相似多边形的性质(1)
相似多边形的性质(1)
一、自主学习 （一）自学指导： （细读教材 P146，并完成下列各题）
⑵求矩形 PQRS 的长与宽。 S E R
1、由教材可知：△ABC 是 上的”或“实际的”，且 ） △ABC 与△ AB C
AB = A B
图，△ AB C 是 ,
BC = B C
图（填“纸 ,
AC = A C
∽△
，
CF = C F
（填比
㎝,则△ABC 与△ AB C 对应高的比为 2、在△ABC 中，正方形 PQMN 的两个顶点 M、N 在 BC 上，另两个
AБайду номын сангаас
（模仿⑴写理由）
顶点 P、Q 分别在 AC、AB 上，已知 BC 的长为 20 ㎝，BC 边上的 高 AF 为 80 ㎝，求正方形 MNPQ 的面积。 Q E P
=90° （
）
⑵若 CE、C E 是角平分线， 则△ 比值） （将理由写在中缝内） ⑶若 CF、 C F 是中线，则△ 值） 理由：
∽△
，
CE = C E
（填 四、拓展提升
A 1、 △ABC∽△ AB C ， 和 A D 是它们的对应角平分线， AD 已知 AD=8 ㎝， D =3
D
A
∵CD、 C D 分别是高 ∴∠ ∴△ ∴
CD = C D
C
C
2、△ABC ∽△ AB C ，BD 和 B D 是它们的对应中线，已知 教 学 反 思 （疑惑） ㎝，则 BD = 3、习题 4.10 问题解决
AC 3 = ， B D =4 A C 2
=∠ ∽△ =
初 二 年级
数学科
自主探究学案
教学设计 (收获)
相似多边形及位似--知识讲解
相似多边形及位似--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号：394501关联的位置名称（播放点名称）：黄金分割及总结】定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1∵ABAP AP PB = ∴11x x x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m ，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比是否相等. 542016221616EF AB ==++=， 652420222020EH AD ==++= 而6554≠，∴EH AD EF AB ≠ ∴矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）A.1:2B. 2:3C. 2:5D.4:9【答案】D.2. 如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A. 2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 2【答案】C.A B C D E F G H【解析】长为8cm 、宽为4cm 的矩形的面积是32cm 2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是32×14=8cm 2．故选C ． 【总结升华】本题考查相似多边形的性质．相似多边形面积之比等于相似比的平方．类型二、位似3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标. AB C D E A 1 B 1 C 1D 1E 1 A B DE【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）.（2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=21OA ，OB ″=21OB ，O C ″=21OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标. 举一反三【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号： 394501关联的位置名称（播放点名称）：位似作图及例4】【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】 51-的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于F ．即矩形DCEF 为黄金矩形． 证明：在正方形ABCD 中，取2AB a =，∵ N 为BC 的中点，∴ 12NC BC a ==． G F F'B C G' A BC D EF M N在Rt DNC △中，ND ===．又∵ NE ND =，∴ 1)CE NE NC a =-=．∴ 1122CE a CD a ==）． 故矩形DCEF 为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.。
相似多边形的性质(1)-
A
D C
B A'
D'
B'
C'
AB BC CA 3 ' ' ' ' ' ' AB BC CA 4 CABC AB BC CA 3 ' ' ' ' ' ' C ' ' ' AB BC C A 4
A B C
2.ΔABC和ΔA`B`C`周长比是多少？
A
D C
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比， 对应Fra bibliotek线的比，对应角平 分线的比都等于相似比。
1.△ABC与△A`B`C`的相似比为 1:5,如果A`C`边上的中线B`D`＝ 4cm 20cm,则AC边上的中线BD=____ 2．如图△ABC∽△A`B`C`，对 应中线AD＝6cm，A`D`＝10cm， 7cm 。 若BC＝4.2cm，则B`C`＝______
SA' B'C '
2
AB C D 4 A B .C D
' ' ' '
上题中,ΔABC~ΔA`B`C`， 如果相似比为k，那么周长 面积比呢？ 比应该是多少？
相似三角形的周长比等 相似比 面积比等于 于______, _____________ 相似比的平方.
