上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期9月月考数学试题

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2020_2021学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试卷(答案版)

2020~2021学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】【解析】【踩分点】计算：．原式．故答案为：．2.【答案】【解析】【踩分点】已知，，则等于．∵，∴，∴．故答案为：．3.【答案】【解析】不等式的解集为．∵，∴，【踩分点】∴，∴，∴或，解得：或，故不等式的解集是．故答案为：．4.【答案】【解析】【踩分点】已知扇形的圆心角为，弧长是，则扇形的面积是．因为扇形的圆心角为，弧长是，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】已知幂函数的图象过点，则．设幂函数，由函数图象过点，所以，解得，所以，所以．故答案为：．6.已知函数，是其反函数，则．【答案】【解析】【踩分点】令，∴．故答案为：．7.【答案】【解析】【踩分点】方程的解为．由方程，可得 .∴，即，即．解得或，又且，故，故答案为：．8.【答案】【解析】若关于的方程有解，则实数的取值范围是．令，则关于的方程有解，即有正实数解．故，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故，故，即．【踩分点】故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】已知，且．式子的最小值是．令，，则，且，∴，∴，当且仅当且，即，，时等号成立．故答案为：．10.【答案】【解析】已知，，若函数为奇函数，则的最小值为．由已知可得：，所以，所以．又函数为奇函数，则，所以，则，，所以，．令【踩分点】，由二次函数的单调性可知：．故答案为：．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知函数是上的偶函数，若、，则“”是“”的（）．A 已知函数是上的偶函数，则，若、，，则，所以．若、，，因为函数是上的偶函数，所以，当且仅当在上单调，且时，才有，即．综上，若、，则“”是“”的充分不必要条件．故选．12.函数的图象大致为（）．A.yOxB.yO xC.yOxD.yO x【答案】【解析】A ，∴为奇函数，其图象关于原点对称，令，解得，函数只有一个零点，只有选项符合．故选．13.A.B. C. D.【答案】【解析】设集合，集合．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）B 由，得：或．由，得：，所以，或，，因为所以，则且小于．由中恰含有一个整数，所以．即，也就是．解①得：，解②得：①②所以，满足中恰含有一个整数的实数的取值范围是．故选．14.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，则方程的解的个数是（）．C 方程的解的个数，等价于函数与的图象交点的个数．在同一平面直角坐标系中作出与的图象，由图象可知，两函数图象的交点个数为．故选．三、解答题（本大题共4小题，共44分）15.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数为奇函数．求实数的值并证明是增函数．若实数满足不等式，求的取值范围．，证明见解析．．因为为奇函数，所以，所以，，，此时为奇函数，故．16.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数．若函数的值域为，求实数的取值范围．若函数在区间上严格递增，求实数的取值范围．．．当时，满足题意；当时，要使得的值域为，只需要满足，解得．综上，．，．当时，外层函数为严格增函数，所以只需满足；当时，外层函数为严格减函数，所以只需满足，此时不存在满足条件的，舍去．（2）【踩分点】设，则，所以，所以是增函数．由（）得为定义域上的奇函数且单调递增，由可得，所以，即，所以，解得．【踩分点】综上，．17.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司提供（万元）的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率，公司生产万件防护服需投入成本（万元）．将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（利润总收入一成本，政府补贴万元计入公司收入中）．在复工率为时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？对任意的，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到），．政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大．．∵，∴，即，．当时，，当且仅当，即时等号成立，所以政府补贴万元才能使公司的防护服利润达到最大．若对任意的，公司都不亏损，则在上恒成立，【踩分点】∴，令，∴，在上单调递增，∴，∴．18.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】已知函数，．当时，求函数的值域．若关于的方程有两个不等根，，求的值．已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，，求出实数的取值范围．．．．因为，所以函数在区间上严格递减，而，，故函数的值域为．因为在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，则有，即，故，所以．令，由（）知，令，因为在上单调递减，在上单调递增，且，，，则当时，方程有两个不等根，由（）知，两根之积为；当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为．令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，且有两个不等根，只有一个根，则必有，结合二次函数的性质，则有，解得，所以实数的取值范围为．【踩分点】。

2021届上海市华东师大二附中高三上学期9月月考数学试题(解析版)

第 1 页共 6 页2021届上海市华东师大二附中高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知空间向量()111,,a x y z =和()222,,b x y z =，设12112x x D y y =和12212x x D z z =，则 “//a b ”是“120D D ==”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】利用充分条件、必要条件的定义结合空间向量共线的坐标表示、二阶行列式判断可得出结论. 【详解】充分性：若0ab ，则120D D ==；若a 、b 至少有一个非零向量，可设0a ≠，则存在实数λ，使得b a λ=，则212121x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，1121112110x x x x D y y y y λλ===∴，1211122110x x x x D z z z z λλ===. 充分性成立；必要性：取()0,1,2a =，()0,2,1b =，则101002D ==，202001D ==，但a 与b 不共线，必要性不成立.因此，“//a b ”是“120D D ==”的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间向量共线坐标表示的应用以及行列式的计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题.2．已知()f x =1()f x -=()f x 的定义域为（） A ．(2,0)- B ．[2,2]-C ．[2,0]-D ．[0,2]【答案】D【解析】根据原函数的定义域是反函数值域,只需求反函数的值域即可得到.。

华东师大二附中2021届高三上9月月考数学试卷

几何体与半球体积相等．现将椭圆 x2 y2 1绕 y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法， 9 16
运用祖暅原理可求得其体积等于（）
图①
图②
图③
A. 64
B. 48
C. 16
D． 32
16．已知数列an 满足 an1 an2 3an 42 a1 3 ，则下列选项错误的是（）
2．若复数 z 满足 z i 1 i ，则复数 z 的虚部为________． 3．若 sin x 2 ，则 cos 2x ________．
3
4．二项式 1 x10 的展开式中 x5 的系数为________． 5．记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 a1 2 ， a2 a6 2 ，则 S10 ________．
9．已知点 F 为椭圆 : x2 y2 1的左焦点，点 P 为椭圆上任意一点，点 O 为坐标原点，则 OP FP 的最大值 43
为________．
10．有五张写有1，2，3，4，5 的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽 4 次，则抽到的最大数与最小数的差小于 4
的概率是：________．
B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
14．已知 f x 4 x2 的反函数为 f 1 x 4 x2 ，则 f x 的定义域为（）
A. 2, 0
B. 2, 2
C. 2,0
D. 0, 2
15．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题(教师版)

