【重要】分形与混沌PPT课件
上帝的指纹——分形与混沌
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
分形课件08
第讲混沌与分形（Ⅱ）混沌是表象的无序、内在的有序。
混沌的签名是分形。
——方兆本《走出混沌》第讲数学家方兆本所推出的走向数学丛书《走出混沌》中写道：混沌的签名是分形。
这句话惟妙惟肖地描绘出混沌与分形两者之间的关系。
研究Chaos有很多途径。
生物群的研究是其中典型途径之一。
第讲一.生物爆炸和生物灭绝最早接触的是生物群的线性迭代，其表述方程是(7-1)式中, 表示第年的某种群数; 表示第年的种群数；而则是发展参数。
i i kx x =+1L,2,1,0=i 1+i x 1+i k i i x第讲特别应该提到：这里所谈的“年”——更确切地说用代或周期更为确切。
中国古代名著《庄子》提到年寿有明显的层次差次，小的年绝不及大的年：朝菌存活不过七天；夏蝉只有三个月时间；但楚国之南的一种树名叫冥灵，持续500年的花开叶茂是冥灵一春，再持续500年花谢叶落是冥灵一秋。
人世千年，冥灵一岁，这才是大的年。
《庄子》所述，即揭示了生物群各自内部的“种”是各不相同的。
第讲1.生物爆炸若我们不论什么原因，这种生物群种数有,且发展的参数，则可写出序列：(7-2)上式表示等比的等比数列。
如Fig7-1所示。
0x 1>k 1>k }{i x L,,,0200x k kx x 1>k第讲Fig7-1当时生物群发生爆炸1>k ii kx x =+10x第讲2.生物灭绝同样是种群方程(7-1)，原始生物群，所不同的参数。
这种情况下序列表示的等比数列。
如图7-2所示。
1<k 0x 1<k }{i x 1<k第讲Fig7-2 当时生物群灭绝1<k ii kx x =+1第讲一.Logistic 方程长期以来，人们对于数列的理解主要有两种可能：收敛或发散。
————————当然也有极个别跳跃的数列如不过这不是我们研究的主要对象。
L1,1,1,1−−}{i a第讲上面所讨论的生物种群数列正是这种情况：要末单调上升发散；要末单调下降收敛。
分形和混沌
作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有 一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形) 的特点,概括有五个基本特征或性质.
形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的 数学语言来描述; 结构的精细性,即具有任意小的比例细节; 局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这 种自相似性可以是严格的,近似的或统计的); 维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓 扑维数; 生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用 迭代方法生成.
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下面我们来讲混沌的特性。
（1）确定系统的内在随机性. 混沌现象是由系统内部的非线性因素引起 的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随 即扰动所产生的不规则结果。混沌理论的研究 表明，只要确定性系统中有非线性因素作用， 系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内 在的随机性，即确定性混沌。 混沌现象是确定性系统的一种“内在随机 性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影 响而产生的随机性。为了与类似大量分子热运 动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所 研
初值x0与x0’之差z= | x0’- x0 |=13/(7* 23002) =1/ 10900是 非常小的，但经过3002次迭代之后结果就完全不同了。这就是 说， x0小数的前900位（或二进制的3002位）信息完全丧失。 这里并没有在迭代中进行“舍入”处理，而完全是由于初值的 不确定性造成的。
分形结束返回主页
我们再看一个著名的例子——“蝴蝶效应”.洛仑兹有一 个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3 个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值 的敏感依赖性。用混沌学的术语表述就是，系统的长期行 为对初值的敏感依赖性。
（1）混沌的定义 （2）混沌的特性：
最新整理数学实验之五迭代(1)分形与混沌.ppt
4 阶幻方构造法
4x
+
同加1
独孤求败基本定理 ---- 高水平=简单
• 山寨算术例1: 算24 • 将以下每组四个数经过加
减乘除得到24. • (1)5,5,5,1;(2)3,3,7,7 • (3)4,4,7,7;(4)3,3,8,8
• 算24 • 5*5-1=24 • 5*(5-1/5)=24 • 运算律的应用! • (3*8)/(3*3-8)= 24 • 分子分母同除以 3 • 8/ (3-8/3) = 24
• 删去多余的方程 ---- 打假 • 将打假进行到底 • 极大线性无关组 • 剩下的方程的个数---- 秩rank
数学聊斋
之三
•人与照片之维数
线性代数
空间为体, 矩阵为用
• 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量 (问题) 矩阵语言描述
矩阵运算解决 向量(解答) • 与微积分的关系:
• 分子分母都是多项式: 享受幸运约分. • Else,创造幸运 化成多项式再约分.
