2021年江苏省中考数学总复习《圆》压轴题200道

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2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何之圆的专题(二)

2021年九级中考数学压轴题满分训练–几何之圆的专题（二）1．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交圆O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，点F是OA中点，FG⊥OA，FG分别交AD，DE于点H，点G，cos∠ABD＝．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：△DGH是等腰三角形；（3）若FG＝9.5，求⊙O的周长．2．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．（1）求证：∠BAC＝2∠CDE；（2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径．3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE；（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．4．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4AE•CE；（3）如图2，点G是AB下方的半圆的中点，连接CG交AD于点F，连接OF，若AC ＝10，DE＝12，求OF的长．5．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连接CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连接BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连接AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD＝6，∠D＝60°，∠ACB＝45°，连接OB交AC于点E．在CB的延长线上取一点P，使AP∥BE．（1）求AC的长；（2）求证：直线PA与⊙O相切．7．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．8．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图1，若∠P＝40°，求∠ABP的度数；（2）如图2，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．9．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．10．如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．（1）求证：∠DAF＝∠ADF；（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．11．如图，点A、B、C、D四点顺次在⊙O上，＝，BM⊥AC于M，小华对此进行了研究：首先，他取△ABD为正三角形，且AC为⊙O的直径，计算后发现：AM＝DC+CM；接着，他取△ABD为等腰直角三角形，AC平分∠BAD，试问：AM＝DC+CM 还成立吗？小华利用这种情形还计算出tan22.5°＝﹣1，请问他的结论正确吗？另外，小华还猜想：一般地，AM＝DC+CM恒成立，请你帮助他证明或否定这个结论．（对于前面两问只需作出肯定或否定的回答，无须证明）12．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．13．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．∠DAO＝105°，∠E＝30°．（1）求证：AC平分∠DAO；（2）求∠OCE的度数；（3）若⊙O的半径为，求线段EF的长．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BD＝4，CF＝4，求AE的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）如图1，连接OD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知，OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠ODA+∠ADE＝90°，∵∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠ADE＝90°，∵FG⊥AB，∴∠OAD+∠AHF＝90°，∴∠ADE＝∠AHF，∵∠AHF＝∠DHG，∴∠ADE＝∠DHG，∴DG＝HG，∴△DGH是等腰三角形；（3）如图2，连接OG，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝OB＝r，∵点F是OA的中点，∴OF＝OA＝r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAD+∠AHF＝90°，∴∠AHF＝∠ABD，∵cos∠ABD＝，∴cos∠AHF＝，在Rt△AFH中，cos∠AHF＝＝，设FH＝3a，则AH＝5a，根据勾股定理得，AH2﹣FH2＝AF2＝r2，∴a＝r（舍去负值），∴FH＝3a＝r，∴DG＝HG＝FG﹣FH＝9.5﹣r，在Rt△OFG中，OG2＝OF2+FG2，在Rt△ODG中，OG2＝DG2+OD2，∴OF2+FG2＝DG2+OD2，∴（r）2+（9.5）2＝（9.5﹣r）2+r2，∴r＝0（舍）或r＝8，∴⊙O的周长为2π×8＝16π．2．解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝BAC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠ADC＝∠ODE，∴∠CDE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∵∠CAD＝BAC，∴∠BAC＝2∠CDE；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵cos∠ABC＝，∴AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴＝＝，∴＝＝，∴DE＝8，x＝，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．3．（1）证明：连接CD．∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABC，∴∠DAF＝∠ACD，∴∠DAF+∠DAC＝90°，∴∠FAC＝90°，∴AF为⊙O的切线．（2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，∴AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠AED，∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ADO，∴∠ADO＝∠AED，∵∠OAD＝∠DAE，∴△ADO∽△AED，∴＝，∴AD2＝AO•AE．（3）解：过点B作BJ⊥EC于J．∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴sin∠BAC＝＝，∴可以假设BC＝a，AC＝3a，∵BJ⊥AC，∴∠AJB＝90°，∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，∴∠CBJ＝∠BAC，∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，∴CJ＝a，∴BJ＝＝＝a，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，∴∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB＝a，∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，∵AF∥BJ，∴＝，∴，∴a＝，∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．4．解：（1）连接OD，交BC于点H，∵OA＝OD＝r，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠CAD＝∠DAO，∴∠CAD＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴直线DE为圆O的切线；（2）连接CD，∵OD∥AE，BC⊥AE，∴BC⊥OD，又∵，∴CH＝BH，又∵DE⊥OD，BC⊥OD，∴BC∥DE，∴四边形DECH为矩形，∴DE＝，∠EDC＝∠DCH＝∠DBC＝∠CAE，∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EDA，∴DE2＝EC•AE，∴（BC）2＝EC•AE，∴BC2＝4EC•AE；（3）如图，连接OD交BC于H，过点F作FK⊥BC于K，FJ⊥AF于J，FT⊥AB 于T．∵AC＝10，DE＝12，四边形DECH为矩形，∴CH＝DE＝12，CH＝BH＝12，∠DHC＝90°，∴，∴OA＝OB＝OD＝13，∵G为圆O中直径AB的中点，，∴∠ACG＝∠GCB，∵AD平分∠CAB，∴点F是△ACB的内心，四边形CKFJ是正方形，设边长为r，则（AC+BC+AB）•r＝•AC•BC，∴r＝4，∴FT＝CJ＝4，∵AC＝10，∴AJ＝AT＝6，∵OA＝OB＝13，∴OT＝7，∴OF＝＝＝．5．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．6．解：（1）∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．∵AD＝6，∠D＝60°，∴AC＝AD•sin60°＝6×＝3；（2）∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°．∵BE∥AP．∴∠PAO+∠AOB＝180°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA．∴直线PA与⊙O相切．7．（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sin B＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin B，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）连接CO，∵CD＝2CE，设CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，设⊙O的半径为r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB•BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cos B＝．8．解：（1）∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠ABP的度数为50°；（2）如图，连接AC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵D为AP的中点，∴DC＝AD＝DP，∴∠DAC＝∠DCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC+∠DAC＝∠OCA+∠DCA，∵∠OAC+∠DAC＝∠BAP＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°．∵OC是半径，∴直线CD是⊙O的切线．9．（1）①证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．②证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（2）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3，∴ON＝＝4，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝8，∴CD＝＝＝4．10．（1）证明：连接BD，∵D为的中点，∴＝，∴∠DAC＝∠ABD，∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，∴∠DEA＝∠ADB＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，∴∠ADF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADF；（2）解：连接OD交AC于H，∵＝，OD过O，∴OD⊥AC，AD＝CD＝2，在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，即52﹣OH2＝（2）2﹣（5﹣OH）2，解得：OH＝3，∵D为的中点，OD过O，∴AH＝CH，∵AO＝BO，∴OH＝BC，∴BC＝2OH＝6．11．解：（1）成立．在MA上截取ME＝MC，连接BE，如图，∵BM⊥AC，而ME＝MC，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵＝，∴∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD＝180°，∠BEA+∠BCE＝180°，∴∠BEA＝∠BCD，而∠BAE＝∠BDC，所以△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AM＝DC+CM．（2）结论正确．理由：如图，当△ABD是等腰直角三角形时，设BC＝CD＝m，则BM＝CM＝m，∵∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∴AM＝CD+CM＝m+m，∴tan∠BAM＝＝＝﹣1，∴tan22.5°＝﹣1．12．（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∵OA＝OB，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4（cm），∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AC＝AB，∵AD＝3cm，∴AC＝＝＝5（cm），∵DE⊥AC，∴DE＝＝＝（cm），∴AE＝＝＝（cm）．13．（1）证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAO；（2）解：∵AD∥OC，∠DAO＝105°，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°；（3）解：如图，作OG⊥CE于点G，根据垂径定理，得FG＝CG，∵OC＝，∠OCE＝45°．∴CG＝OG＝2，∴FG＝2，在Rt△OGE中，∵∠E＝30°，∴GE＝，∴EF＝GE﹣FG＝．14．（1）证明：连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切；（2）解：连接BE．∵BD＝4，∴CD＝BD＝4，∵CF＝4，∴DF＝＝＝8，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴DF∥BE，∴EF＝FC，∴BE＝2DF＝16，∵cos∠C＝cos∠ABC，∴，∴，∴AB＝20，∴AE＝＝＝12．15．（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°，而∠A＝∠CBD，∴∠ODA+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴CB2＝CD•CA，∵CD＝1，BC＝2，∴CA＝4，∴BD＝＝，∴AB＝＝2，设圆O的半径为r，则OB＝2﹣r，∵OB2＝OD2+BD2，∴，解得r＝．。

2021中考数学压轴题满分训练 – 圆的专题含答案解析

2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B＝，⊙O的直径是5，求AE的长．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为E，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．5．【发现】如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数（填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB ＝°．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？【研究】为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．【应用】（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为．（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE ＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．①∠BPE＝°，∠BPA＝°；②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．6．如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连接AB，AE，AO．∠C＝30°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：BO＝CE；（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；（3）求证：CE2＝CD•CA．8．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．9．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×4网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的“好点”；（2）△ABC中，BC＝14，tan B＝，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．10．如图，DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，交BC的延长线于点E，DE的延长线与△DBC的外接圆交于点A．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠DCB＝90°，sin E＝，AD＝4，求BD的长．11．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．（1）如图1，求证：BD＝ED．（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝12，sin∠BAC＝，求OE的长．12．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是半圆O1的切线；（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．13．已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径．点D是⊙O外一点，连接AD 和OD，OD与AC相交于点E，且OD⊥AC．（1）如图1，若AD是⊙O的切线，tan∠BAC＝，证明：AD＝AB；（2）如图2，延长DO交⊙O于点F，连接CD，CF，AF．当四边形ADCF为菱形，且∠BAC＝30°，BC＝1时，求DF的长．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BEC ＝3∠ACD．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF＝弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP＝1：，CF＝12，连接PF，求PF的长．参考答案1．解：（1）如图，连接OC，AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵PC是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠DCB，又∵CA＝CD，∴∠CAB＝∠CDB，∴∠DCB＝∠CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵∠CBA＝2∠CDB＝2∠CAB，∴∠CBA＝90°×＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）连接AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵E是中点，∴AE＝BE＝4，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×90°＝45°，在Rt△AEM中，AE＝4，∠AEM＝∠CBA＝60°，∴EM＝AE＝2，AM＝AE＝2，在Rt△ACM中，AM＝2，∠ACM＝45°，∴CM＝AM＝2，∴CE＝EM+CM＝2+2，答：CE的长为2+2．2．（1）证明：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵AO＝BO，∴EC＝BC，∴OC＝AE，∵OC＝OA＝OB＝AB，∴AE＝AB；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°，AC⊥BE，∵由（1）知：AB＝AE，∴EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在RtACB中，由勾股定理得：AC＝＝＝12，在Rt△ACE中，S△ACE＝＝，∵AE＝AB＝20，∴＝CD，解得：CD＝9.6．3．（1）证明：连接AD，OD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，∴AB∥OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB；（2）解：∵tan B＝＝，∴设AD＝k，BD＝2k，∴AB＝＝k，∵AB＝AC＝5，∴k＝，∴AD＝，BD＝2，∵S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，∴DE＝＝2，∴AE＝＝＝1．4．解：（1）∵O、I、N三点共线∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d．（2）BD＝ID．理由如下：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI ∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID．（3）由（2）知BD＝ID∴式子②可改写为IA•ID＝DE•IF又∵IA•ID＝IM•IN∴DE•IF＝IM•IN∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr．（4）∵d2＝R2﹣2Rr＝62﹣2×6×2＝12∴d＝2．故答案为：2．5．解：【发现】根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，∵∠AOB＝150°，∴∠ACB＝∠AOB＝75°，故答案为：不变，75°；【研究】补全图形如图1所示，【应用】（1）如图2，记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝30°，过点O作OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝，在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，∴r＝1（舍去负数），∴OA＝2，OH＝1，∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，故答案为：3；（2）①∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF+∠EBF＝90°，∵点P是△BEF的内心，∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；在△BPE和△BPA中，，∴△BPE≌△BPA（SAS）．∴∠BPA＝∠BPE＝135°，故答案为：135°，135°；②如图3，作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，∴∠AQB＝180°∠BPA＝45°，∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，∴OA＝OB＝AB＝，连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，则四边形OMBN是正方形，∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，∴CN＝BC+BN＝3，在Rt△ONC中，OC＝＝，∴CP 的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，故答案为：﹣．6．（1）解：∵CA为⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）证明：在Rt△AOC中，∠C＝30°，∴OA＝OC，∵OA＝OB＝OE，∴OB＝CE；（3）解：在Rt△AOC中，AC＝＝6，∴图中阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．7．（1）证明：连接OB、OE，如图所示：在△ABO和△EBO中，，∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠BAO＝∠BEO，∵⊙O与边BC切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BE＝3，BC＝7，∴AB＝BE＝3，CE＝4，∵AB⊥AD，∴AC＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∠ECO＝∠ACB，∴△CEO∽△CAB，∴，即，解得：OE＝，∴⊙O的半径长为．（3）证明：连接AE，DE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∵BA是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠DEC＝∠EAD，∴△EDC∽△AEC，∴，∴CE2＝CD•CA．8．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝，∴，∴EF＝3．9．解：（1）如图：D即为△ABC边AB上的“好点”；（2）如答图1：过A作AH⊥BC于H，∵tan B＝，tan C＝1，∴，＝1，设AH＝3k，则BH＝4k，CH＝3k，∵BC＝14，∴3k+4k＝14，解得k＝2，∴BH＝8，AH＝CH＝6，设BD＝x，则CD＝14﹣x，DH＝8﹣x，Rt△ADH中，AD2＝AH2+DH2＝62+（8﹣x）2，而点D是BC边上的“好点”，有AD2＝BD•CD＝x•（14﹣x），∴62+（8﹣x）2＝x•（14﹣x），解得x＝5或x＝10，∴BD＝5或BD＝10；（3）①∵∠CAH＝∠HDB，∠AHC＝∠BHD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴AH•BH＝CH•DH，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②如答图2：连接AD，∵OH⊥AB，OH∥BD，∴AB⊥BD，∴AD是直径，∵r＝3OH，设OH＝m，则OA＝3m，BD＝2m，Rt△AOH中，AH＝＝2m，∴BH＝2m，Rt△BHD中，HD＝＝2m，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴CH＝＝m，∴＝＝．10．（1）证明：∵DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，∴∠FDE＝∠CDE，∵∠ADB＝∠ACB＝∠FDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：∵∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD＝90°，∴∠E+∠CDE＝∠ABD+∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠FDE＝∠CDE，∴∠ABD＝∠E，∵sin E＝，∴sin∠ABD＝＝，∵AD＝4，∴BD＝4．11．（1）证明：如图1，连接BE．∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，∵∠DBC＝∠CAD．∴∠DBC＝∠BAD，∵∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；（2）如图2 所示；连接OB．∵AD是直径，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，且BF＝FC＝6，∵，∴OB＝10．在Rt△BOF中，BF＝6，OB＝10，∴，∴DF＝2，在Rt△BDF中，BF2+DF2＝BD2，∴，∴，∴．12．证明：（1）连接OD，∵AO为圆O1的直径，则∠ADO＝90°．∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD＝DC．（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，∴O1D∥OC．又DE⊥OC，∴DE⊥O1D∴DE与⊙O1相切．（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，∴DE∥O1O，又O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∠DEO＝90°，O1O＝O1D，∴四边形O1OED为正方形．13．解：（1）证明：∵OD⊥AC，∴AE＝EC＝AC，∠DEA＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠BAC＝＝，∴BC＝AC，∴AE＝BC，∵AD是⊙O的切线，∴DA⊥AB，∴∠DAO＝∠ACB＝90°，∴∠DAE+∠CAB＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，在△DAE和△ABC中，，∴△DAE≌△ABC（ASA），∴AD＝AB；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2，AC＝，∵∠ABC＝∠AFC＝60°，∵四边形ADCF为菱形，∴AC＝FC＝，∴△AFC是等边三角形，∴∠DFC＝AFC＝30°，∴CE＝FC＝，∴EF＝CE＝，∴DF＝2EF＝3．14．解：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∠ACB＝∠B，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，∴AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，∵BC•BE＝64，∴AB＝8，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝8．15．（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α．∵∠BEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠BAC＝2α，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠D＝90°﹣α，∴∠B＝∠D＝90°﹣α，∵∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α．∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD．∵＝，∴DB＝CF，∵∠DBA＝∠DCA，CZ＝BD，AB＝AC，∴△ADB≌△AZC（SAS），∴AD＝AZ，∵AG⊥DZ，∴DG＝GZ，∴CG＝CZ+GZ＝BD+DG＝CF+DG．（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．∵CP⊥AC，∴∠ACP＝90°，∴PA是直径，∵OR⊥PC，OK⊥AC，∴PR＝RC，∠ORC＝∠OKC＝∠ACP＝90°，∴四边形OKCR是矩形，∴RC＝OK，∵OH：PC＝1：，∴可以假设OH＝a，PC＝2a，∴PR＝RC＝a，∴RC＝OK＝a，sin∠OHK＝＝，∴∠OHK＝45°，∵OH⊥DH，∴∠DHO＝90°，∴∠DHA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠ADH＝90°﹣45°＝45°，∴∠DHA＝∠ADH，∴AD＝AH，∵∠COP＝∠AOD，∴AD＝PC，∴AH＝AD＝PC＝2a，∴AK＝AH+HK＝2a+a＝3a，在Rt△AOK中，tan∠OAK＝＝，OA＝＝＝a，∴sin∠OAK＝＝，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ACD+∠ADG＝90°，∴∠DAG＝∠ACD，∵AO＝CO，∴∠OAK＝∠ACO，∴∠DAG＝∠ACO＝∠OAK，∴tan∠ACD＝tan∠DAG＝tan∠OAK＝，∴AG＝3DG，CG＝3AG，∴CG＝9DG，由（2）可知，CG＝DG+CF，∴DG+12＝9DG，∴DG＝，AG＝3DG＝3×＝，∴AD＝＝＝，∴PC＝AD＝，∵sin∠F＝sin∠OAK，∴sin∠F＝＝，∴CT＝×FC＝×12＝，FT＝＝＝，PT＝＝＝，∴PF＝FT﹣PT＝﹣＝．。

