人教版_2021年中考数学二轮复习--分类讨论(附答案)

合集下载

中考数学第二轮复习专题(14个)

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】：例1：填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值（） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

2021年中考数学二轮复习综合练习题(有答案)

2021中考数学二轮复习综合练习题时间：100分钟满分：120分一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 1. 下列各数中，比3大比4小的无理数是（） A.3.14B.103C.√12D.√172. 某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（） A.0.36×106B.3.6×105C.3.6×106D.36×1053. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）4. 已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（） A.平均数是4B.众数是3C.中位数是5D.方差是3.25. 下列计算正确的是（） A.7ab −5a =2b B.(a +1a)2=a 2+1a 2C.(−3a 2b)2=6a 4b 2D.3a 2b ÷b =3a 26. 已知关于x 的一元二次方程x 2+bx −1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.实数根的个数与实数b 的取值有关7. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =−32x +3与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，C 是线段AB 上一点．过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，CE ⊥y 轴，垂足为E ，S △BEC :S △CDA =4:1，若双曲线y =kx (x >0)经过点C ，则k 的值为( )A.43B.34 C.25 D.528. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8．则线段OH 的长为（）A.125B.52C.3D.59. 如图，在△ABC 中，BC =120，高AD =60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（）A.15B.20C.25D.3010. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt △OAB 向右上方平移，得到Rt △O ′A ′B ′，且点O ′，A ′落在抛物线的对称轴上，点B ′落在抛物线上，则直线A ′B ′的表达式为（） A.y ＝xB.y ＝x +1C.y ＝x +D.y ＝x +2二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分） 11. 使得代数式√x−3有意义的x 的取值范围是________．12. 计算：(1+a1−a )÷1a 2−a =________．13. 某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．14. 若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为________．15. 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC= 3√3，则下列结论：①F 是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④S阴影=√32．其中正确结论的序号是________．三、解答题（本题共计 8 小题，共计75分）16. （9分）先化简，(x2+4x+4x2−4−x−2)÷x+2x−2，然后从−2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．17.(9分) 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成，，，四组，绘制了如下统计图表：“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表（1）求得________，________；（2）这次测试成绩的中位数落在________组；（3）求本次全部测试成绩的平均数．18.(9分) 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90∘，AB=√2，点D位于边BC的中点上，点E 在AB上，点F在AC上，∠EDF=45∘．（1）求证：∠DFC=∠EDB；（2）求证：CF⋅BE=1；（3）当BE=1时，求△FCD的面积．19.(9分) 如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F．(1)求证：AE=BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB=2，求BD的值．20.(9分) 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？(3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？21.(9分) 如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−2, 3)，点B的坐标为(4, n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.(10分) 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若OF⊥BD于点F，且OF=2，BD=4√3，求图中阴影部分的面积．23.(11分) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−23x+4分别与x轴、y轴相交于点B，C，经过点B，C的抛物线y=−23x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．(1)求出抛物线表达式，并求出点A坐标．(2)已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；(3)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A，P，Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1.【答案】C【解答】3=√9，4=√16，A、3.14是有理数，故此选项不合题意；B、103是有理数，故此选项不符合题意；C、√12是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；D、√17比4大的无理数，故此选项不合题意；2.【答案】B【解答】解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．则360000=3.6×105，故选B.3.【答案】A【解答】解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.把一个图形绕着某一点旋转180∘，如果它能够与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选A.4.【答案】C【解答】解：平均数：15(2+3+5+3+7)=4，中位数是3，众数是3，方差：15[(2−4)2+(3−4)2+(5−4)2+(3−4)2+(7−4)2]=3.2．故选C.5.【答案】D【解答】解：7ab与−5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；根据完全平方公式可得(a+1a)2=a2+1a+2，因此选项B不正确；(−3a2b)2=9a4b2，因此选项C不正确；3a2b÷b=3a2，因此选项D正确.故选D.6.【答案】A【解答】解：∵ Δ=b2−4×(−1)=b2+4>0，∵ 方程有两个不相等的实数根．故选A.7.【答案】A【解答】解：∵ 直线y=−32x+3与x轴，y轴分别交于点A和点B，∵ A(2, 0)，B(0, 3)，即OA=2，OB=3.∵ S△BEC:S△CDA=4:1，且△BEC∽△CDA，∵ ECDA=BECD=21.设EC=a=OD，CD=b=OE，则AD=12a，BE=2b，∵ OA=2=a+12a，解得a=43，OB=3=3b，解得b=1，∵ k=ab=43.故选A.8.【答案】B【解答】∵ 四边形ABCD为菱形，∵ AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，在Rt△BOC中，BC=2+42=5，∵ H为BC中点，∵ OH=12BC=52．9.【答案】B【解答】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵ 四边形EFGH是正方形，∵ ∠HEF=∠EHG=90∘，EF // BC，∵ △AEF∼△ABC.∵ AD是△ABC的高，∵ ∠HDN=90∘，∵ 四边形EHDN是矩形，∵ DN=EH=x.∵ △AEF∼△ABC，∵ ANAD =EFBC，∵ 60−x60=x120，解得：x=40，∵ AN=60−x=60−40=20．故选B.10.【答案】B【解答】如图，∵ 抛物线y＝x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝−1或3，令x＝0，求得y＝−3，∵ B(3, 0)，A(0, −3)，∵ 抛物线y＝x2−2x−3的对称轴为直线x＝-＝1，∵ A′的横坐标为1，设A′(1, n)，则B′(4, n+3)，∵ 点B′落在抛物线上，∵ n+3＝16−8−3，解得n＝2，∵ A′(1, 2)，B′(4, 5)，设直线A′B′的表达式为y＝kx+b，∵ ，解得∵ 直线A′B′的表达式为y＝x+1，二、填空题11.【答案】x>3【解答】解：∵ 代数式√x−3有意义，∵ x−3>0，∵ x>3，∵ x的取值范围是x>3，故答案为：x>3．12.【答案】−a【解答】解：原式=1−a+a1−a⋅a(a−1)=11−a⋅a(a−1)=−a．故答案为：−a.13.【答案】13【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，所以抽到同一类书籍的概率为39=13.故答案为：13.14.【答案】40【解答】去分母，得：x+2−a＝3(x−1)，解得：x＝，∵ 分式方程的解为非负数，∵ ≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式-≥−，得：y≤0，解不等式2(y−a)<0，得：y<a，∵ 不等式组的解集为y≤0，∵ a>0，∵ 0<a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∵ 符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，15.【答案】①②④【解答】①∵ AF是AB翻折而来，∵ AF=AB=6，∵ AD=BC=3√3，∵DF=√AF2−AD2=3，∵ F是CD中点；∵ ①正确；②连接OP，∵ ⊙O与AD相切于点P，∵ OP⊥AD，∵ AD⊥DC，∵ OP // CD，∵ AOAF =OPDF，设OP=OF=x，则x3=6−x6，解得：x=2，∵ ②正确；③∵ Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∵ ∠DAF=30∘，∠AFD=60∘，∵ ∠EAF=∠EAB=30∘，∵ AE=2EF；∵ ∠AFE=90∘，∵ ∠EFC=90∘−∠AFD=30∘，∵ EF=2EC，∵ AE=4CE，∵ ③错误；④连接OG，作OH⊥FG，∵ ∠AFD=60∘，OF=OG，∵ △OFG为等边△；同理△OPG为等边△；∵ ∠POG=∠FOG=60∘，OH=√32OG=√3，S扇形OPG=S扇形OGF，∵ S阴影=(S矩形OPDH−S扇形OPG−S△OGH)+(S扇形OGF−S△OFG)=S矩形OPDH−32S△OFG=2×√3−32(12×2×√3)=√32．∵ ④正确；三、解答题16.【答案】解：原式=[(x+2)2(x+2)(x−2)−(x+2)]⋅x−2x+2=(x+2x−2−x2−4x−2)⋅x−2x+2=−x2+x+6⋅x−2=−(x+2)(x−3)⋅x−2=−(x−3)=−x+3，∵ x≠±2，∵ 可取x=1，则原式=−1+3=2．17.【答案】（1）解：：被调查的学生总人数为72÷36%=200（人），m=200−(38+72+60)=30n=38200×100%=19%故答案是：30，19%（2）共有200个数据，其中第100，101个数据均落在B组，…这次测试成绩的中位数落在B组；故答案是；B；（3）2581+543+5100+2796200=80.1（分），答：本次全部测试成绩的平均数是80.1分．18.【答案】（1）证明：∵ ∠EDF=45∘，∵ ∠EDB+∠FDC=135∘，∵ ∠B=∠C=45∘，∵ ∠DFC+∠FDC=135∘，∵ ∠BDE=∠DFC；（2）证明：∵ ∠B=∠C，∠BED=∠FDC，∵ △BDE∽△CFD，∵ BDFC =BECD，∵ CF⋅BE=BD⋅CD=1，（3）解：∵ △ABC是等腰直角三角形，∠A=90∘，AB=√2，∵ BC=2，∵ 点D位于边BC的中点上，∵ BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45∘，∵ ∠BDE=67.5∘，∠EDF=45∘，∵ ∠FDC=∠DFC=67.5∘，CF=CD=1，∵ DC边上的高是√22，∵ S△CDF=12×1×√22=√24．19.【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∵ AB=BC，AD // BC，∵ ∠A=∠CBF.∵ BE⊥AD，CF⊥AB，∵ ∠AEB=∠BFC=90∘，∵ △AEB≅△BFC(AAS)，∵ AE=BF；(2)解：∵ E是AD的中点，且BE⊥AD，∵ 直线BE为AD的垂直平分线，∵ BD=AB=2.20.【答案】解：(1)设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b (k≠0)，将点(30,100)，(40,80)代入一次函数表达式得：{100=30k+b,80=40k+b,解得：{k=−2,b=160,故函数的表达式为：y=−2x+160.(2)由题意得：(x−30)(−2x+160)=800，整理得：x2−110x+2800=0，解得：x1=40，x2=70，∵ 销售单价不低于成本价，且不高于50元，∵ x2=70不合题意，舍去.答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元.(3)由题意得：w=(x−30)(−2x+160)=−2(x−55)2+1250，∵ −2≤0，抛物线开口向下，∵ 当x<55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∵ 当x=50时，w有最大值，此时w=1200，故销售单价定为50元时，销售该商品每天的利润最大，最大利润1200元.21.【答案】解：(1)将点A的坐标代入y = mx(m≠0)，得：m=−2×3=−6，则反比例函数的表达式为：y=−6x，将点B的坐标代入上式并解得：n=−32，故点B(4, − 32)，将点A，B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b,得：{−2k+b=3，4k+b=−32，解得：{k=−34，b=32，故一次函数的表达式为y=−34x + 32．(2)在y=−34x + 32中，令y=0，则x=2，故点C(2, 0)，①当∠APC为直角时，则点P(−2, 0)；②当∠P(P′)AC为直角时，由点A、C的坐标知，PC=4，AP=3，则AC=5，cos∠ACP = PCAC = 45 = ACCP′ = 5CP′，解得：CP′ = 254，则OP′ = 254 − 2 = 174，故点P的坐标为(−2, 0)或( − 174, 0)．22.【答案】(1)证明：连接OD，∵ BC是⊙O的切线，∵ ∠ABC=90∘.∵ CD=CB，∵ ∠CBD=∠CDB.∵ OB=OD，∵ ∠OBD=∠ODB，∵ ∠ODC=∠ABC=90∘，即OD⊥CD.∵ 点D在⊙O上，∵ CD为⊙O的切线；(2)解：∵ OF⊥BD，∵ BF=12BD=2√3，OB=√OF2+BF2=√22+(2√3)2=4，∵ OF=12OB，∵ ∠OBF=30∘，∵ ∠BOF=60∘，∵ ∠BOD=2∠BOF=120∘，∵ S阴影=S扇形OBD−S△BOD=120π×42360−12×4√3×2=16π3−4√3．23.【答案】解：(1)由已知可求B(6,0)，C(0,4)，将点B(6,0)，C(0,4)代入y=−23x2+bx+c中，则有{0=−23×36+6b+c，c=4，解得{b=103，c=4，∵ y=−23x2+103x+4，令y=0，则−23x2+103x+4=0，解得x=−1或x=6，∵ A(−1,0).(2)∵ 点D在抛物线上，且横坐标为3，∵ D(3,8)，过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F，∵ E(0,8)，F(6,8)，∵ S△BCD=S梯形ECBF−S△CDE−S△BFD=12(EC+BF)×OB−12×EC×ED−12×DF×BF=12×(4+8)×6−12×4×3−12×3×8=36−6−12=18.(3)设P(m,−23m2+103m+4)，∵ PQ垂直于x轴，∵ Q(m,0)，且∠PQO=90∘.∵ ∠COB=90∘，∵ 以点A，P，Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∼△CBO时，PABC=AQBO=PQCO，∵ 1+m6=−23m2+103m+44，解得m=5或m=−1.∵ 点P在直线BC上方的抛物线上，∵ 0≤m ≤6， ∵ m =5， ∵ P(5,4)；②△PAQ ∼△BCO 时，PA BC=PQ BO =AQ CO， ∵−23m 2+103m+46=1+m 4，解得m =−1或m =154.∵ 点P 在直线BC 上方的抛物线上， ∵ 0≤m ≤6， ∵ m =154，∵ P(154,578).综上所述：P(5, 4)或P(154,578)时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△BOC 相似．。