G
C D A B H E F
四边形ABCD~四边形EFGH， 相似比为K. 讨论：它们的周长比会是多少？ 它们的面积比会是多少？
（二）
老师在电脑上画了一个六边 形，上课时发现，原来一条5 厘米的边在电视屏幕上变成了 15厘米，那么电视屏幕的放大 比例是（ 1：3 ），这个 六边形的面积扩大为原来的 （9）倍。
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。
例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。
点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。
例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。
点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。
解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。
考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。
多边形的相似性与性质解析
多边形的相似性与性质解析多边形是几何学中常见的图形，而相似性是指两个或多个图形的形状相似。
本文将探讨多边形的相似性及其性质，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、相似性的概念多边形的相似性是指两个多边形的对应边成比例，对应角相等。
具体来说，当两个多边形的所有对应边长度之比相等，且对应角度相等时，它们被认为是相似的。
二、相似性的判定条件在判定两个多边形是否相似时，我们可以根据以下条件进行分析：1. 角对应判定：两个多边形的对应角相等。
2. 边对应判定：两个多边形的对应边成比例。
这些判定条件是判断两个多边形相似的基本依据。
三、相似性的性质相似的多边形具有一些重要的性质，接下来我们将介绍其中几个：1. 周长比：相似的多边形的周长比等于任意一条对应边的长度比。
举个例子，若两个三角形相似，它们的周长比等于对应边的长度比。
2. 面积比：相似的多边形的面积比等于任意一条对应边长度的平方比。
对于两个相似的三角形，它们的面积比等于对应边长度的平方比。
3. 高度比：相似三角形的高度比等于对应边长度的比。
4. 布尔斯公式：布尔斯公式是用来计算三角形面积的公式，根据布尔斯公式，相似三角形的面积比等于对应边长度的平方比。
四、应用举例相似性在几何学中有着广泛的应用，特别是在测量和建模方面。
以下是一些应用举例：1. 比例尺计算：根据多边形的相似性，可以利用已知边长比例尺计算未知边长的长度。
2. 面积估算：通过相似多边形的面积比例，可以估算未知多边形的面积。
3. 空间几何建模：多边形的相似性可用于构建三维物体的模型，从而进行工程计算和设计。
五、总结多边形的相似性是几何学中重要的概念，通过判断角对应和边对应的比例关系，我们可以确定多边形之间是否相似。
相似性具有周长比、面积比和高度比等重要性质，并可以应用于测量和建模等实际问题中。
熟练掌握多边形的相似性与性质，对于解决几何问题将大有裨益。
多边形的相似性质
多边形的相似性质在几何学中，多边形是由连续的直线段组成的封闭图形，它是我们研究的重要对象之一。
在多边形的研究中，相似性质是一个关键概念，它描述了在一些特定条件下，两个多边形之间的形状和大小的关系。
本文将介绍多边形相似性质的定义、判定方法以及相关的应用。
一、多边形的相似性质定义在几何学中，两个多边形被认为是相似的，当且仅当它们每两个对应边的长度之比相等，并且对应的角度也相等。
简而言之，两个多边形相似意味着它们具有相似的形状，只是尺寸不同。
例如，在图形学中，我们常常遇到的问题是，如何判断两个多边形是否相似，并且根据相似性质进行进一步的推导和计算。
二、多边形的相似性质判定判断两个多边形是否相似的一种常用方法是通过比较它们的对应边的长度之比，并且对应的角度是否相等。
如果两个多边形的边长比和角度比都相等，那么它们就是相似的。
具体来说，可以通过以下步骤进行判定：1. 确定两个多边形的对应边；2. 计算对应边的长度之比；3. 计算对应角度之间的差值；4. 比较长度之比和角度差值是否满足相似性质。
三、多边形的相似性质应用多边形的相似性质在现实生活和各个学科中有广泛应用。
以下是一些具体的例子：1.建筑设计：在建筑设计中，多边形的相似性质可以应用于模型放大缩小、结构设计等方面，从而实现建筑设计的灵活性和优化效果；2.地图制作：在地图制作中，多边形的相似性质可以用于测量和推算地理距离、比例尺等，从而准确地绘制地理形状和位置；3.工程测量：在工程测量中，多边形的相似性质可以应用于实际测量，通过已知的尺寸计算未知的尺寸；4.数学推导：在数学推导中，多边形的相似性质可以用于证明几何定理和解决几何问题。