2021年九年级数学中考一轮复习圆综合填空压轴题提升专题训练

2021年九年级数学中考一轮复习圆综合填空压轴题培优提升专题训练（附答案）1．如图：已知⊙O的半径为6，E是⊙O上一个动点，以BE为边按顺时针方向作正方形BEDC，M是弧AB的中点，当E在圆上移动时，MD的最小值是．2．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为．3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝75°，对角线BD＝2，则四边形ABCD面积的最小值为．4．如图，已知△OAB是等腰直角三角形，OA＝OB＝，点E是AB上一点，且∠AOE＝15°，以O为圆心，OE的长为半径画弧，与△OAB的三边分别交于点C、F、D，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．5．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，A点在抛物线上，且以BC为直径的圆经过点A，A在x轴上方，则点A的横坐标为．6．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长．7．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，作直线BC，连接AB，AC，若∠P＝80°，则∠C＝°．8．已知⊙O的直径AB为4cm，点C是⊙O上的动点，点D是BC的中点，AD延长线交⊙O 于点E，则BE的最大值为．9．如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，以AB为直径在△ABC另一侧作半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cos∠B＝，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△AB'C，P为线段AB上的动点，以点P为圆心，P A长为半径作⊙P，当⊙P与△A′B′C的一边所在的直线相切时，⊙P的半径为．11．如图，四边形ABDC内接于半圆O，AB为直径，AD平分∠CAB，AB﹣AC＝4，AD＝3，作DE⊥AB于点E，则BE的长为，AC的长为．12．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE ＝30°，则EP的长为．13．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO＝，以线段BC为直径作⊙M交线段AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y＝ax2+bx+e，直线与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F，当EF＝BD时，则m的值为．14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于．15．如图，⊙O的直径AB的长12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB于点E，OC ⊥DF于点C，连接CE，AF，则sin∠AEC的值是，当CE的长取得最大值时AF 的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是．17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos B＝，BC＝3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC 于点E．设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE ∥CF时，则AP的长为．18．矩形ABCD的边AB＝4，边AD上有一点M，连接BM，将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，N恰好落在CD上，过M、D、N作⊙O，⊙O与BC相切，Q为⊙O上的动点，连BQ，P为BQ中点，连AP，则AP的最小值为．19．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE 为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．20．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是．21．平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH ＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．22．如图，AB是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝10，BE＝3．将阴影部分沿着弦AC翻折压平，翻折后，弧AC对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系为．23．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，则线段EF的长为．24．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，将扇形OAB绕边OB的中点D 顺时针旋转90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为．25．如图所示，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连接PD，DN，则△PDN的面积的最大值是．26．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E．若∠OCD ＝45°，OC＝+1，则扇形AOB的半径长是．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M，N分别为AD，AC上的动点（不含端点），AN＝DM，连接点M与矩形的一个顶点，以该线段为直径作⊙O，当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时，线段DM的长为．参考答案1．解：如图，连接MO，延长MO交⊙O于T，连接BT，OE，BD．∵M是弧AB的中点，AB是直径，∴MT⊥AB，∵OB＝OT＝6，∴∠OBT＝∠OTB＝45°，∴BT＝OB，∵四边形BCDE是正方形，∴∠EBD＝∠OBT＝45°，BD＝BE，∴∠OBE＝∠TBD，＝＝，∴△TBD∽△OBE，∴＝＝，∴TD＝OE＝6，∵DM≥TM﹣TD，∴DM≥12﹣6，∴DM的最小值为12﹣6．故答案为：12﹣6．2．解：如图，连接OA．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AM＝MC＝BM＝MD，∠BAD＝90°，∴AB2+AD2＝BD2，∴BD的值最小时，AB2+AD2的值最小，∵AM≥OM﹣OA，OM＝5，OA＝3，∴AM≥2，∴AM的最小值为2，∴BD的最小值为4，∴AB2+AD2的最小值为16，故答案为16．3．解：如图，连接AC，∵AB＝CB，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，将△DBC绕点B顺时针旋转60°得△HBA，连接DH，则BD＝BH＝2，∠HBD＝60°，∴△HBD是等边三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝S△BDH﹣S△ADH，∵BD＝2，是定值，∴S△BDH是定值，∴当△ADH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，∵∠ADC＝75°，∠ABC＝60°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°﹣60°＝225°，∴∠DAH＝360°﹣∠BAD﹣∠HAB＝360°﹣225°＝135°，∵点A在定圆⊙O（△ADH的外接圆）上运动，当O、A、B共线时，△ADH的面积最大，此时，OB⊥DH，设OA交DH于K，则HK＝KD＝1，∵AH＝AD，∴∠AHD＝∠ADH＝22.5°，在HK上取一点F，使FH＝AF，则△AKF是等腰直角三角形，设AK＝FK＝x，则AF＝FH＝x，∴1＝x+x，∴x＝﹣1，∴△ADH面积的最大值＝×2×（﹣1）＝﹣1，∴四边形ABCD的面积的最小值＝×22﹣（2﹣2）＝﹣+1．故答案为：﹣+1．4．解：如图，连接OF．作OH⊥EF于H．由题意：∠AOE＝∠FOB＝15°，∠EOF＝90°﹣15°﹣15°＝60°，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝，∴AB＝2，∵OH⊥AB，OA＝OB，∴AH＝BH，∴OH＝AB＝，∠EOH＝∠FOH＝30°，∴OF＝＝2，∴S阴＝（S△AOB﹣2•S扇形EOC﹣S△EOF）+（S扇形OEF﹣S△OEF）＝××﹣2×﹣×22+﹣×22＝3+﹣2．故答案为3+﹣2．5．解：对于抛物线y＝﹣x2+2x+8，令y＝0，得到x2﹣2x﹣8＝0，解得x＝﹣2或4，不妨设B（﹣2，0），C（4，0），A（m，﹣m2+2m+8），由题意（m﹣1）2+（﹣m2+2m+8）2＝9，∴（m﹣1）2﹣32+（m+2）2•（m﹣4）2＝0，∴（m﹣4）（m+2）+（m+2）2•（m﹣4）2＝0，∴（m+2）（m﹣4）[1+（m+2）（m﹣4）]＝0，∴（m+2）（m﹣4）（m2﹣2m﹣7）＝0，解得m＝﹣2或4或1±2，∵点A在x轴的上方，∴点A的横坐标为1±2．6．解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°，∵DM＝VE，∴CM＝BC，∵的长为2π，∴＝2π，解得：R＝4，即BM＝BE＝CD＝AB＝4，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，BC＝CM＝2，∴CE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．7．解：连接OA，∵过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，∴∠C＝AOB＝50°，故答案为：50．8．解：如图，以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大．∵AE是⊙K的切线，∴DK⊥AE，∴∠ADK＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ADK＝∠AEB，∴DK∥BE，∴＝，∴＝，∴BE＝，故答案为．9．解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，∵AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，∴AB＝6，∴O′A＝OA＝3，延长BC交⊙O于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°，设⊙O′与BC相切于点G，则∠O′GB＝90°，∴∠E＝∠O′GB，∴AE∥O′G，∵∠ABC＝30°，AB＝6，∴AE＝O′G＝3，∴四边形O′AEG为平行四边形，∴AO′∥BE，∴∠O′AB＝∠ABC＝30°，作O′M⊥AF于M∵O′A＝3，∠O′AB＝30°，∴AM＝MF＝，∴AF＝2AM＝．故答案为：．10．解：①当⊙P与△A′B′C的A′B′边所在的直线相切时，即：⊙P′所在的位置，设切点为H点，圆的半径为R，BC＝3，cos∠B＝，则sin∠B＝＝sin∠AB′H，则AC＝A′C＝4，BC＝CB′＝3，AB′＝AC﹣B′C＝1，sin∠AB′H＝＝＝，则R＝，②当⊙P与△A′B′C的A′C边所在的直线相切时，即：⊙P′′所在的位置，同理，可得：R＝；故：答案为：或．11．解：如图，作DF⊥AC交AC的延长线于F．∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵∠DAC＝∠DAB，∴＝，∴CD＝DB，∵∠F＝∠DEB＝90°，∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），∴CF＝BE，∵∠F＝∠AED＝90°，AD＝AD．DF＝DE，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF＝AE，∵AB﹣AC＝AE+EB﹣（AF﹣CF）＝2BE＝4，∴BE＝2，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AE•AB，设AE＝x，则有：63＝x（x+2），解得x＝7或﹣9（舍弃），∴AE＝7，∴AB＝AE+BE＝9，∵AB﹣AC＝4，∴AC＝5，故答案为2，5．12．解：如图，连接AC，AE，∵AB＝BC＝4，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，AE⊥BC，∠EAC＝30°，∴AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当⊙O与CD边交于P1，则∠EP1C＝30°，∵∠ECP1＝105°，∴∠P1EC＝45°，过C作CH⊥P1E于H，∴EH＝CH＝CE＝，∴P1H＝HC＝，∴P1E＝+；当⊙O与AD交于P2，A（P3），∵AD∥CE，∴∠ECP2＝∠AP2C＝90°，∴四边形AECP2是矩形，∴P2E＝AC＝4，P3E＝P2C＝2，当⊙O与AB交于P4，∵∠AP4C＝90°，∠EP4C＝30°，∴∠BP4E＝60°，∴△BP4E是等边三角形，∴P4E＝BE＝2，综上所述，若∠CPE＝30°，则EP的长为或4或2或2，故答案为：或4或2或2．13．解：∵tan∠ABO＝＝，且A（1，0），∴OB＝2，即：点B的坐标为（0，2）．点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y＝ax2+bx+e上，∴，解得：b＝﹣，a＝，∴x＝﹣＝．∵EB＝﹣（1+m），FB＝﹣m，EF＝FB﹣EB＝1，∴线段EF的长是定值1．∴BD＝EF＝1．如图所示，连接CD∵BC为直径∴∠CDB＝90°∴∠CDA＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO∴△CAD∽△BAO∴＝A（1，0），B（0，2），C（m，0），∴AB＝，AC＝1﹣m，AO＝1∵BD＝1∴AD＝﹣1∴＝∴1﹣m＝5﹣∴m＝故答案为：．14．解：∵∠ADC＝90°，P是AC中点，∴AC＝2DP＝8，又∵BC＝6，∴AB＝10，则CD＝＝＝，∴BD＝＝，如图1，若⊙O与CD相切，则⊙O的半径r＝BD＝；如图2，若⊙O与CP相切，则BO＝OE＝r，AO＝10﹣r，由OE⊥AC知OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝；如图3，若⊙O与DP所在直线相切，切点F，则OF⊥DP，即∠OFD＝∠ACB＝90°，OB＝OF＝r，∴OD＝BD﹣BO＝﹣r，∵∠ODF＝∠ADP＝∠A，∴△ODF∽△BAC，∴＝，即＝，解得r＝；综上，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于或或，故答案为：或或．15．解：如图1，连接OD，∴DO＝AB＝6，∵OC⊥DF，∴∠OCD＝90°，CD＝CF＝DF＝2，在Rt△OCD中，根据勾股定理得，OC＝＝4，∴sin∠ODC＝＝＝，∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°＝∠OCD，∴点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，∴∠AEC＝∠ODC，∴sin∠AEC＝sin∠ODC＝，如图2，∵CE是以OD为直径的圆中的弦，CE要最大，即：CE是以OD为直径的圆的直径，∴CE＝OD＝6，∠COE＝90°，∵∠OCD＝∠OED＝90°，∴四边形OCDE是矩形，∴DF∥AB，过点F作FG⊥AB于G，易知，四边形OCFG是矩形，∴OG＝CF＝2，FG＝OC＝4，∴AG＝OA﹣OG＝4连接AF，在Rt△AFG中，根据勾股定理得，AF＝＝4，故答案为，4．16．解：过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP＝x，∵⊙P与x轴相切于原点O，∴OP⊥OE，∵平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，∴四边形APOB是矩形，∴AB＝OP＝x，∵点E的坐标是（﹣3，﹣1），∴AP＝OB＝3，AE＝AB﹣BE＝x﹣1，在Rt△ABE中，32+（x﹣1）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝4，∵AF＝AE，∴EF＝8，∴BF＝EF+BE＝9，∴点F的坐标是（﹣3，﹣9）．故答案为（﹣3，﹣9）．17．解：如图，连接CF，过点P作PG⊥AC于G，设P A＝x．在Rt∠ACB中，∵ACB＝90°，BC＝3，cos B＝＝，∴AB＝5，AC＝＝＝4，∵PG⊥AD，∴AG＝DG＝P A•cos∠BAC＝x，∴AD＝x，CD＝4﹣x，∵∠ABC+∠A＝90°，∠PEC+∠CDE＝90°，∵∠A＝∠PDA，∴∠ABC＝∠PEC，∵∠ABC＝∠EBP，∴∠PEC＝∠EBP，∴PB＝PE，∵点Q为线段BE的中点，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，∴PF＝CD，当点P在边AB的上时，x＝4﹣x，x＝，当点P在边AB的延长线上时，x＝x﹣4，x＝，综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．18．解：设⊙O与BC的交点为F，连接OB、OF，如图1所示．∵△MDN为直角三角形，∴MN为⊙O的直径，∵BM与⊙O相切，∴MN⊥BM，∵将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，∴MB＝MN，∴△BMN为等腰直角三角形，∵∠AMB+∠NMD＝180°﹣∠AMN＝90°，∠MBA+∠AMB＝90°，∴∠NMD＝∠MBA，且BM＝NP，∠A＝∠NMD＝90°，∴△ABM≌△DMN（AAS），∴DM＝AB＝4，DN＝AM，设DN＝2a，则AM＝2a，OF＝4﹣a，BM＝＝2，∵BM＝MP＝2OF，∴2＝2×（4﹣a），解得：a＝，∴DN＝2a＝3，OF＝4﹣＝，∴⊙O半径为，如图2，延长BA，使AH＝AB＝4，连接HQ，OH，过O作OG⊥AB于G，∵AB＝AH，BP＝PQ，∴AP＝HQ，HQ∥AP，∴当HQ取最小值时，AP有最小值，∴当点Q在HO时，HQ的值最小，∵HG＝4+4﹣＝，GO＝3+4﹣2＝5，∴OH＝＝＝，∴HQ的最小值＝﹣＝，∴AP的最小值为，故答案为：．19．解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，BC＝AB2＝，∠DCG＝90°，∵CG＝BG＝，∴DG＝＝＝，∵BE是直径，∴∠BHE＝∠BHC＝90°，∵BG＝GC，∴HG＝BC＝，∵DH≥DG﹣HG，∴DH≥﹣＝，∴DH的最小值为．故答案为．20．解：对于抛物线y＝x2﹣x﹣1，令x＝0，得到y＝﹣1，∴C（0，﹣1），令y＝0，x2﹣x﹣1＝0，解得x＝5或﹣，∴A（﹣，0），B（5，0），∵PQ是切线，∴PQ⊥BQ，∴∠PQB＝90°，∴PQ＝＝，∴PB的值最小时，PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当BP′⊥AC于P′时，BP′的值最小，∵OA＝，OC＝1，∴tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，∴BP′＝AB•sin30°＝6×＝3，∴PQ的最小值＝＝，故答案为．21．解：设PB交⊙O于点N，连接P A，延长PB、AC交于点M，∵AB是直径，PH⊥CB∴∠ANP＝90°＝∠ACB＝∠H，∴MC∥PH，由圆的对称性可得，P A＝PB，∠BPO＝∠APO＝∠APB，∵∠BPH＝2∠BPO，∴∠BPH＝∠APB，∴△PHB≌△PNA（AAS），∴PN＝PH＝15，由MC∥PH得，∠HPB＝∠M＝∠APM，∴AM＝AP＝PB，∵AN⊥PM，∴PM＝2PN＝30，由△PHB∽△MCB，∴＝＝，设MC＝a，BC＝b，MB＝c，则HB＝24﹣b，PB＝30﹣c，∴＝＝，∴＝＝sin M＝sin∠HPB，∴cos∠HPB＝在Rt△PHB中，PH＝15，∴PB＝＝＝25，HB＝sin∠HPB•PH＝20，∴BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，则MC＝＝3，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，∴tan∠BAC＝＝＝，故答案为：．22．解：过O作OM⊥AC，交⊙O于F，交弧G于H，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴OA＝OB＝OG＝OD＝5，∵BE＝3，∴OE＝2，在Rt△OED中，由勾股定理得：CE＝＝＝，在Rt△AEC中，AC＝＝＝，∵OF⊥AC，∴AM＝AC＝，由勾股定理得：OM＝＝＝，由折叠得：弧G所在圆与圆O是等圆，∴弧G所在圆的半径为5，∴MH＝FM＝5﹣，∵5﹣＜，∴FM＜OM，∴O在G所在圆外，故答案为：点在圆外．23．解：如图，连接AE，AF．∵BC＝14，CE＝9，∴BE＝BC﹣EC＝14﹣9＝5，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝13，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠AFE＝∠ACB，∴∠AFE＝∠DAC，∵∠AEF＝∠ACD，∴△AFE∽△DAC，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为．24．解：延长EO交O'A'于P，则由∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，D为OB中点，可得S阴影OPO′＝12﹣＝1﹣；∵O′P＝OE，∠EPO'＝90°，∴cos∠EO'P＝，∴∠EO'P＝60°，EP＝∴S阴影A′PE＝S扇形O′A′E﹣S△O′PE＝﹣××1＝﹣∴S阴影═1﹣+﹣＝1﹣+．故答案为1﹣+．25．解：连接AD，作NM⊥PB于M，∵六边形APCDEF是正六边形，∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，∴∠ADE＝60°，∴∠ADP＝30°∴PD＝P A，∵DP⊥AB，NM⊥PB∴PD∥MN，∴PM就是△PDN的PD边的高，设P A＝x．则PB＝10﹣x，∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，∴PM＝PB＝（10﹣x），∴S△PDN＝PD•PM＝×x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+（0＜x＜10），∴△PDN的面积的最大值为：．故答案为：．26．解：作O关于CD的对称点F，连接CF、EF，如图1所示：则EF为扇形AOB的半径，由折叠的性质得：∠FCD＝∠OCD＝45°，FC＝OC＝+1，∴∠OCF＝90°，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠COF＝45°，OF＝OC＝+，∴∠EOF＝∠AOB﹣∠COF＝75°，∵折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E，∴∠OEF＝90°，∴∠OFE＝15°，∵cos∠OFE＝＝cos15°＝，如图2所示：∴EF＝OF×cos15°＝（）×＝2+；故答案为：2+．27．解：如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，设DM＝AN＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝＝10，∵∠MAN＝∠DAC，∠ANM＝∠ADC＝90°，∴△ANM∽△ADC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴DM＝如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，设BC与圆的交点为H，连接MH，NH．设DM＝AN＝y．∵BM是直径，∴∠MHB＝90°，∴∠MHC＝∠D＝∠DCH＝90°，∴四边形CDMH是矩形，∴CH＝DM＝y，∵∠NCH＝∠BCA，∠CHN＝∠CAB，∴△CNH∽△CBA，∴＝，∴＝，解得y＝，∴DM＝，故答案为或。