中考数学二轮复习题第四辑参考答案

中考数学二轮复习题精选（第四辑参考答案）1、n2、C3、C4、C5、C6、5 7~9（略）10、（1）314；……3分（2）16.4；……8分（3）28.4>18，所以渔船A 不会进入海洋生物保护区． ……9分11、12、（1）∠A=∠B ，因为M 为直角三角形AOD 的斜边中点，所以OM=MA ，则∠A=∠MOA ，所以∠MOA=∠B ；又OE ⊥BC ，所以∠B+∠BOE=90°，所以∠MOA+∠BOE=90°，则OM ⊥OE ；（2）可以求得D （0，4），A （-3，0）所以OA=3，OD=4，AB=8，DC=2，所以B （5，0）、C （2，4），设过A 、B 、D 的抛物线为()()53-+=x x a y ，将点D 的坐标代入，求出a =154-，即()()53151-+-=x x y ，验证点C 也在此抛物线上，所以所求的抛物线为()()53151-+-=x x y ；（3）可以求出N （0.5，2），所以平行四边形MNCD 的面积为4，设P （m ，n ），又AB=8，所以4821=⨯n ，则1=n ，所以n =±1；当n=1时，()()531511-+-=x x ，所以x=0或2；当因此这样n=-1时，()()531511-+-=-x x ，所以x=311±；的点P 有四个，分别为（0，1）、（2，1）、（311+，-1）、（311-，-1）。

DE ＝OE ，∵13、解：⑴据题意可得∠1＝12ABO ∠，OB ＝BD 3Rt △AOB 中，∠BAO ＝30°，∴∠ABO ＝60°，OA ＝3，AB ＝3∴∠1＝30°。

Rt △EOB 中，∵OE tan 1=OB ∠ ∴= ∴OE ＝1 ∴E 点坐标为(1，0)，过点D 作DG ⊥OA 于G ，Rt △ADG 中，AD ＝AB －BD ＝，∠BAO ＝30°，∵sin DG BAO AD ∠=，cos AG BAO AD ∠=∴DG =， 1.5AG =，∴3 1.5 1.5OG OA AF =-=-= 。

【精品专题训练】2021年九年级数学中考总复习专题二多解分类讨论题试题训练含答案与试题解析

专题二多解分类讨论题一．选择题（共1小题）1．（2020春•南岸区期末）等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（）A．√10B．3√10C．√10或3√10D．4或3√10二．填空题（共8小题）2．（2019•齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD=12AC，则等腰△ABC底角的度数为．3．（2019春•和平区期末）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，射线BA与射线CB′相交于点E，若△AEB′是等腰三角形，则∠B的度数为．4．（2019秋•汉阳区期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在边AB上，连接CD，若AC＝AD，则∠BCD的大小是．5．（2019•云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4√3，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于．6．（2019•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．7．（2019•鄂州）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．8．（2019秋•宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6√10．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．9．（2019•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM=13AD，BN=13BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为．三．解答题（共1小题）10．（2019•河南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．2021专题二多解分类讨论题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2020春•南岸区期末）等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（）A．√10B．3√10C．√10或3√10D．4或3√10【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【解答】解：分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2＝AC2﹣OC2＝52﹣32＝16，∴AO＝4，OB＝AB+AO＝5+4＝9，在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2＝OB2+OC2＝92+32＝90，∴BC=√90=3√10；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣32＝16，∴AD＝4，DB＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝DB2+DC2＝12+32＝10，∴BC=√10；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3√10或√10．故选：C．二．填空题（共8小题）2．（2019•齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD=12AC，则等腰△ABC底角的度数为15°或45°或75°．【专题】等腰三角形与直角三角形．【解答】解：①如图1，当点B是顶角顶点时，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AD＝CD，∵BD=12AC，∴BD＝AD＝CD，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD=12×（180°﹣90°）＝45°；②如图2，当点B是底角顶点，且BD在△ABC外部时，∵BD=12AC，AC＝BC，∴BD=12BC，∴∠BCD＝30°，∴∠ABC＝∠BAC=12×30°＝15°；③如图3，当点B是底角顶点，且BD在△ABC内部时，∵BD=12AC，AC＝BC，∴BD=12BC，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝∠BAC=12（180°﹣30°）＝75°；故答案为：15°或45°或75°．3．（2019春•和平区期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ′C ，射线BA 与射线CB ′相交于点E ，若△AEB ′是等腰三角形，则∠B 的度数为180°7或36°或360°7 ．【专题】三角形；平移、旋转与对称．【解答】解：①当B ′E ＝B ′A 时，如图1所示：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ，由折叠得：∠B ＝∠B ′，∠BCA ＝∠B ′CA ，设∠B ＝x ，则∠B ′＝∠BCA ＝∠B ′CA ＝x ，∴∠B ′AE ＝∠B ′EA ＝3x ，在△AEB ′中，由内角和定理得：3x +3x +x ＝180°，∴x=180°7，即：∠B=180°7．②当EB′＝AE时，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，由折叠得：∠B＝∠B′，∠BCA＝∠B′CA，设∠B＝x，则∠B′＝∠BCA＝∠B′CA＝x，∠AEB′＝3x，在△AEB′中，由内角和定理得：x+x+3x＝180°，∴x＝36°，即∠B＝36°．③如图3中，当B′A＝B′E时，∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，由折叠得：∠B＝∠AB′C，∠BCA＝∠B′CA，设∠B＝x，则∠B′＝∠BCA＝∠B′CA＝x，∠AEB′=12x，∠EAC＝2x，在△AEC 中，由内角和定理得：x +2x +12x ＝180°，∴x =360°7，即∠B =360°7．综上所述，满足条件的∠B 的度数为180°7或36°或360°7．故答案为180°7或36°或360°7．4．（2019秋•汉阳区期中）在△ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝30°，点D 在边AB 上，连接CD ，若AC ＝AD ，则∠BCD 的大小是 35° ．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD =12（180°﹣50°）＝65°，∴∠BCD ＝∠ACB ﹣∠ACD ＝100°﹣65°＝35°，故答案为：35°；5．（2019•云南）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝30°，AD ＝4√3，BD ＝4，则平行四边形ABCD 的面积等于 16√3或8√3 ．【专题】多边形与平行四边形．【解答】解：过D 作DE ⊥AB 于E ，在Rt △ADE 中，∵∠A ＝30°，AD ＝4√3，∴DE =12AD ＝2√3，AE =√32AD ＝6，在Rt △BDE 中，∵BD ＝4，∴BE =√BD 2−DE 2=√42−(2√3)2=2，如图1，∴AB ＝8，∴平行四边形ABCD 的面积＝AB •DE ＝8×2√3=16√3，如图2，AB ＝4，∴平行四边形ABCD 的面积＝AB •DE ＝4×2√3=8√3，如图3，过B 作BE ⊥AD 于E ，在Rt △ABE 中，设AE ＝x ，则DE ＝4√3−x ，∵∠A ＝30°，BE =√33x ，在Rt △BDE 中，∵BD ＝4，∴42＝（√33x ）2+（4√3−x ）2， ∴x ＝2√3，x ＝4√3（不合题意舍去），∴BE ＝2，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD •BE ＝2×4√3=8√3，如图4，当AD ⊥BD 时，平行四边形ABCD 的面积＝AD •BD ＝16√3，故答案为：16√3或8√3．6．（2019•绥化）半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，连接OB 、OC ，延长CO 交弦AB 于点D ．若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为 5√3或5√2 ．【专题】圆的有关概念及性质．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD=√32OB=5√32，∴BC＝AB＝5√3，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=√2OB＝5√2，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5√3或5√2，故答案为：5√3或5√2．7．（2019•鄂州）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝2或2√3或2√7．【专题】等腰三角形与直角三角形．【解答】解：∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠P AB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2√3，∴BP=√AB2+AP2=2√7，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2√3，故答案为：2或2√3或2√7．8．（2019秋•宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6√10．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝12或154．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【解答】解：分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时，作PF ⊥MN 于F ，如图1所示：则∠PFM ＝∠PFN ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ＝3AB ＝6√10，∠A ＝∠C ＝90°，∴AB ＝CD ＝2√10，BD =√AB 2+AD 2=20，∵点P 是AD 的中点，∴PD =12AD ＝3√10，∵∠PDF ＝∠BDA ，∴△PDF ∽△BDA ，∴PF AB =PD BD ，即2√10=3√1020，解得：PF ＝3，∵CE ＝2BE ，∴BC ＝AD ＝3BE ，∴BE ＝CD ，∴CE ＝2CD ，∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，PF ⊥MN ，∴MF ＝NF ，∠PNF ＝∠DEC ，∵∠PFN ＝∠C ＝90°，∴△PNF ∽△DEC ，∴NFPF =CECD =2，∴MF ＝NF ＝2PF ＝6，∴MN ＝2NF ＝12；②MN 为等腰△PMN 的腰时，作PF ⊥BD 于F ，如图2所示：由①得：PF ＝3，MF ＝6，设MN ＝PN ＝x ，则FN ＝6﹣x ，在Rt △PNF 中，32+（6﹣x ）2＝x 2，解得：x =154，即MN =154；综上所述，MN 的长为12或154；故答案为：12或154．9．（2019•鞍山）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且AM =13AD ，BN =13BC ，E 为直线BC 上一动点，连接DE ，将△DCE 沿DE 所在直线翻折得到△DC ′E ，当点C ′恰好落在直线MN 上时，CE 的长为 52或10 ．【专题】平移、旋转与对称．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ＝AB ＝5，∠A ＝90°，AD ＝BC ＝6，∵AM =13AD ＝2，BN =13BC ＝2，∴AM ＝BN ，∵AM ∥BN ，∴四边形ABNM 的矩形，∴∠NMA ＝∠NMD ＝90°，MN ＝AB ＝5，∵将△DCE 沿DE 所在直线翻折得到△DC ′E ，∴DC ′＝DC ＝5，C ′E ＝CE ，∵AM ＝2，∴DM ＝AD ﹣AM ＝6﹣2＝4，如图1，在Rt △C ′MD 中，C ′M =√DC′2−DM 2=√52−42=3，∴C ′N ＝MN ﹣C ′M ＝5﹣3＝2，∵∠CDM ＝∠DCN ＝∠NMD ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形，∴CN ＝DM ＝4，∠CNM ＝90°，NE ＝CN ﹣CE ＝4﹣CE ，在Rt △C ′NE 中，∵NE 2+C ′N 2＝C ′E 2，∴（4﹣CE ）2+22＝CE 2，解得：CE =52．如图2，在Rt △C ′MD 中，C ′M =√DC′2−DM 2=√52−42=3，∴C ′N ＝MN +C ′M ＝5+3＝8，∵∠CDM ＝∠DCN ＝∠NMD ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形，∴CN ＝DM ＝4，∠CNM ＝∠MNE ＝90°，NE ＝CE ﹣CN ＝CE ﹣4，在Rt △C ′NE 中，∵NE 2+C ′N 2＝C ′E 2，∴（CE ﹣4）2+82＝CE 2，解答：CE ＝10，故答案为：52或10．三．解答题（共1小题）10．（2019•河南模拟）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C ，B 不重合），过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 能否把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由．（3）若M 为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC 为直角三角形，请直接写出点M 的坐标．【专题】代数几何综合题；函数的综合应用．【解答】解：（1）将A （﹣1，0），B （5，0）代入y ＝ax 2+bx +5，得：{a −b +5=525a +5b +5=0，解得{a =−1b =4，则抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x +5；（2）能．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，5），B （5，0）代入得{b =55k +b =0，解得{k =−1b =5，所以直线BC 的解析式为y ＝﹣x +5，设D （x ，﹣x 2+4x +5），则E （x ，﹣x +5），F （x ，0），（0＜x ＜5），∴DE ＝﹣x 2+4x +5﹣（﹣x +5）＝﹣x 2+5x ，EF ＝﹣x +5，当DE ：EF ＝2：3时，S △BDE ：S △BEF ＝2：3，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝2：3，整理得3x 2﹣17x +10＝0，解得x 1=23，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（23，659）；当DE ：EF ＝3：2时，S △BDE ：S △BEF ＝3：2，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝3：2，整理得2x 2﹣13x +15＝0，解得x 1=32，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（32，354）；综上所述，当点D 的坐标为（23，659）或（32，354）时，直线BC 把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分；（3）抛物线的对称轴为直线x ＝2，如图，设M （2，t ），∵B （5，0），C （0，5），∴BC 2＝52+52＝50，MC 2＝22+（t ﹣5）2＝t 2﹣10t +29，MB 2＝（2﹣5）2+t 2＝t 2+9，当BC 2+MC 2＝MB 2时，△BCM 为直角三角形，∠BCM ＝90°，即50+t 2﹣10t +29＝t 2+9，解得t ＝7，此时M 点的坐标为（2，7）；当BC 2+MB 2＝MC 2时，△BCM 为直角三角形，∠CBM ＝90°，即50+t 2+9＝t 2﹣10t +29，解得t ＝﹣3，此时M 点的坐标为（2，﹣3）；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．。