总结：多边形的相似性质是几何学中重要的概念，它描述了两个多边形之间的形状和大小的关系。
判断多边形的相似性质可以通过比较对应边的长度之比和对应角度之间的差值。
多边形的相似性质在实际应用中具有广泛的应用，涉及建筑设计、地图制作、工程测量等多个领域。
相似多边形的性质(一)
榆林八中学生自主学习方案八年级：姓名:一、课前热身：1、相似多边形的定义：_______________________________________2、相似比：________________________________________________3、相似多边形对应角，对应边有什么关系？二、探究新知1.做一做：阅读教材第146页，回答以下问题。
（1）,,各等于多少？（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图中再找出一对相似三角形.(4)△ADC与△A′D′C′相似吗？如果相似，请说明理由, 并指出它们的相似比.（5）等于多少？你是怎么做的？2.议一议：如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？(3)如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？那么等于多少？3、想一想：相似三角形还有哪些性质？相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比。
小组合作交流如图4－41所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=36 cm,高AD=24 cm，四边PQRS是正方形.图4－41（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.三、巩固新知1．两个相似三角形的相似比为_________,则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________.2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.3、如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？四、课堂小结1、本节课你收获了什么？2、预习时的疑难你解决了吗？你还有哪些疑惑？五、达标测试：1、若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A′B′C′的周长是________.2、如图：4－43，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.图4－43（1）则图中有几对相似三角形.（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD.（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.3、如图7，已知△ABC∽△DEF，AM、DN是中线，试判断△ABM与△DEN是否相似？为什么？。
相似多边形的性质1
A1
A
B
DC
B1
D1
C1
相似三角形对应角平分线 的比等于相似比。
A
E
D
A1
E1
D1
B
3
C B1
5
C1
已知△ABC∽△A1B1C1, ,BC=3, B1C1=5,BD、 B1D1分别是∠ABC和∠ A1B1C1的角平分 线,CE、C1E1分别是∠ACB和∠A1C1Ｂ１的 角平分线，你能得出什么结论？
问题三：
猜一猜相似三角形的对应中线的比是否 等于相似比？
已知 ABC ∽ A1B1C1且相似比为K，
AD和A1D1分别是BC和B1C1边上的中线，
AD比A1D1等于多少？由此你能得到什么结
论？
A1
A
B
DC
B1
D1
C1
相似三角形对应中线的比等于相似比。
相似三角形对应高的比， 对应角平分线的比和对应中 线的比都等于相似比。
试一试
1、 △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD和 B1D1是它们对应边上的中线，已知 AC： A1C1 = 3：2 ， B1D1 =4cm,求BD的 长。
2、 △ABC ∽ △A1B1C1，AD和 A1D1是它们的对应角平分线，已知 AD=8cm, A1D1=3cm则 △ABC和 △A1B1C1对应高的比是多少？
A1ABFra bibliotekDCB1
D1
C1
相似三角形对应高的比等于相似比。
问题二：
已知 △ ABC ∽ △ A1B1C1且相似比 为K，AD和A1D1分别是∠A和∠A1的角 平分线。
1.图中除 △ABC ∽ △ A1B1C1外， 还有没有相似三角形？若有，你认为哪