华二附中2020-2021学年高一上期末数学试卷一、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分）1. 计算：2233318log 752log 52-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________．【答案】9 【解析】【分析】根据分数指数幂的运算、对数的运算性质求解出结果.【详解】原式=()()232333333212log 3552log 542log 32log 52log 512++⨯⨯-=+++-⎛⎫⎪⎝⎭4419=++=，故答案为：9. 2. 已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．【答案】-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值. 【详解】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin 3α∴==-sin tan cos ααα==- 故答案为：-．3. 不等式2411x x x --≥-的解集为______.【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后利用高次不等式的结论求解．【详解】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．【点睛】方法点睛：解分式不等式的方法：把分式不等式移项，不等式右边化为0，左边通分，然后化为整式不等式，要注意分母不为0，对一元二次不等式易得解，对高次的不等式可利用序轴标根法写出不等式的解．解题中多项式的最高次项系数正数． 4. 已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ．【答案】32π 【解析】【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π. 5. 已知幂函数()fx 的图象过点⎛ ⎝⎭，则()3f =______. 【解析】【分析】由条件求出()12f x x-=，然后可求出答案.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点2,2⎛ ⎝⎭所以2α=，解得12α=-，即()12f x x -=所以()12333f -==故答案为：36. 已知函数12()log (21),()f x x y f x -=-=是其反函数，则1(1)f -=__________.【答案】32【解析】【分析】令2log (21)1x -=即可求出1(1)f-【详解】解：令22log (21)1log 2x -==，所以212x -=，解得32x =，即1(1)f -=32. 故答案为:32. 7. 方程()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x 的解集为_________.【答案】132⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据对数运算法则，先将方程化为()()2lg102lg 26+=+-x x x ，得到()210226+=+-x x x ，求解，再由对数的性质，得到x 的范围，即可得出结果. 【详解】因为()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x ，所以()()2lg102lg 26+=+-x x x ，所以()210226+=+-x x x ，整理得：292602--=x x ，解得2x =-或132x =；又由220260x x x +>⎧⎨+->⎩解得 32x >；所以132x =，原方程的解集为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 故答案为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查解对数方程，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型. 8. 若关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】8a ≤- 【解析】【分析】令30x t =>，方程转化为2(4)40t a t +++=有正根，由根的判别式结合根与系数关系，建立关于a 的不等式，求解即可.【详解】方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，令30x t =>，则方程2(4)40t a t +++=有正根，又两根的积为4，()()2416040a a ⎧∆=+-≥⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得8a ≤-. 故答案为：8a ≤-.【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 9. 已知0a >，0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.【答案】2 【解析】【分析】令2019a x +=，2020b y +=，从而可得1()14042x y +=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令2019a x +=，2020b y +=，则2019x >，2020y >且4042x y +=， ∴1()14042x y +=， ∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y x x y ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭≥，当且仅当y xx y=取等号，即2021,2,1x y a b ====时成立.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 10. 已知122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，()()F x f x m n =+-，若函数()y F x =为奇函数，则2||x m x n ++-的最小值是___________.【答案】2021【解析】【分析】利用已知条件得到()()20224042f x f x +--=，又利用()y F x =为奇函数，即可求出,m n 的值，代入2||x m x n ++-，分四种情况去绝对值，利用二次函数的单调性求最值即可得出结果.【详解】由122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，得()111112320211111f x x x x x =-+-+-++-++++1112021122021x x x ⎛⎫=-+++⎪+++⎝⎭，又()11120222021202120211f x x x x ⎛⎫--=-+++⎪------⎝⎭1112021202120211x xx ⎛⎫++++⎪+++⎝⎭，则()()20224042f x f x +--=，因为()()F x f x m n =+-，又函数()y F x =为奇函数，()()()()()()0222F x F x f x m f x m n f x f x m n -+=⇒-+++=⇒+-+=，故22022,240421011,2021m n m n =-=⇒=-=；所以()221011|||2021|x m x n x x g x ++-=+-=-，当2021x ≥时，原式22101120213032x x x x =-+-=+-，对称轴为12x =-，故函数()g x 在[)2021,+∞上为增函数，所以()g x 的最小值为：220211011-；2021x ≤<时，原式22101120211010x x x x =-+-=-+，对称轴为12x =，故函数()g x 在)上为增函数，所以()g x 的最小值为：2021-当x <≤22101120213032x x x x =-++-=--+，对称轴为12x =-，故函数()g x 在12⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在12⎛- ⎝上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021-当x ≤22101120211010x x x x =-+-=-+，对称轴为12x =，故函数()g x 在(,-∞上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021+综上：2||x m x n ++-的最小值是2021故答案为：2021【点睛】方法点睛：形如()20x a x b a b -+-<<求最值的问题.分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(((),,,,,b b ⎤-∞+∞⎦四个部分，在每个部分上去掉绝对值符号，研究二次函数的单调性即可求解最值.二、选择题（本大题共4小题，每题4分，每题16分）11. 已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()()12f x f x =”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是R 上的偶函数，若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=成立，即充分性成立；若()()12f x f x =，则12x x =-或12x x =，即必要性不一定成立，所以“120x x +=”是“()()12f x f x =”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 12. 函数2(0)1axy a x =>+的图象大致为（） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．【详解】记2()1axf x x =+，函数定义域为R，则2()1ax f x x -=-+()f x =-，函数为奇函数，排除BC ，又0x >时，()0f x >，排除D ．故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.13. 设集合{}2230A x x x =+->，集合{}2210,0B x x ax a =--≤>，若A B 中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，再根据函数2()21y f x x ax ==--的零点分布，结合A ∩B 恰有一个整数求解. 【详解】{}{22303A x x x x x =+->=<-或}1x >，函数2()21y f x x ax ==--的对称轴为0x a =>，而(3)680f a -=+>，(1)20,(0)0f a f -=><，故其中较小的零点为(1,0)-之间，另一个零点大于1，(1)0f <，要使A ∩B 恰有一个整数，即这个整数解为2，(2)0f ∴≤且(3)0f >，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，解得：3443a ≤< ，则a 的取值范围为34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，解题的关键是根据二次函数的性质得出AB 中的整数为2，利用零点存在性定理求解.14. 已知函数111,22(),1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则方程()10xf x -=的解得个数是（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C 【解析】【分析】化简得出函数()f x 的表达式，方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数，作出函数()f x 和1y x=的图象，结合函数图象可得出答案. 【详解】当2x ≤时，()31212111122x x f x x x x -⎧⎪≤≤⎪=--=⎨+<⎪⎪⎩当24x <≤时，()12314(2)53424x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩当46x <≤时，()34518(2)75628x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数. 在同一坐标系中作出()y f x =与1y x=的图象，由()()()11112424f f f ===，，，如图：函数()y f x =的图象与1y x=的图象有7个交点. 所以函数()()1g x xf x =-的零点个数是：7故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数()f x 的表达式，作出函数()f x 的图象，将问题转化为方程1()f x x=的实数根的个数，即函数()y f x =的图象与1y x =的图象的交点个数，数形结合可解.三、解答题（本题共4小题，共44分）15. 已知函数2()21x x af x -=+为奇函数.（1）求实数a 的值并证明()f x 是增函数；（2）若实数满足不等式1(1)02f f t ⎛⎫+->⎪-⎝⎭，求t 的取值范围. 【答案】（1）1a =，证明见解析；（2）(2,3)t ∈.【解析】分析】（1）依题意可得()()f x f x -=-，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】（1）因为()y f x =是定义域为R 奇函数，由定义()()f x f x -=-，所以222121x x x x a a ----=-++ 所以2(1)1x a a -=-，∴1a =. 所以21()21x x f x 证明：任取12x x -∞<<<+∞，121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++． 12x x -∞<<<+∞，1222x x ∴<．12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．()f x ∴在定义域上为增函数．（2）由（1）得()y f x =是定义域为R 奇函数和增函数1(1)(1)2f f f t ⎛⎫>--= ⎪-⎝⎭112t ⇒>- 302t t -⇒>- (2)(3)0t t ⇒--<23t ⇒<<所以(2,3)t ∈.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．16. 已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间](1,3上严格增，求实数a 的取值范围．【答案】（1）20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,a ∈+∞．【解析】【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，2log (46)y x =-+满足题意；当0a ≠时，要使得2log ()y f x =的值域为R ，只需要满足016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得203a <≤，综上20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ （2）2log ,46a y t t ax x ==-+，当1a >时，外层函数为严格增，所以只需满足212460a a a ⎧≤⎪⇒≥⎨⎪-+≥⎩；当01a <<时，外层函数为严格减，所以只需满足22332912603a a a a ⎧≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+>>⎩⎪⎩，此时不存在，舍去；综上[)2,a ∈+∞．【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx c a =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有00a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有00a >⎧⎨∆≥⎩. 17. 新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭(万件)，其中([0.5,1])k k ∈为工人的复工率.公司生产t 万件防护服还需投入成本(20850)x t ++(万元).（1）将公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）当复工率0.7k =时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01).【答案】（1）3601807204k y k x x =---+，[]0,10x ∈；（2）2；（3）0.58 【解析】【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；（2）当0.7k =时，可得()2527+4+134+4y x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式即可求出；（3）若对任意的x ∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到36018072004k k x x ---≥+在x ∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．【详解】（1）依题意，()3608020850302071807204k y x t x t t x k x x =+-++=--=---+，[]0,10x ∈；（2）当0.7k =时，3600.71800.77204y x x ⨯=⨯---+ ()25225271067+4+1344+4x x x x ⎡⎤=--+=-+⎢⎥+⎣⎦50≤-=，当且仅当()2527+4+4x x =，即2x =时等号成立，所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元；（3）若对任意的x ∈[0，10]，公司都不产生亏损，则36018072004k k x x ---≥+在[]0,10x ∈恒成立， ∴21748802180x x k x ++≥⋅+，令[]22,12t x =+∈，2172012112720180180t t k t t t ++⎛⎫∴≥⋅=++ ⎪⎝⎭，设()12720f t t t =++在[]2,12上递增，∴()()max 12127122010512f t f ==⨯++=，∴1105180.580k ≥⨯≈. 即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损.【点睛】结论点睛：本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，解决此类问题的关键是根据条件准确的求出关系式，对于实际问题的最值问题，常用基本不等式或函数单调性的办法求解，注意实际问题中的取值范围．18. 已知函数()32723x x f x ⋅-=-，()2log g x x =．（1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）已知存在实数a ，使得对任意]1[0m ∈，，关于x 的方程()()()244310g x ag x a f m -+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有．．3个不等根1x ，2x ，3x ，求出实数a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2；（2）1a β=；（3）141153a <≤．【解析】【分析】（1）将函数()f x 化简再根据单调性即可得函数()f x 的值域；（2）根据()g x 的解析式，将,αβ代入化简，即可得到αβ的值.（3）令()p f m =，()t x g =，2()4431h t t at a =-+-，根据]1[0m ∈，得出p 的取值范围，由题意可得关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3有两解12,t t ，且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根，列出不等式组得出a 的范围.【详解】（1）()()3232232323x x x f x -+==+--在区间[]0,1x ∈上严格减，而()02f =，()11f =，故函数()f x 的值域为[]1,2．（2）因为()2|log |g x x =在[]0,1x ∈单调递减，在[)1,+∞单调递增，()()t g g αβ== 01αβ∴<<<，则有22log log αβ=，即22log log αβ-=故2220log log log αβαβ=+=，所以1a β=（3）令()p f m =，由（1）知()[]1,2p f m =∈令()t x g =，因为()2log g x x =在1,18x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调减，在[]1,4单调递增，且138g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =，()42g =则当(]0,2t ∈时，方程()t x g =有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；当(2,3]{0}t ∈时，方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1. 令2()4431h t t at a =-+-，由二次函数()h t 与()g x 的图象特征，原题目等价于：对任意[]1,2p ∈，关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3上总有2个不等根()1212,t t t t <，且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根，则必有12023t t <≤<≤或102t <≤且20t =，当12023t t <≤<≤时，结合二次函数()h t 的图象，则有(0)312(2)1551(3)3592h a h a h a =->⎧⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解之得141153a <≤，当102t <≤且20t =，则()()1020221222h a a h h ⎧≤≤⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩，此时无解. 综上所述，实数a 取值范围为141153a <≤. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.。

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (2)

