(完整版)分式方程的增根与无解详解

分式方程的增根与无解讲解

2 4x 3

例1解方程上 二—.

①

x 2 x 4 x 2

解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.

所以原方程无解.

x 1

3 x 例2解方程2 .

x 2

2 x

解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.

因为此方程无解，所以原分式方程无解.

例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——

x 2 2 x

解：原方程可化为

方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,

所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.

2

例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------

x 2

解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10

②

若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：

此时还要考虑转化后的整式方程(

a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:

解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)

2

当a 为何值时，关于x 的方程门 ax

x 2 4

①无解?

ax

x 2 4

①会产生增根?

整理得(a—1) x = —10 ②

若原方程无解，则有两种情形:

（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.

综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）

A 、0

B 、1

C 、-1

D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零

须是所化整式方程的根。 原方程易化成整式方程： 6-m(x+1)= x 2-1 整理得： 2

m(x+1)=7-x

当x= -1时，此时m 无解; 当x=1时,解得m=3。 由此可得答案为 B 。 例6 :关于x 的方程 —^-2=

有一个正数解，求 m 的取值范围。

x 3 x 3

原方程易化为整式方程: x-2 (x-3)=m 整理得： x=6-m

•••原方程有解，故 6-m 不是增根。 6-m^ 3 即 m^ 3 ■/ x > 0

• m< 6

由此可得答案为 m 的取值范围是 m< 6且m^ 3。 一、分式方程有增根，求参数值

若方程

6 (x 1)(x 1)

=1有增根，则它的增根是（

还必

分析：把m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定

m 的取值范围，但不能忽略产生增根时

m 的值

x 2 4x a

例7 a 为何值时，关于x 的方程 二

=0有增根？

解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x 2-4x+a=0 （探）

因为分式方程有增根，增根为

x=3，把x=3代入（探）得，9-12+a=0 a=3

2

x 4x a

所以a=3时， 厂§ — =0有增根。

1 m 2m

2 例8 m 为何值时，关于x 的方程77 +「2 = x 2 3x2有增根。

解：原方程两边同乘以（x-1）（ x-2）去分母整理，得 （1+m ）x=3m+4 （探）

因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入序），解得m=-2 ；把x=2代 入（探）得m=-2

3 所以m=- 2或-2时，原分式方程有增根

2 8

k=- 3，但分式方程这时有一实根

x= 3 。

二、分式方程是无实数解，求参数值

x 2 m

例9若关于x 的方程 ~5 = V5 +2无实数，求m 的值。

解：去分母，得 x-2=m+2x-10，x=-m+8

因为原方程无解，所以 x=-m+8为原方程的增根。 又由于原方程的增根为 x=5,所以-m+8=5 所以m=3

例10 . 右解分式方程

2x m

x 1 x

1 v 1 产生增根，则m 的值是（

x

x

)

A. 1或2

B. 1或 2

C.

1或 2

D. 1或

2

原方程为：2x （m 1）（ x 1)2 ,把 x 0或x

1代入解得m 1或 2，故选择D 。

例11. m 为何值时，关于x

的方程

2

mx

3

3

会产生增根？

x 2 x 4

x 2

2

解：方程两边都乘以 x

4，得 2x 4 mx

3x 6

分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:

点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根）

，如方程 k 2

x 1 +1= (x 1)(x 2)有增根，可求得

x 0或x 1，化简