微积分诗四首
之三 定积分
一帆难遇风顺 一路高低不平 平平淡淡分秒 编织百味人生
微积分基本概念（二） ---- 定积分
速度 v(t) 路程 s(t) • 路程 = 速度* 时间 • 速度变化怎么办? • 分段计算: Dsi = v(ti)* Dti • 各段相加：s = Si Dsi, Dti 0
足球的方与圆
•圆---比赛胜负有偶然性 •方---强弱差别客观存在 •米卢---实现概率 •施与霍---提高概率
概率
•沙场百胜古来稀, •九密一疏已足奇。 •祸福偶然存概率， •风云多变泄天机。
4溷沌与分形
第九章混沌与分形混沌学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。
就完全定了，并且可预测了。
这种认识被称作决定论的可预测性。
验证这种认识的最简单例子是抛体运动。
物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。
物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。
这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。
牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。
1757年。
哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。
这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。
当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。
牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。
物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。
这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。
但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。
人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。
原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。
这样的系统叫线性系统。
牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。
对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。
下面通过一个实际例子说明这一点。
决定论的不可预测性。
用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法，蝴蝶效应指的是“今天在北京一只蝴蝶拍动一下翅膀，可能下月在纽约引起一场暴风雨。
”下面是几个混沌实例。
1．天体运动的混沌现象前已述及，三体问题，更不要说更多体的问题，不可能有解析解。
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分形与混沌英国人L.理查森发现在西班牙、葡萄牙、比利时、荷兰等国出版的百科全书中，记录的一些海岸线的长度竟相差20%，原因何在？Mandelbrot 认为：海岸线不规则，不同的测量尺度导致不同结果，从数学角度研究这一问题，创立分形几何。
一维的直线只有一个方向，而海岸线在方向上进行了无数次的改变，故要修改维数定义，Mandelbrot 发现海岸线等具有自相似性，故从自相似性角度研究维数。
一 分形自相似性：如果几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质叫自相似性。
自然界有许多图形有自相似性，如浪花、岩石、山脉、河网水系的分布；人的血管系统；海岸线的形状；星云的分布；剧烈变化的气候；股市等。
分形：(Mandelbrot,1986年）部分以某种形式与整体相似的形状，叫分形。
二 分维一个正方形边长扩大3倍后，得到9个正方形，设一个小立方体，边长扩大3倍后，得到27个小立方体，几何图形的维数为分维。
分维数反映的是：图形充满整个空间的情况，或图形的粗糙度。
三 两种分形曲线（一）Koch 曲线1 构造方法如下:Koch 曲线是分形的,其分维:2 分形曲线的测量分形曲线无法用直尺测量,无论单位取得如何小,因为更细小部分与整体相似,仍有许多不同层次.koch 曲线用一段局部的koch 曲线测量,这样会变得简单.3 分形曲线的生成按照简单规则,经无穷次迭代,得到复杂图形.（二）Cantor 三分集Cantor 三分集时分形的Cantor 三分集是现实世界的一种模型,Mandelbrot 研究的电子通讯线路中出现误差的规律与Cantor 三分集十分相似.维的则2,23ln ln ,9,3∴===N N l 维的则3,33ln ln ,27,3∴===N N l 允许取分数，设l N D ln ln =分形具有五个基本特征或性质：⑴形态的不规则性；⑵结构的精细性⑶局部与整体的自相似性⑷维数的非整数性⑸生成的迭代性。
四分形几何的历史1967年,蒙德尔布罗(法,B.Mandelbrot)在《科学》杂志发表文章《英国海岸线有多长？》标志分形几何的诞生。
分形几何与混沌 ppt课件
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3
巴恩斯利蕨就是依此规则生成的。它的仿射变换组内含有四个公式，形式如下——
a、b、c、d、e、f 都是参数，参数对应的数值表格如下，p 是该运算规则 R 被选中的概 率。
R
a
b
c
d
e
f
p
1
0
0
0
0.16 0
0
0.01
2
0.85 0.04 －0.04 0.85 0
1.6 0.85
3
0.2 －0.26 0.23 0.22 0
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分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具 有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无 限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维 数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如 此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在 大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产 生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.
