解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型

类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题

类型一 判断三角形形状

例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2

22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2

C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2

22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=

60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.

解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=

60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -

120)=3,整理得 sin(A+ 30)=1

∴A+

60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形.

例3：在△ABC 中，已知2

2

tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B

A

A B B A 2

2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2

π

=

+B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．

法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2

22222

2222b a bc

a c

b b a

c b c a a =-+⋅

-+⋅

， 整理得0))((2

2

2

2

2

=-+-c b a b a ∴ 2

2222c b a b a =+=或

即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA=

C

B C

B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．

解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC

整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得

c b ab

c b a a ac b c a a +=-+⋅+-+⋅22222222，化简整理得 0))((222=+--c b c b a

∴2

2

2

c b a +=即三角形为直角三角形．

例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状．

（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状．

解：（1）由已知结合余弦定理可得bc a c b c ac b c a c b a 222

22222-+⋅--+⋅=-，整理得

0))((222=-+-c b a b a ∴222c b a b a =+=或，∴三角形为等腰三角形或直角三角形

（2）由b=asinC 可知 A

B

C a b sin sin sin ==，由c=acosB 可知ac b c a a c 2222-+⋅=整理得

222a c b =+，即三角形一定是直角三角形，∠A= 90，∴sinC=sinB ∴∠B=∠C ，∴△ABC

为等腰直角三角形．

例6：已知△ABC 中，5

4

cos =

A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 解：由题意令)0(32,2,2>=+==-k k c k b k a ，则23,2,2-==+=k c k b k a ∵5

4cos =

A ,由余弦定理得4=k ∴ 10,8,6===c b a ∴ 2

22c b a =+即△ABC 为直角三角形．

7.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，c

c

b A 22cos 2+=

，则△ABC 的形状为______ 8.在∆ABC 中，若

tan 2,tan A c b

B b

-=，则A=

类型二 求范围与最值

1、在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足

bc a c b =-+222，0>⋅BC AB ,2

3

=

a ,则c

b +的取值范围是 2、在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，

c ，则b c ＋c

b 的

最大值是________．

解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，解得sin A ＝a 2

bc ，再由余弦定理得cos A ＝

b 2＋

c 2－a 22bc

211(sin )22b c a b c A c b bc c b

⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，得b c ＋c

b ＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，最大值为 5

解析几何或者几何法

1

解析几何法：,BC 2,AB ,ABC ABC ∆==∆求面积的最大值。 2

几何法：ABC ∆，知道BC=4，B 的范围。 方程有解，利用判别式求范围。 附例：

4、已知ABC ∆中，B=

3,3

=b π

，且ABC ∆有两解，则边a 的取值范围是

5、借力打力型求取值范围 附例：钝角三角形中，3

B π

=

，若最大边和最小边长的比为m ，则m 的取值范围是

+-3

3

ππ

αα设钝角三角形的另外两个角是

，

6、 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是

7、在△ABC 中若2C B ∠=∠,则AB

AC

的取值范围 8、已知ABC ∆中，B=

3,3

=b π

，且ABC ∆有一解，则边a 的取值范围是

9、已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是 10、钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a= 11、在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，则AC 的取值范围为 .

12、设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且C B A >>，C A 2=，则C B A sin :sin :sin 为 14、在锐角三角形ABC ∆中，B A 2=，则

c b b +的取值范围是 )2

1

,31( B

A

C

a c b