原始-对偶算法

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有向最短路的“原始-对偶”算法

—
∈
∑
＝＼定义３ｉｓａＤｊｔ算法ＤｊｓａｋｒＩｉｔ算法又称顶点标号法，ｋｒ对一个给定的无向图Ｇ，对顶点进行永久标号／Ｉｒ ● ● 【００与暂时标号，按照权重不断修改顶点标号，最终得到一条最短路。一
行解，则，＂最优解的充分必要条件是７是／
但允许．Ｎ集是否为一条最短路，－Ｉ需要有修正的（），进行检验。
２４构造（Ｐ）．Ｒ模型
ＥＸ
Ⅳ
ｍ．
￥
Ｊ
，
（）＋ｘ＝ｘ
ｍｎｎｉ＝Ｚｘ－Ｉ
ｉ＝１
，Ｅ
委（，，。＝… 一（一＋＝ｆ，，２，））Ｅｌ
３在线性规划中寻找的的最优解，即为有向图Ｄ中的最短路。）
２２构造Ｌ．Ｐ的对偶
万ｆＡ限万【万＝一芜：ＩＩ，
收稿日期：２０ — ０２０７１—２
万＝万Ａｂ
．
≤
ｊ
ｊ
即万一万．
作者简介：沙元霞（９０，女，黑龙江大庆人，助教，硕士，主要从事组合优化和图论方面的研究。ＥｍｉｅｕＳ５＠１３ｃｍ１８－）－ａｌａｔ０７６．。：ｂｙ０
…
又＞可得（）０，Ｄ的一个初始可行解万００ …，））将（带入（）＝（，０（。，）Ｄ得到所有约束条件均为严格
不等式，构成允许可列集＝寻找使一，的列，。万＝添加到中（即寻找满足约束条件的的值），经过有限次循环Ｊ中最终取值即为所求路径。

含参数的最短路问题及其原始—对偶算法

含参数的最短路问题及其原始—对偶算法
一、含参数的最短路问题
含参数的最短路问题（Parametrized Shortest Path Problem, PSP）是最短路径问题（Shortest Path Problem, SPP）的扩展，是的待求解的网络拓扑结构依赖于一组实参构成的参数，它主要用在那些路径选择依赖于实参因素的场合。

与传统SPP相比，在含参数SPP中任务不在于仅求出只依赖于路径上边/弧权值的最短路径，而是求出优化另外一组实数参数的最优路径，这给出的解决方案不再是路径，而是一组相关的参数值，通常这组参数值都是路径上一个或多个节点的权值值。

二、原始——对偶算法
含参数SPP的计算机解决方案一般有两种：原始——对偶算法和隐式唯一性解法。

原—对偶算法是一种割点问题求解方法，由原始算法和对偶算法组成。

原始算法通过改变权值算出最优路径及其关联参数；而对偶算法则采用贪心算法来进行搜索最优路径，当采用原始-对
偶算法解决SPP时，先利用原始算法找出最优的路径及参数，然后再用对偶算法进行简化和精确，以此来减少搜索范围，加快收敛速度。

原始算法首先先利用贪心算法找出满足要求的路径，确定出路径上所有节点的参数值。

然后利用搜索策略对得到的路径进行优化，其方法有：一是贪心优化，二是贪心轮换，三是贪心随机优化，等等。

贪心优化主要是按贪婪算法边/弧及其所有变量依次改变其参数值，找出更优的路径；贪心轮换的思路主要是尝试若干次通过不同参数设置对路径上某些节点变换使得路径达到最佳状态；而贪心随机优化则是改变每个变量以优化整个路径。