上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B =______.2．若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）3．在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.4．命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________.5．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.6．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为________________7．函数y =______.8．若关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围为． 9．对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f gf g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.10．设2019a b +=，0b >，则当a =______时，12019a a b+取得最小值.二、单选题11．已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N =（）A ．()1,0B ．(){}1,0C ．{}0D ．R12．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 13．若110a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a bb a+>.成立的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．414．定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（） A ．-a b B ．+a bC ．4D ．2三、解答题15．已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.16．解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.17．缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务. ①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③【最新】8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是【最新】和【最新】的个人所得税税率表：【最新】1月1日实行：【最新】10月1日试行：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？18．已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z+==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅，D C =∅. （1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P . ①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.参考答案1．{}[]20,1-【解析】【分析】解一元二次方程求得集合A ，解不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集. 【详解】由()()22210xx x x +-=+-=解得2x =-或1x =，故{}2,1A =-.1<得01x ≤<，故[)0,1B =.所以A B ={}[]20,1-.故答案为：{}[]20,1-.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次方程的解法，考查不等式的解法，属于基础题. 2．{}2,1,1,3,5-- 【分析】分别求得集合,U A 的元素，由此求得U C A . 【详解】依题意{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U=--，{}0,2,4,6A =，所以{}2,1,1,3,5U C A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--. 【点睛】本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 3．详见解析【分析】先用阴影部分表示U U C A B C ，再用阴影部分表示()U U U C C A C B .【详解】依题意可知U U C AB C 表示为：故()U U U C C A C B 表示为：故答案为：【点睛】本小题主要考查利用文氏图表示集合的并集和补集的运算，属于基础题. 4．设,a b ∈R ，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠. 【解析】【分析】直接利用逆否命题的定义求解即可. 【详解】逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件，所以 “,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的否命题是 “,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”, 故答案为“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于简单题. 逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件求得. 5．1a ≤ 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤. 故答案为1a ≤ 【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 6．116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.7．[)[]1,00,2-【分析】根据偶次方根被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意2401010x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪≠⎩，2210x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩，解得[)[]1,00,2x ∈-.故答案为[)[]1,00,2-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查不等式的解法，属于基础题.8．[4,0]- 【解析】试题分析：当0m =时，不等式变形为10->，解集为∅，符合题意；当0m ≠时，依题意可得20{4040m m m m <⇒-≤<∆=+≤，综上可得40m -≤≤．考点：一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与x 轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错． 9．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据()h x 函数的定义求得()h x 的解析式，由此求得()h x 的值域. 【详解】根据()h x 函数的定义可知()()()223,12,1x x x h x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩，即()2276,12,1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩，对于()22761y x x x =-+-≥，其图像开口向下，对称轴为74x =，所以当74x =时有最大值为2771276448⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，没有最小值，即18y ≤.对于()21y x x =-<，21y x =-<-.故函数()h x 的值域是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分段函数解析式和值域的求法，属于基础题.10．20192018-【分析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值. 【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a a b a a b =++≥-+，当且仅当22019a b a b =且0a <时等号成立，即20192018a =-. 故答案为20192018- 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．D 【分析】根据y 的取值范围，求得M N R ==，由此求得两个集合的交集. 【详解】对于集合,M N ，两个集合的研究对象都是y ，且y R ∈，故M N R ==，所以M N R =.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 12．B 【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ．【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题． 13．C【分析】根据110a b<<得到0b a <<，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数. 【详解】由110a b<<可知0b a <<. 由b a <两边乘以负数b 得2b ab >，故①正确.由0b a <<得()()22220,b a b a b a b a -=+->>，故②错误.由0b a <<，结合基本不等式有()()22a b a b -+-+=-<=③正确.由0b a <<，结合基本不等式有2a b b a +>=，故④正确. 综上所述，正确的个数为3个. 故选C. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题. 14．D 【分析】将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和. 【详解】原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =.下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<. 故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.故选D.【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 15．见解析.【分析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明. 【详解】由基本不等式得出22a b a b +≥=，22b a b a +≥=，上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥. 【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题. 16．(][],31,5-∞-【分析】分别求得分式不等式和绝对值不等式的解集，求两者的交集得到不等式组的解集.【详解】由97212x x ≥-+得970212x x -≥-+，()()50212x x x -≤-+，解得()1,2,52x ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦. 由12x +≥得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1x ≥.所以不等式9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩的解集即()(][)(][]1,2,52,31,5,31,x x x ⎧⎛⎤=-∞-⋃⎪ ⎥⇒∈-∞-⋃⎝⎦⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎩.故答案为：(][],31,5-∞-. 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，考查不等式组的求解，属于基础题.17．（1）何老师10月份应缴纳683.8元个人所得税，增加收入424.4元（2）详见解析【分析】（1）先计算出10月份的扣税，再计算出9月份的扣税，两者作差，计算出何老师增加的收入.（2）直接按当前级数税率计算，则多算了前面级数的金额，所以要扣除.这样计算可以减少运算量，能使财务人员迅速计算出个人所得税.【详解】（1）10月份，13404371050004694--=，∴30003%169410%259.4⨯+⨯=；9月份，13404371035006194--=，∴15003%300010%169420%683.8⨯+⨯+⨯=；增加收入683.8259.4424.4-=元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，如【最新】10月的表中，21030007%=⨯，1410900010%300017%=⨯+⨯，2660130005%900015%300022%=⨯+⨯+⨯，依此类推.【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用，属于基础题.18．（1）2a =-（2）①B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P ；()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =②m n <，证明见解析【分析】（1）先求得集合,B C 所包含的元素，根据D B ≠∅，D C =∅，求得a 的值. （2）根据（1）求得,,B C D ，由此求得,B C B D ⋃⋃.①根据性质P 的定义，判断出B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P .根据集合,S T 的定义求得,S T .②根据①所求,S T ，求得,m n ，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合B ，222y x x =-++开口向下，对称轴为1x =，当1x =时3y =，故{}1,2,3B =对于集合C ，由201x x -≥+，解得()12x x Z -<≤∈，所以{}0,1,2C =. 根据题意D B ≠∅，D C =∅，所以3D ∈，解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合DC =∅，故舍去，2a =-满足题意，即2a =-. （2）由（1）得{}3,5D =-，{}1,2,3B =，{}0,1,2C =，{}0,1,2,3B C ⋃=，{}5,1,2,3B D =-.①B C ⋃中,00B C B C ⋃-∈⋃∈，故B C ⋃不具有性质P ；B D 中任意元素,a B D a B D ∈-∉，故B D 具有性质P ；根据集合,S T 的定义，求得()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =；②由①知，2,3m n ==，故m n <.【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.。

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题： ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞ ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞ ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞ 其中正确命题的个数为（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是恒成立，有解，零点问题的概念题，根据条件转化为最值问题，理解，判断选项.【详解】由条件对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，可知()min p f x ≤，即p 的取值范围是(],m -∞，故①错②正确；若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，说明p 应属于函数()f x 在[],a b 上的值域[],m M ，故③正确；若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则()max p f x ≤，即p M ≤则p 的取值范围是(],M -∞，故④错⑤正确. 故选：B4．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集；对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选： B.【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：（1）利用子集的概念，可以判断出1P 的元素，一定是2P 的元素，得到对任意a ，1P 是2P 的子集；（2）利用R 是R 的子集，结合判别式的符号，存在实数1b >时，有12Q Q R ==，得到结果.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-，元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤∈Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B =______．【答案】{}23，【分析】先求得集合A 、B ，再由集合的补集运算、交集运算可得答案.【详解】因为{}{}210,101A x x x =-≤∈=-Z ，，，{}3,2,1,0,1,2,3U =---，所以{}3223A =--，，，，又{}{}13,10123B x x x =-≤≤∈=-Z ，，，，，所以A B ={}23，，故答案为：{}23，. 9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数．【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}|A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素，故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++ 所以叶老师的平均价格更低，故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析：由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-；（2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<；若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =,2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。

