天线的方向图

1 2η0
∫
2π
0
dϕ ∫ | Eθ |2 r 2 sin θ dθ =
0
π
4π η0 Idz 2 ( ) 3η0 2λ
(1.14)
由式(0.24)可得基本振子的辐射电阻为 2P dz Rr = 2r = 80π 2 ( ) 2 λ I 由式(0.18)可得基本振子的方向性系数为 2 D= π = 1.5 2 F ( )sin d θ θ θ ∫
点的球面，即相位方向图是一个球面。
(4) 电场 Eθ 分量与磁场 Hϕ 分量的比值等于媒质中的波阻抗。
Eθ = η0 Hϕ
(1.11)
(5) 适当建立坐标系， 使基本振子轴与 z 轴重合， 则其辐射场只与 θ 角有关， 与ϕ 角无关。即基本振子的辐射场是旋转对称的。
1.1.3 元天线的辐射方向图
重写式(1.9a)为
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王建
第一章 天线的方向图
天线的方向图可以反映出天线的辐射特性， 一般情况下天线的方向图表示天 线辐射电磁波的功率或场强在空间各个方向的分布图形。而相位、极化方向图只 在特殊应用中使用。对不同的用途，要求天线有不同的方向图。 这一章介绍几种简单的直线天线和简单阵列天线的方向图， 以及地面对天线 方向图的影响。简单天线涉及元天线、单线行波天线、对称振子天线等。简单阵 列天线涉及由同类型天线组成的二元阵、三元阵和多元阵，对简单阵列将介绍方 向图相乘原理。 线天线的分析基础是元天线。 一个有限尺寸的线天线可看作是无穷多个元天线
(1.1)
图 1-1
(a) 基本振子及坐标系
(b) 基本振子及场分量取向
ˆ r + θˆ Aθ + ϕ ˆ Aϕ ，利用球坐标中矢量各分量 在求坐标系中，A 的表示为 A = rA 与直角坐标系中矢量各分量的关系矩阵
Ar sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ Ax Aθ = cosθ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ Ay cos ϕ 0 − sin ϕ Aϕ Az
(1.4)
式中， E 为电场强度； H 为磁场强度；下标 r 、θ 、ϕ 表示球坐标系中的各分量。 自由空间媒质的介电常数为 ε 0 = 8.854 × 10−12 F / m 10−9 / 36π F / m ； 磁导率为 µ0 = 4π × 10−7 H / m ； 相位常数 β = 2π / λ ； λ 为自由空间媒质中的波长； η0 = µ0 / ε 0 为媒质中波阻抗，在自由空间中η0 = 120π Ω ； ˆ 之间的夹角。 θ 为天线轴与矢量 r 由此式，我们可根据场点的距离按场区写出基本振子的电磁场。
(a) 立体方向图
(b) E 面方向图 图 1-2 基本振子的方向图
(c) H 面方向图
说明： (1) 在振子轴的两端方向( θ = 0, π )上，辐射场为零，在侧射方向( θ = π / 2 )辐射场 为最大。 (2) 基本振子的方向图函数与 ϕ 无关，在垂直于天线轴的平面内辐射方向图为一 个圆。 (3) 根据 E 面和 H 面方向图的定义， yz 平面内的方向图为 E 面方向图(E 面方向 图有无穷多个)， xy 平面内的方向图为 H 面方向图。
(1.19)
(a) 天线与场点的实际几何关系 (b) 远场近似处理的几何关系 θ ′ = θ 图 1-3 有限尺寸天线与场点的实际几何关系和远场近似处理
只要天线上电流分布 I ( z′) 已知， 由式(1.18)和(1.10)就可得到天线在观察点的远区 电磁场。对于任意位置的观察点来说，式(1.18)很难得到一个闭合形式的表达式。 如果天线上电流为正弦分布，则式(1.18)能够简化得到一个闭合形式的表达式， 这将在后面介绍。 现在不讨论天线上的电流分布如何， 只讨论观察点所处位置(区 域)对式(1.18)积分的简化问题。 由观察点到坐标原点的距离 r = x 2 + y 2 + z 2 ， 及关系式 z = r cos θ ， 式(1.19) 可写作
Eθ = jη0
式中，
Idz − jβ r e F (θ ) 2λ r
(1.12) (1.13)
F (θ ) = sin θ