（运筹学与控制论专业论文）线性规划的可行点算法

摘要本文研究的是线性规划的可行点算法，一个由线性规划的内点算法衍生而来的算法．线性规划的内点算法是一个在线性规划的可行域内部迭代前进的算法．有各种各样的内点算法，但所有的内点算法都有一个共同点，就是在解的迭代改进过程中，要保持所有迭代点在可行域的内部，不能到达边界．当内点算法中的迭代点到达边界时，现行解至少有一个分量取零值．根据线性规划的灵敏度分析理论，对线性规划问题的现行解的某些分量做轻微的扰动不会改变线性规划问题的最优解．故我们可以用一个很小的正数赋值于现行锯中等于零的分量，继续计算，就可以解出线陛规划问题的最优解．这种对内点算法的迭代点到达边界情况的处理就得到了线性规划的可行点算法．它是一个在可行域的内部迭代前进求得线性规划的最优解的算法．在此算法中，只要迭代点保持为可行点．本文具体以仿射尺度算法和原始一对偶内点算法为研究对象，考虑这两种算法中迭代点到达边界的情况，得到相对应的’仿射尺度可行点算法’和’原始．对偶可行点算法，．在用理论证明线性规划的可行点算法的可行性的同时，我们还用数值实验验正了可行点算法在实际计算中的可行性和计算效果．关键词：线性规划，仿射尺度算法，原始一对偶内点算法，内点，可行点算法，步长可行点．ＡｂｓｔｒａｃｔｄｅｒｉｖｅｄＴｈｉｓＤａｐｅｒｆｏｃｕｓｅｓｏｎａｆｅａｓｉｂｌｅｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｒｏｍｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｌｉｎｅｚａ＂ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｉｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂｙｓｅａｒｃｈｉｎｇｗｉｔｈｉｎｔｈｅｆｅａｓｍｌｅＴｅ譬ｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｒｅａｒｅａＵｋｉｎｄｓｏｆｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｌｒｍａｌｌｔｈｅｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｎｆｉｎｇ．Ｂｕｔａｌｌｔｈｅｓｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｓｈａｒｅａｓｐｅｃｉａｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈｉｓｓｏｌｕｔｉｏｎ｜ｔｅｒａｔｉｖｅＤｏｉｎｔｓｃａｎｎｏｔｒｅａｃｈｔｈｅｂｏｕｎｄｓＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｗｉｌｌｎｏｔｂｅｃｈａｎｇｅｄｂｙｌｉｔｔｌｅｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎ·ＳｏＷｅｌｅｔｔｈｅ｛ｘｊＩｚＪ＝ｏ，Ｊ＝１，２，－··）ｎ）ｅｑｕａｌａｖｅｒｙｓｍａｌｌｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｎｌｂｅｒ，ｇｏｏｎｗｉｔｈｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏ“一ａｎｄｔｈｅｎｗｅｇｅｔｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ａｌｌｔｈｅｓｅｌｅａｄｔｏｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ。

博弈论与组合优化中的对偶问题

1.1. 博弈论发展过程中的四个研究纲领
• • • • von Neumann纲领 1928 Nash纲领1950 Aumann纲领1974 重复博弈中的有限自动机博弈理论、复杂性理论和学习理论 1993
1.1 博弈论发展过程中的四个研究纲领
von Neumann纲领线性规划对偶性
Nash纲领
1.5 二人一般博弈与非线性规划对偶之间的对应关系
• 从Nash纲领到Aumann纲领的转向得到了很多博弈论学者的支持: • 首先是Selten、Harsanyi等人在Aumann纲领正式提出前对均衡精化的研究 • 其次是Hart和Schmeidler、Nau和McCardle、 Myerson、Fudenberg和Levine、Foster和Vohra、 Hart和Mas-Colell等人在Aumann纲领正式提出后对均衡粗化具体内容的研究
1.6 策略复杂性与复杂性与简单性对偶之间的对应关系
• 但策略复杂性研究目前没有充分反映博弈的对偶性质的新概念 • 原因在于忽视了博弈论与组合优化的联系 • Shubik(1997)关于博弈的复杂性与简单性的思考或许提示了博弈的一种新的对偶性
1.7 研究次序
• 问题在于：必须先将Aumann纲领中隐含的精化和粗化的对偶性研究清楚，才能进一步研究策略复杂性和学习理论的对偶性 • 故应先研究精化和粗化的对偶性
1.5 二人一般博弈与非线性规划对偶之间的对应关系
• Kakad e和Foster : • 他们的结论与Hart和Mas-Colell（2003b）的结论并不冲突，因为后者的学习设定不允许从博弈行动的历史中提取丰富统计数据。 • 看来Nash均衡与均衡粗化之间还有很多关系有待人们去发现，Nash均衡与均衡粗化的统计学基础还有待加强。 • 这就导致了策略复杂性和学习理论的研究

内点法介绍(Interior Point Method)