中考数学第二轮复习资料—专题复习(共50页,大量对应练习)

中考数学第二轮复习资料—专题复习（一）、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。

涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。

一：【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二：【例题与练习】1.选择：（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产（2）某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y （元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（）（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空：（1）已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于（2）如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y 的取值范围是。

课标版数学中考第二轮专题复习-分类讨论型试题(含答案

分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.例1（2005年黑龙江）王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。

分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决. 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25（m ）由DE ∥FC 得，FCEDAC AE =，得FC ＝24（m ） S △ABC =12 ³40³24=480（m 2）(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =1264³24=768（m 2）说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。

练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（）A.2a b + B.2a b - C.2a b +或2a b - D. a+b 或a-b2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条3（2005年潍坊市）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（）．A ．5cmB ．11cmC ．3cmD ．5cm 或11cm图1图2A4.（2005年北京）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD BD DC2 ²，则∠BCA的度数为____________。

(完整版)中考数学分类讨论题(含答案)

第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查•这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要•1. （沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50 °则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A . 50 ° B. 80 ° C. 65。

或50 ° D . 50。

或80 °2. （?乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A . 9cm B. 12cm C. 15cm D . 12cm 或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处,（1）求证：B ' E=B；（2）设AE=a, AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明•类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.4. （湖北罗田）在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC = 3, BC = 4•若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是__ _ .,,5. （上海市）在厶ABC中，AB=AC=5 , COSB 3.如果圆O的半径为.10，且经5过点B、C,那么线段AO的长等于_____________ .6. （碱海市）如图，点A, B在直线MN上，AB = 11厘米，O A , O B的半径均为1厘米.O A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，O B的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r = 1+t （t ＞）.（1 ）试写出点A , B之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式;（2）问点A出发后多少秒两圆相切？B C类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况7. (上海市)已知AB=2 , AD=4，/ DAB=90°, AD // BC (如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合)，M是线段DE的中点.(1 )设BE=x , △ ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；(3)联结BD ,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△ BME相似，求线段BE的长.备甲图8. (福州市)如图，以矩形OABC的顶点0为原点，OA所在的直线为x轴，0C所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知0A = 3, 0C= 2，点E是AB的中点，在0A上取一点D，将△ BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.(1) 直接写出点E、F的坐标;(2) 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：(【答案】D小题要注意分类讨论•证：连结BE ,贝y BE BE .点A 在圆的内部，点 B 在圆的外部或在圆上，此时 3v r <4【答案】3 v r <4或 r = 2.4得BC 边上的高AD 为4,圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则 BC 下方，则AO=5。

2021年中考二轮复习二次函数与特殊平行四边形存在性问题探讨(含答案)

二次函数与特殊平行四边形存在性问题探讨【方法综述】知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。

它们的判定方法如下：矩形判的定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是矩形正方形的判定方法平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性解答时常用的技巧：（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。

如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得a+m=c+e，n+b=d+f则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。

（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。

（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。

【类型1】二次函数与矩形存在型问题【例1】.如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【类型2】二次函数与矩形存在型问题【例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与正方形存在型问题【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y =34x +94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若M （m ，0）是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】．如图，已知直线y x c =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -，与直线y x c =-+交于B 、C 两点，点P 为抛物线上的动点，过点P 作PE x ⊥轴，交直线BC 于点F ，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于抛物线对称轴右侧时，点Q 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为点D ．若四边形DEPQ 为正方形时求点P 的坐标；（3）若PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P 的横坐标．【巩固练习】1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值．2.如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y ＝x 2+2x 的顶点为A ，与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧）．（1）请求出A 、B 、C 三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D ，与y 轴交于点E ，F 为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．【答案与解析】【类型1】二次函数与矩形存在型问题【例1】.如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE＝75°时，∵OA＝OB，∴∠MBO＝30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为﹣，所在的直线方程为：y＝﹣x﹣3…②，联立方程①、②可求得：x＝4﹣4，即：点M的横坐标4﹣4；当∠M′BE＝75°时，∠OBM′＝120°，直线M′B的k值为﹣，其方程为y＝﹣x﹣3，将M′B所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x＝，故：即：点M的横坐标4﹣4或．（3）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4；（2）由（1）知，点D的横坐标为4，∴﹣3﹣＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a＝，解得a＝﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．【类型2】二次函数与矩形存在型问题【例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离．（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），∴0＝a+b+5 20＝25a+5b+5 2∴a=12，b＝﹣3∴解析式y=12x2﹣3x+52（2）当y＝0，则0=12x2﹣3x+52∴x1＝5，x2＝1∴A（1，0），B（5，0）∴对称轴直线x ＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB ＝4∵抛物线与y 轴相交于点C ．∴C （0，52）如图1①如AB 为菱形的边，则EF ∥AB ，EF ＝AB ＝4，且E 的横坐标为3∴F 的横坐标为7或﹣1∵AE ＝AB ＝4，AM ＝2，EM ⊥AB∴EM ＝2√3∴F （7，2√3），或（﹣1，2√3）∴当x ＝7，y =12×49﹣7×3+52=6∴点F 到二次函数图象的垂直距离6﹣2√3②如AB 为对角线，如图2∵AEBF 是菱形，AF ＝BF ＝4∴AB ⊥EF ，EM ＝MF ＝2√3∴F （3，﹣2√3）∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2√3（3）当F（3，﹣2√3）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P∵等边三角形BQD∴QD＝QB＝BD，∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．∵AF＝BF＝4＝AB，∴∠ABF＝60°∴∠NBP＝60°且BN＝4，∴BP＝2，PN＝2√3∴AP＝6在Rt△ANP中，AN=√36+12=4√3∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4√3．【变式训练】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式即可求得a ，b ．（2）过P 点做平行于直线BC 的直线K ，当K 与抛物线恰有一个交点时，△PBC 面积最大，求得此时的P 点坐标．再过P 做垂直于直线BC 的直线k ，求得k 与直线BC 的交点，求得交点后发现，此时恰巧交点时C ，|BC |即为△PBC 的高，再利用三角形面积公式即可求解．（3）考查菱形的性质．菱形是一个极具对称性的图形，在进行求解时，对角线互相垂直平分．因此，两个相对点的坐标中点也是另外两个相对点的坐标中点．同时，利用菱形的四条边长相等进行求解．【解析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式，如下：{0=a −b +40=16a +4b +4，求得{a =−1b =3．抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+3x +4．（2）设P 到直线BC 的距离为d ，P 点坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）（0＜x ＜4），∵y ＝﹣x 2+3x +4交y 轴于点C ，令x ＝0，∴y ＝4，∴C （0，4），由B （4，0），C （0，4）两点求得直线BC 的解析式为：y +x ﹣4＝0．做直线BC 的平行线K ：y ＝﹣x +m ，因为K 与BC 平行，我们将K 平移，根据题意，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴随着K 平行移动，以BC 为底的△PBC 的高d 在逐渐增大，当K 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4恰有一个交点时，此时以BC 为底的△PBC 的高d 最大，即此时△PBC 面积最大． ∵此时K ：y ＝﹣x +m 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4相交，且仅有一个交点，∴﹣x +m ＝﹣x 2+3x +4，m ＝8．∴直线K ：y ＝﹣x +8．此时求K 和抛物线的交点为：﹣x +8＝﹣x 2+3x +4，解得x ＝2，将x ＝2代入直线K ：y ＝﹣x +8，解得y ＝6．因此P （2，6）．现在我们来求P 到直线BC 的距离，即△PBC 的高d ：过P 作垂直于BC 的直线k ：y ＝x +m ．∵P 在直线k 上，∴6＝2+m ，∴m ＝4，直线k ＝x +4．直线K 与直线k 的交点为：{y =−x +4y =x +4，解得交点坐标（0，4），即交点为C 点．因此的△PBC 的高d 即为B 点和C 点两点之间的距离，∴d ＝|BC |=√(2−0)2+(6−4)2=2√2．在△PBC 中，∵|BC |＝4√2，△PBC 的面积的最大值S △PBC =12|BC |•d =12×4√2×2√2=8．（3）存在．直线BC 向右平移74个单位得到直线l ， ∴l ：y ＝﹣（x −74）+4＝﹣x +234．{y =−x +234y =−x 2+3x +4，解得{x 1=72x 2=12．二次函数y ＝﹣x 2+3x +4对称轴为x =32，∵直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，∴x =72，代入y ＝﹣x +234=94．∴Q （72，94）．设T （a ，b ）．∵R 为直线BC 上的一动点，∴设R （x ，﹣x +4）．在菱形中PQTR 中，|PR |＝|QP |，（2﹣x ）2+（[6﹣（﹣x +4）]2＝（2−72）2+（6−94）2解得x ＝±√2668，当x =√2668时，点R 的坐标（√2668，4−√2668），此时T 点坐标为：T （√2668+32，14−√2668）．当x =−√2668时，R （−√2668，4+√2668），此时T （−√2668+32，14+√2668）综上所述：T 存在两点，分别为：（√2668+32，14−√2668）或（−√2668+32，14+√2668）．【类型3】二次函数与正方形存在型问题【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y =34x +94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若M （m ，0）是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线解析式中a =−13和交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）①如图1，先利用待定系数法求直线BC 的解析式，联立方程可得交点E 的坐标，根据M （m ，0），且MH ⊥x 轴，表示点G （m ，34m +94），F （m ，−13m 2+13m +4），由S △EFG =59S △OEG ，列方程可得结论；②存在，根据正方形的性质得：FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°，同理根据M （m ，0），得H （m ，﹣m +4），F （m ，−13m 2+13m +4），分两种情况：F 在EP 的左侧，在EP 的右侧，根据EF ＝FH ，列方程可得结论．【解析】（1）∵抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点， ∴y =−13（x +3）（x ﹣4）=−13x 2+13x +4；（2）①如图1，∵B （4，0），C （0，4），∴设BC 的解析式为：y ＝kx +n ，则{4k +n =0n =4，解得{k =−1n =4， ∴BC 的解析式为：y ＝﹣x +4，∴﹣x +4=34x +94，解得：x ＝1，∴E （1，3），∵M （m ，0），且MH ⊥x 轴，∴G （m ，34m +94），F （m ，−13m 2+13m +4）， ∵S △EFG =59S △OEG ，∴12FG ×(x E −x F )=59×12ON （x E ﹣x G ）， [（−13m 2+13m +4）﹣（34m +94）]（1﹣m ）=59×94(1−m)，解得：m 1=34，m 2＝﹣2；②存在，由①知：E （1，3），∵四边形EFHP 是正方形，∴FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°， ∵M （m ，0），且MH ⊥x 轴，∴H （m ，﹣m +4），F （m ，−13m 2+13m +4），分两种情况：i ）当﹣3≤m ＜1时，如图2，点F 在EP 的左侧，∴FH ＝（﹣m +4）﹣（−13m 2+13m +4）=13m 2−43m ， ∵EF ＝FH ，∴13m 2−43m =1−m ，解得：m 1=1+√132（舍），m 2=1−√132，∴H （1−√132，7+√132），∴P （1，7+√132），ii ）当1＜m ＜4时，点F 在PE 的右边，如图3，同理得−13m 2+43m =m ﹣1，解得：m 1=1+√132，m 2=1−√132（舍），同理得P （1，7−√132）；综上，点P 的坐标为：(1，7+√132)或(1，7−√132)．【变式训练】．如图，已知直线y x c =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -，与直线y x c =-+交于B 、C 两点，点P 为抛物线上的动点，过点P 作PE x ⊥轴，交直线BC 于点F ，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于抛物线对称轴右侧时，点Q 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为点D ．若四边形DEPQ 为正方形时求点P 的坐标；（3）若PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P 的横坐标．【解析】（1）抛物线23y ax bx =++经过点C ，则点C 坐标为(0，3)，代入y x c =-+可得3c =，则直线BC 的解析式为3y x =-+.直线BC 经过点B ，则点B 坐标为(3，0)将点(1,0)A -、(3,0)B 代入抛物线23y ax bx =++解得1a =-，2b =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++.（2）抛物线的对称轴为12b x a=-=. ∴四边形DEPQ 为正方形，∴PQ PE =，//PQ x 轴.∴点Q 与点P 关于直线1x =对称.设点2(,23)P t t t -++，则2(1)PQ t =-，223PE t t =-++.∴22(1)23t t t -=-++，解得：t =t =t 2=2t =去）当t =)12P ，当t 2=()2P 22-，∴四边形DEPQ 为正方形时点P 的坐标为)2和()22-（3）点P 的横坐标为2或－1 ∴PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形∴∴QPF=∴PEB=90°∴//PQ x 轴∴点Q 与点P 关于直线1x =对称.设点()2,23P t t t -++，则2(1)PQ t =-，3(),F t t -+∴()2223(3)3PF t t t t t =-++--+=-+. ∴PQ PF =，∴22(1)||3t t t -=-+∣，解得：2t =或t 1=-或t =t =综上所述，点P 的横坐标为2或－1 【巩固练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）存在．P ，32）；（3）P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758．【方法引导】（1）利用待定系数法直接将B 、C 两点直接代入y ＝x 2+bx+c 求解b ，c 的值即可得抛物线解析式；（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P 点的纵坐标为﹣32，令y ＝﹣32即可得x 2﹣2x ﹣3＝﹣32，解该方程即可确定P 点坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P 作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP 的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．【解析】（1）∵C点坐标为（0，3），∴y＝﹣x2+bx+3，把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，解得，b＝﹣2，∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．如图1，设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE＝CE＝32，令﹣x2﹣2x+3＝32，解得，x1，x2＝22-+（不合题意，舍去）．∴P，32）．（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，设P （x ，﹣x 2﹣2x+3），设直线AC 的解析式为：y ＝kx+t ，则303k t t -+=⎧⎨=⎩，解得：13k t =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝x+3，则Q 点的坐标为（x ，x+3），当0＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，∴AO ＝3，OB ＝1，则AB ＝4，S 四边形ABCP ＝S △ABC +S △APQ +S △CPQ ＝12AB•OC+12QP•OF+12QP•AF ＝12×4×3+12[（﹣x 2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3 ＝﹣32（x+32）2+758．当x ＝﹣32时，四边形ABCP 的面积最大，此时P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758．【思路引导】此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．2.如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】（1）当y=0时，13x −43=0，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得{16a −12+c =0−−32a =32，解得{a =1c =−4，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点，∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PF =PB PE ．∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴Q x+P x2=F x+E x2，Q y+P y2=F y+E y2，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴Q x+P x2=F x+E x2，Q y+P y2=F y+E y2，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．3．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x与x轴交于B、C两点，∴0＝x2+2x，∴x1＝0，x2＝﹣2，∴点B（﹣2，0），点C（0，0），∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴点A（﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），∴点D（m﹣1，﹣1+n），∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，∴点E（0，m2﹣2m+n），Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN≌△DAM，∴DN＝AM，EN＝DM，∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，∴m＝，n＝，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣，Ⅲ、当∠AED＝90°时，同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣1）2﹣1．。