2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期9月月考数学试卷含详解

华二附中高一月考数学卷一、填空题1.集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为______.2.设集合6|5A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的子集的个数是______.3.设集合{}1,9,A x =，{}21,B x =，且A B B = ，则实数x 的取值范围是______.4.已知,a b R ∈，命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是______.5.关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是______.6.设,x y R ∈，则“1x y +<”是“1x <且1y <”的______条件.7.已知{}1,3,5A a =+，{}22221,,21a B a a a a +=++-，若{}2,3A B ⋂=，则A B ⋃=______.8.已知集合{}|221A x x k =-≤<-，{}|0B x x k =-≤，且A B ⊆，则实数k 的取值范围是______.9.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，则关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是______.10.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，已知{}1,2,3,4S =，所有由S 的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是______.11.已知m R ∈，集合{}|31A x m x m =≤≤-，若A Z 恰有一个元素，则m 的取值范围是______.12.已知()f x x x=，若对任意[]2,2x a a ∈-+，()()2f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是______.二、选择题13.若M 、P 都是全集U 的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A.M P ⋃B.()U C M PC.()U C M P D.U U C M C P14.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是（）A.a b b c+>- B.ac bc≥ C.2c a b>- D.2()0a b c -≥15.有下列三个命题：①“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的必要非充分条件；②0xy <是x y x y -=+的充要条件；③已知,m n Z ∈，则225m n +<是2m n +≤的充分非必要条件；其中的真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个16.已知函数()()222f x x a x a =-+++，若集合(){}|0A x N f x =∈<中恰有一个元素，则实数a （）A.有最大值，无最小值B.有最小值，无最大值C.既无最大值，也无最小值D.既有最大值，也有最小值三、解答题17.已知集合{}*|9,U x x x N=<∈，{}1,2,3,7A =，{}1,3,4,5,6B =，求UCA 和()U C AB .18.若抛物线()22211y x a x a =--+-与x 轴的两个交点在y 轴的同侧，求实数a 的取值范围.19.已知,a b R ∈，关于x 的函数()2f x x ax b =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，()(){}|,B x f f x x x R ==∈.（1）若{}A a =，求a 、b 的值；（2）若a N ∈，0b =且A B =，求集合A .20.已知U R ⊆为一个数集，集合{}223|,A s t s t U =+∈.（1）设{}1,3,5U =，求集合A 的元素个数；（2）设U Z =，证明：若x A ∈，则7x A ∈；（3）设U =R ，,x y A ∈，且223x m n =+，223y p q =+，若3mp nq -=x y mq np +++的最小值.华二附中高一月考数学卷一、填空题1.集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为______.【答案】{}1,0,1,2-【分析】直接利用列举法的定义解答即可.【详解】集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为{}1,0,1,2-.故答案为{}1,0,1,2-【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.设集合6|5A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的子集的个数是______.【答案】8【分析】先化简集合A={2,3,4},再求集合A 的子集的个数.【详解】令51,2,3,6,4,3,2,1x x -=∴=-，因为x ∈N ,所以2,3,4,{2,3,4}x A =∴=.所以集合A 的子集的个数是32=8.故答案为8【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设集合{}1,9,A x =，{}21,B x =，且A B B = ，则实数x 的取值范围是______.【答案】{}3,3,0-【分析】根据A B B = 得到关于x 的方程，解方程即得解.【详解】因为A B B = ，所以29x =或2x x =，所以3,3,0,1x =-，当1x =时，与集合元素的互异性矛盾，所以1x =舍去.所以3,3,0.x =-故答案为{}3,3,0-【点睛】本题主要考查集合的关系运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知,a b R ∈，命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是______.【答案】已知,a b R ∈，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠【分析】直接利用逆否命题的定义解答即可.【详解】命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是“已知,a b R ∈，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠”.故答案为已知,a b R ∈，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是______.【答案】0k <【分析】由题得12=10040,0k x x k ∆->=<，解之即得解.【详解】设方程2100x x k -+=的两个根为12,x x ，所以12=10040,k x x k ∆->⎧⎨=<⎩所以0k <.当0k <时，方程有两个不同的实根；当方程有两个不同的实根时，0k <.所以关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是0k <.故答案为0k <【点睛】本题主要考查充要条件和零点的分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.设,x y R ∈，则“1x y +<”是“1x <且1y <”的______条件.【答案】充分不必要【分析】先讨论充分性，再讨论必要性得解.【详解】“1x y +<”，所以“1x <且1y <”，所以“1x y +<”是“1x <且1y <”的充分条件；当1x <且1y <时，如：34x y ==，则1x y +>，所以1x <且1y <时，1x y +<不一定成立，所以“1x y +<”是“1x <且1y <”的非必要条件；综合得“1x y +<”是“1x <且1y <”的充分不必要条件.故答案为充分不必要【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知{}1,3,5A a =+，{}22221,,21a B a a a a +=++-，若{}2,3A B ⋂=，则A B ⋃=______.【答案】{}1,2,3,5【分析】根据{}2,3A B ⋂=求出a 的值，再求A B ⋃得解.【详解】因为{}2,3A B ⋂=，所以|1|2,1a a +=∴=或3-.当1a =时，{}3,1,2B =，所以={2,3,1,5}A B .当3a =-时，15,,281B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,不满足{}2,3A B ⋂=.所以舍去.故答案为{}1,2,3,5【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.已知集合{}|221A x x k =-≤<-，{}|0B x x k =-≤，且A B ⊆，则实数k 的取值范围是______.【答案】1k ≤【分析】对集合A 分两种情况讨论，得到关于k 的不等式，解不等式即得解.【详解】当212k -≤-，即12k ≤-时，,A φ=满足题意；当212k ->-，即12k >-时，11,12221k k k k ⎧>-⎪∴-<≤⎨⎪≥-⎩.综合得实数k 的取值范围是1k ≤.故答案为1k ≤【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，则关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是______.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【分析】由不等式20ax bx c ++<的解集求出a 、b 、c 的关系，再把不等式20cx bx a ++>化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可．【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，∴关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实数根是3x =-或1x =；<0a ∴且23bac a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以23b ac a=⎧⎨=-⎩；∴关于x 的不等式20cx bx a ++>可化为2320ax ax a -++>，即23210x x -->；解得1x >或13x <-，故答案为()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，已知{}1,2,3,4S =，所有由S 的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是______.【答案】3【分析】先求出所有由S 的2个元素构成的集合，再利用“孤立元”的定义求解.【详解】由题得所有由S 的2个元素构成的集合有{1,2}{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}，，其中满足“孤立元”定义的集合有{1,3},{1,4},{2,4}.故答案为3【点睛】本题主要考查新定义的理解和运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知m R ∈，集合{}|31A x m x m =≤≤-，若A Z 恰有一个元素，则m 的取值范围是______.【答案】24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】先分析得到1322m ≤<，该区间包含的整数应为1,2,3.再对这个整数分类讨论得解.【详解】题意是，闭区间[,31]m m -上恰有一个整数，求m 的范围.所以该区间应满足①不空，②区间的长度不超过2，即3113,31222m m m m m -≥⎧∴≤<⎨--<⎩，所以当1322m ≤<有173122m ≤-<，所以该区间包含的整数应为1,2,3.