相似多边形的性质(1)说课稿 4
《相似多边形的性质（1）》的说课稿尊敬的各位评委，老师：大家好！我是来自永宁县回民中学的刘翠鸿。
今天我说课的内容是北师大版八年级下册第四章第八节《相似多边形的性质》第一课时，一、学习任务分析1、教材所处的地位和作用本节内容是在学习了相似三角形以及探索三角形相似判定条件的基础上，进一步探索相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。
从知识的前后联系来看，相似三角形比全等三角形更具有一般性，也是研究相似多边形性质的基础和圆中有关线段关系的有效方式。
因此本节课具有承上启下的作用。
2、学情分析在前面的学习中，学生已经具备了一些探索图形性质的经验，也具备了一定的合作交流能力。
因此通过类比、合作交流并结合已有的活动经验，对本节课结论的直观发现比较容易，但严格的逻辑推理能力和书写格式需进一步的强化。
二、教学目标分析根据课程标准的要求，并考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：1、理解并掌握相似三角形对应高的比，对应角平分线的比、对应中线的比与相似比的关系，并运用这些性质来解决实际问题；2、经历探索相似三角形性质的过程，体会数学逻辑推理的合理性和严谨性，体验解决问题策略的多样性;3、通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，使学生养成积极思考、合作交流的习惯。
三、教学重点、难点分析根据课程标准，在充分理解教材的基础上，我确立了如下的教学重点、难点教学重点探究验证相似三角形的性质并运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
教学难点：由于八年级学生逻辑推理能力、概括总结能力还较低，所以理解和运用三角形相似的性质解决简单的实际问题是本节课的难点。
四、教法分析和学法指导1、教法分析八年级学生已经养成了良好的数学学习习惯，具有一定的自主探索，合作交流的学习能力。
本节课以提出问题、解决问题为主线，以独立思考和小组合作交流的形式，在教师的指导下发现、探索相似三角形的性质。
2、学法指导学生在七年级下学期已经学习全等三角形的判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。
4.8相似多边形的性质(1)
4.8相似多边形的性质（1）重点：相似三角形中对应线段比值的推导、理解和应用。
难点：相似三角形性质的推导和应用。
学习准备：1. 什么是相似三角形？怎么判断两个三角形相似？2. 什么是相似比？课中导学 阅读感知先阅读课本146页上面的内容，根据图4-23思考并回答： （1）根据比例尺的定义得='’B A AB ，=''C B BC ，=''C A AC； （2）由（1）可知△ABC 与△A ’B ’C ’相似，理由是： ，并且，它们的相似比为 。
（3）△BCDC 与△B ’C ’D ’相似吗？为什么？ （4）请你把问题（4）的推理过程填在下面： 因为△ ～△ ，所以=''D C CD= 。
合作探究类比（根据阅读感知的启发，回答下列问题）已知△ABC ～△A ’B ’C ’， △ABC 与△A ’B ’C ’相似比为K ， （1）如图，如果CD 和C ’D ’是它们的对应角平分线，那么='C CD。
理由：因为△ABC ～△A ’B’C ’， 所以∠A=∠ ，∠ACB=∠ 。
因为CD 、C ’D ’分别是∠ACB 、∠A ’C ’B ’r 所以∠ACD=∠所以△ACD ～△ ， 所以==ACD C CD '' 。
（2如图，如果CD 和C ’D ’是它们的对应中线，那么=''D C CD。
○1、结合图形猜想，相似三角形对应中线的比等于 . ○2仿照○1的方法，说明你的理由.’’练习巩固1.若两个三角形的对应中线的比是1：2，那么它们对应高线的比是 。
2.把一个五边形改成和相似的五边形，如果边长扩大到原来的7倍，那么对应的角平分线扩大到原来的 （ ） A 49倍 B7倍 C50倍 D8倍3. 已知△ABC ～△A ’B ’C ’，21''=B A AB ，AB 边上的中线CD=4cm,求A ’B ’边是的中线C ’D ’。
4.8 相似多边形的性质 课件1(北师大版八年级下)
又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.
BM BC AB BM . .且∠B =∠E. EN EF DE EN AM AB E . DN DE (相似三角形对应边成比例).
M
C
D
∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比 例且夹角相等的两个三角形相似).
N
F
即,相似三角形对应中线的比等于相似比.