(淄博地区)2021中考数学总复习专题二分类讨论思想试题

（淄博地区）2021中考数学总复习专题二分类讨论思想试题专题二分类讨论思想1．(2021潍坊)点a，c为半径是3的圆周上两点，点b为ac的中点，以线段ba，bc 为邻边作菱形abcd，顶点d恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为()a.5或22c.6或22b、 5或23d 6或23k22.（2022宁夏）正比例函数Y1的图像=K1X，反比例函数y2的图像=在两点a和B相交，其中点B的横向x坐标为－2，当y1＜y2时，x的取值范围是()a、 X＜2或X＞2B。

X＜2或0＜X＜2C。

-2＜x＜0或0＜x＜2D。

-2＜x＜0或x＞23．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为__________________．4.（2022沈阳）如图所示，在RT中△ 美国广播公司，∠ a=90°，ab=AC，BC=20，De为△ ABC，点m是边BC上的点，BM=3，点n是段MC上的移动点，连接DN、me、DN和me，在点O处相交。

如果△ omn是一个直角三角形，do的长度是_____5．(2021丹东)如图，在平面直角坐标系中，a，b两点分别在x轴、y轴上，oa＝3，ob＝4，连接ab.点p在平面内，若以点p，a，b为顶点的三角形与△aob全等(点p与点o 不重合)，则点p的坐标为__________．6.（2022年黔西南州）赛龙舟是端午节的主要习俗。

端午节期间，a市a、B两个龙舟队从起点a划到终点B，全程，图中显示了龙舟距离起点Y（m）和时间x（min）之间的对应关系。

请结合图片回答以下问题：（1）起点a和终点B之间的距离有多远？(2)哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？一(3)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；(4)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？7.（2022东营）如图所示，在等腰三角形ABC中，∠ BAC=120°，ab=AC=2，点D是BC一侧的一个移动点（与B和C不重合），并在AC上取一个点E来进行测量∠ ade=30°（1）验证：△ 阿布德≓△ DCE；(2)设bd＝x，ae＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ade是等腰三角形时，求ae的长．二28.（2022威海）如图所示，已知抛物线y=ax+BX+C通过点a（-1,0）、B（3,0）、C （0,3）。

中考数学二轮复习专题二跨学科问题-人教版初中九年级全册数学试题

跨学科问题一、中考专题诠释所谓“跨学科”型问题，主要是指在问题中渗透了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，或者说借用了高一级学科或者同阶段中另外学科知识，引导学生在理解的基础上能对学过知识的灵活运用，这就要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，这贵在重视学生应用新的知识解决问题的能力培养。

二、解题策略和解法精讲“跨学科问题专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理运用已学知识点进行迁移．三、中考典例剖析考点一：推理与论证例1 .（2014•某某某某，第26题6分）A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．考点：推理与论证．分析：根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．解答：每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．若A队两胜一平，则积7分．因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，每场比赛，两队得分的和是3分或2分．6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，∴最多只有两个队得7分．所以积7分保证一定出线．若A 队两胜一负，积6分．如表格所示，根据规则，这种情况下，A 队不一定出线．同理，当A 队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．总之，至少7分才能保证一定出线．点评：本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A 队可能的得分情况是关键．对应训练1．（2015某某崇左第18题3分）4个数a ，b ，c ，d 排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad ﹣bc ．若=12，则x=．解析：33-+x x 33+-x x =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1. 点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解决.本题新定义的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同类项法则等进行化简，最后转化为解方程确定结果.考点二：与物理学科有关的问题例2 （2014•某某某某,第8题3分）如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）第1题图A．12B．23C．13D．512考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：=12．故选A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．对应训练2．（2015•某某，第10题3分）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t （s）的函数图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．分析：开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．解答：解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．故选：A．点评：本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象．考点三：超出课标X围问题例3 （2014•某某某某,第20题8分）解方程：．考点：高次方程分析：先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y．解答：解：，由方程x﹣2y=2得：4y2=15x2﹣60x+60（3），将（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化简得：x2﹣6x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x﹣2y=2得：y=0或，即原方程组的解为或．点评：本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中．对应训练3. （2014·某某，第23题3分）若有一等差数列，前九项和为54，且第一项、第四项、七项的和为36，则此等差数列的公差为何？( )A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6分析：由等差数列的性质可知：前九项和为54，得出第五项＝54÷9＝6；由且第一项、第四项、第七项的和为36，得出第四项＝36÷3＝12，由此求得公差解决问题．解：∵前九项和为54，∴第五项＝54÷9＝6，∵第一项、第四项、第七项的和为36，∴第四项＝36÷3＝12，∴公差＝第五项﹣第四项＝6﹣12＝﹣6．故选：A．点评：此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用．考点四：开放题型中的新定义例4 （2014•某某某某，第25题14分）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．解答：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得 a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴，∴，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，解得或，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得 a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得 x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．点评：本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“利用其表示坐标系中两点距离”是近几年考试的热点，学生需熟练运用．对应训练4．（2015•某某庆阳，第27题，12分）定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=；（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}=，结合图象，直接写出x的取值X围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：新定义．分析：（1）根据3＞和已知求出即可；（2）根据题意得出≥k2x+b，结合图象求出即可；（3）分为两种情况：当2x+1≥x﹣2时，当2x+1＜x﹣2时，结合已知求出即可．解答：解：（1）max{，3}=3．故答案为：3；（2）∵max{，k2x+b}=，∴≥k2x+b，∴从图象可知：x的取值X围为﹣3≤x＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=2x+1，当2x+1＜x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=x﹣2．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键．四、中考真题演练1. (2012某某六盘水，8，3分)定义：(,)(,)f a b b a =，(,)(,)g m n m n =--，例如(2,3)(3,2)f =，(1,4)(1,4)g --=，则((5,6))g f -等于（）A ．(6,5)-B ．(5,6)--C ．(6,5)-3D ．(5,6)-2. （2013某某某某，5，3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（）A ．.B ．C ．D ．3.(2013某某某某，25，4分)如图，A ，B ，C 为⊙O 上相邻的三个n 等分点，AB ＝BC ，点E 在BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与A ′重合，点B 与点B ′重合，连接EB ′，EC ，EA ′．设EB ′＝b ，EC ＝c ，EA ′＝p ．现探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当n ＝3时，p ＝b ＋c ．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当n ＝4时，p ＝______；当n ＝12时，p ______．(参考数据：sin15°＝cos75624-cos15°＝sin75624+)4. （2012某某随州，9,3分）定义：平面内的直线1l 与2l 相较于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l ，2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a,b ）是点M 的“距离坐标”。