（1）当仅有1∈[,31]m m -时，21312,13m m m ≤≤-<∴≤<.（2）当仅有2∈[,31]m m -时，42313,13m m m ≤≤-<∴≤<，而m=1时，[,31]=[1,2]m m -有两个整数，故413m <<.（3）当仅有3∈[,31]m m -时，453314,33m m m ≤≤-<∴≤<,与1322m ≤<矛盾，所以舍去.综上，所以m 的取值范围是24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故答案为24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查集合的元素的个数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知()f x x x =，若对任意[]2,2x a a ∈-+，()()2f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】a <【分析】通过分类讨论分析得到1)a x <恒成立，再求函数()1)g x x =-，[]2,2x a a ∈-+的最值得解.【详解】（1）当0x ≥时，2()f x x =，222()2))f x x f ===；当0x <时，222(),2()2))f x x f x x f =-=-=-=，所以在R 上，2()),())f x f f x a f =∴+<，因为在R 上，函数()f x 单调递增，,1)x a a x ∴+<∴<-恒成立，（2）记()1)g x x =-，[]2,2x a a ∈-+，min ()(2)1)(2),1)(2),g x g a a a a a ∴=-=--∴<--∴<.故答案为a <【点睛】本题主要考查函数的单调性和应用，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、选择题13.若M 、P 都是全集U 的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A.M P ⋃B.()U C M PC.()U C M PD.U U C M C P【答案】C【分析】观察维恩图得解.【详解】由维恩图可知，空白部分表示的是M P ⋃,所以阴影部分表示的是()U C M P .故选C【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是（）A.a b b c +>-B.ac bc≥ C.2c a b>- D.2()0a b c -≥【答案】D 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：取2a =，1b =，3c =-，可判断选项A 不一定成立；取0c <，ac bc <，可判断选项B 不一定成立；取0c =，则20c a b=-，可判断选项C 不一定成立；因为a b >，所以0a b ->，所以2()0a b c -，故D 一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质的应用，解答的关键是利用特殊值法排除一些错误的选项，再利用作差法比较大小；15.有下列三个命题：①“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的必要非充分条件；②0xy <是x y x y -=+的充要条件；③已知,m n Z ∈，则225m n +<是2m n +≤的充分非必要条件；其中的真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【分析】①可以利用逆否命题分析判断；②利用举例和充要条件定义分析判断；③先求出225m n +<的解，再利用充要条件的定义分析判断.【详解】①可以考虑逆否命题，即考虑“1x =或=3y ”是“4x y +=”的什么条件，“1x =或=3y ”是“4x y +=”非充分非必要条件，所以“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；②0xy <是x y x y -=+的充分条件，但是当0,0x y >=时，x y x y -=+成立，但是不满足0xy <，所以0xy <不是x y x y -=+的必要条件，所以该命题是假命题；③已知,m n Z ∈，225m n +<，所以2m =-时，0n =；1m =-时，01n =±，；0m =时，012n =±±，，；1m =时，0,1n =±；2m =时，0n =.所以2m n +≤，所以225m n +<是2m n +≤的充分条件.当2m n +≤时，如2m n ==-，但是不满足225m n +<，所以225m n +<是2m n +≤的非必要条件.所以该命题是真命题.故选B【点睛】本题主要考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知函数()()222f x x a x a =-+++，若集合(){}|0A x N f x =∈<中恰有一个元素，则实数a （）A.有最大值，无最小值B.有最小值，无最大值C.既无最大值，也无最小值D.既有最大值，也有最小值【答案】D【分析】由题得2a >或2a <-，再对a 分两种情况讨论，利用零点存在性定理得解.【详解】由条件知，()222=0x a x a -+++有两个不同的实根，所以2=(a+2)4(2)0a ∆-+>，所以2a >或2a <-.（1）当2a <-时，(1)0,(0)20,f f a >=+>必有(1)0,f -≥512(2)0,2a a ∴++≥∴≥-所以522a -≤<-.(2)当2a >时，20,(1)10,(2)20,a f f a ->=>=-<所以55(3)92(2)0,,222f a a a =-+≥∴≤∴<≤所以min 52a =-,max 52a =.故选:D【点睛】本题主要考查方程的零点，考查一元二次不等式和零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.已知集合{}*|9,U x x x N=<∈，{}1,2,3,7A =，{}1,3,4,5,6B =，求UCA 和()U C AB .【答案】{}4,5,6,8U C A =，(){}2,4,5,6,7,8U C A B = .【分析】先求出{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{1,3}A B ⋂=，再求U C A 和()U C A B .【详解】由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{1,3}A B ⋂=所以{}4,5,6,8U C A =，(){}2,4,5,6,7,8U C A B = .【点睛】本题主要考查交集补集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.若抛物线()22211y x a x a =--+-与x 轴的两个交点在y 轴的同侧，求实数a 的取值范围.【答案】()5,11,4⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【分析】解不等式21210x x a =->，22(21)4(1)0a a ∆=--->即得解.【详解】设()22211=0x a x a --+-的两根为12,x x ，由题得21210x x a =->，（1），22(21)4(1)0a a ∆=--->，（2），解（1）（2）得1a <-或514a <<.所以实数a 的取值范围为()5,11,4⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二次方程的根的分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知,a b R ∈，关于x 的函数()2f x x ax b =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，()(){}|,B x f f x x x R ==∈.（1）若{}A a =，求a 、b 的值；（2）若a N ∈，0b =且A B =，求集合A .【答案】（1）13a =，19b =；（2）0a =，{}0,1A =；1a =，{}0A =；2a =，{}0,1A =-；3a =，{}0,2A =-.【分析】（1）等价于2(1)0x a x b +-+=有两个相等的实根a ，解2=(1)40a b ∆--=且2(1)0a a a b +-+=即得解；（2）先化简两个集合的方程，由题得两方程同解，再对a 分类讨论得解.【详解】（1）由题得2x ax b x ++=有两个相等的实根a ，所以2(1)0x a x b +-+=有两个相等的实根a ，所以2=(1)40a b ∆--=且2(1)0a a a b +-+=，解之得13a =，19b =.（2）当b=0时，()2f x x ax=+关于A 的方程()f x x =可以化为[(1)]0x x a --=（1）关于B 的方程()()f f x x =可以化为432222()(1)0x ax a a x a x ++++-=，因式分解为2[(1)][(1)(1)]0x x a x a x a --++++=（2）由条件A=B 可知，方程（1）和（2）同解，（1）当0a =时，两方程为(1)0-=x x 和2(1)(1)0x x x x -++=，所以0,1x x ==，所以{0,1}A =;（2）当1a =时，两方程为20x =和22(22)0x x x ++=，所以0,x =所以{0}A =；（3）当2a =时，两方程为(1)0x x +=和2(1)(33)0x x x x +++=，所以0,1x x ==-所以{0,}A =-1；（4）当3a =时，两方程为(2)0x x +=和3(2)0x x +=，所以0,2x x ==-所以{0,}A =-2；（5）当4a ≥时，方程（2）中2(1)10x a x a ++++=，(1)(3)0a a ∆=+->，有两个不同的解，此时方程（1）和（2）不同解，所以舍去.所以0a =，{}0,1A =；1a =，{}0A =；2a =，{}0,1A =-；3a =，{}0,2A =-.【点睛】本题主要考查集合和集合的关系，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知U R ⊆为一个数集，集合{}223|,A s t s t U =+∈.（1）设{}1,3,5U =，求集合A 的元素个数；（2）设U Z =，证明：若x A ∈，则7x A ∈；（3）设U =R ，,x y A ∈，且223x m n =+，223y p q =+，若3mp nq -=x y mq np +++的最小值.【答案】（1）8个；（2）证明见解析；（3.【分析】（1）对,s t 的取值分类讨论，即得集合A 的元素个数；（2）因为x A ∈，设223x s t =+，再证明7x A ∈；（3）由题得()233xy mq np =++，设mq np b +=，利用基本不等式和判别式法求最小值.【详解】（1）1s t ==时，2234s t +=；3s t ==，2239+27=36s t +=；5s t ==，22325+75=100s t +=；1,3s t ==时，2231+27=28s t +=；3,1s t ==时，2239+3=12s t +=；1,5s t ==时，2231+75=76s t +=；5,1s t ==时，22325+3=28s t +=；3,5s t ==时，2239+75=84s t +=；5,3s t ==时，22325+27=52s t +=；所以{}4,12,28,36,52,76,84,100A =，它有8个元素；（2）因为x A ∈，所以设223x s t =+，()()()222222737212332s t s t s t s t A +=+=++-∈.所以得证.（3）()()()()2222223333xy m np q mq np mp nq =++=++-=()233mq np =++，设mq np b +=，∴233b y x +=，233b x y mq np x b b x++++=++≥+，设b t =，整理得22112120b bt t ++-=，由0∆≥得t ≥即()min x y mq np +++=.【点睛】本题主要考查集合的表示，考查集合和元素的关系，考查基本不等式和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题答案和解析