内点法介绍（Interior Point Method）在面对无约束的优化命题时，我们可以采用牛顿法等方法来求解。

而面对有约束的命题时，我们往往需要更高级的算法。

单纯形法（Simplex Method）可以用来求解带约束的线性规划命题（LP），与之类似的有效集法（Active Set Method）可以用来求解带约束的二次规划（QP），而内点法（Interior Point Method）则是另一种用于求解带约束的优化命题的方法。

而且无论是面对LP还是QP，内点法都显示出了相当的极好的性能，例如多项式的算法复杂度。

本文主要介绍两种内点法，障碍函数法（Barrier Method）和原始对偶法（Primal-Dual Method）。

其中障碍函数法的内容主要来源于Stephen Boyd与Lieven Vandenberghe的Convex Optimization一书，原始对偶法的内容主要来源于Jorge Nocedal和Stephen J. Wright的Numerical Optimization一书（第二版）。

为了便于与原书对照理解，后面的命题与公式分别采用了对应书中的记法，并且两者方法针对的是不同的命题。

两种方法中的同一变量可能在不同的方法中有不同的意义，如μ。

在介绍玩两种方法后会有一些比较。

障碍函数法Barrier MethodCentral Path举例原始对偶内点法Primal Dual Interior Point Method Central Path举例几个问题障碍函数法（Barrier Method）对于障碍函数法，我们考虑一个一般性的优化命题：minsubject tof0(x)fi(x)≤0,i=1,...,mAx=b(1) 这里f0,...,fm:Rn→R 是二阶可导的凸函数。

同时我也要求命题是有解的，即最优解x 存在，且其对应的目标函数为p。

此外，我们还假设原命题是可行的（feasible）。

用原始_对偶算法求解过指定顶点的最短路

西北纺织工学院学报
Jo ur nal o f Nort hw est Insti tut e of T ex ti le Science and T echno logy
第 10卷第 3期 (总 39期 )
1996年 9月
Vo l. 10, No. 3( Sum No. 39)
用原始 -对偶算法求解过指定顶点的最短路
图1
如图 1,求 vs到 vt 经 v1 , v3 点的最短路 . 解 c= ( ys , y1 , y2 , y3 , y4 , z1 , z3 ) , y1 , z1 与 v1 对应 , y3 , z3 与 v3 对应 ,其余 yi 与 vi 对应 , i = s, 2, 4, 将各变量取值分别写在对应的顶点旁 .
的最优解 .而 J 中由 vs到 vt 经 v 1 , v 2 ,…… , vk
的任何路均为最优 ,或问题 ( P) 无可行解 .
实际应用时 ,由问题 ( D)及 ( DRP)中变
量的意义 ,可将解写在对应的顶点上 ,即对
应于指定顶点 ,有两个变量与之对应 ,其它
顶点 ,有一个变量与之对应 .
4 应用举例
作为一个优化问题 ,此问题的可行解集 F = { P = ( ej 1 , ej 2 ,… , ejl )|P 为一个弧序列 ,且
∑ 为 vs 到 vt 过指定顶点 v1 , v2 ,… , vk 的有向路 } ,价值函数为 C ( P ) = C ( eji ) .
ej
∈ i
P
1 线性规划模型的建立
mi n CT f
1
0
Af = 0 m行
, f ≥ 0.
( P)
1
1
其中 A =

The Primal-Dual Algorithm(原始对偶优化算法)

Ax = b ≥ 0 x≥0
Dual max w = π′b
π′A ≤ c′ π′ ≷ 0
Assume b ≥ 0 and we know dual feasible π.
Recall that x, π are jointly optimal iff they satisfy
∀i, πi(a′ix − bi) = 0 and ∀j, (cj − π′Aj)xj = 0.
cj − π′Aj π¯′Aj
The new cost is
w∗ = π′b + θ1π¯′b = w + θ1π¯′b > w.
11
procedure primal-dual begin
infeasible := ‘no’, opt := ‘no’; let π be feasible in D while infeasible =‘no’ and opt =‘no’ do begin set J = {j : π′Aj = cj};
8
Dual max w = π′b
π′A ≤ c′ π′ ≷ 0
J = {j : π′Aj = cj} π is feasible
DRP max w = π′b
π′Aj ≤ 0 j ∈ J πi ≤ 1 i ≤ m πi ≷ 0
π¯ is optimal
We “improve” cost of π by setting π∗ = π + θπ¯, θ > 0.
10
Dual max w = π′b
π′A ≤ c′ π′ ≷ 0
J = {j : π′Aj = cj} π is feasible
DRP max w = π′b