分类讨论同步跟踪巩固试题

同步跟踪巩固试题（100分 60分钟）一、选择题（每题4分，共20分）1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（）A ．16B ．16或 17 C.17 D ．17或 182．已知11||1,||a a a a -=+则的值为（）.5 .5 .3.51A B C D ±±或 3．若2222122,a b a b ab ab a b +++-=+则值为（）A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－2或04．若直线4y x b =-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b 的值为（）.25 .210 .210 .210A B C D ±±- 5．在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数k y x =的图象的交点的个数是（）A ．0个或2个B ．l 个C ．2个D ．3个二、填空题（每题4分，共24分） 6．已知点P （2，0），若x 轴上的点Q 到点P 的距离等于2，则点Q 的坐标为_________．7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．11 矩形ABCD ，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.三、解答题（56分）12．（8分）化简2|1|(9)x x -+-.13．（9分）抛物线2y ax c =+与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．14．（13分）已知关于 x 的方程22(23)10x k k --++=.⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．15．(13分)抛物线222yx bx =+-经过点A (1，0)．⑴ 求b 的值；⑵ 设P 为此抛物线的顶点，B （a ，0）（a ≠1）为抛物线上的一点，Q 是坐标平面内的点．如果以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ 的长．16．（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于12，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．。

中考数学第二轮复习专题训练__分类讨论

分类讨论根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想．将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论．把问题按一定的标准，不重复、不遗漏地区分为不同种类，然后分类进行研究（一）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况；又如平方根的定义.这种分类讨论题型可以称为概念型. （1）x ＝3，则x ＝（2）5的平方根可以表示为（3）若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则（4）已知a 24=，则a 3=__________（5）若半径为3和5的两个圆相切，则它们的圆心距为（6）已知ab ≠0，则a abb+=____________________（二）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k ≠0）的增减性，要分k ＜0和k ＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.（1）已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，其函数解析式．（2）一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9，则kb 值为____________ （3）把412x +加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，请你写出所有符合条件的单项式（三）解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>2时分a>0、a ＝0和a<0三种情况讨论.这称为含参型. （1）比较有理数a 与2a 的大小。

（2）若m 为实数，则点P （m －2，m+2）不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x (k ≠0)①k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？ ②设(1) 中的两个交点为M 、N ，试比较∠MON 与90°的大小。

2021年人教版中考数学二轮复习整式专项练习(含答案)

人教版中考数学二轮复习整式专项练习姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题1.若P和Q都是关于x的五次多项式，则P+Q是（）A. 关于x的五次多项式B. 关于x的十次多项式C. 关于x的四次多项式D. 关于x的不超过五次的多项式或单项式2.下列合并同类项正确的是（）A. 15a﹣15a＝15B. 3a2﹣a2＝2C. 3x+5y＝8xyD. 7x2﹣6x2＝x23.下列各式中，与4a2b3是同类项的为( )A. 4abB. 12a2b3 C. 4a3b2 D. 14ab44.单项式−3x3y的次数是（）A. 3B. 1C. -3D. 45.若(3x2−3x+2)−(−x2+3x−3)=Ax2−Bx+C，则A，B，C的值分别为（）A. 4，-6，5B. 4，0，-1C. 2，0，5D. 4，6，56.单项式−4πab2的次数是（）A. -4B. 2C. 3D. 47.下列计算正确的是（）A. 5x2−x2=5B. 3x2+4x3=7x5C. 5+x=5xD. −0.5xy+12xy=08.下列各式的计算，正确的是（）A. 3a+2b=5abB. 5y2−3y2=2C. −12x+7x=−5xD. 4m2n−2mn2=2mn9.下列概念表述正确的是（）A. 单项式x3yz4系数是1，次数是4B. 单项式−πa2b32的系数是−12，次数是6C. 多项式2a2b−ab−1是五次三项式D. x2y+1是三次二项式10.下列计算正确的是（）A. 3a2−a2=2B. 2m2+m2=3m4C. 3m2−4m2=m2D. −ab2+2ab2=ab211.下列各组代数式中，为同类项的是（）A. 3x2y与−3xy2B. 5xy与−12yx C. 4xyz与4xy D. 2x与2x2二、填空题12.写出一个次数是3，且含有x,y的二项式：________.13.单项式πx3y2的系数是________.14.合并同类项：−8x+8x=________.15.若一个多项式加上5a2+3a−2得到2−3a2+4a，则这个多项式是________.16.若−2a m b3和3a2b n−1是同类项，则n m=________.17.若长方形的周长为4m ，一边长为(m−n)，则其邻边长为________。

2019-2020年中考数学二轮复习-分类讨论(附答案)

2019-2020年中考数学二轮复习-分类讨论（附答案）Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）．设反比例函数解析式为my x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】（武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

【精品专题训练】2021年九年级数学中考总复习专题二多解题分类讨论试卷含答案与试题解析

专题二多解题分类讨论类型1 点位置的分类1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P 在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．2．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，点D在斜边AB上，连接CD把△ACD沿直线CD翻折，使点A落在同一平面内的点A′处．当A′D与Rt△ABC的直角边垂直时，AD的长为．类型2 等腰三角形中的分类3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点，沿直线EF折叠使点D的对应点D′落在BC上，连接AD′，DD′，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为．4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C 的坐标分别为A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），点E是BC的中点，点P为线段AD 上的动点，若△BEP是以BE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点A（4，3），过点P（2，0）作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象与点C，连接OC．（1）求这两个函数解析式；（2）求△OBC的面积．6．如图，直线y＝kx+6分别交x轴，y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于B，且OA=12OC，∠CBA＝45°．（1）求直线BC的解析式；（2）若点G是线段BC上一点，连结AG，将△ABC分成面积相等的两部分，求点G的坐标：（3）已知D为AC的中点，点M是x轴上的一个动点，点N是线段BC上的一个动点，当点D，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标．类型3 直角三角形的分类7．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是AD边上一点，连接CE，将△CDE沿CE 翻折，点D的对应点是F，连接AF，当△AEF是直角三角形时，则DE的值是8．如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．2021年专题二多解题分类讨论参考答案与试题解析一．试题（共8小题）1．如图，平面直角坐标系中，已知点A （8，0）和点B （0，6），点C 是AB 的中点，点P在折线AOB 上，直线CP 截△AOB ，所得的三角形与△AOB 相似，那么点P 的坐标是（0，3）、（4，0）、（74，0）．【专题】分类讨论．【解答】解：当PC ∥OA 时，△BPC ∽△BOA ，由点C 是AB 的中点，可得P 为OB 的中点，此时P 点坐标为（0，3）；当PC ∥OB 时，△ACP ∽△ABO ，由点C 是AB 的中点，可得P 为OA 的中点，此时P 点坐标为（4，0）；当PC ⊥AB 时，如图，∵∠CAP ＝∠OAB ，∴Rt △APC ∽Rt △ABO ，∴AC OA =AP AB ，∵点A （8，0）和点B （0，6），∴AB =√62+82=10，∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝5，∴58=AP 10， ∴AP =254，∴OP ＝OA ﹣AP ＝8−254=74，此时P 点坐标为（74，0），综上所述，满足条件的P 点坐标为（0，3）、（4，0）、（74，0）．故答案为：（0，3）、（4，0）、（74，0）2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，点D 在斜边AB 上，连接CD 把△ACD 沿直线CD 翻折，使点A 落在同一平面内的点A ′处．当A ′D 与Rt △ABC 的直角边垂直时，AD 的长为 1或√7 ．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称．【解答】解：在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∴AC =√42−32=√7，①如图1，当A ′D ∥BC ，∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A ′处，∴∠A ′＝∠A ＝∠A ′CB ，A ′D ＝AD ，∵BC ⊥AC ，∴A ′D ⊥AC ，A ′C ⊥AB ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCH ∽△BAC ，∴BC AB =CH AC ，即：34=√7，∴CH =3√74，∴A ′H =√7−3√74=√74， ∵∠A ′HD ＝∠CHB ，∴△A ′HD ∽△CHB ，∴A′H CH =A′DBC ，即：√743√74=A′D 3，解得：A ′D ＝1，∴AD ＝1；②如图2，当A ′D ∥AC 时，A ′D ⊥BC ，∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A ′处，∴AD ＝A ′D ，AC ＝A ′C ，∠ACD ＝∠A ′CD ，∵∠A ′DC ＝∠ACD ，∴∠A ′DC ＝∠A ′CD ，∴A ′D ＝A ′C ，∴AD ＝AC =√7，综上所述：AD 的长为：1或√7，故答案为：1或√7．3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，E ，F 分别是线段CD 和线段BA 延长线上的动点，沿直线EF 折叠使点D 的对应点D ′落在BC 上，连接AD ′，DD ′，当△ADD ′是以DD ′为腰的等腰三角形时，DE 的长为 258或8932 ．【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称．【解答】解：设DE ＝x ，则CE ＝4﹣x ，由折叠的性质得：D 'E ＝DE ＝x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝5，∠C ＝90°，分两种情况：①当DD '＝AD ＝5时，由勾股定理得：CD '=√DD′2−CD 2=√52−42=3，在Rt △CD 'E 再，由勾股定理得：32+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x =258，即DE =258；②当DD '＝AD '时，作D 'G ⊥AD 于G ，如图所示：则CD '＝DG ＝AG =12AD =52，在Rt △CD 'E 再，由勾股定理得：（52）2+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x =8932，即DE =8932；综上所述，当△ADD ′是以DD ′为腰的等腰三角形时，DE 的长为258或8932；故答案为：258或8932．4．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形ABCD 是平行四边形，点A 、B 、C的坐标分别为A （0，4），B （﹣2，0），C （8，0），点E 是BC 的中点，点P 为线段AD 上的动点，若△BEP 是以BE 为腰的等腰三角形，则点P 的坐标为（1，4）或（6，4）或（0，4）．【专题】平面直角坐标系．【解答】解：如图，作EH ⊥AD 于H ．由题意BE ＝5，OA ＝4，OE ＝3，当EP ＝EB ＝5时，可得P ″（0，4），P ′（6，4），（HA ＝HP ′＝3），当BP ＝BE ＝5时，P （1，4），综上所述，满足条件的点P 坐标为（1，4）或（0，4）或（6，4）．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝﹣x +b 的图象相交于点A （4，3），过点P （2，0）作x 轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B ，交一次函数的图象与点C ，连接OC ．（1）求这两个函数解析式；（2）求△OBC 的面积．【专题】一次函数及其应用；数据分析观念．【解答】解：（1）将点A 的坐标代入正比例函数y ＝kx 得：3＝4k ，解得：k =34，则正比例函数的表达式为：y =34x ，将点A 的坐标代入一次函数y ＝﹣x +b 的表达式得：3＝﹣4+b ，解得：b ＝7，故一次函数的表达式为：y ＝﹣x +7；（2）点P （2，0），则点B （2，32）、点C （2，5），则BC ＝5−32=72，△OBC 的面积=12×BC ×OP =12×72×2=72．6．如图，直线y ＝kx +6分别交x 轴，y 轴于点A ，C ，直线BC 过点C 交x 轴于B ，且OA =12OC ，∠CBA ＝45°．（1）求直线BC 的解析式；（2）若点G 是线段BC 上一点，连结AG ，将△ABC 分成面积相等的两部分，求点G 的坐标：（3）已知D 为AC 的中点，点M 是x 轴上的一个动点，点N 是线段BC 上的一个动点，当点D ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点M 的坐标．【专题】压轴题；分类讨论；几何直观．【解答】解：（1）直线y＝kx+6分别交y轴于点C，则点C（0，6），OA=12OC＝3，则点A（﹣3，0），将点A的坐标代入y＝kx+6，解得：k＝2，故直线AC的表达式为：y＝2x+6；∵∠CBA＝45°，∴OB＝OC＝6，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+6；（2）AG将△ABC分成面积相等的两部分，则点G是BC的中点，则点G（3，3）；（3）点D（−32，3），设点M（m，0），点N（n，﹣n+6），①当顶角∠MDN＝90°时，DM＝DN，如图1，过点N作NG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H、作DK⊥NG于点K，则△DKN≌△DHM（AAS），则DH＝DK，HM＝KN，即3＝n+32，m+32=6﹣n﹣3，解得：n=32，m＝0；②当∠DNM＝90°时，DN＝MN，过点N作NG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥NG于点H，同理可得：m ＝3；③当∠DMN ＝90°时，DM ＝MN ，同理可得：m =34；故点M （0，0）或（3，0）或（34，0）． 7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 是AD 边上一点，连接CE ，将△CDE 沿CE翻折，点D 的对应点是F ，连接AF ，当△AEF 是直角三角形时，则DE 的值是 3或6【专题】分类讨论；矩形菱形正方形．【解答】解：当E 点与A 点重合时，∠EAF 角度最大，单∠EAF 小于90°，所以∠EAF 不可能为90°．分两种情况讨论：①当∠AFE ＝90°时，如图1所示，根据折叠性质可知∠EFC ＝∠D ＝90°，∴A 、F 、C 三点共线，即F 点在AC 上．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =2+BC 2=√36+64=10．∴AF ＝AC ﹣CF ＝10﹣6＝4．设DE ＝x ，则EF ＝x ，AE ＝8﹣x ，在Rt △AEF 中，利用勾股定理可得AE 2＝EF 2+AF 2，即（8﹣x ）2＝x 2+（10﹣6）2，解得x ＝3，即DE ＝3．②当∠AEF＝90°时，如图2所示，则∠FED＝90°，又∠D＝∠C＝90°，DE＝EF，所以四边形EFCD是正方形，所以ED＝CD＝6．故答案为：3或6．8．如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF为直角三角形时，CN的长为254或74．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴BD=√82+62=10，由折叠得：BE ＝EF ，BN ＝NF ，∠EBF ＝∠EFB ，∠BEN ＝∠FEN ，当△DEF 为直角三角形时，（1）当∠DEF ＝90°，则∠BEN ＝∠FEN ＝45°，不合题意；（2）当∠EFD ＝90°时，如图1所示：∵∠EFN +∠DFC ＝90°，∠DFC +∠CDF ＝90°，∴∠EFN ＝∠CDF ＝∠EBN ，∵tan ∠DBC =CD BC =68=tan ∠CDF =FC CD设CN ＝x ，则BN ＝NF ＝8﹣x ，FC ＝x ﹣（8﹣x ）＝2x ﹣8， ∴2x−86=68解得：x =254，即CN =254．（3）当∠EDF ＝90°时，如图2所示：易证△BDC ∽△DFC ，∴CD 2＝BC •CF设CN ＝x ，则BN ＝NF ＝8﹣x ，FC ＝（8﹣x ）﹣x ＝8﹣2x ， ∴62＝8（8﹣2x ）解得：x =74，即CN =74，综上所述，CN 的长为254或74．故答案为：254或74．。

