线性代数在生活中的应用

线性代数在生活中的运用

线性代数的研究对象就是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换与有限维的线性方程组。随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,既求解有限维的线性方程组,使各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,解线性方程组正就是解决这些问题的有力工具。本文由用初等数学解线性方程组的例子,引用线性代数中的一些基本概念,论述了线性代数与线性方程组的内在联系。

线性方程组就是各个方程关于未知量均为一次的方程组

x ｊ表示未知量,ai ｊ为系数,bi 为常数项。则有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L 22112222212111212111 若x1=c1,x2＝ｃ2,…,xn ＝cn 代入所给方程各式均成立,则称(ｃ1,c ２,…,cn)为一个解。若c1,c2,…,ｃｎ不全为0,则称(c1,c2,…,cn)为非零解。若常数项均为0,则称为齐次线性方程组,它总有零解(0,0,…,0)。两个方程组,若它们的未知量个数相同且解集相等,则称为同解方程组。

线性方程组主要讨论的问题就是:①一个方程组何时有解。②有解方程组解的个数。③对有解方程组求解,并决定解的结构。

当非齐次线性方程组有解时,解唯一的充要条件就是对应的齐次线性方程组只有零解;解无穷多的充要条件就是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解与有非零解时,不一定原方程组有唯一解或无穷解,事实上,此时方程组不一定有解。

克莱姆法则给出了一类特殊线性方程组解的公式。n 个未知量的任一齐次方程组的解集均构成ｎ维空间的一个子空间。

线性方程组有广泛应用,熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。请瞧下面一个例子。

例:

一个庙里有一百个与尚, 这中间有大与尚有小与尚, 这一百个与尚每顿饭总共要吃一百个馒头, 其中大与尚一个人吃三个, 小与尚三个人吃一个, 问有多少大与尚, 多少小与尚?

那么, 假设大与尚的数目就是x 1, 小与尚的数目就是x 2, 那么由第一个条件,

总共有10０个与尚

可以知道: ｘ1+x 2=100

而由第二个条件, 大与尚一个人吃3个馒头, 小与尚一个人吃1/３个馒头, 吃的馒头的总数就是1０0个, 那么就得第二个方程

1003

1321=+x x 将上面两个方程联立, 就得线性方程组:

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(100313)1(1002121x x x x

要解这个方程组有两种办法, 其实质就是一样的, 一种叫消元法, 从(1)式解出x １得

x 1＝1０0－x 2

将其代入到(２)式, 得

25

75100758600300

)100(91003

1)100(3122

2222=-====+-⨯=+-⨯x x x x x x x

因此算出共有7５个小与尚, 2５个大与尚、或者用加减法, 先将(1)式乘3得

3x 1+３x 2=300ﻩ ﻩ

(3)

用此(３)式减去(１)式得

2003

1322=-x x 同样能够解得 x 2=75

由此可以推知更多元的线性方程组的解法。

而其实, 更多元的线性方程组也就是同样的解法.

那么, 为什么还要开线性代数这门课程专门研究解线性方程组的问题呢? 线性代数要研究的就是解有许多变元的线性方程组, 即变量的个数要比上例多得多, 可能会多到几十个变元, 上百个变元, 甚至成千上万个变元、

因此, 线性代数给出的一般的线性方程组的形式就是:

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 那么, 既然变元如此之多, 一定不能用人工手算, 必然要用计算机来进行计算、 因此, 如果没有计算机的发展, 线性代数这门课也就没有什么用. 实际上, 线性代数正就是为了用计算机解线性方程组提供理论基础。

在科技实践中,从实际中来的数学问题无非分为两类:一类线性问题;一类非线性问题。线性问题就是研究最久、理论最完善的,我们可以简单地说数学中的线性问题就是最容易被解决的,如微分学研究很多函数线性近似的问题。而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。

因此遇到一个问题,首先判定就是线性问题还就是非线性问题;其次如果就是线性问题如何处理,若就是非线性问题如何转化为线性问题。可见线性代数作为研究线性关联性问题的代数理论的重要性。

随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正就是解决这些问题的有力工具。

在物理学方面, 整个物理世界可以分为机械运动, 电运动, 还有量子力学的运动。而机械运动的基本方程就是牛顿第二定律, 即物体的加速度同它所受到的力成正比, 这就是一个基本的线性微分方程、 由此根据不同的力学系统, 又

可以构成更为复杂的微分方程。电运动的基本方程就是麦克思韦方程组, 这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比, 而磁场的强度又与电场强度的变

化率成正比, 因此麦克思韦方程组也正好就是线性方程组。而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程, 也就是线性方程组。

所以在各种理、工学的研究与实践中,都脱离不了线性方程组。

而在经济学与会计学方面, 线性方程组也得到了广泛的运用。比如上面这个实际上就是一个经济学的例子, 就是给一个庙的与尚作伙食供给时的问题。而实际过程如果不就是一个庙, 而就是一家公司, 这家公司的职员也不就是分为两等, 而就是许多等, 她们的薪水不同, 消耗的生产或者办公器材的多少也不同, 投资多少也不同, 这样就可以构成了大量的线性方程组。

总之,线性代数的主要研究如何用高等数学的方法研究解线性方程组。解线性方程组有独立的系统的科学体系,在实践中应用极为广泛,尤其就是为计算机

解决、归纳与分析目前大量繁琐的科研数据提供了理论基础。

李欢霖

物流管理B１３-１