做一做P132
好汉的歌
• 下图是阳泉市城区外环路示意图,比例尺为1∶100 000 • (1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的实 际长度; • (2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的?与同 伴交流. 平坦立交桥
• 点拨 • (1)用一根线绳沿图中 的外环路重叠放置,此 时线绳的长度就是外 环路的图上距离; • (2)把图上的外环路近 似地看作一个矩形.
E
A B
D
AB AC BC . DE DC CE
C
开启
智慧 内涵与外延
A
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC 或其延长线于D,E,则有如下结论: D E 结论1:平行于三角形一边直线 B C 截其它两边(或其延长线),所截 A 得的三角形与原三角形相似; B C 如图:在△ABC中, 如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC. D E 结论2:平行于三角形一边直线截 E D 其它两边(或其延长线),所得的对 A 应线段成比例. 如图:在△ABC中,如果DE∥BC， B C AD AE AD AE DB EC DB EC 那么 ;或 ;或 ;或 . DB EC AB AC AD AE AB AC
大阳泉
义井桥
随 堂 阳泉是我家 练 人人热爱它 习 • 阳泉市城市广场,是一个因周边环境设计建造
相似多边形的性质
相似多边形的性质相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨相似多边形的性质，并展示一些相关的数学应用和实际问题。
1. 相似多边形的定义相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
两个多边形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
由此定义可知，如果两个多边形相似，它们的边长比例是相等的。
2. 相似多边形的比例关系对于相似多边形，存在着一种特殊的比例关系。
设两个相似多边形的对应边长分别为a和b，对应的面积分别为A和B。
根据相似多边形的性质，可以得出以下结论：- 边长比例：a:b = A:B- 面积比例：A:B = (a^2):(b^2)这些比例关系对于解决与相似多边形有关的数学问题非常重要。
3. 相似多边形的角度关系对于相似多边形，其对应角度是相等的。
这意味着，如果我们知道一个相似多边形的对应角度，就可以确定其他相似多边形的对应角度。
这对于计算多边形的角度和解决三角学问题非常有用。
4. 相似多边形的周长和面积由于相似多边形的边长比例相等，所以它们的周长比例也相等。
假设两个相似多边形的边长比例为m:n，那么它们的周长比例也为m:n。
同样地，由于相似多边形的面积比例为(a^2):(b^2)，所以它们的面积比例也为(a^2):(b^2)。
5. 相似三角形的应用相似多边形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是解决相似三角形问题。
通过利用相似三角形的角度和边长关系，我们可以确定无法直接测量的距离和高度。
例如，在地理测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测算高山的高度或者海洋的深度。
6. 相似多边形与比例的关系相似多边形的性质与比例密切相关。
相似多边形利用比例关系来描述形状的相似性，从而在数学和实际问题中提供了有用的工具和方法。
比例的概念在解决与相似多边形有关的计算问题中起着关键作用。
综上所述，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
相似多边形的性质课件
三边对应成比例判定定理
总结词
通过两个多边形的三边对应成比例，可以判定两个多 边形相似。
详细描述
三边对应成比例判定定理是相似多边形判定定理的一 种，它基于两个多边形的三边对应成比例，从而判定 两个多边形相似。这个定理在实际应用中非常有用， 因为它只需要比较三个边的长度就可以判断两个多边 形是否相似，相对于其他判定定理更为简便。然而， 需要注意的是，这个定理只适用于三边对应成比例的 情况，对于更多边的多边形，需要使用其他判定定理 进行判断。
总结词
通过比较相似多边形的面积和相似比， 证明面积比等于相似比的平方。
详细描述
首先，计算两个相似多边形的面积。 然后，计算它们的相似比。最后，比 较面积和相似比的关系，如果面积比 等于相似比的平方，则证明了面积比 等于相似比的平方。
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多边形相似。
02
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等
总结词
相似多边形的对应角是相等的，这是相似多边形的基本性质之一。
详细描述
