青岛版九年级上册数学：解直角三角形的知识结构(公开课课件)
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青岛版(五四制)九年级上册数学课件2.5解直角三角形的应用(第2课时)
A
60°
30°
B 12 D F
学以致用
1.如图，一艘海轮位于灯塔P
的北偏东45°方向，距离灯塔
45° A
80海里的A处，它沿正南方向 P
C
航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东30°方向上的B
30°
处，这时，海轮所在的B处距
离灯塔P有多远？
B
2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得 小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果 渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的 危险？
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
知识铺垫
观测点与目标位置的连线与正南或正北方 向所形成的小于900的角叫做方位角。
点A在O的北偏东30°方向
点B在点O的南偏西45°方向（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
E
西 C
F
北 D 45° 45°
O
B南
（1）正东，正南，正西，正北
射线OA OB OC OD H（2）西北方向:_射__线__O_E___ 西南方向:______射__线_O_ F
北 东 A
60º
由题意，△ABC是
直角三角形，其中
∠C=90º，∠A=60º，
∠A所对的边
BC=2400m，求Байду номын сангаасC=？
B
C
合作探究
一轮船以30海里/时的速度由南向北航行，在 A处看见灯塔S在船的北偏东30°方向上， 半小时后航行到B处，看见灯塔S在船的东 北方向，求灯塔S与B的距离。
60°
30°
B 12 D F
学以致用
1.如图，一艘海轮位于灯塔P
的北偏东45°方向，距离灯塔
45° A
80海里的A处，它沿正南方向 P
C
航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东30°方向上的B
30°
处，这时，海轮所在的B处距
离灯塔P有多远？
B
2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得 小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果 渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的 危险？
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
知识铺垫
观测点与目标位置的连线与正南或正北方 向所形成的小于900的角叫做方位角。
点A在O的北偏东30°方向
点B在点O的南偏西45°方向（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
E
西 C
F
北 D 45° 45°
O
B南
（1）正东，正南，正西，正北
射线OA OB OC OD H（2）西北方向:_射__线__O_E___ 西南方向:______射__线_O_ F
北 东 A
60º
由题意，△ABC是
直角三角形，其中
∠C=90º，∠A=60º，
∠A所对的边
BC=2400m，求Байду номын сангаасC=？
B
C
合作探究
一轮船以30海里/时的速度由南向北航行，在 A处看见灯塔S在船的北偏东30°方向上， 半小时后航行到B处，看见灯塔S在船的东 北方向，求灯塔S与B的距离。
青岛版初中九年级上册数学 《解直角三角形》PPT课件
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PPT 课件：www.1ppt .com/k ejian/
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA=
a c
，cosA=
b c
，tanA=
a b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的
元素？有几种情况？
交流与发现
在Rt△ABC 中，∠C =
B
90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别
是a, b, c．除直角C外，你会
用含有这些字母的等式把5个元 A
素之间的关系表示出来吗？
b
C
a
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
由cos
B
=
a c
,
得a
=
c
·cos
B
=
128
·cos
52°=
78.80
1．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ． 解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝35 ° ，a＝24 ，求b , c .
《解直角三角形》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (1)
（2）灯塔Q到B处的距离。
1 2
B 30°
BQ AB
3 3
3
答：······
青岛版九年级数学
青岛版九年级数学
总结提升
通过例1，例2的学习，如果让你设计一个关 于解直角三角形的题目，你会给出几个条件？如 果只给出两个角，可以吗？解直角三角形有几种 情况？
解直角三角形，有下面两种情况：(其中至少有一边)
解： 因为函数过A（－1，0），B（1,0）两点 ： 所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）y
由条件得： 点M( 0,1 )在抛物线上
x o
所以：a(0+1)(0-1)=1
得： a=-1 故所求的抛物线表达式为 y=- (x＋
