之间的关系，表示出OC的长度，根据直角三角形OCE和直角三角形CDE之间边的关系得到CE 的长，得到OE进而ED，得到结果．【解答】解：在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，∴，即CD长度为a，b的几何平均数，将OC=代入OD•CE=OC•CD可得故，∴ED=OD﹣OE=，∴DE的长度为a，b的调和平均数．故选CD；DE三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•湖北）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x 的集合．【分析】（Ⅰ）对于求函数f（x）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦公式展开后，再利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式T=周期即可求出．（Ⅱ）对于函数h（x）=f（x）﹣g（x），把f（x）与g（x）解析式代入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个函数为h（x）=cos（2x+），由于定义域为全体实数R，故易知最值为，而此时角2x+应为x轴正半轴的所有角的取值，即2x+=2kπ，k∈Z．由此确定角x的取值几何即可．【解答】解：（1）f（x）=cos（+x）cos（﹣x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）=cos2x﹣=﹣=cos2x﹣，∴f（x）的最小正周期为=π（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=（cos cox2x﹣sin sin2x）=cos（2x+）∴当2x+=2kπ，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，h（x）取得最大值，且此时x取值集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}17．（12分）（2010•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．18．（12分）（2010•湖北）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．【分析】解法一：（1）要计算的值，我们可在平面OAB内作ON⊥OA交AB 于N，连接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出的值．（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，（1）由A、Q、B三点共线，我们可设，然后根据已知条件，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即的值；（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解．【解答】解：法一：（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC．取Q为AN的中点，则PQ∥NC．∴PQ⊥OA在等腰△AOB中，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°在Rt△AON中，∠OAN=30°，∴在△ONB中，∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO，∴NB=ON=AQ．∴解：（Ⅱ）连接PN，PO，由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．∴OP是NP在平面AOC内的射影．在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，∴AC⊥OP根据三垂线定理，知：∴AC⊥NP∴∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴在Rt△AON中，，∴在Rt△PON中，．∴解法二：（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图所示）则∵P为AC中点，∴设，∵．∴，∴．∵，∴即，．所以存在点使得PQ⊥OA且．（Ⅱ）记平面ABC的法向量为=（n1，n2，n3），则由，，且，得，故可取又平面OAC的法向量为=（0，1，0）．∴cos＜，＞=．两面角O﹣AC﹣B的平面角是锐角，记为θ，则19．（12分）（2010•湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现•＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．20．（13分）（2010•湖北）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．21．（14分）（2010•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为。