为元天线的方向图函数或归一化方向图函数。其含义是：在半径为 r 的远区球面 上，基本振子的远区辐射场随空间角 θ 为正弦变化。由此可画出其空间立体方向 图和两个主面(E 面和 H 面)的方向图，如图 1-2 所示。
0
(1.15)
(1.16)
由式(0.73a)可得基本振子的有效面积为
Se = (
λ2 3λ 2 )D = 4π 8π
(1.17)
1.2 有限尺寸天线的场区划分
前面对无穷小的基本振子(元天线)讨论了其场区划分，主要目的是分析基本 振子在各区中的电磁场分布，从而了解其辐射机理。即 ■ 在感应近场区中， 电磁场在时间上相位相差 90o ， 在某一时刻电场最大时磁场 最小，磁场最大时电场最小，为振荡电磁场，没有向外辐射的能量； ■ 在中场区中，开始有向外辐射的能量，但存在交叉极化电场分量 Er ，使得在 平行于传播方向的平面内的合成电场为椭圆极化波； ■ 在远场区中，适当坐标系下的辐射电磁场只有 Eθ 和 Hϕ 分量，在时间上二者 同相，空间上它们互相正交并垂直于传播方向，形成线极化辐射波。 对于有限尺寸的天线，围绕天线的空间也分为三个场区，即感应近场区，辐 射近场区(或叫做菲涅耳区)和远场区。这与基本振子的三个场区的划分有所不 同，划分的标准也不同。由于天线有一定大小，场区将以天线的线尺寸来划分。 在分析有限尺寸天线的远区辐射场问题之前，有必要讨论其三个场区的划分 问题。这不仅有助于分析天线的远区辐射场，而且对天线测量中收发天线之间的 摆放距离有一定的指导意义。 为简单起见，这里以细直导线为例来讨论。假设细直导线天线的全长为 2l， 如图 1-3 所示并建立坐标系，其上电流分布为 I ( z′) ，由式(1.1)表示的基本振子矢 量位 A 沿天线整个长度积分得
的辐射场在空间某点的叠加。因此这里首先讨论元天线。
1.1 元天线
1.1.1 元天线的辐射场
元天线又称作基本振子或电流元，它是一个长为 dz 的无穷小直导线，其上 电流为均匀分布 I 。如果建立如图 1-1 所示坐标系，由电磁场理论很容易求得其 矢量位 A 为 ˆ A=z
µ0 e − jβ r ˆ z Idz = zA r 4π
ˆ A=z
µ0 4π
∫
l
−l
I ( z′)
e − jβ R dz′ R
(1.18)
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式中，R 为天线上某点( x′, y ′, z′ )与观察点( x, y , z )之间的距离，在如图 3-3(a)坐标 系下， x′ = y ′ = 0 ，则 R 的表示为
R = ( x − x′) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z′) 2 = x 2 + y 2 + ( z − z′) 2
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ˆ 方向，式中电场只计 Eθ 和 Eϕ 分量。 由于传播方向为径向 r
由基本振子的远区辐射场公式(1.9a)和(1.9b)，可得如下特点：
(1) 在给定坐标系下，电场只有 Eθ 分量，磁场只有 Hϕ 分量，它们相互垂直，同 ˆ 。见图 3-1(b)。 时又垂直于传播方向 r (2) 电场和磁场分量都有因子 e − jβ r / r ，实际上所有天线远区辐射场均有此因子。 (3) 空间任意点处的电场和磁场相位相同，等相位面是一个球心在基本振子中心
(1.9a) (1.9b) (1.9c)
导出基本振子远区辐射场表示式(1.9a)和(1.9b)的过程较繁，这里给出一种快 速求天线远区辐射场的方法。若已求得天线的矢量位 A，则其远区辐射场可由如 下公式快速求得
E = − jω A H = 1 r ˆ×E η0
(1.10)
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Eϕ = H r = H θ = 0
(1.7d)