1即)：(xy-=1－) x2+1
封面 例题
小组探究
1、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、 （-1,10）两点，求二次函数的表达式。
青岛版九年级数学
B
c a
A
bC
1、了解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的角与角
(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系（锐角三角比）
解直角三角形；
2、探索发现解直角三角形所需的最简条件，体会用化归的
思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；
3、通过对问题情境的讨论，培养学生在实际生活中的问题
（1） 已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）
（2） 已知一条边和一个锐角（一直边一锐角；一 斜边一锐角）
青岛版九年级数学
CB
高的斜塔偏离
垂直中心线的距离
为米。
求塔身偏离中
心线的角度。
α
A
青岛版九年级数学
达标测试
青岛版九年级数学
1 2
B 30°
BQ AB
3 3
3
答：······
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总结提升
通过例1，例2的学习，如果让你设计一个关 于解直角三角形的题目，你会给出几个条件？如 果只给出两个角，可以吗？解直角三角形有几种 情况？
解直角三角形，有下面两种情况：(其中至少有一边)
解： 因为函数过A（－1，0），B（1,0）两点 ： 所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）y
由条件得： 点M( 0,1 )在抛物线上
x o
所以：a(0+1)(0-1)=1
得： a=-1 故所求的抛物线表达式为 y=- (x＋
1即)：(xy-=1－) x2+1
封面 例题
小组探究
1、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、 （-1,10）两点，求二次函数的表达式。
青岛版九年级数学
B
c a
A
bC
1、了解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的角与角
(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系（锐角三角比）
解直角三角形；
2、探索发现解直角三角形所需的最简条件，体会用化归的
思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；
3、通过对问题情境的讨论，培养学生在实际生活中的问题
（1） 已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）
（2） 已知一条边和一个锐角（一直边一锐角；一 斜边一锐角）
青岛版九年级数学
CB
高的斜塔偏离
垂直中心线的距离
为米。
求塔身偏离中
心线的角度。
α
A
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达标测试
青岛版九年级数学
九年级数学上册(青岛版)课件：2.4 解直角三角形 (共12张PPT)
3
= ， BC = 5， 试求AB的长.
分析：在直角三角形中，已知一边和另两边的关 系，常用勾股定理方程思想解决.
•最新精品中小学课件
•9
解：
∵
∠C = 90°，
cos A=
1 3
，
∴
AC AB
=
1 3
.
设
AB=x，则
AC=
1 3
x.
又 A B 2= A C 2+ B C 2 ，
2
∴ 1 2
x = x
•最新精品中小学课件
•3
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A， ∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
1.直角三角形的三边之间有什么关系？ 2.直角三角形的锐角之间有什么关系？ 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
•最新精品中小学课件
•4
a2+b2=c2(勾股定理) ∠A+∠B=90°.
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
= ， BC = 5， 试求AB的长.
分析：在直角三角形中，已知一边和另两边的关 系，常用勾股定理方程思想解决.
•最新精品中小学课件
•9
解：
∵
∠C = 90°，
cos A=
1 3
，
∴
AC AB
=
1 3
.
设
AB=x，则
AC=
1 3
x.
又 A B 2= A C 2+ B C 2 ，
2
∴ 1 2
x = x
•最新精品中小学课件
•3
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A， ∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
1.直角三角形的三边之间有什么关系？ 2.直角三角形的锐角之间有什么关系？ 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
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•4
a2+b2=c2(勾股定理) ∠A+∠B=90°.
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
2.5解直角三角形的应用 课件 青岛版数学九年级上册
感悟新知
知1－练
解题秘方：作高将实际问题转化为解直角三角形问题. 解：如图2 .5－1，过点D 作DE ⊥ AB，垂足为点E， 易得四边形CHED 为矩形，∴ HE=CD=40 m. 设CH=DE=x m，在Rt △ BDE 中，
∠ DBA= 6 0°，∴ BE= 33x m.
感悟新知
知1－练
在Rt △ ACH 中，∠ CAB=3 0°，∴ AH= 3 x m.