半定规划

1.5 为什么凸在最优化中重要的
一个凸函数没有不为全局极小的局部极小值一个非凸函数可以被“凸化的”同时保持全局极小值的最优性
一个凸集有非空的相对内部一个凸集在任何点具有可行方向
凸函数的极小值的存在可以非常方便地用收缩方向进行刻画一个多面体凸集可用它的极值点和极值方向来刻画
1 F(Y12,Y13,Y23)T Y12
下面来看一个例子：
例 7：存在内可行解(X, y,S)(X 0,S 0)是有必要的。
0 0 0 (P) min0 0 0 X
0 0 1
1 0 0
0 1 0
s.t. 0 0 0 X 0,1 0 0 X 2, X O.
0 0 0
0 0 2
或者 (P)m inX33 s.t. X110,X12+X212X332,XO . X是可行解 . X11X12X210和 X331；最优值 =1.
SDP（对偶问题，记为D）:
m
maximize bPyp P1
m
subject to ApypSA0,yRm,OSSn i1
1.7 半定规划的对偶理论(SDP)
LPs的一个原始—对偶对：
(P)m ina0x,subject toapxb（ pp1, ,m ） ,0x Rn
m
m
(D )m ax bpyp,subject to apypsa0,0s Rn
线性目标，线性约束，对称矩阵变元且为半定实矩阵
SDP可视为LP的推广，LP的向量分量不等式被矩阵不等式代替。根据半定矩阵的定义知，SDP也可视为一个线性约束的关于变量的无限集的LP，解LP的原始对偶内点法可以推广到SDP。
根据前面两个的图形，LP的可行域为有有限个顶点的凸多面体，故LP有简单易行且高效的单纯形法；而SDP的可行域为一个曲面体，故SDP尚无直接的，适用的单纯形法。

运筹学第2章-线性规划的对偶理论

❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下，新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出；相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定价；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，那么上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0

【国家自然科学基金】_对偶模型_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

科研热词遗传算法过滤函数核心稳定性期权定价支持向量机拥塞控制拓扑优化屈曲约束对偶定理对偶多点近似半定规划公平性 icm方法鲁棒计划鲁棒控制频谱共享预见性激励预断因子预不变凸函数鞅非均质非凸约束集合覆盖闭环增益成形闭口薄壁截面直杆镜像映射部分控制集邻域近似算法近似算子近似度运输网络辛方法赤字训练集计算效率覆盖蒙特卡罗模拟色散分析航姿参考系统能耗群网络流模型网络效用最大化线性规划等效参数等价变换稳定集稳定性稳健的支持向量分类机稀疏模型
107 108 109 110 111 11ห้องสมุดไป่ตู้ 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158
生成树状态集分解灰色系统混合整数优化混合噪音涡旋消费行为活动轮廓模型模型降阶模型本原对偶有效集最短路问题最小信息损失无线自组织网旋转备用数据包络分析效用拓扑折衷抗剪键批量计划调度总变分形式模型弧割引力模型建模序列最小优化广义凸性平衡点局域性寿命对称对偶超导模型对偶片对偶控制对偶性质对偶函数对偶优化模型奇异函数大n 多跳无线网多目标规划多目标控制优化多无线多信道多分辨率多tcp协议复杂空间系统增广链增广拉格朗日正则化基金图像分割合成孔径雷达可容许策略双半高斯空心光束