根据相似多边形的定义，如果两个多边形相似，则它们的对应角必定相等。这 意味着无论多边形的大小如何变化，只要它们是相似的，它们的对应角就会保 持不变。
相似多边形的对应边成比例
角-角-边判定定理
总结词
通过两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，可以判定两个多边形相似。
详细描述
角-角-边且对应边成比例，从而判定 两个多边形相似。在几何学中，这个定理是非常重要的，因为它提供了一种简单而有效的方法来判断两个多边形 是否相似。
相似多边形的性质
相似多边形的面积之 比等于对应边长的平 方之比。
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例。
相似多边形的性质与应用
相似多边形的性质与应用相似多边形是指具有相同对应角度的多边形，并且对应边的比例相等的多边形。
相似多边形在几何学中具有重要的性质和广泛的应用。
本文将探讨相似多边形的性质及其在实际问题中的应用。
一、相似多边形的性质1. 边比例性质在相似多边形中，对应边的比例是相等的。
设两个相似多边形分别为多边形ABCDEF和多边形A'B'C'D'E'F'，则有：AC / A'C' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EF / E'F'2. 角度相等性质在相似多边形中，对应角度是相等的。
对于相似多边形ABCDEF 和多边形A'B'C'D'E'F'，有：∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C', ∠D = ∠D', ∠E = ∠E', ∠F = ∠F'3. 周长比例性质在相似多边形中，每条边的比例相等，则两个多边形的周长比例也相等。
设多边形ABCDEF和多边形A'B'C'D'E'F'相似，则有：周长(ABCDEF) / 周长(A'B'C'D'E'F') = AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EF / E'F'4. 面积比例性质在相似多边形中，对应边的比例的平方等于面积的比例。
设多边形ABCDEF和多边形A'B'C'D'E'F'相似，则有：面积(ABCDEF) / 面积(A'B'C'D'E'F') = (AB / A'B')^2 = (BC / B'C')^2 = (CD / C'D')^2 = (DE / D'E')^2 = (EF / E'F')^2二、相似多边形的应用1. 测量距离与高度通过相似多边形的性质，我们可以使用三角形的相似性来测量无法直接测量的距离或高度。
《相似多边形的性质(一)》
4.8相似多边形的性质教学目的： 1、知识与能力：（1）经历“直观感觉――理性思维――合情推理――应用拓展”的活动过程，探索相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比与相似比的关系。
（2）通过运用相似三角形的性质解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
2、过程与方法：（1）通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识。
（2）通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识。
3、情感与态度：让学生经历数学活动，体验主动探究问题的乐趣与成功的快乐，感受数学活动充满探索与创新的机遇；教学重点：相似三角形的性质； 教学难点：相似三角形性质的推导 教学方法：探究式，分析法，归纳法 教具：三角尺，多媒体课件 教学过程：一、复习回顾，引入新课1．相似三角形： 叫做相似三角形。
2．相似三角形的判定方法： （1） ==(2) = =(3)相似三角形的定义既可以作为判定，也可以作为性质。
即相似三角形对应角相等，对应边成比例。
除此以外，相似三角形还有其它的性质吗？这节课我们一起来找一找。
板书课题：4.8 相似多边形的性质（一）A'B'ABC △ABC ∽ △A 'B 'C '△ABC ∽ △A'B 'C '△ABC ∽ △A 'B 'C '二、创设情境，探究新知1、课本P146引例：钳工小王准备按照比例尺3：4的图纸制作三角形零件。
如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的高。
（1）''B A AB ，''C B BC ，''C A AC各等于多少？ （2）△ABC 与△A /B /C /相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比。
（3）请你在图中再找出一对相似三角形。
相似多边形性质ppt 人教版
变式1.如图(1)，三角形内有一个正方 形，内接于Δ ABC，求正方形的边长.
P
Q
联系拓广
• 如图，在RtΔ ABC中，∠C=90°， AC=4，BC=3. • 变式2.如图(2)，三角形内有并排的两 个全等的正方形，它们组成的矩形内 接于Δ ABC，求正方形的边长.