上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若实数a b >，则下列说法正确的是__________．（1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b > 2．函数()()0f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是__________．3．函数()()227111m m f x m m x ++=--是幂函数，则m =__________．4．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.5．不等式1213x x -++<的解集为__________．6．“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是__________．7．已知函数()f x =，]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1g x -的定义域为__________．8．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________． 9．已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则+a b 的值为__________．10．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21x g x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．二、单选题11．幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（）A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数12．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 13．定义在R 上的函数()f x 有反函数()1f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则()()1120202018f x f x ---+-的值为（）A ．0B ．2C ．-2D ．不能确定 14．已知函数()f x 的定义域为{}0,1,2，值域为{}0,1，则满足条件的函数()f x 的个数为（）A ．1个B ．6个C ．8个D ．无数个三、解答题15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-. （1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 16．某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数()()0C x A f x C B x A x A<≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m '时，缴费19元.（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？17．已知函数121()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围. 18．已知函数()2,2,x x Pf x x x x M ⎧∈=⎨-+∈⎩，其中P ，M 是非空数集且P M ⋂=∅.设()(){},f P y y f x x P ==∈，()(){},f M y y f x x M ==∈.（1）若(),0P =-∞，[]04M =，，求()()f P f M ；（2）是否存在实数3a >-，使得[]3,P M a =-，且()()[]323f P f M a =--，？若存在，求出所有满足条件的a ；若不存在，说明理由；（3）若P M R ⋃=且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P ，M .参考答案1．（1）【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断，即可得到结论.【详解】根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果0c ≥时不成立，故错误；（3）若1,1a b ==-时，11a b<不成立，故错误；（4）若1,1a b ==-，22a b >不成立，故错误.故答案为:（1）【点睛】本题考查不等式的性质，对于常用的不等式成立的条件要熟记，属于基础题.2．0b =【分析】根据奇函数的定义，即可求解.【详解】()()0f x kx b k =+≠为奇函数，则()(),0f x kx b f x kx b b -=-+=-=--=.故答案为:0b =.【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性的定义应用，属于基础题.3．2或-1【分析】根据幂函数的定义，即可求解.【详解】()()227111m m f x m m x ++=--是幂函数，2211,20m m m m ∴--=--=，解得2m =，或1m =-.故答案为: 2或-1.4．94【分析】根据基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭结合所求代入公式，即可求解. 【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立，即(1)(1)a b ++的最大值为94. 故答案为94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件. 5．()7,6-【分析】对x 分类讨论去绝对值，即可求解.【详解】1213x x -++<化为12113x x ≥⎧⎨+<⎩或21313x -≤<⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得16x ≤<或21x 或72x -<<-，所以76x -<<.故答案为:()7,6-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解，考查分类讨论思想，属于基础题.6．若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.【分析】根据逆否命题的形式，即可得出结论.【详解】“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是”“若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.”故答案为: 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.【点睛】本题考查命题的形式，要注意连接词的变化，属于基础题.7．2,⎡⎣ 【分析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1g x -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.8．(),161667,⎡-∞-++∞⎣ 【分析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域.【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立；同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣. 故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.9．2【分析】根据指对数的关系，将已知等式转化为对数形式，即可求解.【详解】 336313126,log 6log 6,0,log 3log 6a b ab ab a ab a b ====≠∴==，同理66log 12,log 362a a b =+==.故答案为:2.【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查简单的对数运算，以及换底公式的应用，属于基础题. 10．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足 max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+，当()1311,log 122x x f x >=-<-+，()()2ln 21x g x a x x =+++，设21x y x =+，当0,0x y ==，当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x >-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.11．D【分析】首先根据题意得到()12f x x=，再判断其单调性和奇偶性即可.【详解】设幂函数()af x x =，因为图象经过点，所以3a =，12a =. 故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.故选：D【点睛】本题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，同时考查了幂函数的定义，属于简单题. 12．B【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 13．A【分析】由已知可得()f x 图像关于(0,1)，可得()1f x -关于(1,0)对称，根据对称性，即可求解. 【详解】定义在R 上的函数()f x 有()()2f x f x +-=恒成立，()f x 图像关于(0,1)对称，()1f x -关于(1,0)对称，()()()()11202020182,202020180x x f x f x ---+-=-+-=.故选:A,【点睛】本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.14．B【分析】根据已知条件定义域{}0,1,2中有两个元素和{0,1}的一个元素对应，第三个元素与{0,1}另一个元素对应，即可求解.【详解】满足条件的函数()f x 有：(0)0,(1)1,(2)1f f f ===；(0)1,(1)0,(2)0f f f ===；(1)0,(0)1,(2)1f f f ===；(1)1,(0)0,(2)0f f f ===；(2)0,(0)1,(1)1f f f ===；(2)1,(0)0,(1)0f f f ===，满足条件的函数有6个.故选:B.【点睛】本题考查函数定义，属于基础题.15．（1）()00f =，()()11ff =-；（2）()1,0- 【分析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；（2）由已知只需0x >时，()f x m =有两个解的即可.【详解】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-， ()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--，所以10m -<<【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.16．（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元【分析】（1）由已知判断A 的范围，用待定系数法求出,A B ；（2）根据解析式，即可求解.【详解】（1）依题意得(27)(4)(35)(27),4272743527f f f f A --≠∴≤<--， (27)4(27)144,(35)4(35)19f B A C f B A =+-=⎧∴=⎨=+-=⎩，解得5,118B A ==， 511,,48A B C ∴===. （2）5(29)4(2911)11.258f =+⨯-=（元），答：某居民若使用329m 水，应该缴水费11.25元.【点睛】本题考查求函数解析式的应用问题，以及求函数值，属于基础题.17．(1) 1a =- (2) 1m ≥- (3) []1,1-【分析】（1）利用奇函数的定义可求a 的值. （2）先计算出12()log (1)f x x +-，再求出它在(1,)+∞上的最大值后可求m 的取值范围. （3）根据()()12log f x x k =+可得211k x x =-+-，令()211g x x x =-+-，求出该函数在[2,3]的值域后可求k 的取值范围.【详解】（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，整理得到：222a x x =恒成立，解得1a =-或1a =（舍）.（2）()()()()111122221log 1log log 1log 11x f x x x x x ++-=+-=+- 当1x >时，()12log 11x +<-，∴1m ≥-.（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()11221log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减，()g x 的值域为[]1,1-， ∴[]1,1k ∈-.【点睛】本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题.18．（1）[)8,-+∞；（2）存在，3；（3）()[)0,1,P t =+∞，(][),0,1M t =-∞，其中01t <<或(][)0,1,P t =+∞，(](),0,1M t =-∞，其中01t <<或[)1,P =+∞，(),1M =-∞，或()0,P =+∞，(],0M =-∞【分析】（1）依题意(),()f P f M 分别表示,x P x M ∈∈时()f x 的值域，结合||y x =的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域，即可得出结论；（2）抓住线索3P M -∈，逐层深入，先判断3P -∈，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a 的值；（3）根据函数的单调性，可得(,0),(1,)M P -∞⊆+∞⊆，再证明在(0,1)上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合,P M .【详解】（1）()()(),0,(){|||,,0}0,P f P y y x x =-∞∴==∈-∞=+∞，[][]2,(){|2,}[8,]04041f M y y x x M x ∴==-∈=-=+，，，()()[8,)f P f M =-+∞；（2）若3M -∈则(3)15[3,23]f a -=-∉--，不合题意，3P ∴-∈从而(3)3,(3)3[3,23]f f a -=-=∈--，233a ∴-≥，得3a ≥. 若3a >，则22233(1)12a x x x ->>--+=-+， ,23P M a =∅∴-的原象0x P ∈且03x a <≤，023,3x a a a ∴=-≤≤，矛盾.3a ∴=，此时可取[3,1)[0,3],[1,0)P M =--=-，满足题意.（3）()f x 是单调递增函数，∴对任意0,()(0)0x f x f <<=，,(,0)x M M ∴∈∴-∞⊆，同理可得：(1,)P +∞⊆.若存在001x <<，使得0,x M ∈则200001()2f x x x x >=-+>，于是2000[,2]x x x M -+⊆，记221002112(0,1),2,x x x x x x =-+∈=-+，01[,]x x M ∴⊆，同理可知12[,],x x M ∴⊆，由212n n n x x x +=-+，得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=-，22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x ---=-=-==-，对于任意0[,1)x x ∈，取002(1)2(1)[log log (1)1,log log (1)]x x x x -----中的自然数x n ，则10[,],[,1)x x n n x x x M x M +∈⊆∴⊆综上所述，满足条件的,P M 必有如下表示：()[)(][)0,1,,,0,1P t M t =+∞=-∞，其中01t <<，或(][)(]()0,1,,,0,1P t M t =+∞=-∞，其中01t <<，或[)()11,,,P M ==-∞+∞，或()(]0,,,0P M =+∞=-∞.【点睛】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题和解决问题的能力，属于较难题.。

