2020高考文科数学大题专项训练：选做题

选做题

A组基础通关

1.(2019辽宁沈阳东北育才学校八模)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.

(1)求f(x)≥3的解集;

(2)记函数f(x)的最小值为M,若a>0,b>0,且a+2b=M,求的最小值.

由f(x)≥3,得

或或

即-

-

或-或

解得x≤-或x≥,

∴不等式f(x)≥3的解集为-∞,-∪,+∞.

(2)∵f(x)=|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,

∴f(x)的最小值M=2,∴a+2b=2,

∵a>0,b>0,

∴5+≥5+2=, 当且仅当即a=b=时等号成立,

∴的最小值为.

2.(2019江西赣州5月适应性考试)已知函数f(x)=|x+1|+2|x-1|. (1)求不等式f(x)≤4的解集;

(2)若函数y=f(x)图象的最低点为(m,n),正数a,b满足ma+nb=4,求的取值范围.

当x≤-1时,f(x)=-3x+1≤4,得x≥-1,所以x=-1,

当-1

当x≥1时,f(x)=3x-1≤4,得x≤,所以1≤x≤,

综上,-1≤x≤,

不等式f(x)≤4的解集为.

(2)由f(x)=--

--

-

的图象最低点为(1,2),即m=1,n=2,

所以a+2b=4,因为a>0,b>0,

所以(a+2b)4+≥(4+2)=2,

当且仅当a=2b=2时等号成立,

所以的取值范围为[2,+∞).

3.(2019河北石家庄一模)已知函数f(x)=---的定义域为R;

(1)求实数m的取值范围;

(2)设实数t为m的最大值,若实数a,b,c满足a2+b2+c2=t2,求的最小值.

由题意可知2|x-3|-|x|≥m恒成立,令g(x)=2|x-3|-|x|,

去绝对值号,可得g(x)=2|x-3|-|x|=---

画图可知g(x)的最小值为-3,所以实数m的取值范围为m≤-3;

(2)由(1)可知a2+b2+c2=9,所以a2+1+b2+2+c2+3=15,

=

=

,

当且仅当a2+1=b2+2=c2+3=5,即a2=4,b2=3,c2=2时等号成立,

所以的最小值为.

4.(2019河南十所名校高三毕业班阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2=

,直线l与曲线C交于A,B两点.

-

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)若线段AB的长度为,求实数a的值.

,得ρ2(5-6cos 2θ+3)=8,化简得4ρ2-3ρ2cos 2θ=4.

由ρ2=

-

因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以方程可化为4(x2+y2)-3x2=4,

整理得x2+4y2=4,即+y2=1.

(2)由直线l的参数方程可得其普通方程为x-y-a=0.

可得5x2-8ax+4a2-4=0.

联立

--

因为直线l与曲线C有两个交点,

所以Δ=64a2-4×5×(4a2-4)=80-16a2>0,得-

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.

|AB|=|x1-x2|=-

=-.

由-,解得a=±2.

5.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线M的参数方程为(φ为参数),过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A、B两点.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求l和M的极坐标方程;

(2)当α∈0,时,求|OA|+|OB|的取值范围.

由题意可得,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).

曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=1,

因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,

所以M的极坐标方程为ρ2-2(cos θ+sin θ)ρ+1=0.

(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),且ρ1、ρ2均为正数,

将θ=α代入ρ2-2(cos θ+sin θ)ρ+1=0,

得ρ2-2(cos α+sin α)ρ+1=0,

当α∈0,时,Δ=4sin 2α>0,

所以ρ1+ρ2=2(cos α+sin α),根据极坐标的几何意义,|OA|,|OB|分别是点A,B的极径.

从而|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2(cos α+sin α)=2sinα+.

当α∈0,时,α+∈,

故|OA|+|OB|的取值范围是(2,2].

6.(2019陕西西安八校高三4月联考)已知曲线C1:-

(t为参数),C2:(θ为参

数).

(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:

-(t为参数)距离的最小值.

C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+y2=1.

C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆,

C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是,短半轴长是1的椭圆.

(2)当t=时,P(-4,4),Q(cos θ,sin θ),故M-2+cos θ,2+sin θ,

C3为直线x-y-5=0,M到C3的距离

d=--

sinθ-+9,

从而当sinθ-=-1时,d取得最小值4.

B组能力提升7.(2019全国Ⅲ,文23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,证明:a≤-3或a≥-1.

[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2