2021年中考数学圆压轴题练习

1．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的运动路径的长是（）1）2）3）A．2π+2B．3πC．D．+22．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．3．如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3D．34．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）（4）（5）（6）（7）A．m B．m C．m D．m5．如图，是一个几何体的三视图，则此几何体的全面积是（）A．210πcm2B．175πcm2C．320πcm2D．285πcm26．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．208．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）（8）（9）（10）A．35°B．38°C．40°D．42°9．如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+211．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝10，AH＝8，⊙O的半径为7，则AB＝．（11）（12）（13）14 12．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为．14．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为．15．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．15 16 1718 16．如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为．17．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF 和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是．18．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．20．如图，四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，AE∥BC交直线BD于E．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若CD为直径，tan∠ADE＝2，求sin∠BDC的值．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．22．已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A 的平行线BC交O1O2于点C．（1）求证：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．23．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB＝5，AD：DE＝4：1，求DE的长．25．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA 相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．26．在▱ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，⊙O的半径为，求PD的长．27．（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．28．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD．（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接PP交CD于点G，如果CF＝10，cos∠APC＝，求EG的长．29．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（2）求证：EH＝AB；（3）若BH＝1，EC＝，求⊙O的半径．30．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD 的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝，5BF﹣5AD＝4．（1）求AE的长；（2）求cos∠CAG的值及CG的长．31．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O 经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．32．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根．（1）求证：P A•BD＝PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．33．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．34．如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD＝PB，连接BD．（1）求证：PC∥BD；（2）若⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，求CP的长；（3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明．35．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE＝EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．36．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，D是的中点，过点D作⊙O的切线与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．（1）求证：AF⊥EF；（2）填空：①当BE＝时，点C是AF的中点；②当∠E＝时，四边形OBDC 是菱形．37．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．【操作与发现】（1）当E运动到AE⊥CD处，利用直尺与规作出点E与点F；（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，证明：＝．【探索与证明】（3）点E运动到任何一个位置时，求证：；【延伸与应用】（4）点E在运动的过程中求EF的最小值．38．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．39．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D 作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）若tan∠ABC＝2，AB＝2，求线段DP 的长．参考答案与试题解析1．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的运动路径的长是（C）（1）（2）（3）A．2π+2B．3πC ．D ．+2点O 的运动路径的长＝的长+的长+的长＝++＝，2．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（A）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D ．解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD ＝＝3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD ＝﹣•3•3＝6π﹣，∴阴影部分的面积为6π﹣．3．如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B ．C．3D．3解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．设∠BAB′＝n °．∵＝4π，∴n＝120即∠BAB′＝120°．∵E为弧BB′中点，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，∴最短路线长为3．4．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（C）（4）（5）（6）A ．mB ．mC ．mD ．m解：设底面半径为rm，则2πr ＝，解得：r ＝，所以其高为：＝（m），5．如图，是一个几何体的三视图，则此几何体的全面积是（A）A．210πcm2B．175πcm2C．320πcm2D．285πcm2解：由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，而且圆锥和圆柱的底面积相等，圆锥的母线长，此几何体的全面积是＝π×5×13+π×52+2π×5×12＝210πcm2，6．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD ＝，CE＝3，则的长为（D）A ．B ．πC ．πD ．π解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥OC∥BE，∵OA＝OB，∴DC＝CE＝3，∵AD ＝，∴tan∠ACD ＝＝，∴∠ACD＝30°，∴∠ACO＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC，∵AC ＝＝＝2∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB ＝，DF＝5，则AB的长为（D）A．10B．12C．16D．20（7）（8）解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB ＝，∴EF＝3，∴AE ＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20．8．如图，BC是半圆O的直径，D，E 是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（C）A．35°B．38°C．40°D．42°解：连接CD，如图：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°9．如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（B）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣解：如图，连接BC、OD、OB、CD，∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ACB＝70°，∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∴∠BCD＝30°，则∠BOD＝2∠BCD＝60°，又OD＝OB，∴△BOD是等边三角形，则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD ＝﹣×22＝π﹣，10．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（B）10 11 12A ．+B．2+C．4D．2+2解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE ⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD ＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD ＝，PE＝OD＝2，∴CE ＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，11．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝10，AH＝8，⊙O的半径为7，则AB ＝．解：作直径AD，连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，∴∠ABD＝∠AHC，由圆周角定理得，∠D＝∠C，∴△ABD∽△AHC，∴，即，解得，AB＝12．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C 恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．解：连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵点D为AB的中点，∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，，∴△DCH≌△DBG（ASA），∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．13．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为6．13 14 15∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴×2＝24π，解得r＝6．14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为﹣1．解：连接AO交⊙O 于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，∵点A（2，1），∴OA＝＝，∵OB＝1，∴AB＝﹣1，即点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为﹣1，15．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB＝DA＝＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，16．如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为π﹣2．解：连接OB，作OH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，∵O点为等边三角形的外心，∴BH＝CH＝1，在Rt△OBH中，OH＝BH＝，∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，∴阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S扇形ACB﹣2S△ABC﹣S⊙O＝3×﹣2××22﹣π×（）2＝π﹣2．17．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF 和弧DF，连接AD ，则图中阴影部分的面积是．17 18解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，∴AB＝＝，由旋转，得△EOF≌△BOA，∴∠OAB＝∠EFO ，∵∠FEO+∠EFO＝∠FEO +∠HED ＝90°，∴∠EFO＝∠HED ，∴∠HED＝∠OAB，∵∠DHE＝∠AOB＝90°，DE＝AB，∴△DHE≌△BOA（AAS），∴DH＝OB＝1，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×3×1+×1×2+﹣＝，18．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∴OE＝5﹣1＝4，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，∵AG•OB＝OE•AB，∴AG＝＝，∴AF＝2AG＝．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．19 20（1）证明：连接OA，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA，∵AE⊥CD，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四边形AOFE是矩形，∴OF＝AE＝4cm，又∵OF⊥CD，∴DF ＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，OD ＝＝5cm，即⊙O的半径为5cm．20．如图，四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，AE∥BC交直线BD于E．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若CD为直径，tan∠ADE＝2，求sin∠BDC的值．（1）证明：连接AB，连接AO并延长交BC于F，如图1：∵ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，∴∠ADE＝∠ACB，∠ADE＝∠ADC，∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴AF⊥BC∵AE∥BC，∴AE⊥AF，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接AO并延长交BC于G，如图2：∵CD为直径，∴∠DAC＝∠CBD＝90°，∵AE∥BC，∴∠E+∠CBD＝90°，∴∠E＝90°，∴四边形AEBG是矩形，∴BG＝AE，AG＝BE，∵∠ADE＝∠ADC＝∠ACB，∴tan∠ADE ＝＝tan∠ADC ＝＝tan∠ACB ＝＝2，∴AE＝2DE，AC＝2AD，AG＝2CG＝BC＝2AE＝4DE，∴AD ＝DE，CD ＝AD＝5DE，∴sin∠BDC ＝＝．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．21 22（1）连接OD∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD ∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC ∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC ＝BC，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠DFC＝∠ADC＝90°∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA ∴∠AOE＝120°，S△OAE ＝AE×OE sin∠OEA ＝×2×2×cos30°×2×sin30°＝3，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE ＝×π×（2）2﹣3＝4π﹣3．22．已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P 为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A 的平行线BC交O1O2于点C．（1）求：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分面积．（1）证明：连接AP，∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，∴O1P＝AP＝O2P ＝∴∠O1AO2＝90°，∵BC∥O2A∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，∴四边形ABDO2是矩形∴AB＝O2D，∵O1A＝r1+r2 ∴O2D＝r2，∴BC是⊙O2的切线；（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，∴O1A ＝∴∠AO2C＝30°，∵BC∥O2A ∴∠BCE＝AO2C＝30°，∴O1C＝2O1B＝4∴BC ＝＝＝2，∴S阴影＝＝＝﹣＝2﹣π．23．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D 为上的动点，且cos∠ABC ＝．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．23 24解：（1）作AM⊥BC，∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，∴CM ＝BC＝1∵cos∠ABC ＝＝，BM＝1，∴AB ＝＝；（2）连接DC∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACE，∵∠CAE公共角，∴△EAC∽△CAD ∴＝，∴AD•AE＝AC2＝10；（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，∵AN＝AD，AH⊥BD，∴NH＝HD，∵BN＝CD，NH＝HD，∴BN+NH＝CD+HD＝BH．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB＝5，AD：DE＝4：1，求DE的长．（1）证明：连接OD．∵OD＝CD，∴∠ODC＝∠OCD．∵AC为⊙O的直径∴∠ADC＝∠EDC＝90°．∵点F为CE的中点∴DF＝CF＝EF．∴∠FDC＝∠FCD．∴∠FDO＝∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO＝∠FCO＝90°．∴DF是⊙O的切线．（2）解：∵AC为⊙O的直径∴∠ADC＝∠ABC＝90°∵DB平分∠ADC∴∠ADB＝∠CDB ∴＝∴BC＝AB＝5，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝100，又∵AC⊥CE∴∠ACE＝90°．∴△ADC～△ACE ∴＝，∴AC2＝AD•AE，设DE为x，由AD：DE＝4：1，∴AD＝4x，AE＝5x，∴100＝4x•5x，∴x ＝，∴DE ＝．25．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA 相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．25 26（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7∵DG平分∠ADF∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6 ∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．26．在▱ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，⊙O 的半径为，求PD的长．（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，∴AF⊥AP∴∠F AP＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ∴∠AEB＝∠F AP＝90°，∴AF⊥BC，∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，∴BE＝CE．∵AF⊥BC，BE＝CE ∴AB＝AC；（2）解：连FC，OC，设OE＝x，则EF ＝﹣x．∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．∵AC＝AB＝4，AF＝2，∴CF ＝＝2．∴CE2＝OC2﹣OE2．∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2﹣EF2．∴OC2﹣OE2＝CF2﹣EF2，即（）2﹣x2＝22﹣（﹣x）2．解得，x ＝∴EC ＝＝，∴BC＝2EC ＝．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC ＝，∵AD∥BC ∴∠P AC＝∠ACB．∵P A，PC是⊙O的切线，∴P A＝PC．∴∠P AC＝∠PCA．∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB．∴∠P AC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB，∴△P AC∽△ABC ∴＝．∴AP ＝•AB＝2．∴PD＝AP﹣AD ＝．27．（1）如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD 之间的等量关系式是．（3）如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BD＝BM+DM＝．解：∵AB＝BC＝AC∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过点A作AM⊥AD交BD于点M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS）∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD．如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过点A作AM⊥AD交BD于点M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD ∴，∴CD ∴；（3）BD＝BM+DM＝，理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径∴∠BAC＝90°，过点A作AM⊥AD交BD于点M，∴∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD ∴，∴BM ＝，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB ∴，∴DM ＝，∴BD＝BM+DM ＝．28．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD．（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；相切（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接PP交CD于点G，如果CF＝10，cos∠APC ＝，求EG的长．解：（1）连接OD∵在⊙O中，OD＝OC，AB⊥CD于点E，∴∠COP＝∠DOP．，∴△OCP≌△ODP（SAS）．∴∠OCP＝∠ODP．又∵PC切⊙O于点C，OC为⊙O半径，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°．∴∠ODP＝90°．∴OD⊥PD于点D．∴PD与⊙O相切于点D；（2）作FM⊥AB于点M．∵∠OCP＝90°，CE⊥OP于点E，∴∠3+∠4＝90°，∠APC+∠4＝90°．∴∠3＝∠APC．∵cos∠APC ＝，∴Rt△OCE中，cos∠3＝＝．∵CF＝10，∴OF＝OC ＝．∴CE＝4，OE＝3．又∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴∠FMO＝∠CEO＝90°．在△OFM和△OCE中∴△OFM≌△OCE（AAS）．∴FM＝CE＝4，OM＝OE＝3．∵在Rt△OCE中，cos∠APC ＝，设PC＝4k，OP＝5k，∴OC＝3k．∴3k＝5，解得：k ＝．∴OP ＝，∴PE＝OP﹣OE ＝，PM＝OP+OM ＝，又∵∠FMO＝∠GEP＝90°，∴FM∥GE．∴△PGE∽△PFM．∴，即．∴GE ＝．29．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（2）求证：EH ＝AB；（3）若BH＝1，EC ＝，求⊙O的半径．解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．∴AB＝DC，∠B＝∠C，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠B＝∠OEC，∴OE∥AB；（2）证明：连接OF，∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB，∵EH⊥AB，∴OF∥EH，又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形，∴EH＝OF，连接DF、CF，∵DC是⊙O直径，∴∠DFC＝90°，∵DO＝OC∴OF ＝CD ＝AB，∴EH ＝AB；（3）解：连接DE，设⊙O的半径为r，∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，则∠DEC＝∠EHB，又∵∠B＝∠C，∴△EHB∽△DEC，∴，∵BH＝1，，∴，在R t△DEC中，DE2+EC2＝CD2∴，r＞0，解得：，∴⊙O 的半径为．30．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD 的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE ＝，5BF﹣5AD＝4．（1）求AE的长；（2）求cos∠CAG的值及CG的长．解：（1）延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT 于H．∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OD，∵OC⊥AB，∴∠EAO＝∠AOH＝∠EHO＝90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH＝OA＝3，AE＝OH，∵CH ＝＝＝5，∴AE＝OH＝CH﹣CO＝5﹣3＝2．（2）∵AE∥OC，∴＝＝，∴AD ＝OA ＝，∵5BF﹣5AD＝4，∴BF＝2，∴OF＝OB﹣BF＝1，AF＝AO+OF＝4，CF ＝＝＝，∵∠F AC＝∠FGB，∠AFC＝∠GFB，∴△AFC∽△GFB，∴＝，∴＝，∴FG ＝，∴CG＝FG+CF ＝，∵CT是直径，∴∠CGT＝90°，∴GT ＝＝＝，∴cos∠CTG ＝＝＝，∵∠CAG＝∠CTG，∴cos∠CAG ＝．31．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O 经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．解：（1）①连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD2＝CE•CA；（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠F AD，∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠F AD，∴AF＝DF＝OA＝OD，∴△OFD、△OF A是等边三角形，则DF∥AC，故S阴影＝S扇形DFO，∴∠C＝30°，∴OD ＝OC ＝（OE+EC），而OE＝OD，∴CE＝OE＝R＝3，S阴影＝S扇形DFO ＝×π×32＝．32．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根．（1）求证：P A•BD＝PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．解：（1）∵DP平分∠APB，∴∠APE＝∠BPD，∵AP与⊙O相切，∴∠BAP＝∠BAC+∠EAP＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠EAP＝∠B，∴△P AE∽△PBD，∴，∴P A•BD＝PB•AE；（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD＝DF，∵∠EAP＝∠B，∴∠APC＝∠BAC，易证：DF∥AC，∴∠BDF＝∠BAC，由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6＝0，解得：AE＝2，BD＝3，∴由（1）可知：，∴cos∠APC ＝＝，∴cos∠BDF＝cos∠APC ＝，∴，∴DF＝2，∴DF＝AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AD＝AE，∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，∵cos∠BAC＝cos∠APC ＝，∴sin∠BAC ＝，∴，∴DG ＝，∴在线段BC上存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DG•AE＝2×＝33．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若AB ＝，E 是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．①当的长度是π时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．（1）证明：如图1，连接OD，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴AB＝BC，∵D是BC的中点，∴BD＝BC，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODB＝∠BAO＝90°，即OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线．（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；如图2，设DE交AC于点M ，连接OE，则DE＝2DM，∵∠C＝30°，∴CD＝2DM，∴DE＝CD＝AB＝BC，∵∠BAC＝90°，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵AB＝BD，∴四边形ABDE是菱形；∵AD＝BD＝AB＝CD＝BC＝，∴△ABD是等边三角形，OD＝CD•tan30°＝1，∴∠ADB＝60°，∵∠CDE＝90°﹣∠C＝60°，∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠CDE＝60°，∴∠AOE ＝2∠ADE＝120°，∴的长度为：＝π；②若∠ADE＝90°，则点E与点F 重合，此时的长度为：＝π；若∠DAE＝90°，则DE是直径，则∠AOE＝2∠ADO＝60°，此时的长度为：＝π；∵AD不是直径，∴∠AED≠90°；综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．34．如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD＝PB，连接BD．（1）求证：PC∥BD；（2）若⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，求CP的长；（3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明．（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵PD＝PB，∴∠PBD＝∠D＝45°，∴∠APC＝∠D＝45°，∴PC∥BD；（2）解：作BH⊥CP，垂足为H，∵⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，∴BC＝2，∠BCP＝∠BAP＝30°，∠CPB＝∠BAC＝45°，在Rt△BCH中，CH＝BC•cos∠BCH＝，BH＝BC•sin∠BCH＝，在Rt△BHP中，PH＝BH＝，∴CP＝CH+PH＝+；（3）解：的值不变，∵∠BCP＝∠BAP，∠CPB＝∠D，∴△CBP∽△ABD，∴＝＝，∴＝，即＝．35．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE＝EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为30°时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为22.5°时，四边形ECOG为正方形．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，即∠1+∠4＝90°，∵DO⊥AB ∴∠3+∠B＝90°，而∠2＝∠3，∴∠2+∠B＝90°，而OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE；（2）解：①当∠D＝30°时，∠DAO＝60°，而AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠3＝∠2＝60°，而CE＝FE，∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝EF，同理可得∠GFE＝60°，利用对称得FG＝FC，∵FG＝EF，∴△FEG为等边三角形，∴EG＝FG，∴EF＝FG＝GE＝CE，∴四边形ECFG为菱形；②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，而OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝67.5°，∴∠AOC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∴∠AOC＝45°，∴∠COE＝45°，利用对称得∠EOG＝45°，∴∠COG＝90°，易得△OEC≌△OEG，∴∠OGE＝∠OCE＝90°，∴四边形ECOG为矩形，而OC＝OG，∴四边形ECOG为正方形．36．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，D 是的中点，过点D作⊙O的切线与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．（1）求证：AF⊥EF；（2）①当BE＝4时，点C是AF的中点；②当∠E＝30°时，四边形OBDC是菱形．解：（1）连接OD ，BD，BC，∵ED为⊙O的切线∴OD⊥EF，∵D是的中点∴OD⊥BC，∴EF∥BC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AFE＝90°∴AF⊥EF；（2）①当BE＝4时，由（1）知，BC∥EF，当AB＝BE时，AC＝CF，∴当BE＝4时，点C是AF的中点，②当∠E＝30°时，四边形OBDC是菱形．如图，∵EF是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠F＝90°，∴∠DOE＝∠COA＝60°，∵OD＝OB＝OC＝OA，∴△ODB，△AOC为等边三角形，∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝60°，∴△COD为等边三角形，∴OB＝BD＝OD＝CD＝OC，∴四边形OBDC是菱形；37．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．（1）当E运动到AE⊥CD处，利用直尺与规作出点E与点F；（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，证明：＝．（3）点E 运动到任何一个位置时，求证：；（4）点E在运动的过程中求EF的最小值．解：（1）如图1，（2）如图，易知AC为直径，则AF⊥BC，则S四边形ABCD＝BC•AF＝CD•AE，∴＝＝（3）如图，作AM⊥BC，AN⊥CD，若E在DN之间由（2）可知，＝∵A、F、C、E四点共圆，∴∠AFC+∠AEC＝180°，∵∠AFC+∠AFM＝180°，∴∠AEN＝∠AFM，∵∠AMF＝∠ANE∴△AMF∽△ANE∴＝＝若E在CN之间时，同理可证（4）∵A、F、C、E四点共圆，∴∠F AE+∠BCD＝180°，∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠F AE＝45°，∴∠FOE＝90°，∴△FOE为等腰直角三角形，∴FE ＝R∵AN≤AC≤2R，∴E与N重合时，FE最小，此时FE ＝AC，在△ABC中，AM＝BM＝3，则CM＝2∴由勾股定理可知：AC ＝此时EF 最小值为38．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF+∠ADF＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴＝，即＝，∵△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，在正方形ABCD中，∵DA＝DC，∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3，∴CG ＝＝5，∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O 的半径为．39．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D 作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）若tan∠ABC＝2，AB＝2，求线段DP的长．（1）证明：如图1，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PD，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PD，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，∴，∴AB•CP＝BD•CD；（3）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵tan∠ABC＝2，，∴＝2，∴，∴，∴OD＝5，如图2，连接OD，过点C作CG⊥DP，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG＝CG＝OD＝5，∵BC∥PD，∴∠CPG＝∠ACB，∴tan∠CPG＝tan∠ACB，∴，即，解得，GP＝10，∴DP＝DG+PG＝5+10＝15．。