2021年中考数学复习考点解密分类讨论(含解析)

2021年中考数学二轮复习考点解密分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y 点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）．设反比例函数解析式为m y x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

2021年人教版中考第二次模拟考试《数学试卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________第I 卷（选择题）一、单选题（1——10每小题3分11——16每小题2分共42分）1. 在2-，0，1，1-这四个数中，最大的数是（）A. 2-B. 0C. 1D. 1-2. 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（）A. 6750吨B. 67500吨C. 675000吨D. 6750000吨 3. 从数据43-，333．，9-，π，3-中任取一个数，则该数为无理数的概率为（） A. 15 B. 25 C. 35 D. 454. 李老师给同学们出了一道单项式与多项式相乘的题目：﹣3x 2(2x ﹣[]+1)＝﹣6x 3+6x 2y ﹣3x 2，那么“[]”里应当是( )A. ﹣yB. ﹣2yC. 2yD. 2xy5. 下面是几位同学做的几道题，222(1)()a b a b +=+ 0(2)21a = 2 (3) (3)3±=± 3412 (4) a a a ⋅= 532(5)a a a ÷=其中做对了（）道A. 1B. 2C. 3D. 46. 小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降价3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元，则春节后购物时，(葡萄，苹果)每公斤的价格分别是多少元( )A. (2.5，0.7)B. (2，1)C. (2，1.3)D. (2.5，1) 7. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从三个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是( )A . 4B. 5C. 6D. 7 8. 下列因式分解中，正确的是（）A. 2()ax ax x ax a -=-B. ()2222221a b ab c b b a ac ++=++ C. 222()x y x y -=-D. 256(2)(3)x x x x --=-- 9. 函数m y x =-与(0)y mx m m =-≠在同一平面直角坐标系中的大致图像是（） A.B. C. D. 10. 如图，码头A 在码头B 的正西方向，甲，乙两船分别从A ，B 两个码头同时出发，且甲的速度是乙的速度的2倍，乙的航向是正北方向，为了使甲乙两船能够相遇，则甲的航向应该是( )A. 北偏东30B. 北偏东60C. 北偏东45D. 北偏西60 11. 如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是A . 甲B. 乙C. 丙D. 丁 12. 如图，已知点()A 0,6，()B 4,6，且点B 在双曲线k y (k 0)x=>上，在AB 的延长线上取一点C ，过点C 的直线交双曲线于点D ，交x 轴正半轴于点E ，且CD DE =，则线段CE 长度的取值范围是( )A. 6CE 8≤<B. 8CE 10≤≤C. 6CE 10≤<D. 6CE273≤< 13. 如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD 的值为（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 70°14. 如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤ 15. 如图，点A ，B 为反比例函数y=k x 在第一象限上的两点，AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若B 点的横坐标是A 点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k ﹣2，则k 的值为（）A . 43B. 83C. 143D. 16316. 如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE，连结DE，则DE 长的最小值是( )A. 2B. 2C. 22D. 4第II卷（非选择题）二、填空题（每空3分共12分）17. 如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为_____．18. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_____．19. 如图，已知直线l：y＝﹣x+4，在直线l上取点B1，过B1分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于A1，交y 轴于C1，使四边形OA1B1C1为正方形；在直线l上取点B2，过B2分别向x轴，A1B1作垂线，交x轴于A2，交A1B1于C2，使四边形A1A2B2C2为正方形；按此方法在直线l上顺次取点B3，B4，…，B n，依次作正方形A2A3B3C3，A3A4B4C4，…，A n﹣1A n B n∁n，则A3的坐标为____，B5的坐标为_____．20. 李华同学准备化简：（3x2－5x－3）－（x2＋2x□6），算式中“□”是“＋，－，×，÷”中的某一种运算符号．（1）如果“□”是“×”，请你化简：（3x2－5x－3）－（x2＋2x×6）；（2）当x＝1时，（3x2－5x－3）－（x2＋2x□6）的结果是－2，请你通过计算说明“□”所代表的运算符号．21. 如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球个数之和相等．尝试求x＋y的值；应用若n＝22，则这些小桶内所放置的小球个数之和是多少？发现用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．22. 在某项比赛中，已知不同小组的甲、乙两队的五次预选赛成绩（每次比赛的成绩为0分，10分，20分三种情况）分别如下列不完整的统计表及条形统计图所示．甲队五次预选赛成绩统计表比赛场次 1 2 3 4 5成绩（分）20 0 20 x 20乙队五次预选赛成绩条形统计图已知甲、乙两队五次预选赛成绩的众数相同，平均数也相同．（1）求出乙第四次预选赛的成绩；（2）求甲队成绩平均数及x的值；（3）从甲、乙两队前3次比赛中随机各选择一场比赛的成绩进行比较，求选择到的甲队成绩优于乙队成绩的概率．23. 如图，已知射线OC为∠AOB的平分线，且OA＝OB，点P是射线OC上的任意一点，连接AP、BP．（1）求证：△AOP≌△BOP；（2）若∠AOB＝50°，且点P是△AOB的外心，求∠APB的度数；（3）若∠AOB＝50°，且△OAP为钝角三角形，直接写出∠OAP的取值范围．24. 如图①，长为120 km的某段线路AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，到达B，A后立刻返回到出发站停止，速度均为40 km/h，设甲车，乙车距南站A的路程分别为y甲，y乙（km），行驶时间为t（h）．（1）图②已画出y甲与t的函数图象，其中a＝____，b＝____，c＝____；（2）分别写出0≤t≤3及3＜t≤6时，y乙与时间t之间的函数关系式；（3）在图②中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象计算出在整个行驶过程中两车相遇的次数．25. 如图，抛物线P：y1＝a（x＋2）2－3与抛物线Q：y2＝12（x－t）2＋1在同一个坐标系中（其中a、t均为常数，且t＞0），已知抛物线P过点A（1，3），过点A作直线l∥x轴，交抛物线P于点B．（1）a＝________，点B的坐标是________；（2）当抛物线Q经过点A时．①求抛物线Q的解析式；②设直线l与抛物线Q的另一交点记作C，求ACAB的值；（3）若抛物线Q与线段AB总有唯一的交点，直接写出t的取值范围．26. 如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．答案与解析第I卷（选择题）一、单选题（1——10每小题3分11——16每小题2分共42分）1. 在2-，0，1，1-这四个数中，最大的数是（）A. 2-B. 0C. 1D. 1-【答案】A【解析】【分析】先化简绝对值，再根据有理数的大小比较法则即可得．-=【详解】22有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，负数绝对值大的反而小>>>-则2101->>>-即2101-因此，这四个数中，最大的数是2故选：A．【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的大小比较法则，掌握有理数的大小比较法则是解题关键．2. 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（）A. 6750吨B. 67500吨C. 675000吨D. 6750000吨【答案】B【解析】【分析】科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．【详解】6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为67500吨．故选B．【点睛】本题考查了科学记数法﹣原数，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．3. 从数据43-，333．，9-，π，） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45【答案】B【解析】【分析】根据概率=无理数个数与总情况数之比解答即可．【详解】解：无理数有π, 所以取到无理数概率是25，故选：B ．【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4. 李老师给同学们出了一道单项式与多项式相乘的题目：﹣3x 2(2x ﹣[]+1)＝﹣6x 3+6x 2y ﹣3x 2，那么“[]”里应当是( )A. ﹣yB. ﹣2yC. 2yD. 2xy 【答案】B【解析】【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：(﹣6x 3+6x 2y ﹣3x 2)÷(﹣3x 2)﹣2x ﹣1＝2x ﹣2y+1﹣2x ﹣1＝﹣2y ，故选B ．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 下面是几位同学做的几道题，222(1)()a b a b +=+ 0(2)21a = 3=± 3412 (4) a a a ⋅= 532(5)a a a ÷= 其中做对了（）道 A. 1 B. 2 C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用完全平方公式；零指数幂；算术平方根；同底数幂相乘；同底数幂相除的运算法则进行计算即可解答．【详解】解：222(1)()2a b a ab b +=++，故该选项错误；0(2)22a =，故该选项错误； 2(3) (3)3±=，故该选项错误；347(4) a a a ⋅=，故该选项错误；532(5)a a a ÷=，故该选项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式；零指数幂；算术平方根；同底数幂相乘；同底数幂相除的运算法则，熟练掌握并准确计算是解题的关键．6. 小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降价3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元，则春节后购物时，(葡萄，苹果)每公斤的价格分别是多少元( )A. (2.5，0.7)B. (2，1)C. (2，1.3)D. (2.5，1)【答案】A【解析】【分析】等量关系为：3×春节前葡萄的价格+2×春节前苹果的价格＝8；7×春节后葡萄的价格+5×春节后苹果的价格＝21，把相关数值代入计算即可．【详解】解：设春节后购物时，(葡萄，苹果)每公斤的价格分别是x 元，y 元． ()()30.520.387521,x y x y ⎧-++=⎨+=⎩解得 2.50.7.x y =⎧⎨=⎩故选A ．【点睛】考查二元一次方程组的应用；根据总价得到两个等量关系是解决本题的关键．7. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从三个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答可得．【详解】解：几何体分布情况如下图所示：则小正方体的个数为2+1+1+1=5，故选B ．【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．8. 下列因式分解中，正确的是（）A. 2()ax ax x ax a -=-B. ()2222221a b ab c b b a ac ++=++C. 222()x y x y -=-D. 256(2)(3)x x x x --=--【答案】B【解析】【分析】分别利用提取公因式法以、公式法、十字相乘法分解因式，进而判断即可．【详解】解：A 、2(1)ax ax ax x -=-，故此选项错误； B 、()2222221a b ab c b b a ac ++=++正确； C 、22(+)()x y x y x y -=-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)x x x x --=-，故此选项错误．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，正确提取公因式、用对公式是解题关键．9. 函数m y x=-与(0)y mx m m =-≠在同一平面直角坐标系中的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据反比例函数的性质判断出m的取值，再根据一次函数的性质判断出m取值，二者一致的即为正确答案．【详解】A、由双曲线在一、三象限，得m＜0．由直线经过一、二、四象限得m＜0．正确；B、由双曲线在二、四象限，得m＞0．由直线经过一、四、三象限得m＞0．错误；C、由双曲线在一、三象限，得m＜0．由直线经过一、四、三象限得m＞0．错误；D、由双曲线在二、四象限，得m＞0．由直线经过二、三、四象限得m＜0．错误．故选：A．【点睛】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于注意系数m的取值．10. 如图，码头A在码头B的正西方向，甲，乙两船分别从A，B两个码头同时出发，且甲的速度是乙的速度的2倍，乙的航向是正北方向，为了使甲乙两船能够相遇，则甲的航向应该是()A. 北偏东30B. 北偏东60C. 北偏东45D. 北偏西60【答案】B【解析】【分析】解直角三角形ABC可得∠CAB的度数，根据余角的定义，可得∠DAC的度数，根据方向角的表示方法，可得答案．【详解】作AD∥BC，如图，设BC=t，则AC=2t，∴sin∠CAB=CBAC=12，∴∠CAB=30°，∴∠DAC=60°，甲的航向应该是北偏东60°．故选B ．【点睛】本题考查了解直角三角形和方向角，解直角三角形是解题的关键．11. 如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁．故选D ．12. 如图，已知点()A 0,6，()B 4,6，且点B 在双曲线k y (k 0)x=>上，在AB 的延长线上取一点C ，过点C 的直线交双曲线于点D ，交x 轴正半轴于点E ，且CD DE =，则线段CE 长度的取值范围是( )A. 6CE 8≤<B. 8CE 10≤≤C. 6CE 10≤<D. 6CE 273≤<【答案】D【解析】【分析】过D作DF⊥OA于F，得到DF是梯形的中位线，根据反比例函数图形上点的坐标特征求出D的坐标，当O与E重合时，如图2，由DF=8，根据三角形的中位线的性质得到AC，根据勾股定理求得CE，当CE⊥x 轴时，CE=OA=6，于是求得结果．【详解】过D作DF⊥OA于F．∵点A（0，6），B（4，6），∴AB⊥y轴，AB=4，OA=6．∵CD=DE，∴AF=OF=3．∵点B在双曲线ykx=（k＞0）上，∴k=4×6=24，∴反比例函数的解析式为：y24x=．∵过点C的直线交双曲线于点D，∴D点的纵坐标为3，代入y24x=得：324x=，解得：x=8，∴D（8，3）．当O与E重合时，如图2．∵DF=8，∴AC=16．∵OA=6，∴CE22273AC OA=+=；当CE⊥x轴时，CE=OA=6，∴6≤CE≤273．故选D．【点睛】本题考查了是反比例函数与几何综合题，考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，梯形和三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 70°【答案】B【解析】试题分析：延长ED 交BC 于F ，∵AB ∥DE ，∠ABC=70°，∴∠MFC=∠B=70°，∵∠CDE=140°，∴∠FDC=180°﹣140°=40°，∴∠C=∠MFC ﹣∠MDC=70°﹣40°=30°，故选B ．