联系拓广
• 如图，在RtΔ ABC中，∠C=90°， AC=4，BC=3. • 变式3如图(3)，三角形内有并排的三 个相等的正方形，它们组成的矩形内 接于Δ ABC，求正方形的边长.
3 3 3 2 3A ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2 3 2 3
F C
M D
E B
检测反馈
• 4、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面 后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的 直径为1.2m，地面上阴影部分的直径是1.6m,桌面距 离地面1m，则灯泡O距离地面 3 m
’ A
D’
B’
B
C
C’
你能证明
吗？ A C DA ∽ ' C ' D '
证明 ABC ∽ A ' B ' C '
A A' CD AB , C ' D ' A ' B ' ADC A ' D ' C ' 90 ACD ∽ A ' C ' D '
A′
A BB CC A A DA E A F A ' BB ' ' C 'AC ' AA ' ' D ' A ' EA ' ' F '
相似多边形判定相似多边形的性质相似多边形面积比和边长比的关系
一、相似多边形判定
如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.
如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似比：把相似多边形对应边的比称为相似比。
（2）相似多边形的周长比等于相似比；
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方。
二、相似多边形的性质：
相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。
相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
三、相似多边形：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
（或相似系数）
相似的两个多边形称为相似多边形。
两个多边形的对应边成比例、对应角相等时，它们相似。
两个边数相等的正凸多边形一定相似。
两个相似多边形的周长的比等于它们的相似比，面积的比等于相似比的平方。
四、相似三角形判定定理
1、两角对应相等，则两个三角形相似。
2、两边对应成比例，及两边夹角相等，则两个三角形相似。
3、三边对应成比例，则两个三角形相似。
相似多边形的性质与判定
相似多边形的性质与判定相似多边形是指具有相同形状但可能不同大小的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和判定条件。
本文将探讨相似多边形的性质与判定方法。
一、相似多边形的性质1. 对应角相等：如果两个多边形的对应角相等，则这两个多边形是相似的。
对应角是指两个多边形中，对应边之间的角度大小。
2. 对应边成比例：相似多边形的对应边的长度成比例。
具体而言，如果两个多边形的对应边长之比恒定，则这两个多边形是相似的。
3. 相似比例：两个相似多边形的边长比例被称为相似比例。
如果两个多边形的对应边长度比恒定，那么这个比例称为相似比例。
4. 面积比例：两个相似多边形的面积比等于它们对应边长度比的平方。
具体而言，如果两个多边形的长度比为k，面积比为k²。
二、相似多边形的判定方法1. 角-边-角判定法：如果两个多边形的两组对应角相等，并且两个多边形的一对对应边成比例，则这两个多边形是相似的。
2. 边-边-边判定法：如果两个多边形的三对对应边成比例，则这两个多边形是相似的。
3. SSS判定法：如果两个多边形的三对对应边长度比恒定，则这两个多边形是相似的。
4. AA判定法：如果两个多边形的两组对应角相等，则这两个多边形是相似的。
5. SAS判定法：如果两个多边形的一对对应边成比例，并且对应边间的夹角相等，则这两个多边形是相似的。
三、例题解析假设有一个三角形ABC，边长分别为AB=6cm，BC=9cm，AC=12cm。
现在构造一个相似三角形DEF，要求DEF的周长是ABC的周长的一半。
解题步骤如下：1. 首先，根据周长的要求，DEF的周长应为ABC的一半，即(AB+BC+AC)/2 = (DE+EF+FD)/2。
代入AB=6cm，BC=9cm，AC=12cm，得到6+9+12 = DE+EF+FD。
2. 其次，根据相似多边形的性质，我们需要找到相似比例。
由于DEF与ABC相似，我们可以设DE与AB的长度比为k，EF与BC的长度比为k，FD与AC的长度比为k。
相似多边形课件
知识点 1 相似多边形的定义
问题
图中的两个大小不同的四边形
ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠A=
∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D
=∠D1，AA1BB1
BC B1C1
CD
边形ABCD与四边
形A1B1C1D1相似.