2021年中考数学《圆综合压轴题》模拟训练题集(一)

2021年中考数学《圆综合压轴题》模拟训练题集（一）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．（1）求证：点D为BC的中点；（2）求AP的长度；（3）求证：CP是⊙O的切线．2．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．3．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若＝，求证：AE＝AO；（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝2，求AD的长．4．如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）求证：△CFP∽△CPD；（3）如果CF＝1，CP＝2，sin A＝，求O到DC的距离．5．如图1，▱AOBC的顶点A、B、C在⊙O上，点D、E分别在BO、AO的延长线上，且OD＝2OB，OE＝2OA，连接DE．（1）求∠AOB的度数；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如图2，设直线DE与⊙O相切于点F，连接AD、BF，判断线段AD与BF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．6．如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AB于E，交CB于点F．过点D作BC的平行线DM，连接AC 并延长与DM相交于点G．（1）求证：GD是⊙O的切线；（2）求证：GD2＝GC•AG；（3）若CD＝6，AD＝8，求cos∠ABC的值．7．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；（3）如图2，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．8．如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图3，当＝时，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．9．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的⊙O与AE交于点F．（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；（2）求证：CF与⊙O相切；（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．10．已知AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，垂足为点N，弦CD交AM于点E，连按AB和BE．（1）如图1，若CD⊥AB，垂足为点F，求证：∠BED＝2∠BAM；（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，若∠ABE＝∠BDC，求证：AE＝2CN；（3）如图3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM的长．11．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．12．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形F ACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD＝FI；②设AC＝2m，BD＝2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．13．如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；（3）若＝，求证：CD＝DH．14．如图，⊙O与AB，AC分别相切于D，E两点，AB＝AC，AO交⊙O于点F，交BC于点G，BC与⊙O交于点P，Q连接EQ（1）求证：AG⊥BC；（2）若DE平分OF，求证：△ADE是等边三角形；（3）在（2）的条件下，若AD＝PQ，EQ＝2，求BP的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF＝CF，①判断以O、E、C、D为顶点的四边形的形状，并说明理由；②求tan∠ACO的值．16．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O交AB于点E、交AC于点F，连结EF、BF、CE，BF与CE相交于点D，点G是EF的中点，连结OG．（1）判断OG与EF的位置关系，直接写出你的结论（不需证明）；（2）求证：EF＝CF；（3）若BF＝2+，OG•FD＝8﹣，求⊙O的面积．17．如图，AB、ED是⊙O的直径，点C在ED延长线上，且∠CBD＝∠F AB．点F在⊙O上，且AB⊥DF．连接AD并延长交BC于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：BD•BC＝BE•CD；（3）若⊙O的半径为r，BC＝3r，求tan∠CDG的值．18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P 从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t ≤5）．以P为圆心，P A长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD＝4，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，连接OB交AC于点E．（1）求AC的长；（2）求CE：AE的值；（3）在CB的延长线上取一点P，使PB＝2BC，试判断直线P A和⊙O的位置关系，并证明你的结论．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．21．如图，点C是等边△ABD的边AD上的一点，且∠ACB＝75°，⊙O是△ABC的外接圆，连结AO并延长交BD于E、交⊙O于F．（1）求证：∠BAF＝∠CBD；（2）过点C作CG∥AE交BD于点G，求证：CG是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，当AF＝2时，求的值．22．如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE．（1）证明：AB＝CE；（2）证明：DC与⊙O相切；（3）若⊙O的半径r＝5，AB＝8，求sin∠ACE的值．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点C作∠BCD＝∠BAC交AB的延长线于点D，过点O 作直径EF∥BC，交AC于点G．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BCD＝30°；①连接AE、DE，求证：四边形ACDE是菱形；②当点P是线段AD上的一动点时，求PF+PG的最小值．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：△ECF∽△GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值．25．如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E＝∠C；（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，cos B＝，E是的中点，求EG•ED的值．27．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD＝m∠ACD．（1）已知＝，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？（2）当＝时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由；（3）在（1）的条件下，且＝，求弦CD的长．28．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1＝∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC＝，求BN的长．29．如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD为等腰直角三角形；（2）如图2，ED绕点D顺时针旋转90°，得到DE′，连接BE′，证明：BE′为⊙O的切线；（3）如图3，点F为弧BD的中点，连接AF，交BD于点G，若DF＝1，求AG的长．30．如图，△BCD内接于⊙O，直径AB经过弦CD的中点M，AE交BC的延长线于点E，连接AC，∠EAC＝∠ABD ＝30°．（1）求证：△BCD是等边三角形；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）若CE＝2，求⊙O的半径．31．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．32．如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．（1）求证：DE为⊙O切线；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．33．如图，AB为半圆O的直径，OD⊥AB，与弦BC延长线交于点D，与弦AC交于点E．（1）求证：△AOE∽△DOB；（2）若点F为DE的中点，连接CF，求证：CF为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，若CF＝3，tan A＝，求AB的长．34．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连结FN．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AF＝4，tan∠N＝，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求MN的长．35．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，且AE＝AB，DA＝DB．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，点A经过的路径为，若AC＝4，求图中阴影部分面积S；（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为⊙O的切线．36．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC＝PF；（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．37．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC，CD （1）试猜想直线AB于⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝BD•BE；（3）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求△OAB的面积．38．如图，⊙O中，FG，AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB＝4，⊙O的半径为．（1）分别求出线段AP、CB的长；（2）如果OE＝5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E＝，求DE的长．39．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：AP＝CP；（2）若tan∠ABC＝，CF＝8，求CQ的长；（3）求证：（FP+PQ）2＝FP•FG．40．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．41．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在线段OA上运动，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点G，DC是⊙O的切线，交AB的延长线于点F．（1）求证：∠D＝2∠A；（2）如图（2），若点E是OA的中点，点H是DE与⊙O的交点，OH∥BC，求证：△DCG是等边三角形；（3）如图（1），若CD＝CF，且BF＝1，CF＝2，求CG的长．42．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME＝∠MAB；（2）求证：BM2＝BE•AB；（3）若BE＝，sin∠BAM＝，求线段AM的长．43．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；（3）在（2）的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．44．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD 于点G．（1）求证：AB＝AG；（2）若DG＝DE，求证：GB2＝GC•GA；（3）在（2）的条件下，若tan D＝，EG＝，求⊙O的半径．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点G，过D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD；（2）若AE＝6，BF＝4，求⊙O的半径；（3）在（2）条件下判断△ABC的形状，并说明理由．46．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF平分∠BAC交BC于点E，交⊙O于点F，BD平分∠ABC交AF于点D，过点F作FH∥BC．（1）求证：FH是⊙O的切线；（2）求证：BF＝DF；（3）若EF＝3，DE＝4，求线段AD的长．48．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF＝90°，AE＝EF，过点F 作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；（2）求证：∠ACF＝90°；（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC＝4，∠CEF＝15°，求的长．49．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交于点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．50．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，E，F点．EG与CD交点为M．（1）求证：∠GEF＝∠A；（2）求证：△OME∽△EMC；（3）若ME＝4，MD：CO＝2：5，求⊙O面积．。