分形蕨草 混沌蝴蝶
——————由一棵分形树想到的
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第一部分：分形蕨草
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1985年的某一天，世界上第一棵巴恩斯利蕨（Barnsley fern）从美国佐 治亚理工学院的巴恩斯利教授手中诞生了。与此同时，他成为了第一个 提出迭代函数系统(IFS，简称迭代函数系)的人，他实际上研究的是如何 利用自相似性把描绘自然景观的信息进行大幅压缩。基本思路是以一些 运算规则为基础，把原始图形(生成元)进行收缩、旋转、平移等收敛性 的仿射变换（affine transformations），最终形成具有自相似的分形结 构的极限图形, 该集就被称为 IFS。
第2节 分形与混沌简介
n • r2 = 1
将体积为1的正方体n等分,每一个小正方体 的边长为r,则
n • r3 = 1
分形维数
• 从上面的等式中可以看到,r 的幂次实际就是 该几何体的空间维数,可以表示为: n • rD = 1 • 对上式两边取对数得:
ln n D ln x
• 显然,D具有维数的概念.
分形维数(续)
• 以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2 等。从图中可以看出开始是周期加倍分 岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然 后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗 口放大后又可见到同样结构的一套东西。 此 所谓无穷自相似结构。
• 对Koch曲线而言
分形维数(续)
• 在第n步时,其等长折线段总数为4n,每段的长 1 度为 3 • 则Koch曲线的维数为:
n
ln 4 D 1.26186 n ln 3 1 ln 3
ln 4n
• 英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
如何来研究分形？
• Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。 • 在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
– 点---0维； – 线---1维； – 面---2维； – 体---3维。
如何来研究分形？（续）
将长度为1的线段分为n等分,每段长为r,则
n•r=1
将面积为1的正方形n等分,每一个小正方形 的边长为r,则
分形的概念（续）
• 形看作具有如下所列性质的集合F：
– F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 – F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 – F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意 义下的。 – F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 – F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
混沌系统理论 ppt课件
一则西方寓言： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件 的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一 个帝国存与亡的根本差别。
这就是军事和政治领域中所谓的"蝴蝶效应"。
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化
理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成 的途径、机制的研讨。
混沌系统理论
典型系统
分形几何与奇怪吸引子
非周期定态
混
对初值的敏感依赖性
沌
的
确定性随机性
特 点
长期行为的不可预见性
混沌序：貌似无序的高级有序性
，一是能鲜明地表现出混沌的主要特 征，二是数学模型简单，容易处理。
这是混沌系统的典型特征。意思是说， 初始条件的微小差别会在最后的现象中 产生极大的差别，或者说，起初小的误 差可能会引起灾难性后果。 在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那 里小小的变化会被放大.....
在天气这个系统中，对初始条件的敏感依赖性乃 是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果。 因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。因为信息 在传递的过程中，有一种放大作用。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
有科学家称之为混沌学。
混沌的定义
科学家给混沌下的定义
混沌 是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则
运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不 确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在 的现象。
第十章混沌与分形
Biblioteka 混沌与分形是同一种规律的不同表现，这种统 一的规律表现为混沌是在时间尺度上反映了世 界的复杂性，分形则是在空间尺度上反映了世 界的复杂性。 当非线性动力系统进入混沌区域后，在混沌 区域存在着几何上精细的结构和自相似嵌套的 特征，具有分数维数，运动具有高度的不规则 性。系统通过简单的方式如递归(迭代)即可出 现混沌，这些特点恰是分形所具有的特征。 这种统一的规律反映在空间分布上即为分形， 出现在时间分布上则表现为混沌。
这个定义虽然把具有分数维的一大类分形集都 包括进去了，但把某些维数为整数的分形集都 排斥在外。
1986年曼德布罗特又给出了关 于分形的另一个定义：
A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way． (分 形是其组成部分以某种方式与整体相似 的一种形体) 在这个定义里，突出了分形的典型特 征：自相似性,即部分与整体具有某种程 度的自相似性，而分形体的维数又不必 为整数。
1989年，英国数学家法尔科尔 (Falconer)《分形几何，数学函 数及应用》
1.分形具有精细结构，即有任意小比例的不规 则的细节，具有无标度性。 2.分形具有高度的不规则性，以至于无论它的 局部还是它的整体都无法用传统的微积分或几 何语言来描述。 3.分形具有某种统计意义或近似意义的自相似 性。 4.分形的分数维数严格大于它的拓扑维数。 5.分形的生成方式很简单，比如可以用递归方 式生成。 6.分形通常有“自然”的外貌。