学习目标
第2章 解直角三角形
2.5 解直角三角形的应用
感悟新知
知识点 1 解直角三角形在实际中的应用
知1－讲
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤 (1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解
直角三角形的问题. (2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角比等知识解直
角三角形. (3)得到数学问题的答案.(4)得到实际问题的答案.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图，沿AB 的方向开山修路，为了加快速度， 要在小山的另一边同时施工，从AB 上取一点C，取 ∠ ACD=136°，测得CD=500 m，DE ⊥ AE， 点A， C，E 在同一直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是 ( A )m. A. 500sin44° B. 500cos44°
感悟新知
知3－练
例 4 [母题 教材P57 练习T2]如图2. 5－6，某巡逻艇计划 以40 海里/时的速度从A 处向正东方向的D 处航行， 出发1. 5 时到达B 处时，突然接到C 处的求救信号， 于是巡逻艇立刻以60 海里/ 时的速度向北偏东30°方 向的C 处航行，到达C 处后测得A 处位 于C处的南偏西60°方向，解救后巡 逻艇又沿南偏东45°方向航行到D 处．
九年级数学上册 第2章 解直角三角形 2.2 30°,45°,60°角的三角比课件 (新版)青岛版
2
（1）sin45°,cos45 °,tan45 °的值分别是多少？
在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45° ．
设AC=a，那么BC=AC=a，所以
B AB= AC2 + BC2 = 12 +12 = 2．a
sin45°= BC = a = 2 ；
AB 2a 2
2
1
sin45°=
AC = AB
第二章
2.2 30°，45°，60°角的三角比
1
B
∠A的对边
导入新课
A ∠A的邻边 C
1． ∠A的正弦： sinA =
∠A的对边 斜边
∠A的余弦： cosA =
∠A的邻边 斜边
∠A的正切： tanA = ∠A的对边
∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比．
2．一个锐角的三角比只与它的大小有关．
1
×
2=
2
22
4
（2）tan45 °－cos60°＝ 1 - 1 = 1
22
当A,B都是锐角时,如果sinA=sinB或cosA=cosB 或tanA=tanB,那么A=B
例2 在Rt△ABC中，已知sinA= 3 ,求锐角A的度数．
2
解：因为A是锐角，并且sinA ＝ ，3 由于sin60 °= 3,
所以∠A= 60 °．
2
2
8
如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的 顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°。 求D点到OP的距离。
DQ
G
A
2 30°
2C
30°
P
B FO
9
1.理解30°，45°，60°角的三角比 2.完成习题2.2的相关习题
（1）sin45°,cos45 °,tan45 °的值分别是多少？
在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45° ．
设AC=a，那么BC=AC=a，所以
B AB= AC2 + BC2 = 12 +12 = 2．a
sin45°= BC = a = 2 ；
AB 2a 2
2
1
sin45°=
AC = AB
第二章
2.2 30°，45°，60°角的三角比
1
B
∠A的对边
导入新课
A ∠A的邻边 C
1． ∠A的正弦： sinA =
∠A的对边 斜边
∠A的余弦： cosA =
∠A的邻边 斜边
∠A的正切： tanA = ∠A的对边
∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比．
2．一个锐角的三角比只与它的大小有关．
1
×
2=
2
22
4
（2）tan45 °－cos60°＝ 1 - 1 = 1
22
当A,B都是锐角时,如果sinA=sinB或cosA=cosB 或tanA=tanB,那么A=B
例2 在Rt△ABC中，已知sinA= 3 ,求锐角A的度数．
2
解：因为A是锐角，并且sinA ＝ ，3 由于sin60 °= 3,
所以∠A= 60 °．
2
2
8
如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的 顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°。 求D点到OP的距离。
DQ
G
A
2 30°
2C
30°
P
B FO
9
1.理解30°，45°，60°角的三角比 2.完成习题2.2的相关习题
九级数学上册(青岛版)课件：2.5 解直角三角形的应用 (共21张PPT)
航线的距离是否大于30km．如果大于30km， 则
安全，否则不安全． 解： 作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km.
在Rt△ACD中， ∴ AD
∵ tanCAD
CD , AD
CD x . tanCAD tan30
初中数学
《高效课时通》
同理，在Rt△BCD中， ∵ AB AD BD, ∴
初中数学
《高效课时通》
2. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度 l为10m，
坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角 α （长度精 确到0.1m，角度精确到1°）.
α
D
初中数学
《高效课时通》
2. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告： A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向； B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离 比它到B船的距离远40km. 求A，B两船的距离（结果精 确到0.1km）.
i= h = tanα. l
坡度越大，山坡越陡．
初中数学
《高效课时通》
例2
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿
山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小
刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）
i=1:2
初中数学
《高效课时通》
解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得
初中数学
《高效课时通》
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备
估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B
处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
初中数学
《高效课时通》
解直角三角形课件PPT课件(青岛版)
感悟新知
一个直角三角形中，若已知五个 A
元素中的两个元素(其中必须有一个元 b
c
素是边)，则这样的直角三角形可解.
解直角三角形：
Ca B
由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫作解
直角三角形．
A
2
C
6
在Rt△ABB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？
A
b c
，求 ∠A
课堂小结
今天的课到此结束。如果你有任 何问题，你可以问老师。我相信 每个人都能学会这节课的内容， 对今后的学习会有很大的帮助
已知斜边和直角边：
已知斜边和直角边： 先利用勾股定理求出 另一直角边，再求一 锐角的正弦和余弦值， 即可求出一锐角，再 利用直角三角形的两 锐角互余，求出另一 锐角．
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
B α
30米30°
D
β
45°
x
Cx
A
提高练习
B
解直角三角形：(如图)
在⊿ABC中，∠C=900，
C
1.已知∠A，a. 则b=
c=
A
a
2.