2021中考数学压轴题 – 圆的专题含答案解析

2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O 于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB＝30°，DB＝4cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）2．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．（1）求证：∠PAB＝∠ACB；（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC ＝13，过点O作OD⊥AC于点D．（1）求证：∠B＝∠COD；（2）求AB的长．5．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA 的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．6．如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．（1）求证：∠DCB＝∠ADB；（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．7．如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AD、BC、AO，AD＝AB．（1）求证：∠CAO＝2∠CDB；（2）如图2，过点O作OH⊥AD，垂足为点H，求证：2OH+CE＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB、AC交于点F，过点D作DM⊥AC，垂足为M交AB于N，若BC＝12，AF＝3BF，求MN的长．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；（2）求证：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．10．直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．11．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，①当AE＝FE时，求的长（结果保留π）；②当时，求线段AF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别在AB和⊙O上，且AC＝AD，DC的延长线交⊙O于点E，过E作AC的平行线交⊙O于点F，连接AF，DF．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当sin∠EDF＝，BC＝4时，求⊙O的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长．参考答案1．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝＝2（cm）∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，＝．∴OB＝5，即⊙O的半径长为5cm．（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°．在△CDE与△OBE中，．∴△CDE≌△OBE（AAS）．∴S阴影＝S扇OBC＝π•42＝（cm2），答：阴影部分的面积为cm2．2．（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．3．解：（1）证明：如图，连接OA，∵AP为⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠OAB+∠PAB＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA+∠PAB＝90°，∵BC为⊙O的直径，∴∠ACB+∠OBA＝90°，∴∠PAB＝∠ACB；（2）由（1）知∵∠PAB＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠PAB＝∠ACB＝∠ADB，∴，∵AB＝12，∴AC＝16，∴，∴OB＝10，过B作BF⊥AP于F，∵∠ADB＝∠FAB，，∴，∴，∴在Rt△ABF中，，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴△PBF∽△POA，∴，∴，∴．答：PB的长为．4．解：（1）作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAE＝∠OCD，∴∠OCD+∠E＝90°，∵OD⊥AC，∴∠OCD+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠E，∵∠B＝∠E，∴∠B＝∠COD；（2）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠ACE＝∠AHB，∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴＝，∴AB＝，∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，∴AB＝＝．5．（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，∴OC⊥AE，∵CD⊥AB，∴∠CHF＝∠FDA＝90°，∵∠CFH＝∠AFD，∴∠OCD＝∠EAB．∴．在Rt△CDO中，OD＝3，∴OC＝5，∴AB＝10，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴BE＝6，∴AE＝8．6．（1）证明：如图，连接OD，∵AD与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODB+∠ADB＝90°，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ODB+∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠C＝∠ADB；（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，∴△ADB∽△ACD，∴＝，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴tan∠DCB＝＝，∴＝，∵AC＝3，∴AD＝3．7．解：（1）如图，连接AO、DO，∵AB＝AD，∴，∴∠AOB＝∠AOD，∴AO＝OB，AO＝OD，∴△AOB≌△AOD，∴∠BAO＝∠DAO，延长AO交BD于点H，∵AB＝AD，∴AH⊥BD，∴∠AHB＝∠AHD＝90°，∵，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠CAB＝∠BAO＝∠OAD，∴∠CAO＝2∠CDB．（2）过点O作OT⊥CD，则CT＝DT，∵CD⊥AB，CD⊥OT，OQ⊥AB，∴∠OQB＝∠OTE＝∠AED＝90°，∴四边形OTEQ为矩形，∴OQ＝ET，∵TD＝CT＝ET+CE，∵AB＝AD，∴OQ＝OH，∴2OH+CE＝DE．（3）如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠FCB+∠ACB＝180°，∴∠ADB＝∠FCB，∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FDA，∴，∵CB＝12，∴AB＝AD＝36，∵∠BCD＝∠BAD，∠AEB＝∠AED，∴△CEB∽△AED，∴，设BE＝x，则AE＝36﹣x，ED＝3x，∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，则在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，（36﹣x）2+（3x）2＝362，解得：，∴BD＝∵CD⊥AB，∴∠BED＝90°，∠NMA＝90°，∠ANM＝∠END，∴∠NED＝∠MAN，∴∠BDE＝∠EDN，∵ED＝ED，∴△BED≌△NED，∴，∵∠CDB＝∠CAB，∠NMA＝∠BED，∴△AMN∽△DEB，∴，∴，∴MN＝．8．（1）证明：连接BD，DO，∵BC是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°，又∵E为AB的中点，∴DE＝EB＝EA，∴∠EDB＝∠EBD．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠ABC＝90°，∴∠EDB+∠OBD＝90°．即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵，∴．9．解：（1）∵∠CFE＝90°，∠CFE＝∠CDE，∴∠CDE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝CD＝6；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠DEF，∴∠BAC+∠DEF＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，在Rt△BDG中，设CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3；②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，∴∠ADG＝∠BDG，∵FC∥AB，∠DFC＝90°，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵GD＝GD，∴△BGD≌△AGD（ASA），∴BD＝AD，在Rt△ACD中，设CD＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，∴x＝，即CD＝；综合以上可得CD的长为3或．10．证明：（1）连接OA，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP＝∠BPC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵OB⊥l，∴∠ACB+∠BPC＝90°，∴∠BAC+∠OAP＝90°，即OA⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴，即，解得，AP＝．11．（1）证明：连接OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．12．（1）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC．又AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC的中点，∴BD＝5．连接OD；由中位线定理，知DO∥AC，又DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．13．证明：（1）连接OD，如图1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）①∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，∴∠EAF＝∠EFA＝2α，∵∠E＝∠B＝α，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝36°，∴∠AOD＝72°，∴的长＝＝；②连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵⊙O的半径为4，∴AB＝AC＝8，∵，∴＝，∴AD＝2，∵AD⊥BC，DH⊥AC，∴△ADH∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AH＝3，∴CH＝5，∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，∴∠E＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥AC，∴EH＝CH＝5，∴AE＝2，∵OD∥AC，∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，∴△AEF∽△ODF，∴＝，∴＝，∴AF＝．14．（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AC∥EF，∴∠ACD＝∠E，∴∠ADC＝∠E，∴＝，∴＝，∴AD＝EF，∵AD＝AC，∴AC＝EF，∵AC∥EF，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：连接BD，∵四边形ACEF是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠EDF＝∠AFD，∵所对圆周角∠B和∠AFD，∴∠AFD＝∠B，∴∠B＝∠EDF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵sin∠EDF＝，∴sin B＝sin∠EDF＝＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AC＝AD，BC＝4，∴3x﹣2x＝4，解得：x＝4，即AB＝3x＝3×4＝12，∵AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径是6．15．（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠HCE＝90°，又∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，由（1）得：OD⊥EF，∴∠HDE＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴HD＝CE＝2，∴∠CHD＝90°，∴∠OHB＝90°，∴OD⊥BC，∴OH平分BC，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝AC＝3，∴OB＝OD＝OH+HD＝5，∴AB＝2OB＝10，∴CB＝＝＝8．。

2021年中考一轮复习数学专题突破训练：《圆综合性压轴题》(一)

2021年中考一轮复习数学专题突破训练：《圆综合性压轴题》（一）1．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连结DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连结AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．2．如图，已知△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB 于点F，且AF＝AC．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，sin A＝，求CE的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．4．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连结BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连结AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．5．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP 交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值．6．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．7．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．（1）如图1，若α＝60°；①直接写出的值为；②当⊙O的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为；（2）如图2．若α＜60°，，DE＝6，求DC的长．8．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形．（1）已知∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，请直接写出一个α的值，使四边形ABCD为幸福四边形；（2）如图1，△ABC中，D、E分别是边AB，AC上的点，AE＝DE．求证：四边形DBCE为幸福四边形；（3）在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作⊙O，与边AB交于另一点F，与边BC 交于点G，且BF＝FC．①求证：EG是⊙O的直径；②连结FG，若AE＝1，BG＝7，∠BGF﹣∠B＝45°，求EG的长和幸福四边形DBCE的周长．9．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．（1）求证：CE2＝AE•AF；（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；（3）若FG＝2，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线上一点，连接CD，作CE ⊥AB于点E，∠OCE＝∠D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）点F为CD上一点，连接OF交CE于点G，G为OF中点，求证：OC2＝CD•CF；（3）在（2）的条件下，CF＝DF，若OC＝2，求CG．参考答案1．解：（1）∵点D是的中点，∴，∴∠ACD＝∠CED，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE ＝•S△ADE，∵D ，E 分别是，的中点，∴CD ＝AD ，BE ＝CE ，∴S △ABE ＝•S △ADE ，过点D 作DM ⊥AC 于M ，∵，∴AD ＝CD ，∴AC ＝2CM ，由（2）知，△CFG 是等边三角形，∴∠CFG ＝60°，∴∠DFM ＝60°，∴∠MDF ＝30°，设MF ＝m ，则DM ＝m ，DF ＝2m ，∵＝x ， ∴CF ＝x •DF ＝2mx ，∴CG ＝CF ＝2mx ，由（1）知，△DFC ∽△CGE ，∴， ∴＝， ∴S △ABE ＝•S △ADE ＝S △ADE ，∴S 四边形ABED ＝S △ADE +S △ABE ＝S △ADE ， ∵MF ＝m ，CF ＝x •DF ＝2mx ，∴CM ＝MF +CF ＝m +2mx ＝（2x +1）m ，∴AC ＝2CM ＝2（2x +1）m ，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，＝AF•DM＝DF•AN，∴S△ADF∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．2．（1）AC与⊙O相切，证明：连接BE，∵BC是⊙O的直径，∴∠E＝90°，∴∠EBD+∠BFE＝90°，∵AF＝AC，∴∠ACE＝∠AFC，∵E为弧BD中点，∴∠EBD＝∠BCE，∴∠ACE+∠BCE＝90°，∴AC⊥BC，∵BC为直径，∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵⊙O的半为2∴BC＝4，在Rt△ABC中，sin A＝＝，∴AB＝5，∴AC＝＝3，∵AF＝AC，∴AF＝3，BF＝5﹣3＝2，∵∠EBD＝∠BCE，∠E＝∠E，∴△BEF∽△CEB，∴＝＝，∴EC＝2EB，设EB＝x，EC＝2x，由勾股定理得：x2+4x2＝16，∴x＝（负数舍去），即CE＝．3．解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．4．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．5．（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠PAF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠PAF＝∠PAB，∴△ACE∽△APB，∴，∴PA•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，＝AB•CQ＝，∴S△ABC，∴PA•AE＝S△ABC∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时PA•AE＝×＝80．6．（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sin B＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin B，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）连接CO，∵CD＝2CE，设CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，设⊙O的半径为r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB•BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cos B＝．7．解：（1）如图1，连接OA，AD，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵OA＝OB＝OD，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，∴OA∥DF，∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，∵∠DAF＝30°，∴tan30°＝＝，故答案为：；②∵⊙O的半径为4，∴AD＝OA＝4，DF＝AD＝2，∵∠AOD＝60°，∴阴影部分的面积为：S梯形AODF ﹣S扇形OAD＝•AF•（DF+OA）﹣＝×（2+4）﹣π＝6﹣π；故答案为：6﹣π；（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则∠ADH＝90°，∴∠DAH+∠DHA＝90°，∵AF与⊙O相切，∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90°，∴∠DAF＝∠DHA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵＝，∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，∴∠ADF＝∠ADB，在△ADF和△ADE中，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴DF＝DE＝6，∵＝，∴DC＝9．8．（1）解：∵∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，∴∠D＝360°﹣120°﹣50°﹣α＝190°﹣α，若∠A＝∠B﹣∠D，则120°＝50°﹣（190°﹣α），解得：α＝260°（舍），若∠A＝∠D﹣∠B，则120°＝（190°﹣α）﹣50°，解得：a＝20°，若∠B＝∠A﹣∠C，则50°＝120°﹣α，解得：α＝70°，若∠B＝∠C﹣∠A，则50°＝α﹣120°，解得：α＝170°，若∠C＝∠B﹣∠D，则α＝50°﹣（190°﹣α），无解，若∠C＝∠D﹣∠B，则α＝（190°﹣α）﹣50°，解得：α＝70°，若∠D＝∠A﹣∠C，则190°﹣α＝120°﹣α，无解，若∠D＝∠C﹣∠A，则190°﹣α＝α﹣120°，解得：α＝155°，综上，α的值是20°或70°或170°或155°（写一个即可），故答案为：20°或70°或170°或155°（写一个即可）；（2）证明：如图1，设∠A＝x，∠C＝y，则∠B＝180°﹣x﹣y，∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠A＝x，∴∠BDE＝180°﹣x，在四边形DBCE中，∠B＝180°﹣x﹣y＝∠BDE﹣∠C，∴四边形DBCE为幸福四边形；（3）①证明：如图2，∵D、F、G、E四点都在⊙O上，∴∠ADE＝∠FGE，∵∠ADE＝∠A，∴∠FGE＝∠A，∵∠FGE＝∠ACF，∴∠A＝∠ACF，∵BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵∠A+∠B+∠BCA＝180°，∴∠ACF+∠BCF＝90°，即∠ACB＝90°，∴EG是⊙O的直径；②如图3，过E作EH⊥AB于H，连接DG，∵BF＝CF，∴∠B＝∠BCF＝∠BDG，∴BG＝DG＝7，∵EG是⊙O的直径，∴∠GDE＝90°，∵DE＝AE＝1，∴EG＝＝5，∵∠BGF﹣∠B＝45°，∠BGF﹣∠BCF＝∠CFG，∴∠CFG＝∠CEG＝45°，∴△ECG是等腰直角三角形，∴CE＝CG＝5，∴BC＝7+5＝12，AC＝5+1＝6，∴AB＝＝＝6，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AHE∽△ACB，∴，即，∴AH＝，∵AE＝DE，EH⊥AD，∴AD＝2AH＝，∴幸福四边形DBCE的周长＝BD+ED+CE+BC＝6﹣+1+5+12＝18+．9．解：（1）∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠ACE＝∠AFC，∵∠CAE＝∠FAC，∴△ACE∽△AFC，∴，∴AC2＝AE•AF，∵AC＝CE，∴CE2＝AE•AF；（2）∵AB⊥CD，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC＝45°，∴∠AFC＝∠AOC＝45°，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣∠ACO）＝67.5°，∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，∴∠DCF＝22.5°，∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，∴∠FGH＝90°，∵∠AFC＝45°，∴∠FHG＝45°，∴HG＝FG＝2，∴FH＝2，∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，∴AH＝HG＝2，∴AF＝AH+FH＝2+2，由（2）知，∠OAE＝∠OCG，∵∠AOE＝∠COG＝90°，OA＝OC，∴△AOE≌△COG（SAS），∴OE＝OG，∠AEO＝∠CGO，∴∠OEF＝∠OGF，连接EG，∵OE＝OG，∴∠OEG＝∠OGE＝45°，∴∠FEG＝∠FGE，∴EF＝FG＝2，∴AE＝AF﹣EF＝2+2﹣2＝2．10．证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠D+∠DCE＝90°，∵∠OCE＝∠D，∴∠OCE+∠DCE＝90°，∴∠OCD＝90°，又∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠OCF＝90°，G为OF中点，∴CG＝GF＝OF，∴∠GCF＝∠GFC，∵∠D+∠COD＝90°＝∠D+∠DCE，∴∠DCE＝∠COE＝∠CFG，又∵∠OCF＝∠OCD＝90°，∴△OCF∽△DCO，∴，∴OC2＝CF•CD；（3）∵CF＝DF，∴CD＝2CF，∵OC2＝CF•CD，∴4＝CF×2CF，∴CF＝，∴OF＝＝＝，∴CG＝．。