考点：平行线的性质．14. 如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0．【详解】①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴ab ＜0，故正确； ②∵对称轴1,2b x a=-= ∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c）．15. 如图，点A，B为反比例函数y=kx在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若B点的横坐标是A点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣2，则k的值为（）A. 43B.83C.143D.163【答案】B 【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设B（t，kt），则AC＝2CE＝2t，可表示出A（2t，k2t），由点B和点A的纵坐标可知BD＝2OC，然后根据三角形面积公式得到关于k的方程，解此方程即可．【详解】解：设B（t，kt ），∵AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，B 点的横坐标是A 点横坐标的一半，∴AC ＝2CE ＝2t ，∴A （2t ，k 2t ）， ∴BD ＝2OC＝2BE ，在△OCM 和△BEM 中OCM MEB CMO EMB OC BE ＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△BEM ，∴CM ＝EM=1t 2，同理可证：△ODN ≌△AEN ，∴EN ＝DN=k 4t， ∴阴影部分的面积＝111t k 1k ME BE NE AE t k 222222t 24t ⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=-．解得：k=83故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质与判定，由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．16. 如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE ，连结 DE ，则 DE 长的最小值是( )2B. 2C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】设AC=x ，BC=4-x ，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x ，CE=22（4-x ），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【详解】解：设 AC=x ，BC=4﹣x ，∵△CDA ，△BCE 均为等腰直角三角形，∴CD=22x ，CE=22(4﹣x)， ∵∠ACD=45°，∠BCE=45°，∴∠DCE=90°，∴DE ²=CD ²+CE ²=()()2222114482422x x x x x +-=-+=-+ ∵根据二次函数的最值，∴当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为：2．故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．第II 卷（非选择题）二、填空题（每空3分共12分）17. 如图，已知函数y=x+b 和y=ax+3的图象交点为P ，则不等式x+b ＞ax+3的解集为_____．【答案】x ＞1【解析】试题分析：根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断．试题解析：由图知：当直线y=x+b 的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b ＞ax+3成立；由于两直线的交点横坐标为：x=1，观察图象可知，当x ＞1时，x+b ＞ax+3；考点：一次函数与一元一次不等式．18. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_____．【答案】15【解析】【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=904180π⨯，解得r=1，所以所围成的圆锥的高=2241=15-考点：圆锥的计算．19. 如图，已知直线l：y＝﹣x+4，在直线l上取点B1，过B1分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于A1，交y 轴于C1，使四边形OA1B1C1为正方形；在直线l上取点B2，过B2分别向x轴，A1B1作垂线，交x轴于A2，交A1B1于C2，使四边形A1A2B2C2为正方形；按此方法在直线l上顺次取点B3，B4，…，B n，依次作正方形A2A3B3C3，A3A4B4C4，…，A n﹣1A n B n∁n，则A3的坐标为____，B5的坐标为_____．【答案】(1). （72，0）(2). （318，18）【解析】【详解】解：当x=0，y=4，当y=0时，﹣x+4=0，x=4，∴OE=OF=4，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠C1EF=45°∴△B1C1E是等腰直角三角形，∴B1C1=EC1，∵四边形OA1B1C1为正方形，∴OC1=C1B1=EC1=2，∴B1（2，2），A1（2，0），同理可得：C2是A1B1的中点，∴B2（2+1=3，1），A2（3，0），B3（2+1+12=72，12），A3（72，0），B4（72+14=154，14），A4（154，0），B5（154+18=318，18）．故答案为（72，0），（318，18）．20. 李华同学准备化简：（3x2－5x－3）－（x2＋2x□6），算式中“□”是“＋，－，×，÷”中的某一种运算符号．（1）如果“□”是“×”，请你化简：（3x2－5x－3）－（x2＋2x×6）；（2）当x＝1时，（3x2－5x－3）－（x2＋2x□6）的结果是－2，请你通过计算说明“□”所代表的运算符号．【答案】（1）2x2－17x－3；（2）“□”代表“-”．【解析】【分析】（1）先算乘法、再去括号、最后合并即可；（2）将x=1代入原式进行运算即可确定“□”所代表的运算符号．【详解】解：（1）原式＝（3x2－5x－3）－（x2＋12x）＝3x2－5x－3－x2－12x＝2x2－17x－3；（2）当x＝1时，原式＝（3－5－3）－（1＋2□6）＝－2，整理得：1＋2□6＝－3，即“□”代表“-”．【点睛】本题考查了整式的加减以及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．21. 如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球个数之和相等．尝试求x＋y的值；应用若n＝22，则这些小桶内所放置的小球个数之和是多少？发现用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．【答案】尝试：x＋y＝9；应用：99；发现：装有“4个球”的小桶序号为4k－1．【解析】【分析】尝试：根据“任意相邻的四个小桶所放置的小球个数之和相等”列出等式即可得到x+y的值；应用：根据题意可分别求出x，y的值，可以发现以“6，3，4，5”为一组循环出现，故可求出n＝22时，小桶内所放置的小球个数之和；发现：根据规律，用含有k的代数式表示即可．【详解】尝试：根据题意可得6＋3＋4＋5＝4＋5＋x＋y，∴x＋y＝9；应用：∵6＋3＋4＋5＝3＋4＋5＋x，又∵x＋y＝9，∴x＝6，y＝3，∴小桶内所放置的小球数每四个一循环，∵22÷4＝5⋯⋯2，∴（6+3+4+5）×5+9=99发现：装有“4个球”的小桶序号分别为3＝4×1－1，7＝4×2－1，11＝4×3－1…，∴装有“4个球”的小桶序号为4k－1．【点睛】题目考查了数字的变化规律，通过数字的变化，体会数字变化为学生们带来的快乐．题目整体较难，特别是（3）中的总结性，更能体现学生的解决问题能力．22. 在某项比赛中，已知不同小组的甲、乙两队的五次预选赛成绩（每次比赛的成绩为0分，10分，20分三种情况）分别如下列不完整的统计表及条形统计图所示．甲队五次预选赛成绩统计表比赛场次 1 2 3 4 5成绩（分）20 0 20 x 20乙队五次预选赛成绩条形统计图已知甲、乙两队五次预选赛成绩的众数相同，平均数也相同．（1）求出乙第四次预选赛的成绩；（2）求甲队成绩的平均数及x的值；（3）从甲、乙两队前3次比赛中随机各选择一场比赛的成绩进行比较，求选择到的甲队成绩优于乙队成绩的概率．【答案】（1）乙队第4场的成绩为20分；（2）甲队成绩的平均数为16分，x＝20；（3）49．【解析】【分析】（1）根据已知条件可判断出乙队成绩的众数为20分，则可求出第四场成绩为20分；（2）先计算出乙的平均成绩，据此可得甲的平均成绩，再根据平均数的公式列出关于x的方程，即可求解；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到甲队成绩优于乙队成绩结果出，利用概率求解即可．【详解】解：（1）∵甲、乙两队五次预选赛成绩的众数相同，且甲队成绩的众数为20分，∴乙队成绩的众数为20分，则乙队第4场的成绩为20分，补全条形统计图如解图：（2）∵乙队五次成绩的平均数为15×（10＋10＋20＋20＋20）＝16（分），∴甲队成绩的平均数为16分，由15×（20＋0＋20＋x＋20）＝16，解得x＝20；（3）列表如下：乙甲1010 20 20（20，10）（20，10）（20，20） 0（0，10）（0，10）（0，20） 20（20，10）（20，10）（20，20）由上表可知，共有9种等可能的结果，其中甲队成绩优于乙队成绩的结果有4种，∴P （选择到的甲队成绩优于乙队成绩）＝49．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法和树状图法展示所有等可能结果，再从中选出符合条件的结果进行计算，也考查了统计的有关概念．23. 如图，已知射线OC 为∠AOB 的平分线，且OA ＝OB ，点P 是射线OC 上的任意一点，连接AP 、BP ．（1）求证：△AOP ≌△BOP ；（2）若∠AOB ＝50°，且点P 是△AOB 的外心，求∠APB 的度数；（3）若∠AOB ＝50°，且△OAP 为钝角三角形，直接写出∠OAP 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）∠APB ＝100°；（3）0°＜∠OAP ＜ 65°或90°<∠OAP<155°．【解析】【分析】（1）根据“SAS ”证明即可；（2）根据三角形外心定义得到PA ＝PB ＝PO ，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠APC ＝50°，根据∠APO ＝∠BPO 即可求解；（3）根据题意得=155-APO OAP ∠︒∠，分OAP ∠为钝角和OPA ∠为钝角两种情况讨论即可．【详解】解：（1）∵OP 平分∠AOB ，∴∠AOP ＝∠BOP ，又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴△AOP ≌△BOP ；（2）∵∠AOB ＝50°，∴∠AOP ＝∠BOP ＝25°，∵点P 是△AOB 的外心，∴PA ＝PB ＝PO ，∴∠A ＝∠AOP ＝25°，∴∠APC ＝∠A ＋∠AOP ＝50°，∵△AOP ≌△BOP ，∴∠APO ＝∠BPO ，∴∠BPC ＝∠APC ＝50°，∴∠APB ＝100°；（3）∵∠AOB ＝50°， ∴1=252AOP AOB ∠∠=︒ ， ∴18025=155OAP APO ∠+∠=︒-︒︒，∴=155-APO OAP ∠︒∠，如图1，当OAP ∠为钝角时，90°<∠OAP<155° ；如图2，当OPA ∠为钝角时，90°<∠OPA<155°，即90°<155-OAP ︒∠<155°，∴0°＜∠OAP ＜ 65°∴∠OAP 的取值范围为：90°<∠OAP<155°或0°＜∠OAP ＜ 65°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形判断，三角形的外心，等腰三角形性质，三角形分类等知识，熟悉相关知识点是解题关键．24. 如图①，长为120 km 的某段线路AB 上有甲、乙两车，分别从南站A 和北站B 同时出发相向而行，到达B ，A 后立刻返回到出发站停止，速度均为40 km/h ，设甲车，乙车距南站A 的路程分别为y 甲，y 乙（km ），行驶时间为t （h ）．（1）图②已画出y 甲与t 的函数图象，其中a ＝____，b ＝____，c ＝____；（2）分别写出0≤t≤3及3＜t≤6时，y 乙与时间t 之间的函数关系式；（3）在图②中补画y 乙与t 之间的函数图象，并观察图象计算出在整个行驶过程中两车相遇的次数．【答案】（1）120，3，6；（2）y 乙＝40120(03)40120(36)t t t t -+⎧⎨-<⎩；（3）画图象见解析，整个行驶过程中两车相遇次数为2．【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到a 、b 、c 的值；（2）根据题意和（1）中的答案可以分别求得当0≤t≤3及3＜t≤6时，y 乙与时间t 之间的函数关系式；（3）根据题意可以画出相应的函数图象，根据函数图象可以得到在整个行驶过程中两车相遇的次数．【详解】解：（1）由题意和函数图象可得，a ＝120，b ＝120÷40＝3，c ＝2×3＝6；故答案为：120，3，6；（2）当0≤t≤3时，设y 乙与时间t 之间的函数关系式为：y 乙＝kt ＋b ，2=⎧⎨+=⎩b 103k b 0，得40=-⎧⎨=⎩k b 120，即当0≤t≤3时，y 乙与时间t 之间的函数关系式为：y 乙＝－40t ＋120；当3＜t≤6时，设y 乙与时间t 之间的函数关系式为：y 乙＝mt ＋n ，36+=⎧⎨+=⎩m n 0m n 120，得40120=⎧⎨=-⎩m n ，即当3＜t≤6时，y 乙与时间t 之间的函数关系式为：y 乙＝40t －120；∴y 乙与时间t 之间的函数关系式为：y 乙＝40120(03)40120(36)t t t t -+⎧⎨-<⎩；（3）y 乙与t 之间的函数图象如解图所示，由图象可知，两个函数图形有两个交点，故整个行驶过程中两车相遇次数为2．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25. 如图，抛物线P ：y 1＝a （x ＋2）2－3与抛物线Q ：y 2＝12（x －t ）2＋1在同一个坐标系中（其中a 、t 均为常数，且t ＞0），已知抛物线P 过点A （1，3），过点A 作直线l ∥x 轴，交抛物线P 于点B ．（1）a ＝________，点B 的坐标是________；（2）当抛物线Q 经过点A 时．①求抛物线Q 的解析式；②设直线l与抛物线Q的另一交点记作C，求ACAB的值；（3）若抛物线Q与线段AB总有唯一的交点，直接写出t的取值范围．【答案】（1）23；（－5，3）；（2）①抛物线Q的解析式为：y2＝12（x－3）2＋1；②ACAB＝23；（3）0＜t 3．【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线P的解析式，即可得出结论；（2）①利用待定系数法求出抛物线Q的解析式，即可得出结论；②先求出AC，AB即可得出结论；（3）利用平移的特点和AB，AC的长即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线P：y1＝a（x＋2）2－3过点A（1，3），∴9a－3＝3，∴a＝23，∴抛物线P：y1＝23（x＋2）2－3，∵l//x轴，∴点B的纵坐标为3，∴3＝23（x＋2）2－3，∴x1＝1（点A的横坐标），x2＝－5，∴B（－5，3）．（2）①∵抛物线Q：y2＝12（x－t）2＋1过点A（1，3），∴12（1－t）2＋1＝3，∴t1＝－1（舍去），t2＝3，∴抛物线Q的解析式为：y2＝12（x－3）2＋1；∵l//x轴，∴点C的纵坐标为3，∴3＝12（x－3）2＋1，∴x1＝1（点A的横坐标），x2＝5，∴C（5，3），∴AC＝5－1＝4，由（1）知，B（－5，3），∴AB＝1－（－5）＝6，∴ACAB＝46＝23；（3）∵抛物线Q：y2＝12（x－t）2＋1∴抛物线Q的开口大小一定，顶点坐标的纵坐标是1也是定值，∴抛物线Q只是左右移动，当抛物线Q向右平移的过程中，点A在抛物线Q的左侧时，抛物线Q和线段AB有一个交点A，此时，t=3，由（2）知，AC=4，将抛物线Q向左平移4个单位时，和线段AB有两个交点，此段，－1＜t≤3时，抛物线Q与线段AB有一个交点，再继续把抛物线Q向左移动，移动到点B在抛物线Q的左侧时，此时，此时，t=－3，同上，抛物线Q与线段AB有一个交点，－7≤t＜－3，∵t＞0，即：0＜t≤3，抛物线Q与线段AB有一个交点．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，交点坐标的求法，平移的性质，利用平移的性质得出t的范围是解本题的关键．26. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM 长为半径作⊙P．（1）当BP＝时，△MBP～△DCP；（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