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，则()U C M N =__.2．集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}的非空真子集的个数为_____3．若命题p ：()()20x m x m ---≤；命题q ：431x -≤，且p 是q 的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是__.4．已知集合{}|42A x m x m =-<<，{}|14B x x =-<<，若AB B =，则实数m 的取值范围为__.5．下列命题：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c c c a b >⇒<；③22a b ac bc >⇒>；④33>⇒>a b a b ，其中正确的命题个数是__.6．不等式()()243054x x x x ++<-+的解集为__. 7．函数0()f x =的定义域是__. 8．若()23f x ax a =+是定义在25,1a a ⎡⎤--⎣⎦上的偶函数，令函数()()()1g x f x f x =+-，则函数()g x 的定义域为__.9．已知函数()2511x x f x a x x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是__. 10．函数()y f x =定义域是D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()y f x =在0,1上为非减函数，满足条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-；则1132016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__.二、单选题11．设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx 2+4mx ﹣4＜0对任意x 恒成立}，则P 与Q 的关系是A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P=QD ．P∩Q=∅ 12．已知x y z >>，且0x y z ++=，下列不等式中成立的是( )A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．||||x y z y > 13．下列判断中正确的是（）A ．()2f x =是偶函数B ．()21x x f x x -=-是奇函数C ．()2121x x f x +=-是偶函数D ．()f x = 14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(0,2]+D ．[1]-⋃三、解答题15．已知关于x 的不等式()()2440kx k x --->，其中k ∈R ；（1）当4k =时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为()5,4-时，求k 的值.16．某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售价格506p x =--（元/百斤），第x 天()*120,x x ≤≤∈N 的销售量8q a x =+-（百斤）（a 为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？17．已知函数()()0t f x x t x x=-+>；（1）判断函数()y f x =在区间(]0,t 上的单调性，并证明；（2）若函数()y f x =的最小值为与t 无关的常数，求实数t 的取值范围.18．已知函数()()224f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值为4a -，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数m ，n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n ，若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由.参考答案1．{}2,4,8【解析】【分析】找出既属于集合M 又属于集合N 的元素，可得到两集合的并集，然后根据全集U ，找出不属于两集合并集的元素，即为所求的补集.【详解】解：∵{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，∴{}1,3,5,6,7M N =，又全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，则(){}2,4,8U C M N =.故答案为：{}2,4,8.【点睛】本题考查了集合的交、并、补集的混合运算，重点考查了运算能力，属基础题.2．14【分析】化简集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5},根据集合的真子集定义即可求出.【详解】因为{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5}所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5} {2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14.【点睛】本题主要考查了集合的真子集，属于中档题.3．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】分别由命题p 和命题q 解出它们对应的不等式的解集，根据p 是q 的必要不充分条件，说明q 的解集是p 解集的真子集，建立不等式组可得出实数m 的取值范围.【详解】解：命题p ：()()202x m x m m x m ---≤⇒≤≤+，即[],2A m m =+,命题q ：1431143112x x x -≤⇒-≤-≤⇒≤≤，即1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∵p 是q 的必要非充分条件，则集合B 为集合A 的真子集， ∴1221m m ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩112m ⇒-≤≤. 故答案为：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，重点考查了充要条件与集合的关系，属基础题..4．[]2,3【分析】根据A B B =，说明B A ⊆，建立不等关系即可求实数m 的取值范围.【详解】解：∵A B B =，∴B A ⊆，∵{}|42A x m x m =-<<，{}|14B x x =-<<，∴满足：4142m m -≤-⎧⎨≤⎩，解得：23m ≤≤，综上所得实数m 的取值范围是[]2,3.故答案为：[]2,3.【点睛】本题考查了集合的包含关系的判断及应用，重点考查了集合的运算，属基础题.5．2【分析】根据不等式的性质依次判断可得结论.【详解】解：①a b a b >⇒-<-，∴c a c b -<-；不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变.∴①对.②a b >，0c c c a b>⇒<，当0b <时，不等式不成立，②不对. ③22a b ac bc >⇒>；当0c时，不等式不成立，∴③不对.④33a b a b >>>，∴④对.正确的是①④.故答案为：2.【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.6．()()4,31,4-- 【分析】通过因式分解求出不等式的解集即可.【详解】解：∵()()243054x x x x ++<-+， ∴()()()()43041x x x x ++<--，解得：43x -<<-或14x <<，故答案为：()()4,31,4--.【点睛】本题考查了分数不等式的解法，重点考查了高次不等式的解法，属基础题.7．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．【详解】解：由300x x x +≠⎧⎨-⎩＞，解得x ＜0且x ≠﹣3． ∴函数()3x f x +=的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．8．0,1【分析】根据题意和偶函数的性质列出不等式组，求出a 的值，可得函数()f x 的定义域，由函数()g x 的解析式列出不等式，求出()g x 的定义域.【详解】解：∵()f x 是定义在25,1a a ⎡⎤--⎣⎦上的偶函数， ∴2251015a a a a ⎧-+-=⎨->-⎩，解得2a =，则函数()f x 的定义域是[]1,1-，由11111x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩得，01x ≤≤， ∴函数()g x 的定义域是[]0,1，故答案为：[]0,1.【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质；重点考查了函数的定义域及其求法，属基础题. 9．[]4,1-【分析】根据分段函数在R 上的单调函数，由125y x =-(1)x <是单调递增函数，可得2a y x x =+，(1)x ≥也是单调递增函数，再求解即可.【详解】解：函数()2511x x f x a x x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩为R 上的单调函数，当1x <，125y x =-是单调递增函数，其最大值小于-3，则2a y x x =+(1)x ≥也是单调递增函数，①当0a ≤时，2a y x x=+是单调递增函数，由题意：()max min 25a x x x ⎛⎫-≤+⎪⎝⎭，即13a +≥-，即40a -≤≤， ②当0a >时，根据对勾函数的性质可知：2y在)+∞是单调递增， ∵2a y x x=+的定义域为{}|1x x ≥，1≤，解得：01a <≤.那么：当1x =时，函数2a y x x=+取得最小值为1a +. 由题意：()max min25a x x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，即13a +≥-，解得：4a ≥-，即01a <≤.综合①②可得：14a ≥≥-.故答案为：[]4,1-.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数性质的应用，属中档题. 10．65128【分析】由已知条件求出13f ⎛⎫⎪⎝⎭，11121891458128f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合111218920161458<<及非减函数概念得12016f ⎛⎫⎪⎝⎭，则答案可求. 【详解】解：由③，令0x =，则()()1101f f =-=，由②，令1x =，则()1111322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11119234f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111127298f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11118122716f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111124328132f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111729224364f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111121892729128f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由③，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11116224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111118268f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11115421816f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111116225432f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111486216264f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111114582486128f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵111218920161458<<， ∴112016128f ⎛⎫=⎪⎝⎭.∴111165320162128128f f ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：65128. 【点睛】本题考查了函数性质的应用，重点考查了对函数新性质的理解，属中档题.11．C【解析】2440mx mx +-<对任意x 恒成立，当0m =时，不等式恒成立，当0m ≠时，不等式恒成立只需20010*******m m m m m m <<⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨∆=+<-<<⎩⎩，则{10}Q m m =-<≤ ，{10}P m m =-<≤，P Q =，选C.12．C【分析】根据x y z >>和0x y z ++=，有30x x y z >++=，30z x y z <++=，从而得到0x >，0z <．再不等式的基本性质，可得到结论．【详解】解：x y z >>30x x y z ∴>++=，30z x y z <++=，0x ∴>，0z <．由0x y z >⎧⎨>⎩得：xy xz >．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等式的放缩及不等式的基本性质的灵活运用，属于基础题．13．D【分析】根据题意，依次分析选项，对于每一个选项，先求出函数的定义域，再分析()f x -与()f x 的关系，可得函数的奇偶性，综合即可得答案.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、()2f x =，其定义域为{}|0x x ≥，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故A 错误；对于B 、()21x x f x x -=-，其定义域为{}|1x x ≠，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故B 错误；对于C 、()2121x x f x +=-，其定义域为{}|0x x ≠，定义域关于原点对称，又()()21122112x xx x f f x x --++--==--=，即()f x 为奇函数，故C 错误；对于D 、函数()f x ={}|22x x -≤≤，关于原点对称，则()f x =，则()()f x f x -==-，即()f x 为奇函数，故D 正确；故选：D .【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，重点考查了运算能力，属基础题.14．A【解析】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，所以0x 时，2()f x x =-，所以()f x 在R 上单调递增，且2())f x f =．对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，即())f x t f +≥恒成立．因为()f x 在R 上单调递增，所以任意的[,2]x t t ∈+，x t +≥恒成立．即1)t x ≥恒成立，当[,2]x t t ∈+时，max1)1)(2)x t ⎡⎤=+⎣⎦，所以只需1)(2)t t ≥+，解得t ≥A 正确．考点：奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值15．（1）()(),45,-∞+∞（2）1k =-或4k =-【分析】（1）由4k =时不等式化为()()416440x x --->，求出解集即可；（2）不等式的解集为()5,4-时，有2045k k k <⎧⎪⎨+=-⎪⎩，从而求出k 的值. 【详解】解：（1）关于x 的不等式()()2440kx k x --->，当4k =时，不等式化为()()416440x x --->，解得4x <或5x >，所以不等式的解集为()(),45,-∞+∞；（2）当不等式()()2440kx k x --->的解集为()5,4-时，有2045k k k<⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得1k =-或4k =-.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，重点考查了由不等式的解集求参数的值，属中档题. 16．（1）第10天的销售收入1932元（2）第2天该商品的销售收入最大, 最大为2116元【分析】（1）根据第7天的销售收入求得a ，再代入销售量q 中求第10天的销售收入；（2）由（1）求出的a 值，分16x ≤≤和820x ≤≤两个范围分别求出销售收入关于第x 天的函数，再分别求出其函数的最大值，再比较每一段间最大值的大小，得解.【详解】（1）由已知得第7天的销售价格49p =，销售量1q a =+．∴第7天的销售收入()74912009W a =⨯+=（元）40a ⇒=．所以销售量408q x =+-，所以：第10天的销售收入1046421932W =⨯=（元），（2）设第x 天的销售收入为x W ，则()()()()4448,162009,75632,820x x x x W x x x x ⎧+-≤≤⎪==⎨⎪-+≤≤⎩当16x ≤≤时，()()()()22244484448444484221162,x W x x x x x x =+-=⨯+-=⨯+--=-- 当2x =时取最大值22116W =，当820x ≤≤时，()()()225632563224193612x W x x x x x =-+=⨯+-=--，当12x =时取最大值121936W =．由于2712W W W >>，∴第2天该商品的销售收入最大【点睛】本题考查二次函数的实际应用，运用二次函数时注意自变量的分段取值范围，属于基础题. 17．（1）函数()y f x =在区间(]0,t 上单调递减，证明见解析（2）01t <≤【分析】（1）当0x t <≤，()t f x t x x=-+，用定义法证明即可；（2）分类讨论，要使函数()y f x =的最小值为与t 无关的常数，则t ≥即可求实数t 的取值范围.【详解】解：（1）当0x t <≤，()t f x t x x=-+，函数()y f x =在区间(]0,t 上单调递减；证明如下：设120x x t <<≤，则()1212211212()()(1)0t t t f x f x x x x x x x x x -=-++-=-+>，即()12()f x f x >，即函数()y f x =在区间(]0,t 上单调递减；（2）①当0t ≤时，()t f x x t x=++，函数单调递增，则函数在()0,∞+无最小值， ②当0t >时，(),0,t t x x t x f x t x t x t x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩，由0x t <≤时，()min ()1f x f t ==，则x t >时，()t f x x t x=+-，由对勾函数图像的性质可得：要使函数()y f x =的最小值为与t无关的常数，则t ≥01t <≤，故实数t 的取值范围为：01t <≤.【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题. 18．（1）6a ≥（2）存在整数m ，n ，1m =-，2n =或0m =，3n =，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n【分析】（1）先求出二次函数的对称轴方程，再讨论对称轴与定区间的位置关系①当212a -≤时，②当222a -≥时，③2122a -<<时，求函数的最小值，然后运算即可得解；（2）假设存在整数m ，n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n ，即()224m x a x a n ≤--+-≤的解集为{}|x m x n ≤≤，再结合二次方程的根的关系求解即可.【详解】解：（1）函数()()224f x x a x a =--+-的对称轴为22a x -=， ①当212a -≤，即4a ≤时，()()()min 1124145f x f a a a a ==--+-=-=-⇒=，不满足4a ≤，②当222a -≥，即6a ≥时，()()()min 22224f x f a a ==--+-46a a R a =-⇒∈⇒≥符合题意. ③2122a -<<，即46a <<时，()()()2min 442224a a a f x f ----⎛⎫== ⎪⎝⎭46a a a =-⇒=⇒∈∅.综上：实数a 的取值范围：6a ≥. （2）假设存在整数m ，n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n ，即()224m x a x a n ≤--+-≤的解集为{}|x m x n ≤≤.可得()f m m =，()f n n =. 即()224x a x a x --+-=的两个实数根为m ，n .即可得出.1m n a +=-，4mn a =-. ()313m n mn m n n ⇒+=+⇒-=-，当1n =时，m 不存在，舍去，当1n ≠时，321111n m m n n-==+⇒=---，2n =或0m =，3n =. 故存在整数m ，n ，且1m =-，2n =或0m =，3n =，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[],m n .【点睛】本题考查了二次函数动轴定区间问题，主要考查了二次函数的值域的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.。