2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)含答案

2020-2021中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)含答案一、圆的综合1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BDAE DE AD==．∵Rt△ABD中，tan A=BDAD=12，∴DE BEAE DE==12，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．2．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

2021年江苏中考数学压轴题精练试卷(解析版)

最新 Word中考数学压轴题优选精练一、选择题1．如图，在 ? ABCD 中， CD ＝ 8，BC ＝10，按以下步骤作图： ① 以点 C 为圆心，适合长度为半径作弧，分别交BC ， CD 于 M ， N 两点； ② 分别以点M ， N 为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在 ? ABCD 的内部交于点 P ；③ 连结 CP 并延伸交 AD 于点 E ，交BA 的延伸线于点 F ，则 AF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图 ① ，在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ A ＝ 30°，动点 D 从点 A 出发，沿 A → C → B以 1cm/s 的速度匀速运动到点B ，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，图 ② 是点 D 运动时， △ ADE的面积 y （ cm 2）随时间 x （ s ）变化的关系图象，则AB 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ． 8cmD ． 10cm3．如图，在△ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 AC 、 BC 边上， DE ∥BC ， EF ∥ AB ，则下列比率式中错误的选项是（）A ．B ．C ．D ．第3题第4题4．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 3，0）， B（3， 0），若在直线y＝﹣ x+m 上存在点 P 知足∠ APB＝ 60°，则 m 的取值范围是（）A．C．﹣2≤m≤≤ m≤+2B．﹣D．﹣﹣5﹣2≤ m≤≤ m≤+5+25．如图， A、 C 两点在反比率函数 y＝象上，AB⊥ x 轴于点 E，CD ⊥ x 轴于点的图象上， B、 D 两点在反比率函数y＝F ，AB＝ 3，CD＝ 2，EF ＝，则k1﹣k2的值为（的图）A．﹣3 B．﹣ 2 C．D．﹣ 16．如图，以矩形ABCD 对角线AC 为底边作等腰直角△ACE，连结BE，分别交AD ，AC于点 F， N， CD＝ AF，AM均分∠BAN．以下结论：① EF⊥ ED；②∠ BCM＝∠ NCM；③FM ，此中正确结论的个数是（）AC＝EM；④BN2+EF2＝ EN2；⑤AE?AM＝ NE?A ．2B ．3 C．4D． 5二、填空题1．如图，在扇形AOB 中，∠ AOB＝ 120°，连结AB，以OA 为直径作半圆 C 交AB 于点D ，若 OA＝ 4，则暗影部分的面积为．2．在△ ABC 中， AB＝ 4，∠ C＝ 60°，∠ A≠∠ B，则 BC 的长的取值范围是________．3．如图，点于 F，若G 是矩形 ABCD 的对角线BD 上一点，过点G 作 EF∥ ABEG＝ 5， BF ＝2，则图中暗影部分的面积为．交AD于E，交BC第 3 题第 4 题4．如图为二次函数2y＝ t（ t＞ 0）与抛物线交于A， B 两点， A，B y＝ ax +bx+c 图象，直线两点横坐标分别为m，n．依据函数图象信息有以下结论：① abc＞ 0；②若对于 t＞0 的随意值都有m＜﹣ 1，则 a≥1；③m+n＝ 1；④ m＜﹣ 1；⑤当 t 为定值时，若 a 变大，则线段 AB 变长．此中，正确的结论有（写出全部正确结论的序号）5．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ BC．将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转15°获得 Rt △ AB′ C′，B′ C′交 AB 于点 E，若图中暗影部分面积为2，则B′ E的长为．第5题第6题6．如图，在矩形ABCD 中，已知 AB ＝3， BC＝4，点 P 是边 BC 上一动点（点C 重合），连结 AP，作点 B 对于直线AP 的对称点M，连结 MP ，作∠ MPC交边 CD 于点 N．则线段 MN 的最小值为．P 不与点 B，的角均分线三、解答题1．如图 1，平行四边形 ABCD 中， AB⊥ AC，AB＝ 6，AD ＝ 10，点 P 在边 AD 上运动，以 P 为圆心， PA 为半径的⊙ P 与对角线 AC 交于 A， E 两点．（1）线段 AC 的长度是 ________．（2）如图 2，当⊙ P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；（3）不难发现，当⊙ P 与边 CD 相切时，⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP 的变化，⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若共点的个数为4，直接写出相对应的 AP 的值的取值范围 ________________ ．2．阅读理【分析】解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（ x1， y1）、Q（x2，y2），则P、Q 这两点间的距离为|PQ|＝．如P（ 1， 2），Q（ 3，4），则 | PQ| ＝＝2 ．对于某种几何图形给出以下定义：切合必定条件的动点形成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx＋交 y 轴于点A，点A 对于x 轴的对称点为点B，过点B 作直线 l 平行于 x 轴．（1）到点 A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是（2）若动点 C（ x，y）知足到直线l 的距离等于线段式；____________.CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达问题拓展：（ 3）若（2）中的动点C 的轨迹与直线y＝ kx＋交于E、F两点，分别过E、 F作直线l 的垂线，垂足分别是M、 N，求证：①EF 是△AMN外接圆的切线；②＋为定值．5．如图，已知点 A（ 1， 0）， B（ 0， 3），将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，获得△ COD ，设E为AD的中点．（ 1）若 F 为 CD 上一动点，求出当△DEF 与△ COD 相像时点 F 的坐标；（ 2）过 E 作 x 轴的垂线 l ，在直线 l 上能否存在一点 Q，使∠ CQO＝∠ CDO ？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原因．6．如图 1，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+4 与抛物线y＝﹣x2+bx+c（ b，c 是常数）交于 A、 B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上．设抛物线与x 轴的另一个交点为点C．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）P 是抛物线上一动点（不与点A、 B 重合），①如图 2，若点 P 在直线 AB 上方，连结OP 交 AB 于点 D ，求的最大值；②如图 3，若点 P 在 x 轴的上方，连结PC，以 PC 为边作正方形CPEF，跟着点P 的运动，正方形的大小、地点也随之改变．当极点 E 或 F 恰巧落在 y 轴上，直接写出对应的点 P 的坐标．5．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量能够用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．此中大小相等，方向同样的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD 的四个极点中某一点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出8 个不一样的向量：、、、、、、、（因为和是相等向量，所以只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f （2），试求 f（2）的值；（2）作 n 个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（ n），试求 f（ n）的值；（ 3）作 2× 3 个相邻的正方形（如图三）排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（2× 3），试求 f（ 2× 3）的值；（ 4）作 m× n 个相邻的正方形（如图四）排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（m×n），试求 f （m× n）的值．2 订交于点 A（﹣ 1， 0）和点 B（ 2， m）两6．如图，已知直线 y＝ x+1 与抛物线 y＝ ax +2x+c点（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）若点 P 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，当△PAB 的面积 S 最大时，求此时△ PAB 的面积 S 及点 P 的坐标；（ 3）在 x 轴上能否存在点 Q，使△ QAB 是等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标（不用说理）；若不存在，请说明原因．【答案与分析】一、选择题1．【剖析】依据角均分线的定义以及平行四边形的性质，即可获得BF ，BA 的长，从而获得AF 的长．【解答】解：由题可得， CF 是∠ ACD 的均分线，∴∠ BCF ＝∠ DCF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ，AB ＝ CD ＝ 8，∴∠ F ＝∠ DCF ，∴∠ BCF ＝∠ F ，∴ BF ＝ BC ＝ 10，∴ AF ＝ BF ﹣ AB ＝ 10﹣ 8＝ 2．应选： A ．2．【剖析】依据题意可得，△ ADE 的最大面积是 6 三角形 ADE 的面积即可求出 DE ＝ 2 ，再依据【解答】解：依据题意可知：2（ cm ），此时点 D 与点 C 重合，依据30 度特别角即可求出 AB 的长．△ ADE 的最大面积是 6 （ cm 2），此时点 D 与点 C 重合，如图，在 Rt △ADE 中，∠ A ＝ 30°，设 DE ＝ x ，则 AE ＝x ，∴ S △ADE ＝ AE ?DE＝ ×x?x＝x 2，∴x 2＝ 6 ，解得 x＝2（负值舍去），∴DE＝ 2，∴ AD＝ AC＝ 2DE＝ 4，在 Rt△ABC 中，∠ A＝ 30°，∴ cos30°＝＝，∴＝，∴AB＝ 8cm．应选： C．3．【剖析】依据平行线分线段成比率定理列出比率式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】 A．∵ EF ∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵ DE∥ BC，∴＝，∵EF∥ AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵ EF∥ AB，∴＝，∵CF≠ DE，∴≠ ，故本选项错误，D ．∵ EF∥ AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，应选： C．4．【剖析】作等边三角形ABE，而后作外接圆，求得直线y＝﹣ x+m 与外接圆相切时的m 的值，即可求得 m 的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣ 3， 0）， B（ 3，0），∴ OA＝ OB＝ 3，∴ E 在 y 轴上，当 E 在 AB 上方时，作等边三角形 ABE 的外接圆 ⊙ Q ，设直线 y ＝﹣ x+m 与 ⊙ Q 相切，切点为 P ，当 P 与 P 1 重合时 m 的值最大，当 P 与 P 1 重合时，连结 QP 1，则 QP 1⊥直线 y ＝﹣ x+m ， ∵ OA ＝ 3， ∴ OE ＝3 ，设 ⊙ Q 的半径为 x ，则 x 2＝ 32+（3﹣ x ）2，解得 x ＝2 ，∴ EQ ＝ AQ ＝PQ ＝ 2 ，∴ OQ ＝，由直线 y ＝﹣ x+m 可知 OD ＝ OC ＝ m ， ∴ DQ ＝m ﹣ ， CD ＝ m ，∵∠ ODC ＝∠ P 1DQ ，∠ COD ＝∠ QP 1D ， ∴△ QP 1D ∽△ COD ，∴＝，即＝，解得 m ＝+2，当 E 在 AB 下方时，作等边三角形ABE 的外接圆 ⊙ Q ，设直线 y ＝﹣ x+m 与 ⊙ Q 相切，切点为 P ，当 P 与 P 2 重合时 m 的值最小，当 P 与 P 2 重合时，同理证得 m ＝﹣ ﹣ 2 ， ∴ m 的取值范围是﹣﹣ 2 ≤ m ≤+2 ，应选： D ．1．【剖析】直接利用反比率函数的性质和k 的意义剖析得出答案．【解答】解：过点 A 作 AM ⊥ y 轴， BN ⊥ y 轴， DQ ⊥ y 轴， CN ⊥y 轴垂足分别为 M ， N ， Q ，R ，由题意可得： S 矩形 AMEQ ＝ S 矩形 FCRO ＝﹣ k 1， S 矩形 EBNO ＝ S 矩形 QDFO ＝ k 2，则 S 矩形 AMEQ +S 矩形 EBNO ＝S 矩形 FCRO +S 矩形 QDFO ＝﹣ k 1+k 2， ∵ AB ＝ 3， CD ＝ 2， ∴设 EO ＝2x ，则 FO ＝3x ，∵EF ＝，∴ EO ＝ 1，FO ＝，最新 Word∴S 矩形ABNM＝1× 3＝ 3，则﹣ k1+k2＝ 3，故 k1﹣ k2＝﹣3．应选： A．2．【剖析】①正确，只需证明A， B，C，D ， E 五点共圆即可解决问题；②正确，只需证明点M 是△ ABC 的心里即可；③正确，想方法证明EM＝AE ，即可解决问题；④正确．如图 2 中，将△ ABN 逆时针旋转 90°获得△ AFG ，连结 EG．想方法证明△ GEF 是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；⑤ 错误．利用反证法证明即可；【解答】解：如图 1 中，连结BD 交 AC 于 O，连结 OE．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA＝ OC＝OD ＝ OB，∵∠ AEC＝ 90°，∴OE＝ OA＝OC，∴OA＝ OB＝OC＝ OD ＝ OE，∴A， B， C， D， E 五点共圆，∵ BD 是直径，∴∠ BED＝ 90°，∴EF⊥ ED ，故①正确，∵CD ＝ AB＝AF ，∠ BAF ＝ 90°，∴∠ ABF ＝∠ AFB ＝∠ FBC ＝45°，∴BM 均分∠ ABC ，∵ AM 均分∠ BAC ，∴点 M 是△ ABC 的心里，∴CM 均分∠ ACB，最新 Word∴∠ MCB ＝∠ MCA ，故②正确，∵∠ EAM＝∠ EAC+∠ MAC ，∠ EMA ＝∠ BAM+∠ ABM ，∠ ABM ＝∠ EAC ＝ 45°，∴∠ EAM＝∠ EMA ，∴EA＝ EM ，∵△ EAC 是等腰直角三角形，∴ AC＝EA＝EM ，故③正确，EG，如图 2 中，将△ ABN 绕点 A 逆时针旋转90°，获得△AFG ，连结∵∠ NAB＝∠ GAF ，∴∠ GAN＝∠ BAD＝ 90°，∵∠ EAN＝ 45°，∴∠ EAG＝∠ EAN＝45°，∵AG＝ AN，AE ＝ AE，∴△ AEG≌△ AEN（SAS），∴EN＝ EG，GF ＝ BN，∵∠ AFG＝∠ ABN＝∠ AFB ＝ 45°，∴∠ GFB＝∠ GFE＝ 90°，2 2 2，∴ EG ＝ GF +EF22 2∴BN +EF ＝EN ，故④正确，∵ AE＝ EC，∴＝，∴只有△ ECN ∽△ MAF 才能建立，∴∠ AMF ＝∠ CEN，∴CE∥ AM，∵ AE⊥ CE，∴MA ⊥AE（矛盾），∴假定不建立，故⑤ 错误，应选：C．二、填空题1．【剖析】连结 OD、CD ，依据圆周角定理获得OD⊥ AB，依据等腰三角形的性质获得AD ＝ DB，∠ OAD ＝ 30°，依据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连结OD 、 CD ，∵ OA 为圆 C 的直径，∴ OD ⊥AB，∵ OA＝ OB，∠ AOB ＝ 120°，∴ AD＝ DB，∠ OAD ＝30°，∴OD＝OA＝ 2，由勾股定理得，AD＝＝2，∴△ AOB 的面积＝×AB×OD＝4，∵OC＝ CA，BD ＝ DA，∴ CD ∥ OB，CD ＝ OB，∴∠ ACD＝∠ AOB＝ 120°，△ ACD 的面积＝×△ AOB的面积＝，∴暗影部分的面积＝﹣△ AOB 的面积﹣（﹣△ ACD的面积）＝π﹣4﹣π+＝4π﹣ 3 ，故答案为： 4π﹣ 3 ．