能力培养、 团队精神、 能力培养、全局思维
分形企业与传统企业的比较
传统企业 企业是集中式、层次式直线结构 按功能分解组织结构 员工间相互不信任 强调外界控制，决策权集中 分形企业 非集中式、内相关、扁平、分形的网络结构 按任务或产品分解组织结构 员工间相互信任 强调自我监控，将决策权分散，下放到可能 出现问题并需要做出决策的地方 企业以线性、稳定、可预测和可控的方式发 展 工作内容细化、单调 企业跳跃式发展， 按照概率的规律进行变化， 这是可控的但不是可确定的发展 工作内容丰富，包含高深的知识内容，以便 于工作人员有机会不断提高自己的知识水 平，增加工作的趣味
分形与混沌
虽然距离最终认清它们还很远，但
现在已有人进行利用混沌过程预测和控制
癫痫，心律不齐等等病症。
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2. 对于气象学研究(yánjiū)方面， 似乎混沌动力学的发展排除了长期预报的 可能性。
但是另一方面我们现在对于预报问 题有了更符合实际的态度。其实对短期预 报和长期预报的要求从来不同。
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只有对于短期预报(yùbào)， 我们才关心变化的细节。对于长 期预报(yùbào)，人们更注意各种 平均量的发展趋势，例如今后20 年内湖南年降水量的多少。
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• 混沌的发现和混沌学的建立，同相对论 和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论 (lǐlùn)的重大突破，为人类观察物质世界打 开了一个新的窗口。
• 所以，许多科学家认为，20世纪物理学 永放光芒的三件事是：相对论、量子论和 混沌学的创立。
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混沌(hùndùn)学的应用
1.通过对生命现象进行的考察，发 现各种各样的生物节律既非完全周期，又 不可能属于纯粹随机，它们既有与自然界 周期（季节，昼夜等）协调的一面，又有 着内在的复杂性质。
• 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就 会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线 (qūxiàn)近似而成的。随着你不停地缩短你的 尺子，你发现的细小曲线(qūxiàn)就越多，你 测得的曲线(qūxiàn)长度也就越大。
• 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
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研究(yánjiū)对象（续）
• 从上面的等式(děngshì)中可以看到,r 的 幂次实际就是该几何体的空间维数,可以 表示为:
•
n • rD = 1
• •
对上式两边取D对数得ln: n
第6章 混沌与分岔ppt课件
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1. 对初值的敏感性
混沌的特点
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流体块中的对流为模型，提出了著名的 Lorenz 方程。 Lorenz 用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
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PEMC
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；
Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
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PEMC
混沌概念
混沌，英文为 chaos ，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首先 提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
分岔现象最早来源于 1729 年 Musschenbrock 对压杆失稳实 验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分 岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研 究的重要动力。 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究 中发现大量的分岔现象。 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性 分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
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曼德布罗特擅长于形象的、空间的思维，具有把复杂问题化为简 单的、生动的、甚至彩色的图象的本领。他是个数学特别是几何 学与计算机兼通的难得人才。1967年发表于美国《科学》杂志上 的“英国的海岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌芽 的重要标志。1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形几 何学的整体思想，并认为分维是个可用于研究许多物理现象的有 力工具。
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神经元网络（续）
一个非常好的思路，可以同时解决线性和非线 性问题！ 问题是：训练样本空间与应用样本空间不是一 个集合，用训练样本空间训练出来的神经元模 型对于样本空间的样本是最优的结果，而对于 应用样本空间就不一定是最优的结果！ 例如：应用神经元网络识别0~9个数字，选定 三层神经网（输入层、隐含层、输出层），隐 含层包含128个节点，训练样本空间选择0~9 的手写数字分别为100个，共1000个样本集。
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英国的海岸线地图
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研究对象（续）