一阶原始对偶算法

一阶原始对偶算法
一阶原始对偶算法（Primal-dual algorithm）是一种用于解决约
束优化问题的算法，通常用于解决带有线性约束的凸优化问题。

该算法同时更新原始变量和对偶变量，通过迭代的方式逐步逼近最优解。

一阶原始对偶算法的基本思想是通过不断调整原始变量和对偶变量的取值来逐步逼近最优解。

该算法通过两个更新步骤来进行迭代：
1. 原始变量更新步骤：在每次迭代中，通过沿着梯度方向更新原始变量，以使目标函数值减小。

2. 对偶变量更新步骤：在每次迭代中，通过根据约束条件和原始变量的更新值更新对偶变量，以使对偶函数值增大。

通过交替进行原始变量和对偶变量的更新，一阶原始对偶算法能够逐渐减小目标函数值，并满足约束条件。

一阶原始对偶算法在凸优化问题中的应用非常广泛，例如线性规划、二次规划、半正定规划等问题。

它具有收敛速度快、易于实现等优点，并且可以灵活地应用于不同的约束优化问题中。

primal-dual的近似算法框架

在计算机科学领域中，primal-dual的近似算法框架是一种常用的方法，用于解决优化问题和近似算法设计。

本文将深入探讨primal-dual算法框架的原理、应用和优缺点，以及个人对其理解和观点。

一、Primal-dual算法框架的概念Primal-dual算法框架是一种结合了原始问题（primal）和对偶问题（dual）的求解方法。

它的基本思想是将原始问题和对偶问题联系起来，通过对偶问题的优化来辅助原始问题的求解。

这种框架可以在一些优化问题中产生高效的算法，并且在近似算法设计中得到广泛应用。

二、Primal-dual算法框架的原理在Primal-dual算法框架中，通常会先根据原始问题构造对偶问题，然后通过对偶问题的优化来间接地得到原始问题的近似解。

这种方法能够充分利用原始问题和对偶问题之间的关联性，从而提高算法的效率和准确度。

在算法设计中，常常需要根据具体的问题特点来选择合适的对偶问题和优化方法，以达到最佳的近似算法效果。

三、Primal-dual算法框架的应用Primal-dual算法框架被广泛应用于各种优化问题和近似算法设计中，例如网络流问题、最大流最小割问题、多项式时间近似方案（PTAS）等。

在这些问题中，Primal-dual算法框架通过对偶问题的优化，能够有效地求解原始问题，并且在运行时间和精度上取得了不错的效果。

这种方法也在实际应用中得到了验证，成为了解决复杂优化问题的重要工具之一。

四、Primal-dual算法框架的优缺点Primal-dual算法框架的优点在于能够结合原始问题和对偶问题的信息，从而提高算法的效率和准确度。

另外，这种框架也便于将理论算法转化为实际可行的近似算法，并且有较好的可扩展性。

然而，Primal-dual算法框架也存在一些缺点，例如在实际应用中需要根据具体问题来选择对偶问题和优化方法，这会增加算法设计的复杂度和难度。

五、个人观点和理解我个人认为Primal-dual算法框架是一种非常强大和灵活的算法设计方法。

线性规划中的对偶算法优化策略

线性规划中的对偶算法优化策略线性规划是一种优化问题的数学建模方法，其目标是在给定的约束条件下，寻找到使目标函数达到最小或最大值的变量取值。

而对偶算法是一种用于求解线性规划问题的有效策略。

本文将探讨线性规划中的对偶算法优化策略，揭示其工作原理以及优势之处。

1. 对偶性理论在线性规划中，对偶性理论是对问题的一种重要性质进行描述的理论基础。

根据对偶性理论，一个线性规划问题可以关联一个对应的对偶问题，两个问题具有相同的最优解。

对偶问题的目标函数是原始问题的约束函数的下界估计。

通过求解对偶问题，可以获得原始问题的最优解。

这种对偶性质为线性规划问题的求解提供了一种有效的优化策略。

2. 对偶算法的基本步骤（1）建立原始问题的线性规划模型；（2）通过对原始问题模型进行求解，得到原始问题的最优解；（3）建立对偶问题的线性规划模型；（4）通过对对偶问题模型进行求解，得到对偶问题的最优解；（5）通过对偶性理论，利用对偶问题的最优解得到原始问题的最优解。

对偶算法的基本步骤清晰明了，使得求解过程简化并且容易实现。

它不依赖于问题具体形式，对于不同的线性规划问题都适用。

3. 对偶算法的优势（1）求解时间较短：对偶算法在求解问题时，可以通过对对偶问题的转化来降低问题的复杂度，从而节省计算时间；（2）灵活性强：对偶算法不依赖于问题的具体形式，适用于各种线性规划问题。

无论是凸优化问题还是非凸优化问题，对偶算法都能提供较好的求解策略；（3）更好的理论分析：通过对偶问题的求解，可以获得原始问题的最优解，这使得问题的理论分析更加清晰明了；（4）泛化能力强：对偶算法可以推广到非线性规划问题中，为更广泛的问题提供了解决方案。

