[2020高中数学]人教A版选修1-1教案：2.3.2抛物线的几何性质(1)(含答案)

§2.3.2 抛物线的几何性质（１）

【学情分析】：

由于学生具备了曲线与方程的部分知识,掌握了研究解析几何的基本方法,因而利用已有椭圆与双曲线的知识,引导学生独立发现、归纳知识,指导学生在实践和创新意识上下工夫,训练基本技能.

【教学目标】：

（1）知识与技能：

熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质.

（2）过程与方法：

重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考.

（3）情感、态度与价值观：

培养严谨务实,实事求是的个性品质和数学交流合作能力,以及勇于探索,勇于创新的求知意识,激发学生学习数学的兴趣与热情.

【教学重点】：

熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质.

【教学难点】：

熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质及其应用.

【课前准备】：

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三、例题讲解

例 1 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点A

（4,23）,求这条抛物线的准线方程.

解：⑴若抛物线开口向右,

设抛物线的标准方程为22(0)

y px p

=>

∵()2

2324

p

=g

∴

3

2

p=

∴抛物线的标准方程为

3

4

x=-

⑵若抛物线开口向上,

设抛物线的标准方程为22(0)

x py p

=>

∵24223

p

=g

∴

43

3

p=

∴抛物线的标准方程为

23

3

y=-

例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口

所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处.已知灯

口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜的顶点距离是

多少？

让学生运用抛物

线的几何性质,写出符

合条件的抛物线的准

线方程.

三、例题讲解

分析：依标准方程特点和几何性质建系,由待定系数法求解,强

调方程的完备性.

解：如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反

光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合,轴垂直于灯口

直径．

抛物线的标准方程为22(0)

y px p

=>,由已知条件可得点

的坐标是（40,30）且在抛物线上,代入方程得：

2

30240

p

=g,

25

4

p=

所以所求抛物线的标准方程为2

45

2

y=,焦点坐标是

运用抛物线的几

何性质解决现实生活

中的问题,提高学生学

习数学的兴趣和综合

解题能力.

.

例3 过抛物线px y 22

=的焦点F 任作一条直线m ,交这抛物线于A 、B 两点,

求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 证明：如图．设AB 的中点为E ,过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ,EH ,BC ,垂足为D 、H 、C ,则

｜AF ｜＝｜AD ｜,｜BF ｜＝｜BC ｜

∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜ 所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径,且EH ⊥l , 因而圆E 和准线l 相切．

四、巩固练习

1．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于

()11,y x A ,()22,y x B 两点,如果621=+x x ,那么||AB =（ B ）

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4

2．已知M 为抛物线x y 42

=上一动点,F 为抛物线的焦点,

定点()1,3P ,则||||MF MP +的最小值为（ B ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

3．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、

Q 两点,若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ,则q

p 11+=（ C ）

（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a 4

4．过抛物线x y 42

=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点,则弦AB 的中点的轨迹方程是()122

-=x y

5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动,

求AB 中点M 到y 轴距离的最小值,并求出此时AB 中点M

的坐标

（答案：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45）

6. 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点

M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m 的值．

解法一：由焦半径关系,设抛物线方程为y 2=-2px(p ＞0),则准线分层训练,让学生

牢牢掌握抛物线的几

何性质.

x

y E O

F B A

D

C

H