已知∠A，c.
则a=
c •sin
A
b=
c •cosA a
3.已知∠A，b. 则a=
的
4.已知a,c.则通过
sin A a c
，求 ∠A
5.已知b,c.则通过
c
os
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
青岛版-数学-九年级上册-2.5 解直角三角形的应用第1课时 课件
解:(1)如下图,南楼的高为AB,北楼的高为CD,B、D分别为南、北
楼的墙脚,根据题意,AD为冬至这天中午12时的太阳光线,BD为南 楼的影子. 则AB⊥BD,CD⊥BD, ∠ADB=35º. 在Rt△ABD中，已知AB=16.8 m 由tan ADB AB ，
BD 得BD AB 16.8 24.0(答m):两楼间的距离应为24.0m
解:由题意可知,△ABC为等腰三角形,AD为底边BC上的高.
BD=DC= 1BC=50 m, ∠ABC=30°
在Rt△ABD中2 ，
由
cos B
BD AB
,得
AB BD 50 57.7(m) cos B cos 30
由 tan B AD ,得 AD BD tan B 50tan 30 28.9(m)
解:利用勾股定理可以求出折断倒下部分的
长度为: 102 242 26
26+10＝36（米）.
答:大树在折断之前高为36米.
3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30º，看这栋高楼底部的俯 角为60º，热气球与 高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高? （结果精确到0.1m）
2.5 解直角三角形的应用第1课时
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素(必有一边), 求其余未知元素的过
程叫解直角三角形.
Ｂ
2.解直角三角形的依据
c
a
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2(勾股定理)
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ａ
bＣ
(3)边角之间的关系:
BD
所以,钢索AB的长约为57.7 m,直立塔AD的高约为28.9 m.
《解直角三角形》教学PPT课件【青岛版九年级数学上册】 (2)
1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC 中，设∠C＝90°，∠α 为 Rt△ABC 的一个锐角，则：
∠α的对边 ∠α的正弦 sinα＝____斜__边______；
∠α的邻边 ∠α 的余弦 cosα＝_____斜__边_____；
∠α的对边 ∠α的正切 tanα＝__∠__α_的__邻__边___．
锐角三角函数和解直角三角形
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA， cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
2．
3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些 简单的实际问题．
(_3_)_边s_in_与A__＝角__的c_o_s关_B_系＝__：ac_，__c_o_s_A_＝__s_i_n_B_＝__bc_，__t_a_n_A_＝__ab_，___ta_n_B_＝ ___ba____．
5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经 常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定 要根据题意明白其中的含义才能正确解题．
2．解直角三角形的类型和解法
命题点1：求锐角三角函数值 (2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )D
A．2
25 B. 5
5 C. 5
1 D.2
命题点2：解直角三角形的实际应用 1．如图，某地建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在 同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热 气球从C地出发，垂直上升100 m到A处，在A处观察B地的俯角为 30°，则B，C两地之间的距离为( A )
3．同角三角函数之间的关系：
sin2α＋cos2α＝____1；
2.4解直角三角形+课件++2024—2025学年青岛版数学九年级上册
在△ ABC 中，CD⊥
AB，sinA= ，CD=4，AB=5，
求AD 的长和tanB 的值.
解题秘方：解题的关键是先找出直角
三角形，再根据直角三角形的边角关
系解题即可.
感悟新知
知2－练
解：∵ CD ⊥ AB，∴∠ CDA= ∠ CDB= 90°.
= ，CD=4，
在Rt △ ADC 中， ∵ sinA=
56 .4 米，∴ CD= AC=28 .2 米，AD= CD=28.2 米.
在Rt △ BCD 中，∠ B=45°，CD=28 .2 米，
∴∠ BCD=45°.ຫໍສະໝຸດ ∴ BD=CD=28 .2 米.∴ AB=AD＋BD=28 .2 ＋28.2 ≈ 77(米).
感悟新知
知4－练
②当填入BC=40 .0 米时，
计算.
感悟新知
知3－练
例 3 [母题 教材P52 习题T1(1)]根据下列条件，解直角三
角形：
解题秘方：紧扣直角三角形的边角关系选择适合的
关系式求解.