4. 对偶算法应用案例对偶算法在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在运输和分配领域中，通过对偶算法可以确定最佳的运输路径和资源分配方案，实现资源的最优利用。

在生产计划中，对偶算法可以帮助确定最佳的生产方案和原料采购方案，提高生产效率和降低生产成本。

哈尔滨工程大学校对论文模板

关于理论方面也取得了一定的成果1970年，Fama提出了有效市场假说(efficient markets hypothesis)，并且将有效市场定义为：在一个证券市场中，如果价格可以完全反映所有可以获得的信息，那么这样的市场就称之为有效市场。Stephen Ross提出的套利定价理论即APT，它的基本机制是：如果在给定资产收益率的计算公式的条件下，可以根据套利原理来推导出资产的价格与均衡关系式。
In this paper, we focus on the portfolio optimization problem with uncertain parameters. Assuming that the parameters are multi-dimensional random variables with only partial information of the distribution of the parameters available, i.e., the bound for the mean and the covariance of the parameters,this paperattempt to find the best of the worst-case expected returns among all possible distributions, thusthis paperestablish the distributionally robust model for portfolios optimization. Because the inner problem of the model is a semi-infinite programming with the distribution (measure) as its variable, it is quite difficult to solve the model.

河南科技大学教育在线首页登录

河南科技大学教育在线首页登录篇一：河南科技大学河南科技大学课程设计说明书课程名称题目学院班级学生姓名指导教师日期专业课程设计任务书班级：农电112姓名：学号：设计题目：传统优化算法在电网最优潮流中的应用设计一、设计目的熟悉专业课程设计的相关规程、规定，了解电力系统，电网设计数学模型的基本建立方法和相关算法的计算机模拟，熟悉相关电力计算的内容，巩固已学习的相关专业课程内容，学习撰写工程设计说明书，对电力系统相关状态进行模拟，对电网设计相关参数计算机计算设计有初步的认识。