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量 时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线 ，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不 精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就 会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近 似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发 现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就 越大。 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
5
付里叶变换（续）
由此，付里叶得出如下的结论：
f(t)a 2 0n ( ansin nw )(itb nconsw )()t
任意时 间周期
信号
常量
权值
基元
6
付里叶变换（续）
从当时的角度（哲学观点）来看，是任 何一个信号可以表示为“正弦”信号的 加权和，符合哲学观点，推导正确。 当Fourier将论文提交给法国研究院，由 Lagrangri等三名数学家组成的委员会没 有允许该论文的发表，原因是该数学推 导不严格， Lagrangri提出对于处处不可 导的信号（函数）该理论不成立。
20
研究对象（续）
得到的结论是：海岸线的长度是多少： 决定与尺子的长短。 海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零； 而我们确实看到了海岸线的存在，而且 海岸线应该是有界的。 海岸线什么有界？（长度、面积、体积 显然无界）。
21
Koch 曲线
22
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而 曲线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎 是一个什么东西的无数次的自我复制。
13
神经元网络（续）
训练结束后，对于样本空间的样本的识 别率可以达到100%，而如果选择一个手 写的字母“A”作为识别样本，发现他也 会得出一个0~9之间的一个结果，显然出 现了误识。 那么误识率会是多大？
14
结论
在世界是由基元组成这一哲学思想下， 产生了一系列的十分有效的技术，可见 哲学对研究的意义。 相反，如果没有一种哲学思想，我们的 研究如何归纳总结出一种一般的规律？ 总结出的规律正确与否？
23
自然界中的其他事物
取下一片蕨类植物叶子 似乎与整体有某种相似 性。 England的海岸线从视 觉上也感觉有某种自相 似性
24
分形的概念
分形理论的创始人B.B.Mandelbrot，有人译为 曼德尔布罗特，有人译为曼得勃罗等等 通过对 这些不具有特征长度（欧氏几何学研究不了的 问题）提出了一个全新的概念：分形、分形几 何、分数维----fractal。
第六章 分形与混沌
1
内容目录
哲学与研究 分形的基本思想 混沌的基本思想
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哲学与研究
哲学是人类认识世界的最高层次的思考。
寻找世界的本原问题； 人类在世界中的位置，即人类作为认识的主体 在研究中的重要性。 了解哲学是从总体上、大局上把握世界；把握 研究的方向，不至于走入死胡同。
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付里叶变换
Fourier是法国大革命时期的数学家，他 在频谱分析领域做有卓越的贡献。
在当时，拿破仑时代，科学界流行一种 哲学：世界是有“基元”组成的，任何 一种物质只是基元的加权的代数和。基 元是什么？
运动是物质的一种存在形态，也应该具 有一种相同的特性，即运动应由基元组 成。
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付里叶变换（续）
Fourier通过研究“振动弦”的运动得出 一个规律：即振动弦的运动可以分解为 多个“正弦”信号的和。 又通过对很多现象的研究，Fourier得出 一个结论：任何一个信号可以分解为多 个“简谐周期函数”的加权和，而sin(x)、 cos(x)是最简单的“简谐周期函数”。
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神经元网络（续）
每个神经元是基元，任何一个函数f(x)可以通 过神经元的加权和而得到。神经元的数目可以 选择，层次的个数可以选择，原则上三层以上 即可以模拟任何一个函数（包括线性函数、非 线性函数）功能十分强大！ 网络模型构建后，需要获得权值，权值的获取 方法是训练。即选择足够的训练样本空间，对 模型中的连接进行训练，训练完成，既可以用 于相关的应用。
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神经元理论
神经元网络：神经元网络(Nerual Net)指 由大量神经元互连而成的网络，有点象 服务器互连而成的国际互连网(Internet). 人脑有1000亿个神经元，每个神经元平 均与10000个其他神经元互连，这就构成 了人w1 x2 w2 x3 w3
xn
wn
Artifi cial Neural Network(A NN)
y
n
y f ( wixi ) i1
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O1
O2
O3
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神经元网络
是根据生物的神经元组成而得来的 两态工作，即只有兴奋和抑制两个状态 阈值作用，超过某个阈值，神经元兴奋 多输入、单输出，树状突起获得众多输 入，轴突单输出 空间、时间叠加 可塑性连接，突起的连接强度可调节
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分形几何的基本思想
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研究对象
欧几里得几何学的研究对象是具有特征 长度的几何物体：
一维空间：线段，有长度，没有宽度； 二维空间：平行四边形，有周长、面积； 三维空间：球，表面积、体积；
自然界中很多的物体具有特征长度，诸 如：人有高度、山有海拔高度等。
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研究对象
有一类问题却比较特别，Mandelbrot就 提出了这样一个问题：英国的海岸线有 多长？