二轮复习--分类讨论Ⅰ、专题精讲:在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行．Ⅱ、典型例题剖析【例1】(南充，11分)如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解:由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A (0，－1)，B (－2，0)，D (－4，0)．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C (－4，1)．设反比例函数解析式为m y x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是:x y 4-=．点拨:解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】(武汉实验，12分)如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为(－4，0)，以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2(13，5)为圆心的圆与x 轴相切于点D.(1)求直线l 的解析式；(2)将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；(3)将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

解(1)直线l 经过点A(－12，0)，与y 轴交于点(0，123－，设解析式为y ＝kx ＋b ，则b ＝3－k ＝3－所以直线l 的解析式为y 3x 123＝－－(2)可求得⊙O 2第一次与⊙O 1相切时，向左平移了5秒(5个单位)如图所示。

在5秒内直线l 平移的距离计算:8＋12330533 所以直线l 平移的速度为每秒(63个单位。

(3)提示:证明Rt△EFG∽Rt△AE O 2于是可得:222FG EG 1 O E EG O E AO 2＝（其中＝）所以FG·A O 2＝21EG 2，即其值不变。

点拨:因为⊙O 2不断移动的同时，直线l 也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有:相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有:相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．【例3】(衢州，14分)如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，点A 的坐标为(1，0)，以CD 为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M 为圆心．设过A 、B 两点抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，顶点为点N ．(1)求过A 、C 两点直线的解析式；(2)当点N 在半圆M 内时，求a 的取值范围；(3)过点A 作⊙M 的切线交BC 于点F ，E 为切点，当以点A 、F,B 为顶点的三角形与以C 、N 、M 为顶点的三角形相似时，求点N 的坐标．解:(1)过点A 、c 直线的解析式为y=32x －32 (2)抛物线y=ax 2－5x+4a ．∴顶点N 的坐标为(－52 ，－94a)．由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M 且与CD 垂直的直线上，又点N 在半圆内，12 ＜－94 a ＜2，解这个不等式，得－98 ＜a ＜－29． (3)设EF=x ，则CF=x ，BF=2－x在Rt△ABF 中，由勾股定理得x= 98 ，BF= 78【例4】(杭州，8分)在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,P k,(有k个就标到P K为止,不必写出画法)解:以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得1(4,0)P和2(0,2)P；以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得3(5,0)P，4(5,0)P-，5(0,5)P和6(0,5)P-；作OA的垂直平分线交坐标轴得75 (,0) 4P和85 (0,)2P。

点拨:应分三种情况:①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．Ⅲ、同步跟踪配套试题(60分 45分钟)一、选择题(每题 3分，共 15分)1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为( )A ．500 ，80oB ．650， 650C ．500 ，650D ．500，800或 650，6502．若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－13．等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是( )A ．5cm B.3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定4．若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB 所对的圆周角的度数为( )A ．300B 、600C ．1500D ．300或 15005．一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9，则kb 值为( )A ．14B ．－6C ．－4或21 D.－6或14二、填空题(每题3分，共15分)6．已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______.7．已知⊙O 的半径为5cm ，AB 、CD 是⊙O 的弦，且 AB=8cm ，CD=6cm ，AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离为__________.8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为__________.9．已知⊙O 1和⊙O 2相切于点P ，半径分别为1cm 和3cm ．则⊙O 1和⊙O 2的圆心距为________. 10 若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()ab b c m m m++-的值是______.三、解答题(每题10分，共30分)11 已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．12 解关于x的方程(2)1-=-．a x b13 已知:如图3－2－8所示，直线l切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在直线l上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？Ⅳ、同步跟踪巩固试题(10分 60分钟)一、选择题(每题4分，共20分)1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是( )A ．16B ．16或 17 C.17 D ．17或 182．已知11||1,||a a a a-=+则的值为( )..1A C3．若2222122,a b a b ab ab a b +++-=+则值为()A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－2或04．若直线4y x b =-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b 的值为( )...A B C D ±±-5．在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数k y x =的图象的交点的个数是( ) A ．0个或2个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个二、填空题(每题4分，共24分)6．已知点P(2，0)，若x 轴上的点Q 到点P 的距离等于2，则点Q 的坐标为_________．7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为___． 11 矩形ABCD ，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.三、解答题(56分)12．(8分)化简|1|x -.13．(9分)抛物线 2y ax c =+与y 轴交点到原点的距离为3，且过点(1，5),求这个函数的解析式．14．(13分)已知关于 x 的方程22(23)10x k k --++=.⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．15．(13分)抛物线222y x bx =+-经过点A (1，0)．⑴ 求b 的值；⑵ 设P 为此抛物线的顶点，B(a ，0)(a ≠1)为抛物线上的一点，Q 是坐标平面内的点．如果以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ 的长．。