2024-2025学年上海华东师范大学二附中高一上学期数学月考试卷及答案(2024.10)(含答案)

1华二附中2024学年第一学期高一年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．设全集，集合，则________．2．已知，，则的取值范围为________．3．设，“”是“”的一个________条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）4．已知集合，集合，则________．5．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为______（填数字）．6．已知集合，，若，则的取值范围是________．7．“若且，则”的否命题，逆命题，逆否命题中正确的命题个数是________．8．集合，，则________．9．已知关于的不等式的解集为，① ②不等式的解集是③④不等式的解集为上命题正确的序号是________．10．已知关于的不等式的解集非空，并且解集中的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围为________．11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围为________．{}1,2,3,4,5U ={}2,4A =A =23a <<21b -<<-2a b +a R ∈1a >11a<2301x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭{}2,1,0,1,2B =--A B = A {}{}0,21,0,1,2A ⊆⊂-A {}2|230A x x x =--≤{}|22B x m x m =-≤≤+A B =∅ m 1a >2b >3a b +>{}|,A y y x x R ==∈{}|B x y x R ==∈A B = x 20ax bx c ++>()(),23,-∞-+∞ 0a >0bx c +>{}|6x x <-0a b c ++>20cx bx a -+<11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 2290x x a -+<x 2430x x -+<2680x x -+<a x 2k x x >-k212．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为________．二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）．13．若集合，，则满足的实数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．414．已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（）．A ． B ．C ．D ．15．已知，则“成立”是“成立”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ． B ． C ． D ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）求下列关于的分式不等式的解集：（1）；（2）．(),c d [),c d (],c d [],c d d c -d c >a b >123x a x b+≥--x {}21,9,A a ={}9,3B a =A B B = a 201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭x A ∈x a ≥a 0a <2a ≥1a ≤-1a ≥-x R ∈()()230x x --≤231x x -+-=x 2664ax x ax ++--≥a (],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ x ()()22231054x x x x x x +-+≤-+2312xx ≥+318．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设集合，．（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）设，是实数，集合，集合，集合．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围；（3）若且，求的取值范围．{}|32A x x =-<{}|331B x x m =<<+2m =A B x A ∈x B ∈m a b {}2|340A x x x =--≤(){}2|210B x x a x =-+<[]21,5C b b =-+B A ⊆a A C ⊆b 6a =C B ⊆b420．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，为常数，函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；（3）当时，对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实数根．a b ()2f x x bx a =-+1a b =-x ()0f x ≥21a b =-()0f x =()2,1-b 1a b =-1x 2x R ∈12x x <()()12f x f x ≠x ()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦()12,x x521．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．（1）若，，求和；（2）若满足且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．(){}1234|,,,,,1,2,3,4i A x x x x x N i =αα=∈=A ()1234,,,x x x x α=()()12233441,,,T x x x x x x x x α=----2n ≥()()()1n n T T T -α=α()()1T T α=α()2,0,2,1α=()2,0,2,2β=()4T α()4T β()1234,,,x x x x α={}()0,11,2,3,4i x i ∈=()()21,1,1,1T α=αn ()()12341243,,,x x x x A x x x x α=∈≥≥≥()()0,0,0,0n T α=n6参考答案一、填空题1.;2.;3.充分不必要;4.;5.;6.;7.;8.; 9.①②④; 10.； 11. 12.11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】因为关于的不等式恰好有4个整数解,所以关于的不等式恰好有4个整数解,且,则有解得.又方程的根为,即或,所以不等式的解集为.因为,所以,所以不等式的4个整数解只能是2,3,4,5,所以,结合,解得,即实数的取值范围为.12．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为________．【答案】【解析】原不等式可转化为①对于,其判别式,故其必有两不相等的实{}1,3,5()2,1-{}0,13{}|35m m m <->或1{}|01x x ≤≤817,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭32,53⎛⎤⎥⎝⎦2x 2k x x >-k 32,53⎛⎤⎥⎝⎦x 20k x x >-…x ()221440k x x -+->0k >()22210,16161160,k k k -<∆=+-⎪=⎧⎪⎨⎩>01k <<()221440k x x -+-=2221k x k ±=-21x k =+21x k =-()221440k x x -+->2211x k k<<+-01k <<2121k<<+()221440k x x -+->2561k <-…01k <<3253k <…k 3253,⎛⎤ ⎥⎝⎦(),c d [),c d (],c d [],c d d c -d c >a b >123x a x b+≥--x 2111x a x b +≥--()()()220,x a b x ab a b x a x b -+++++≤--()220x a b x ab a b -+++++=2()20Δa b =-+>7数根,设为,由求根公式得,下证,构造函数,其两个零点为,且,而所以由于,且由二次函数的性质可知,故不等式①的解集为其长度之和为二、选择题13.B14. C15.C16.B15．已知，则“成立”是“成立”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】充分性:若,则,必要性:若,又由绝对值的性质:若,则所以"成立"是"成立"的充要条件,故选:.16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ． B ． C ． D ．【答案】B12,x x 1x =2x =12b x a x <<<()()22f x x a b x ab a b =-+++++12,x x 12x x <()()22f a a a b a ab a b b =-++-+++=-0a <,12,x a x <<b a <()()22f b b a b b ab a b a b =-++-+++=-0>12b x a x <<<((12b,x a,x ⋃⎤⎤⎦⎦()()121222x b x a x x a b a b a b -+-=+-+=++-+=x R ∈()()230x x --≤231x x -+-=()()230x x --…23x ……23231,x x x x ∴-+-=-+-=231x x -+-=()()()()2312323x x x x x x ---=∴-+-=--- 0ab …a b a b +=-()()230,x x ∴--…()()230x x --…231x x -+-=C x 2664ax x ax ++--≥a (],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞8【解析】原不等式等价于①或②,由①得,或,设②式,即的解集为C ，则由题意有，，解得，故选：B 三．解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）（3）20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，为常数，函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；（3）当时，对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实数根．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】（1），当时，；当时，；当时,;（2）,2646x ax ax ----…2646x ax ax ---++…2x …2x -…2280x ax --…()22,C -⊂22(2)482480202a a a⎧-+----<∴⎨<⎩……11a -……(]{}[],3014-∞-⋃⋃，[]1,2{}|35x x <<4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-1,62⎛⎫⎪⎝⎭a b ()2f x x bx a =-+1a b =-x ()0f x ≥21a b =-()0f x =()2,1-b 1a b =-1x 2x R ∈12x x <()()12f x f x ≠x ()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦()12,xx 344,⎛-- ⎝()()211f x x bx b x b =-+-=-+()1x -2b =x R ∈2b >(][)11x ,b ,∈-∞⋃-+∞2b <(][)11x ,b ,∈-∞-⋃+∞()221f x x bx b =-+-9①因为,所以; ②因为,所以;③当时,,解得符合题意;④当时，解得符合题意；综上所述,实数的取值范围为;(3)证明:设,则,又函数在区间上为连续不断的一条曲线,由零点的判定定理可得在区间）内有一个实根.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．（1）若，，求和；（2）若满足且，求的所有可能结果；（3）是否存在正整数使得对任意都有()()21202010b f f ⎧-<<⎪⎪⎪∆≥⎨⎪->⎪>⎪⎩04b <-…()()210f f -<304b -<<34b =-235042x x +-=125,24x x ==-0b =210x -=121,1x x =-=b 344,⎛-- ⎝()()()()12123g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦()()()()()()11121212233g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()()()22121211233g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=--⎣⎦⎣⎦()()()()2121229g x g x f x f x ⎡⎤∴=--⎣⎦()()()()1212,0,f x f x g x g x ≠∴< ()g x ()12x ,x ()0g x =(12,x x (){}1234|,,,,,1,2,3,4i A x x x x x N i =αα=∈=A ()1234,,,x x x x α=()()12233441,,,T x x x x x x x x α=----2n ≥()()()1n n T T T -α=α()()1T T α=α()2,0,2,1α=()2,0,2,2β=()4T α()4T β()1234,,,x x x x α={}()0,11,2,3,4i x i ∈=()()21,1,1,1T α=αn ()()12341243,,,x x x x A x x x x α=∈≥≥≥10？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）、.（3）【解析】（1）由题意（2）由且同理,或1时,或1时，或1时，所以（1）等价于,则,,当,则为满足；当,则为满足,当,则为满足,当,则为满足,综上,的所有可能结果、.（3）存在正整数使且,理由如下:由,,则所以若所以若则()()0,0,0,0n T α=n ()()()()342222,0000T ,,,T ,,,β=β=()()1001,0110,,,,,,()()1100,0011,,,,,,{}*|6n n N n ∈且…()()2211,T ,,,α=()()()()230101,1111,T ,,,T ,,,α=α=()()40000,T ,,,α=()()()()22200,0202,T ,,,T ,,,β=β=()()()()342222,0000T ,,,T ,,,β=β=()()21111T ,,,α={}()011234,i x ,i ,,,∈=1223|1,x x x x ---=20x =1223131,x x x x x x ---=-=30x =2334241,x x x x x x ---=-=40x =3441131,x x x x x x ---=-=132411x x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩13x x ≠24x x ≠120,0x x ==α()0011,,,120,1x x ==α()0110,,,121,0x x ==α()1001,,,121,1x x ==α()1100,,,α()()1001,0110,,,,,,()()1100,0011,,,,,,n ()()0000n T ,,,α={}*|6n N n ∈…(123x ,x ,x α=)()41243x A x x x x ∈………()()12234314T x x ,x x ,x x ,x x α=----()()213224134242,2T x x x ,x x x x x ,x x α=+--+--1321342,2a x x x b x x x =+-=+-()()324242424,T x x a ,x x b x x b ,x x a α=--------2424,c x x a x x b =-----()()()()4500,,T c,,c,T c,c,c,c α=α=()()60000T ,,,α=11当时,恒成立,综上,所有取值为使成立.7n …()()0000n T ,,,α=n {}*|6n n N n ∈且…()()0000n T ,,,α=。