定义
如果两个多边形的角分别相等，边成比例， 那么这两个多边形叫做相似多边形．
3 如图，在三个矩形中，相似的是( A ) A．甲和丙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
知识点 2 相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等， 对应角相等．
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的 度数．
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大 小和EF的长度x.
总结
判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否 分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可．例 如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似， 两个正方形一定相似．
1 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
解：相似. 由已知条件可知它们的角分别相等， 边成比例.
2 下列说法中正确的是( D ) A．对应角相等的多边形一定是相似多边形 B．对应边的比相等的多边形是相似多边形 C．边数相同的多边形是相似多边形 D．对应角相等、对应边成比例的两个边数相同 的多边形是相似多边形
判定相似多边形的条件： (1)所有的角分别相等； (2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相 似多边形必备的条件，缺一不可．
例1 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD,
GF⊥AB，垂足分别为点E，F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
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相似多边形的性质
第1课时
教学目标
1、掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系；
2、掌握相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用；
3、经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力。
教学重点：
1、掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系的推导；
2、运用相似多边形的比例关系解决实际问题。
教学难点：掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系的
推导和应用
教学过程
一、情景故事
很久以前，某地发生大旱，地里的庄稼都干死了，于是大家到庙里向神求雨，神说，如果你们做一个比现在的方桌大一倍的方桌来祭我，我就给你们降水。
于是大家重新做了一个边长是原来2倍的新方桌摆放祭品，可是神愈发怒了。
问：（1）神为什么会发怒？
（2）边长扩大2倍，面积也扩大2倍吗？
利用展现故事，创设情景，让学生内心产生对问题答案的求知，激发学习兴趣。
、新课引入:
做一做:
如图，△ AB3A DEF它们的相似比为k,
(1)写出图中所有成比例线段；
(2)写出两个相似三角形的周长比和面积比。
三、探究相似多边形的性质
议一议：
如图，已知多边形ABCDe多边形A' B‘ C D E',相似比为k。
(1)这两个多边形的周长比是多少？
(2)过对应顶点作对角线AC A併口A' C'、A' D,此时，△ ABC
和厶A B C有什么关系？其他对应三角形的关系呢？
(3)这两个多边形的面积比是多少？
(1)由相似多边形的定义及等比性质可知，两个多边形的周长比是k;
(2)由多边形ABCD匡多边形A B' C D E',得塑二匹,/ B=
A'B' B'C'
/ B‘
所以，△ ABBA A' B‘ C
于是得到:
AB AC
A B' AC
进一步可得其他对应三角形都相似。
(3)由相似三角形的面积比等于相似比的平方及等比性质可得, 两个多边形的面积比等于相似比的平方。
类似，由学生小结相似多边形的性质：
定理1相似多边形的周长比等于相似比。
定理2:相似多边形面积的比等于相似比的平方。
四、应用举例：
例1 (教材P80):如图，在梯形ABC中，AD//
BC AD=2 BC=8 EF/ BC 且EF分别交AB
点E、F 。
(1) 若梯形AEFB梯形EBCF求EF勺长;
于
(2)求满足(1)条件下的梯形AEF与梯形EBCF勺周长比
引导学生如何利用已知两个梯形相似，找出对应成比例的线段，列出比例式后即可把问题解决；求周长的比，可直接利用相似多边形的性质。
例2 （教材P80）:如图，△ ABC中, Z ACB=90，以它的边为对应边, 在三角形外分别作三个相似多边形，问斜边一多
边形的面积S i与两直角边上多边形面积之和（S2
S3 ）有什么关系？为什么？引导学生：
相似多边形的面积比等于什么？可以写出比例式
吗?
怎样得到S2 S3 ？能否用等比定理？
直角三角形有什么性质?
五、巩固练习教材P81 1，2
六、本节内容小结
由学生自已总结复述本节课的主要内容：相似多边形的性质及研究方法，即把多边形分割成若干个三角形进行研究。
六、作业：教材P81 1，2，4，5
其他：七、个性化设计与反馈:。