感悟新知
知3－练
(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=20，c=20 ；
解：在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，a=20，c=20 ，
∴∠ B= 90°－∠ A= 60°.
∵ tanA= ，∴ = .∴ a=4 . ∴ c=2a=8 .
感悟新知
知3－练
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，c=6.
解：在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，∠ A= 60°，
∴∠ B= 90°－∠ A=30°.
青岛版数学九年级上册-第二章 解直角三角形 精讲课件
解：（1）在Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A=60°
∴ ∠A=30°
∵c=20
∴a=c·sinA=20×sin60°= 10 3
b=c·cosA=20×cos60°=10
（2）在Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A=30°
∴∠B=60°
∵b=12 ∴a=b·tanA=12×tan30°=4 3
c=
2
= 10 ·
在Rt△BCD中，∵∠B=45°∴BD=CD=10
AB = AD DB =1010 3
解直角三角形在其它图形中的应用：
例、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都
在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB=（ B）
A. 2 B. 1 C. 2 D.3
3
3
2
A
B
C D
b cos A
=
12 cos 30
=8
3
例2 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝62.5 ．
解这个直角三角形.
B
解：a2 b2 = c2
A
b
C
a
∴ b = c 2 a2 = 63 .52 17 .5 2 = 60 .
由 sin A = a = 17 .5 = 0.28, 得 A = 16 °15'37". c 62.5
由 cos
B
=
a c
,得a
=
c
·cos
B
= 128
·cos
52 °=
78 .80
在Rt△ABC中，∠C=90°。根据下列每小题中所给条件，说
出计算时采用哪个公式？
1. 已知a 、b 求c
青岛版九年级上册数学 《解直角三角形》PPT教学课件
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 ×
两条边 √ 一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
2
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
2020/11/08
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝
元素？有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
6
2020/11/08
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
7
2020/11/08
1
交流与发现
在Rt△ABC 中，∠C =
B
90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别
2020/11/08
是a, b, c．除直角C外，你会
用含有这些字母的等式把5个元 A
素之间的关系表示出来吗？
b
C
a
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
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《解直角三角形》公开课教学PPT课件【青岛版九年级数学上册】
(3)边与角关系：
sin A =
a c
cos A = b c
tan A = a
b
情景导航
这里有一株折倒的大树，你能测量 后，根据测量结果求出大树的原高 度吗？
归纳定义
解直角三角形
由直角三角形中已知的元素， 求出所未知的元素的过程，叫做解 直角三角形.
例题分析
例1 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ADC中， AD=AC·cos30°=8×
3
=4
3
，
2
CD=AC·sin30°=8×
1 2
=4.
在Rt△BCD中，∵∠B=45°， ∴BD=CD=4. ∴AB=AD+DB= 4 3 4.
小结
在直角三角形的6个元素中，直 角是已知元素，如果再知道一条 边和第三个元素，那么三角形的 所有元素就都可以确定下来.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°.
a
∵sinA=
∴c= a
c
，
5
10.
sin A sin 30
∵ tan B b ， a
∴ b=a·tanB=5 ·tan60°= 5 3 .
例题分析
例3 在三角形ABC中，AC=8， ∠B= 45 °， ∠A = 30°.求AB.
c= 62.5.解这个直角三角形. 解： a2 b2 c2 ,
b c2 a2 62.52 17.52 60. 由 sin A a 17.5 0.28, 得
c 62.5 A 1615'37''. B 90 A
九年级数学上册 第2章 解直角三角形 2.5 解直角三角形的应用(第1课时)课件 (新版)青岛版
精选ppt
5
为了测量东方明珠塔的高 度，小亮和同学们在距离东方 明珠塔200 米处的地面上，用 高1.20 米的测角仪测得东方明 珠塔顶的仰角为60°48 ′．
根据测量的结果，小亮画 了一张示意图，其中 AB 表示 东方明珠塔， DC 为测角仪 的支架，DC= 1.20 米，
CB= 200米，∠ADE=60°48.'
根据在前一学段学过的长 D 方形对边相等的有关知识，你 C 能求出AB 的长吗？
精选ppt
A
E B
6
解：根据长方形对边相等，EB=DC，DE=CB． A
在Rt△ABC中，∠AED=90°， ∠ADE= 60°48′. 由tan ∠ADE = AE ,得
DE AE=DE·tan ∠ADE =200·tan60°48 ′
9
1．如图，在电线杆上离地面6 米处用拉
C
线固定电线杆，拉线和地面之间的夹角 为60° , 求拉线AC 的0 . 1 米）.