对于中等的 β r 值，电场的两个分量 Eθ 和 Er 在时间上不再同相，而相位相差 接近 90o ，它们的大小一般不等，其合成场为一个随时间变化的旋转矢量，矢量 末端的轨迹为一个椭圆，即为椭圆极化波，但合成场矢量是在平行于传播方向的 平面内旋转。 此时的 Er 分量为交叉极化场。 另一方面， 电场分量 Eθ 和磁场分量 Hϕ 在时间上趋于同相，它们的时间平均功率流不为零。即 1 1 1 * * * ˆEr H ϕ ˆ θ Hϕ ˆ≠0 ] = Re[ Eθ H ϕ ]r Wav = Re[E × H* ] = Re[rE −θ (1.8) 2 2 2 这表明在中场区中有径向方向的向外辐射现象。
3. 远场区( β r
1)
该场区中的电磁场分量式(1.4)中只需保留 1/r 的那一项即可，其它的项均可 忽略不计。则远场区中只有 H ϕ 和 Eθ 分量， Er 分量忽略不计。因此，基本振子的 远区电磁场为
Idz sin θ e − jβ r (V/m) 2λ r Idz Hϕ = j sin θ e − jβ r (A/m) 2λ r Eθ = jη0 Er = Eϕ = H r = Hθ = 0
(1.2)
因 Ax = Ay = 0 ，可得
Ar = Az cos θ Aθ = − Az sin θ A = 0 ϕ
(1.3)
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由 E = − jω A +
∇∇i A 1 和 H = ∇ × A ，可得基本振子的电磁场各分量为 jωµ0ε 0 µ0
β Idz 1 − jβ r = + H j sin θ (1 )e ϕ 4π r jβ r E = jη β Idz sin θ [1 + 1 + 1 ]e − jβ r 0 θ 4π r jβ r ( jβ r ) 2 Idz 1 − jβ r cos θ (1 + )e E r = η0 2 2π r jβ r Eϕ = H r = Hθ = 0
(4) 与理想点源天线不同，基本振子(元天线)是有方向性的。
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1.1.4 元天线的辐射电阻、方向性系数和有效面积
由元天线的远区辐射场表示式(1.9a)和(1.9b)及辐射功率表示式(0.6)，可得基 本振子的辐射功率为
Pr = 1 2
∫∫
s
ˆ = E × H* ⋅ rds
1.1.2 元天线的场区划分
任何天线的辐射场都可化分为近场区、中场区和远场区三个区域。对于基本 振子来说，这三个区域的划分较为简单，且很容易写出各场区中的辐射电磁场。
1. 近场区( β r
1) 1 ，式(1.4)表示的电磁场分量 Eθ 、Er 和 H ϕ 只需取最
(1.5a) (1.5b)
在近场区中，由于 β r
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这种场称为感应场，所以近场区又称作感应场区。在此区域内无功功率占主导地 位。因 β r 1 ，可令 e − jβ r ≈ 1 ，则该区中的电磁场表示式(1.5a)~(1.5d)与恒定电流 元的场完全相同。
2. 中场区( β r > 1 )
随着 β r 值的逐渐增大， 当其大于 1 时， 式(1.4)中 β r 高次幂的项将逐渐变小， 最后消失。如果要计算该区中的电磁场，则可取式(1.4)中各场量的前两项。为分 析的方便，可取各场量的第一项即可。 β Idz Hϕ j sin θ e − jβ r (1.7a) 4π r β Idz sin θ e − jβ r (1.7b) Eθ jη0 4π r Idz E r η0 cosθ e − jβ r (1.7c) 2 2π r
后一项来近似表示，即 Idz Hϕ = sin θ e − jβ r 2 4π r
Eθ = − jη0 E r = − j η0
Idz sin θ e − jβ r 3 4πβ r Idz cosθ e − jkr 2πβ r 3
(1.5c) (1.5d)
Eϕ = H r = Hθ = 0
近场区中的电场分量 Eθ 和 Er 在时间上同相， 但它们与磁场分量 Hϕ 在时间上 o 相位相差 90 。因此，近场区中的电磁场在时间上是振荡变化的。即在某一时刻 电场最大时，磁场为零，磁场最大时，电场为零，就如谐振腔中的电磁场一样。 它们的时间平均功率流为零，没有能量向外辐射。即 1 1 * * ˆ θ Hϕ ]=0 Wav = Re[E × H* ] = Re[ rE − θˆEr Hϕ (1.6) 2 2