2.解：作△ ABC 的外接圆，以下图：当∠BAC＝ 90°时， BC 是直径最长，∵∠ C＝60°，∴∠ ABC＝ 30°，∴ BC＝ 2AC， AB＝3 AC＝4，∴AC＝4 3，∴BC＝2AC＝8 3，3 3当∠ A＝∠ B 时，△ ABC 为等边三角形，∴BC ＝AB＝ 4，则 BC 的长的取值范围是0＜ BC≤83且BC≠4，3故答案为： 0＜ BC≤83且BC≠4．33．【剖析】由矩形的性质可证明S 矩形AEGM＝ S 矩形CFGN＝2× 5＝ 10，即可求解．【解答】解：作 GM ⊥AB 于 M，延伸 MG 交 CD 于 N．则有四边形AEGM ，四边形DEGN ，四边形CFGN ，四边形BMGF 都是矩形，∴AE＝ BF ＝ 2，S△ADB＝ S△DBC， S△BGM＝ S△BGF， S△DEG＝ S△DNG，∴S 矩形AEGM＝ S 矩形CFGN＝ 2× 5＝10，∴ S 阴＝S 矩形CFGN＝ 5，故答案为： 5．4．【剖析】由图象分别求出a＞ 0， c＝﹣ 2， b＝﹣ a＜ 0，则函数分析式为y＝ ax2﹣ ax﹣2，则对称轴 x＝，由张口向上的函数的图象张口与 a 的关系可得：当 a 变大，函数 y＝ ax2 ﹣ ax﹣2 的张口变小，依照这个性质判断m 的取值状况．【解答】解：由图象可知，a＞ 0， c＝﹣ 2，∵对称轴 x＝﹣＝，∴b＝﹣ a＜ 0，∴abc＞0；∴① 正确；A、B 两点对于x＝对称，∴m+n＝ 1，∴③ 正确；2a＞ 0 时，当 a 变大，函数y＝ ax ﹣ ax﹣ 2 的张口变小，∴ ⑤ 不正确；若 m＜﹣ 1，n＞ 2，由图象可知n＞1，∴ ④ 不正确；当 a ＝1 时，对于 t ＞0 的随意值都有 m ＜﹣ 1，当 a ＞1 时，函数张口变小，则有 m ＞﹣ 1 的时候，∴ ② 不正确；故答案 ①③ ．5．【剖析】求出∠ C ′ AE ＝ 30°，推出 AE ＝ 2C ′E ， AC ′＝C ′ E ，依据暗影部分面积为2得出×C ′E ×C ′E ＝2，求出C ′ E ＝ 2，即可求出C ′ B ′，即可求出答案．【解答】解：∵将 Rt △ ACB 绕点 A 逆时针旋转 15°获得 Rt △ AB ′ C ′， ∴△ ACB ≌△ AC ′ B ′，∴ AC ＝ AC ′， CB ＝C ′ B ′，∠ CAB ＝∠ C ′ AB ′，∵在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝ BC ，∴∠ CAB ＝ 45°， ∵∠ CAC ′＝ 15°， ∴∠ C ′ AE ＝ 30°，∴ AE ＝ 2C ′ E ，AC ′＝C ′ E ， ∵暗影部分面积为 2 ，∴ × C ′E × C ′E ＝ 2 ， ∴ C ′ E ＝ 2，∴ AC ＝ BC ＝ C ′ B ′＝C ′ E ＝ 2 ，∴ B ′E ＝ 2 ﹣2，故答案为： 2﹣ 2．6．【剖析】过 N 作 NH ⊥ PM 交直线 PM 于 H ，则 MN 2＝ NH 2+MH 2，得出当点 M 与点 H 重合时， MN 长最小，易证 NH ＝NC ，∠ HPN ＝∠ CPN ，由 AAS 证得△ PNH ≌△ PNC ，得出 PC ＝ PH ，NC ＝ NH ，由点 B 对于直线 AP 的对称点 M ，得出 BP ＝ PM ，∠ BPA ＝∠ MPA ，当点 M 与点 H 重合时， BP ＝ PH ＝PC ＝ BC ＝ 2，由∠ HPN +∠ CPN+∠ BPA+∠ MPA ＝180°，推出∠ APN ＝ 90°，证明△ ABP ∽△ PCN ，得出＝，得出 NC ＝，即可得出结果．【解答】解：过 N 作 NH ⊥ PM 交直线 PM 于 H ，以下图：则 MN 2＝ NH 2+MH 2，∴当点 M 与点 H 重合时， MN 长最小， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ B ＝∠ C ＝ 90°，∵ PN 是∠ MPC 的角均分线， ∴ NH ＝ NC ，∠ HPN ＝∠ CPN ，在△ PNH 和△ PNC 中，，△PNH≌△ PNC（ AAS），∴ PC＝ PH，NC＝ NH，∵点 B 对于直线 AP 的对称点 M，∴BP＝ PM ，∠ BPA＝∠ MPA，∴当点 M 与点 H 重合时， BP＝ PH＝ PC＝BC＝ 2，∵∠ HPN+∠ CPN+∠ BPA+∠MPA＝ 180°，∴∠ APN＝ 90°，∴∠ APB+∠ NPC＝ 90°，∵∠ APB+∠ PAB＝ 90°，∴∠ PAB＝∠ NPC ，∵∠ B＝∠ C＝ 90°，∴△ ABP∽△ PCN ，∴＝，∴NC＝＝＝，∴当点 M 与点 H 重合时， MN ＝NC＝，故答案为：．三、解答题1.解：（ 1）∵平行四边形ABCD 中， AB ＝ 6， AD＝ 10，∴ BC＝ AD ＝ 10，∵AB ⊥AC，∴在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得：AC＝BC2AB2＝102－62＝8，故答案为： 8；（2）如图 2 所示，连结 PF，设 AP＝ x，则 DP ＝ 10－ x， PF＝ x，∵⊙ P 与边 CD 相切于点 F，∴ PF⊥ CD ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥ CD ，∵AB ⊥AC，∴ AC⊥ CD ，∴ AC∥ PF，∴△ DPF ∽△ DAC ，∴PFPD ，∴ x10 x，∴ x＝40，即 AP＝40；AC AD81099（3）当⊙ P 与 BC 相切时，设切点为G，如图 3，□ABCD ＝1 24 ，S ×××＝ 10PG，∴ PG＝52 40＜AP＜24，①当⊙ P 与边 AD 、 CD 分别有两个公共点时，9 5 即此时⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为4；②⊙ P 过点 A、C、D 三点，如图 4，⊙ P 与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，此时 AP＝5，综上所述， AP 的值的取值范围是：40＜AP＜24或 AP＝ 5，9 5故答案为：40＜AP＜24或AP＝5．9 52.解：（ 1）设到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点 D 坐标为（ x，y），∴AD 2＝x2＋（ y﹣） 2，∵直线y＝ kx＋交 y 轴于点A，∴ A（ 0，），∵点A 对于x 轴的对称点为点B，∴B（ 0，﹣），∴ AB＝ 1，∵点D 到点 A 的距离等于线段AB 长度，∴x2＋（ y﹣）2＝ 1，故答案为： x2＋（ y﹣）2＝ 1；（2）∵过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，∴直线l 的分析式为y＝﹣，∵C（ x， y）， A（0，），∴AC 2＝ x2＋（ y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y＋），∵动点 C（ x， y）知足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，∴x2＋（ y﹣）2＝（y＋）2，∴动点 C 轨迹的函数表达式y＝x2，（3）连结 AM， AN，取 MN 的中点 Q，连结 AQ.①设 E（ x1，y1），F （ x2， y2），由（ 2）得， EA＝ EM， FA＝ FN，∴，∴x2﹣2kx﹣ 1＝ 0，∴ x1＋ x2＝ 2k， x1x2＝﹣ 1，∵BM · BN＝ |x1x2|＝ 1， AB＝ 1，∴AB 2＝ BM· BN，又∠ ABM＝∠ NBA，∴△ ABM∽△ NBA，∴∠ MAB＝∠ ANB，而∠ NAB＋∠ ANB＝ 90°，∴∠ NAB＋∠ MAB ＝ 90°，即∠ MAN ＝90° .∴AQ＝ QN，∴∠ QAN＝∠ QNA，∵F A＝FN，∴∠ FAN＝∠ FNA ，∴∠ FAG＝∠ FNG ＝90°，∴所以EF 是△ AMN 外接圆的切线 .②证明：∵点E（m， a）点 F （n， b）在直线 y＝ kx＋上，∴a＝ mk＋， b＝ nk＋，∵ME ， NF ， EF 是△ AMN 的外接圆的切线，∴AE ＝ME ＝ a＋＝mk＋1，AF＝NF＝b＋＝nk＋1，∴＋＝＋＝＝＝＝2，即：＋为定值，定值为2．5．【剖析】（ 1）当△ DEF ∽△ COD 时，＝，DF＝DEcos∠ CDO＝，据此求出EF 的长度和点 F 的坐标即可；（2）第一以 CD 为直径作圆，设其圆心为 P，交直线由圆周角定理，可得∠ CQO ＝∠ CQ′ O＝∠ CDO ，在a 于点 Q、Q′，连结 PQ，P Q′，Rt△ CDO 中，由勾股定理可得 CD＝，则 PQ＝CD＝；而后求出点P 的坐标是多少；设Q（﹣ 1， a），则（）2+（ a﹣）2＝，据此求出 a 的值是多少，从而求出Q 点坐标是多少即可．【解答】解：（ 1）∵ A（1， 0），B（ 0， 3），∴OA＝ 1，OB＝ 3，∵将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转90°，获得△ COD ，∴OC＝1，OD ＝3，∴C（ 0， 1），D （﹣ 3， 0），如图 1，当△ DEF ∽△ COD 时，＝∴EF＝，∴F（﹣ 1，）；当△ DEF ∽△ COD 时， DF ＝ DE cos∠ CDO ＝，作 FK⊥OD 于 K，则 FK ＝ DF sin∠ CDO ＝，DK＝DF cos∠ CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图 2，以 CD 为直径作圆，设其圆心为 P，交直线 a 于点 Q、Q′，连结 PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠ CQO ＝∠ CQ′ O＝∠ CDO ，在 Rt△CDO 中，由勾股定理可得CD＝，则 PQ＝CD＝，又∵P为 CD中点， P（﹣，），设 Q（﹣ 1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得 a＝ 2 或﹣ 1，∴ Q（﹣ 1，2）或（﹣ 1，﹣ 1）．6．【剖析】（ 1）利用直线分析式求出点A、 B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数分析式解答；（ 2）作 PF∥ BO 交 AB 于点 F ，证△ PFD ∽△ OBD，得比率线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（ 3）（ i ）点 F 在 y 轴上时， P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H，依据正方形的性质可证明△CPH≌△ FCO ，依据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO＝ 2，而后利用二次函数分析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK ⊥ x 轴于 K ，作 PS⊥ y 轴于 S，同理可证得△EPS≌△ CPK ，可得 PS＝ PK ，则 P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点 E 在 y 轴上时，过点PM ⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于 N，同理可证得△PEN≌△PCM ，可得 PN＝ PM，则 P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（ 1）直线 y＝x+4 与坐标轴交于A、 B 两点，当 x＝ 0 时， y＝ 4，x＝﹣ 4 时， y＝0，∴ A（﹣ 4， 0）， B（ 0， 4），把 A， B 两点的坐标代入分析式得，，解得，，∴抛物线的分析式为；（2）如图 1，作 PF ∥BO 交 AB 于点 F，∴△ PFD ∽△ OBD，∴，∵ OB 为定值，∴当 PF 取最大值时，有最大值，设 P（ x，），此中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣ 2，∴当 x＝﹣ 2 时， PF 有最大值，此时 PF＝2，；（ 3）∵点 C（2， 0），∴CO＝2，（ i）如图 2，点 F 在 y 轴上时，若 P 在第二象限，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H，在正方形 CPEF 中， CP＝ CF，∠ PCF ＝ 90°，∵∠ PCH+∠ OCF＝ 90°，∠ PCH +∠ HPC ＝ 90°，∴∠ HPC＝∠ OCF，在△ CPH 和△ FCO 中，，∴△ CPH≌△ FCO（ AAS），∴PH＝ CO＝2，∴点 P 的纵坐标为 2，∴，解得，， x＝﹣ 1+（舍去）．∴，如图 3，点 F 在 y 轴上时，若P 在第一象限，同理可得点 P 的纵坐标为2，此时 P2点坐标为（﹣ 1+ ，2）（ ii ）如图 4，点 E 在 y 轴上时，过点 PK⊥x 轴于 K，作 PS⊥ y 轴于S，同理可证得△EPS≌△ CPK ，∴PS＝ PK ，∴P 点的横纵坐标互为相反数，∴，解得 x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图 5，点 E 在 y 轴上时，过点PM ⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于 N，同理可证得△ PEN ≌△ PCM ，∴ PN ＝ PM ，∴ P 点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P 点坐标为，，．5．【剖析】（ 1）依据图形，即可求得 f （ 2）的值；（ 2）第一求 f （ 1），f （ 2）， f （ 3）， f （ 4），所以获得规律为： f （n ）＝ 6n+2；（ 3）依据图形，即可求得f （2× 3）的值；（ 4）先剖析特别状况，再求得规律：f （ m ×n ）＝ 2（m+n ） +4mn ．【解答】解：（ 1）作两个相邻的正方形，以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数 f （ 2）＝ 14；（ 2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样的向量个数，找出规律，∵ f （1 ）＝ 6× 1+2 ＝ 8， f （ 2）＝ 6× 2+2 ＝ 14， f （ 3）＝ 6× 3+2＝ 20， f （ 4）＝ 6× 4+2 ＝ 26，∴ f （ n ）＝ 6n+2 ；（ 3） f （ 2×3）＝ 34；（ 4）∵ f （ 2× 2）＝ 24， f （ 2× 3）＝ 34， f （ 2× 4）＝ 44， f （ 3× 2）＝ 34， f （ 3× 3）＝ 48， f （ 3×4）＝ 62∴ f （ m × n ）＝ 2（ m+n ） +4mn ．6．【剖析】（ 1）先依据点 B 在直线 y ＝ x+1 求出其坐标，再将 A ， B 坐标代入抛物线分析式求解可得；（ 2）作 PM ⊥ x 轴于点 M ，交 AB 于点 N ，设点 P 的坐标为（ m ，﹣ m 2+2m+3），点 N 的坐标为（ m ， m+1），依照 S △ PAB ＝ S △ PAN +S △PBN 列出函数分析式，利用二次函数的性质求解可得；（ 3）设点 Q 坐标为（ n ，0），联合各点坐标得出 QA 2＝（﹣ 1﹣ n ）2，QB 2＝（ 2﹣n ）2 +9，AB 2＝ 18，再依据等腰三角形的定义分三种状况分别求解可得．【解答】解：（ 1）∵点 B （ 2， m ）在直线 y ＝ x+1 上， ∴ m ＝ 2+1 ＝3，∴点 B 坐标为（ 2， 3），∵点 A （﹣ 1，0）和点 B （ 2， 3）在抛物线y ＝ ax 2+2x+c 上，最新 Word∴，解得，∴所求抛物线分析式为 y ＝﹣ x 2+2 x+3；（ 2）过点 P 作 PM ⊥ x 轴于点 M ，交 AB 于点 N ，设点 P 的横坐标为 m ，则点 P 的坐标为（ m ，﹣ m 2+2 m+3），点 N 的坐标为（ m ， m+1 ）， ∵点 P 是位于直线 AB 上方，∴ PN ＝ PM ﹣MN ＝﹣ m 2+2m+3﹣（ m+1）＝﹣ m 2+m+2 ，∴ S △PAB ＝ S △ PAN +S △PBN＝×（﹣ m 2+m+2）（ m+1） + ×（﹣ m 2+m+2）（ 2﹣ m ）＝（﹣ m 2+m+2）＝﹣（ m ﹣ ） 2+，∵﹣＜ 0，∴抛物线张口向下，又﹣ 1＜ m ＜2，∴当 m ＝时，△ PAB 的面积的最大值是，此时点 P 的坐标为（，）．（ 3）设点 Q 坐标为（ n ， 0），∵ A （﹣ 1， 0）， B （ 2， 3），∴ QA 2＝（﹣ 1﹣ n ）2， QB 2＝（ 2﹣n ） 2+9，AB 2＝18，① 当 QA 2＝QB 2 时，（﹣ 1﹣n ） 2＝（ 2﹣ n ） 2+9，解得 n ＝ 2，即 Q （ 2，0）；② 当 QA 2＝AB 2时，（﹣ 1﹣ n ） 2＝18，解得： n ＝﹣ 1±3，即 Q （﹣ 1+3， 0）或（﹣ 1﹣ 3， 0）；2＝AB 22＝ 18，③当QB 时，（ 2﹣ n ） +9解得： n ＝﹣ 1（舍）或 n ＝ 5，即 Q （ 5，0）；综上， Q 的坐标为（ 2， 0）或（﹣ 1+3 ， 0）或（﹣ 1﹣3， 0）或（ 5，0）．。