AC≈5.2米 AD＝3.0米
A
D
B
2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端 到地面的距离BC = 3.2 米，底端到墙根的距 离AC = 2.4 米． (1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大 小(精确到1 ' ) ; AB＝4.0米, ∠BAC≈53°8′ (2) 如果把梯子的底端到墙角的距离减少0 . 4 米，那么梯子与地面所成的角是多少？
11
1.利用直角三角形的三角比解决实际问题 2.完成习题2.5的相关习题
精选ppt
12
α
A
C
解:设经过B点的水平线为BC，作AC⊥BC，垂足为C ． 在Rt△ABC中，AC=1500 米，∠ABC＝∠α= 18°23 ' .
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归类示例
·浙江教育版
归类示例
·浙江教育版
归类示例
·浙江教育版
1．(2017·云南)sin60°的值为( B )
3
21
A. 3 B. 2 C. 2 D.2
2．(2017·怀化)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(3，4)，
那么 sinα的值是( C )
334 4 A.5 B.4 C.5 D.3
考点整合 三、锐角三角函数之间的关系
·浙江教育版
例题
锐角三角函数及特殊的三角函数值
【例 1】(1)(2017·日照)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC ＝5，则 sinA 的值为( B )
5 12 5 12 A.13 B.13 C.12 D. 5
(2017·兰州)计算：( 2－3)0＋(－12)－2－|－2|－2cos60°. 解：( 2－3)0＋(－12)－2－|－2|－2cos60°＝1＋4－2－2×12＝2.
二、解直角三角形及其应用
4．解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求_未__知__元__素___的
过程叫做解直角三角形．
5．直角三角形中的三边关系为___a_2_＋__b_2_＝__c_2_______，三角关系为
_∠__A_＋__∠__B_＝__∠__C_
，
边
角
关
系
为
_si_n_A_＝__c_o_s_B_＝__ac_，__s_in_B__＝__co_s_A_＝__bc_，__t_a_n_A_＝__ab_，__t_a_n_B_＝__ba_______.(Rt △ ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为三边)
5．(2017·广州)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝185， 则 AB＝__1_7__. 6．(2017·泰州)小明沿着坡度 i 为 1∶ 3的直路向上走了 50 m，则小 明沿垂直方向升高了__2_5__m.
3．(2017·益阳)如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互
垂直，∠CAB＝α，则拉线 BC 的长度为(A、D、B 在同一条直线上)( B )
h
h
A.sinα B.cosα
h C.tanα
D．h·cosα
4．(2017·大庆)如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点 A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河 岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点 A到河岸BC的距离为_2_0___3__m.
【对应训练 1】(2017·湖州)如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， AB＝5，BC＝3，则 cosB 的值是( A )
34 A.5 B.5有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测得∠A＝30°， AC＝40 m，BC＝25 m，请你求出这块花圃的边AB的长． 【思路引导】注意∠B可能是锐角也可能是钝角，需分类讨论．
Rt△ADC 中，CD＝12AC＝20 m，AD＝AC·cosA＝20 3 m．在 Rt△CDB 中，BD＝ CB2－CD2＝15 m，∴AB＝AD－BD＝20 3－15(m)．综上 可知，AB 的长为(20 3＋15)m 或(20 3－15)m.
方法归纳 对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是
锐角三角函数与解直角三角形 复习
茹金宇
│ 考点整合 一、锐角三角函数及特殊角的三角函数值
·浙江教育版
2．特殊角的三角函数值：
α 30° 45° 60°
sinα
1 2
2 2
3 2
cosα
3 2
2 2
1 2
tanα 3 3 1
3
3.三角函数的增减性： 当0°<α<90°时，sinα及tanα均随α的增大而 _增__大__(或减小而_减__小_)， cosα随α的增大而 _减__小__(或减小而__增__大__)．
根据以下方法和步骤解决： (1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量 关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各个量之间的关系； (2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三 角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常 用辅助线，总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际 情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．
解：分两种情况计算：(1)当∠B 为锐角时，如图①，过点 C 作 CD⊥AB
于点 D，在 Rt△ADC 中，CD＝12AC＝20 m，AD＝AC·cosA＝20 3 m， 在 Rt△CDB 中，DB＝ CB2－CD2＝15 m，∴AB＝AD＋DB＝(20 3＋ 15) m；
(2)当∠B 为钝角时，如图②，过点 C 作 CD⊥AB 延长线于点 D，在