二、设计要求（1）通过对相应文献的收集、分析以及总结，给出相应项目分析，建立数学模型。

（2）通过课题设计，掌握电力系统计算机算法设计的方法和设计步骤。

（3）学习按要求编写课程设计报告书，能正确阐述设计方法和计算结果。

（4）学生应抱着严谨认真的态度积极投入到课程设计过程中，认真查阅相应文献以及实现，给出个人分析、设计以及实现。

三、设计任务（一）设计内容1．了解电网潮流的分析方法及存在的问题，了解电网潮流的最优分析的常用的解决算法，弄清该课题的研究目的和意义。

2．确定电网潮流优化的几种最优优化方法，分析对比不同优化方法对电网潮流的诊断效果和处理方法。

3．确定电网潮流的常用的几种优化方法后，使用mATLAb对相应的方法进行编程实现，对电网潮流模式进行模拟和仿真。

4．分析模拟、仿真效果，模拟仿真中涉及到的算法进行优化，提高优化算法。

（二）设计任务1．建立相关算法、模型。

2．设计说明书，包括全部设计内容，对电力系统相关状态进行模拟。

3．总体方案图，仿真软件模拟波形图，计算相关参数。

四、设计时间安排查找相关资料（2天）、确定总体方案，进行必要的计算。

（1天）、对电力系统相关状态进行模拟，计算相关参数，（2天）、使用（mATLAb）等相关软件进行电路图系统图设计与仿真。

（2天）、撰写设计报告（2天）和答辩（1天）。

五、主要参考文献[1]电力工程基础[2]工厂供电，电力系统分析[3]相关设计仿真软件手册，如（mATLAb）等。

内点法迭代原理及工程实例求解应用

内点法迭代原理及工程实例求解应用摘要：内点法是一种求解线性规划和非线性规划问题的多项式算法，其迭代次数与系统规模关系不大。

目前，内点法被扩展运用于求解二次规划模型，其计算速度和处理不等式约束的能力已经超过了求解二次规划模型的经典算法。

本文主要介绍线性规划中内点法的运用以及对工程实例的计算，并且分析了如何运用内点法迭代原理得到最优解。

关键字：线性规划问题；内点法；最优解；二次规划；1 引言1984年，Karmarkar发现了一个关于求解线性规划的方法，这个方法称作内点法。

内点法是罚函数中的一种，与外点法的最大的区别在于该方法利用罚函数生成一系列内点来逼近原约束问题的最优解。

罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外。

内点法在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。

后得出最优解。

对于不等式约束的最优化问题，比较适合用内点法来解决。

经过实际计算结果得出内点法与单纯形法存在着很大的可比性。

在线性规划问题中，内点法比起单纯形法来说迭代次数更少，所以计算速度更快，从求得的结果来看，收敛性也比较好。

内点法中比较常用的方法是最速下降法和牛顿法。

最速下降法在解析法中是属于比较古老的一种，受该方法的启发，渐渐得到了其他不同的解析方法。

最速下降法每次迭代的计算量很小，解法简单。

如果从一个不好的初始点出发，也能收敛到局部极小点。

迭代原理的应用对于解决线性规划和非线性规划问题中具有至关重要的作用。

2 内点法2.1运筹学运筹学[1]到现在都没有一个相对比较统一的定义，这正是因为它使用的复杂性以及使用的广泛性，也凸显出了它另一方面的独特魅力。

以下是我查阅大量书籍后对运筹学所给出的定义：运筹学是一门在现有的技术及理论条件下，对问题现状的分析强调最优化决策的科学方法。

运筹帷幄之中，决胜千里之外这其中的运筹两字是赤壁之战的核心与关键，是整个战争通敌制胜的法宝。

最优化理论与方法(线性部分)思考题与作业要求答案

最优化理论与方法（线性部分）思考题1.就你学过的运筹学问题，写出能够建立线性规划模型的问题，并举例（建立模型）。

工厂生产利润最大化问题2.举例（说明问题、建立模型）论述线性规划在交通、运输、物流和安全管理中的应用。

3.对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。

4.简述线性规划求解算法的改进历史。

5.证明课本（清华版运筹学（第三版））2.5题。

6.有人说：“原问题有多重解（多个最优解），对偶问题一定也有多重解”，此话是否正确？请举一算例。

7.D-W分解算法适合哪种类型的线性规划问题？请举一算例。

8.何谓“原始-对偶”单纯形法？请举一算例。

9.何谓有界变量的线性规划问题？如何求解？请举一算例。

10.何谓线性规划的逆问题，分别对“最优解的逆线性规划问题”和“对目标函数值的线性规划逆最优值问题”举出算例。

11.对同一优化问题，是否存在决策变量一样但所建模型不一样的情况？请举例；是否存在目标函数中没有决策变量的最优化问题？12.简述建立线性多目标规划的过程，自选一个实际问题，建立模型并用图解法和单纯形法求解。

要求每个人所举例题都不一样，否则视为抄袭！最优化理论与方法（线性部分）思考题1.解：以工厂生产利润最大化问题：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。

试求获利最大的生产方案。

设、分别代表Ⅰ、Ⅱ两种产品生产量，其线性规划模型表述为：max 102.解：以管理(指派)问题：有一份中文说明书，需翻译为日、英、德、法四种文字，分别记作A、B、C、D、现有甲乙丙丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需要的时间如下表所示。

问应指派何人去完成何种工作，使所需总时间最少？()表示指派第i人去完成j项任务的时间，引入，其取值只能使0和1。

并另取1时表示指派第i个人去完成第j项工作；取0时表示不指派第i个人去完成第j项工作。

当问题要求极小化时的数学模型是：s.t或3. 对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。

原始—对偶单纯形算法

原始—对偶单纯形算法
原始单纯形算法：
1.从原始问题的目标函数和约束条件中构造一个初始单纯形表；
2.如果存在一个或多个负系数的未知变量，就选择其中一个未知变量作为基变量，将它加入基变量集合，然后用它把其他变量替换掉；
3.重新计算Z，并把新的值代入到原始表中；
4.如果Z>0，则说明已经找到了一个最优解；
5.如果Z<0，则持续循环直到找到最优解。

对偶单纯形算法：
1.从原始问题的目标函数和约束条件中构造一个初始对偶单纯形表；
2.如果存在一个或多个负系数的未知变量，就选择其中一个未知变量作为基变量，将它加入基变量集合，然后用它把其他变量替换掉；
3.重新计算对偶表中的原始函数值，同时计算新的基变量值；
4.如果原始函数值大于0，说明已经找到了一个最优解；
5.如果原始函数值小于0，则持续循环直到找到最优解。