2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何综合问题(圆的专题)(二)

2021年中考数学压轴题满分训练–几何综合问题（圆的专题）（二）1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好经过顶点B，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，BC＝4，求DE的长．2．如图，⊙O经过Rt△ABC的顶点A，与BC相切于点D，交AC于E，交AB于F，连接AD，DE，DF，EF，∠C＝90°．（1）求证：DE＝DF．（2）若AE＝3，CD＝2，求BD的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D 作⊙O的切线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AC．（2）如果⊙O的半径为5，cos∠DAB＝，求BF的长．4．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当α＝90°时，求证：BH是⊙O的切线；（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．5．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，AC＝AD，连接CD交⊙O于点E，∠ACD ＝∠DAE．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）过点E作EF⊥AB于F，交AC于G，已知，EG＝3．求AG的长；（3）在（2）的条件下，求△ACE的面积．6．如图，在▱ABCD中，AD＝8，▱ABCD的面积是72，⊙O与▱ABCD的三条边分别相切于点D、E、F，交AD于点G，DG＝3AG．（1）求⊙O的半径的长；（2）求阴影部分的面积（保留π）．7．[提出问题]如图1，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，D是圆上一点，作AE⊥BD于E．要研究BE，DE，CD之间的关系．[特例分析]（1）如图2，当△ABC是等边三角形时，且当D在∠ABC的平分线上时，假设DE＝a，则DC＝，BE＝，BE，DE，CD之间的关系为．[猜想探究]（2）在图1中，上述结论是否依然成立，请证明你的猜想．[结论应用]（3）如图3，△ABC是等边三角形，∠CBD＝15°，AC＝，则△BCD的周长为．8．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为；问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A＝∠A'＝30°，∠C＝∠C'＝90°），绕点B旋转△C'A'B，当旋转至CC′＝4时，求AA'的长；问题解决：（3）如图3，点O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC＝5，OE＝2，连接BE，作Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，tan∠EBF＝，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D在AB上，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径的弧交AC于点E，与BC交于点F，G，P是上一点．将AP绕点A逆时针旋转120°，得到AQ，连接CQ，AF．（1）若BP与所在圆相切，判断CQ与所在圆的位置关系．并加以证明；（2）求BF的长及扇形EAF的面积；（3）若∠PAB＝m°，当∠ACQ＝30°，直接写出m的值．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）若＝，求tan∠ABD．11．已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．求证：（1）DI＝DB；（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．12．有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题：已知：a＞b＞0，求证：＞．经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图：①在直线l上依次取AB＝a，BC＝b；②以AC为直径作半圆，圆心为O；③过B点作直线l的垂线，与半圆交于点D，连接OD．请回答：（1）连接AD，CD，由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是；（2）根据作图过程，试求线段BD、OD（用a，b的代数式表示），请写出过程；（3）由BD⊥AC，可知BD＜OD，其依据是，由此即证明了这个不等式．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB 交于点F，过点A作⊙O的切线交DC延长线于点E，已知AC＝EC．（1）求证：AD＝AE；（2）若AE＝2，EF＝2，求⊙O的直径．14．如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB 上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．（1）当cot∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值．15．如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E．（1）求证：AD•AP＝OD•AC；（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．参考答案1．（1）证明：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，又∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠CBD＝45°，∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CDE，∴AC∥DE；（2）解：连接OD，过点C作CF⊥DE，垂足为F，则四边形ODFC是正方形，在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴DF＝FC＝OC＝OD＝2，∵∠E＝∠ACB，∠CFE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△CFE，∴＝＝＝，∴EF＝CF＝，∴DE＝DF+EF＝2+＝3．2．（1）证明：如图，连接OD交EF于G，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD，∴＝，∴DE＝DF；（2）解：∵＝，∴OD垂直平分EF，∵∠C＝∠CDG＝∠DGE＝90°，∴四边形CDGE为矩形，∴EG＝CD＝2，∠AEF＝90°，∴EF＝2EG＝4，在R△AEF中，AF＝＝5，∵O是AF的中点，G是EF的中点，∴OG＝AE＝，∴CE＝DG＝OD﹣OG＝＝1，∴AC＝AE+CE＝4，∵OD∥AC，∴△BOD∽△ABC，∴，∴，∴BD＝．3．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴DE⊥AC；（2）解：∵cos∠DAB＝，而AB＝10，∴AD＝8，在Rt△ADE中，cos∠DAE＝＝，∴AE＝，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴，即＝，∴BF＝．4．解：（1）证明：∵α＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠BOH，又OA＝OB＝4，OP＝OH，在△AOP和△BOH中，，∴△AOP≌△BOH（SAS），∴∠OPA＝∠OHB，∵AP是⊙O的切线，∴∠OPA＝90°，∠OHB＝90°，即OH⊥BH于点H，∴BH是⊙O的切线；（2）如图，过点B作⊙O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC⊥BC，OD⊥BD，∵OC＝2，OB＝4，∴，∴∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∴∠OHB＝90°．∵圆弧PH的长为；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∴圆弧PH的长为，∴当BH与⊙O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或；（3）S△AHB＝AB•h，h表示点H到直线AB的距离，作ON⊥AB于点N，H在圆O上，在Rt△ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∴ON＝4cos45°＝2，∴h min＝ON﹣r＝2，h max＝2+2，∴当△AHB面积最大时，点H到AB的距离为2．5．（1）证明：如图1，连接BE，则∠B＝∠C，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BCE+∠BAE＝180°，∴∠ACD+∠DAE＝90°，∵∠ACD＝∠DAE，∴∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）如图2，延长EF，交⊙O于H，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴＝，∴∠ECA＝∠AEH，∵∠EAC＝∠GAE，∴△EAC∽△GAE，∴＝，∵AC＝AD，∴∠C＝∠D，∵∠C＝∠DAE，∴∠D＝∠DAE，∴AE＝DE＝2，∵∠BFE＝∠BAD＝90°，∴AD∥EF，∴∠D＝∠CEF，∴∠C＝∠CEF，∴CG＝GE＝3，∴AC＝AG+CG＝AG+3，∴＝，∴AG＝5（负值舍去）；（3）如图3，由（2）知，AG＝5，CG＝3，∵EG∥DA，∴△CEG∽△CDA，∴，∴＝，∴CE＝，过点E作EM⊥AC于M，设CM＝x，在Rt△CME中，根据勾股定理得，EM2＝CE2﹣CM2＝（）2﹣x2，在Rt△AME中，根据勾股定理得，EM2＝AE2﹣AM2＝（2）2﹣（8﹣x）2，∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（8﹣x）2，∴x＝，∴EM2＝（）2﹣x2，∴EM＝（舍去负值），∴S△ACE＝AC•EM＝×8×＝．6．解：（1）连接FO并延长交AD于点H，∵BC与⊙O相切于点F，∴HF⊥BC，∴HF＝÷＝9，又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠HFC＝90°，∴∠FHD＝90°，∴HF⊥AD，∴DH＝DG＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△DOH中，（3）2+（9﹣r）2＝r2，∴r＝3；（2）连接OD，OG，在Rt△DOH中，sin∠ODG＝，∴∠ODG＝30°，又∵OD＝OG，∴∠OGD＝∠ODG，∴∠GOD＝120°，∴阴影部分的面积等于＝．7．解：（1）如下图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．∵BD是∠ABC的平分线，∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DCE＝30°．∵AE⊥BD，∴CD＝2DE＝2a．∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°．∵∠DBC＝30°∴AB＝2CD＝4a．∴BE＝BD﹣DE＝3a．∵DE+CD＝3a，∴BE＝DE+CD．故答案为：2a；3a；BE＝DE+CD．（2）成立．理由：如图，过A作AF⊥CD，交DC延长线于F，连接AD，∵AF⊥CD，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∵同弧所对的圆周角相等，∠ABE＝∠ACD．在△ABE和△ACD中，．∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴AE＝AF，BE＝CF．在Rt△ADE和Rt△ADF中，．∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴DE＝DF．∵CF＝CD+DF＝CD+DE，∴BE＝DE+CD．故结论成立．（3）∵AB＝AC，D是圆上一点，AE⊥BD于E，由（2）的结论可得：BE＝DE+CD．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∠ABC＝60°．∵∠CBD＝15°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBD＝45°．∵AE⊥BD，∴AE＝BE＝AB＝×＝．∴BE＝DE+CD＝．∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+DE+BE＝BC+2BE＝+2．故答案为：+2．8．解：（1）如图1，当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，最大值为2+3＝5．故答案为：5．（2）如图2，由已知可得：BC＝BC′，BA＝BA′，∠CBA＝∠C′BA′＝60°．∴．∵∠CBA＝∠C′BA′＝60°，∴∠CBA+∠ABC′＝∠C′BA′+∠ABC′．即∠CBC′＝∠ABA′．∴△CBC′～△ABA′．∴．∵，∴．∴AA′＝2CC′＝2×4＝8．（3）∵四边形ACBF的面积＝S△ABC+S△FAB，△ABC的面积为定值，∴△ABF面积最大时，四边形ACBF的面积最大．∵AB＝5且位置不变，∴点F距离AB最大时，△ABF面积最大．∵OE＝2，∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：∵∠BEF＝90°，∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF面积最大．过F作FD⊥OB于D，∵AC＝BC＝5，∴AB＝AC＝10．∵O为AB的中点，∴BO＝5．∵BE⊥OF，∴BE＝．∵tan∠EBF＝，∴．∴EF＝．∴OF＝OE+EF＝2+．在Rt△BEO中，sin∠EOB＝．在Rt△ODF中，sin∠EOB＝＝．∴DF＝OF••（2+）＝+．∴△ABF面积最大值为×AB×DF＝2+．∴四边形ACBF的面积的最大值＝S△ABC+S△FAB＝×AC×BC+2+＝2+．9．解：（1）CQ与所在圆相切；证明：由旋转知，AP＝AQ，∠PAQ＝120°，∵∠BAC＝120°，∴∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠PAC＝∠BAC﹣∠PAC，∴∠ACQ＝∠ABP，∵AC＝AB，∴△ACQ≌△ABP（SAS），∴∠AQC＝∠APB，∵BP与所在圆相切，∴∠APB＝90°，∴∠AQC＝90°，∵AQ＝AP，∴CQ与所在圆相切；（2）如图，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，∴AN＝AB＝，∴BN＝AN＝3，①当点F在点G的左边时，过点F作FM⊥AB于M，设FM＝m，在Rt△BMF中，BF＝2m，BM＝m，∴AM＝AB﹣BM＝（2﹣m），在Rt△AMF中，根据勾股定理得，FM2+AM2＝AF2，∴m2+[（2﹣m）]2＝22，∴m＝1或m＝2，∴BF＝2m＝2或4（舍），∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠ABC＝30°，∴∠EAF＝90°，∴S扇形EAF＝＝π；②当点F在点G的右边时，同①的方法得，BF＝4，S扇形EAF＝﹣＝；即当BF＝2时，扇形EAF的面积为π，当BF＝4时，扇形EAF的面积为；（3）由（1）知，△ACQ≌△ABP，∴∠ABP＝∠ACQ＝30°，∵∠ABP＝30°，∴点P在BC上，即点P与点F或G重合，当点P与点F重合时，∠PAB＝∠BAF，由（2）知，∠BAF＝30°，∴m＝30，当点P与点G重合时，∠PAB＝∠BAG＝90°，∴m＝90，即m的值为30或90．10．解：（1）连接AO，并延长交BC于点H，∵AB＝AC，∴．∴AH⊥BC．∴AH平分∠BAC．∴∠BAC＝2∠BAH．∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAH．∴∠BAC＝2∠ABD．（2）过A作AE∥BC，交BD延长线于点E，∴．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝BC．∴．∵AE∥BC，∴．设OB＝OA＝4a，则OH＝3a．∴BH＝．AH＝OA+OH＝7a．∵∠ABD＝∠BAH，∴tan∠ABD＝tan∠BAH＝．11．（1）证明：连接BI，如图1所示：∵点I是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BID＝∠IBD，∴DI＝DB；（2）解：过点D作DE⊥BC于E，如图2所示：由（1）得：∠BAD＝∠CAD，∴，∵DE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝30°，∴DE＝BE＝1，BD＝2DE＝2，∴DI＝BD＝2．12．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：直径所对的圆周角是直角；（2）∵BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝90°．∴∠BAD+∠ADB＝90°．∵∠ADC＝90°，∴∠CDB+∠ADB＝90°．∴∠BAD＝∠CDB．∴．∴BD2＝AB•BC＝ab．∴BD＝．∵AB＝a，BC＝b，∴AC＝a+b．∴OD＝．（3）∵BD⊥AC，∴BD＜OD（直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短）．∴＞．故答案为：垂线段最短．13．（1）证明：∵∠ACB＝90°．∴AB是⊙O的直径，∵EA是⊙O的切线，∴BA⊥EA，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠B，∵AC＝EC，∴∠EAC＝∠E，∴∠E＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，∴AD＝AE；（2）解：∵∠EAF＝90°，AE＝2，EF＝2，∴AF＝＝2，由（1）知：AD＝AE＝2，∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠EAF＝90°，∴＝，∴AB＝AC，如图，过点A作AG⊥CD于点G，设AC＝EC＝t，则CF＝2﹣t，∵tan∠E＝＝，sin∠E＝＝＝，∴AG＝，∴FG＝＝，∴EG＝EC+CG，∴CG＝CF﹣FG＝2﹣t﹣＝﹣t，∵AC2＝AG2+CG2，∴t2＝（）2+（﹣t）2，解得t＝，∴AB＝AC＝t＝3．∴⊙O的直径是3．14．解：（1）如图1中，∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝＝，∴可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，∵以CD为半径的圆D与圆O相切，∴CD＝DB＝5k，∴OB＝OC＝8k，∴AC＝OC＝4k＝2，∴k＝，∴CD＝．（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵＝，∴∠AOP＝∠POB，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），∴∠EPC＝∠FPB，∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠CPB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC＝45°，∵OP＝OB，∠POB＝45°，∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，∴∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠OCD＝90°﹣22.5°＝67.5°．（3）如图3﹣1中，当OC∥PD时，∵OC∥PD，∴∠PDO＝∠AOD＝90°，∵CE⊥PD，∴∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，则有，可得x＝2﹣2（不合题意的已经舍弃），∴PD＝2﹣2，∴＝＝﹣1．如图3﹣2中，当PC∥OD时，∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，∵OP＝4，OC＝2，∴PC＝＝＝2，∴PD＝PC＝2，∴PE＝＝＝2，∴EC＝OD＝2﹣2，∴＝＝＝3+，综上所述，的值为﹣1或3+．15．解：（1）连接CP，如图：∵AP＝CP，AO＝DO，∴∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴△ACP∽△ADO，∴，∴AD•CP＝OD•AC，∴AD•AP＝OD•AC；（2）∵半圆O的直径AB＝4，∴AO＝2，∵半圆P的半径为x，∴OP＝2﹣x，∴∠COP＝90°，∴CO2＝CP2﹣OP2＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，Rt△AOC中，AC＝＝2，∵∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴CP∥DO，∴，又线段CD的长为y，∴，变形得：y＝，x范围是0＜x≤2；（3）设半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，如图：设半圆P的半径为x，由（2）知AC＝2，∵CO⊥AB，∴BC＝AC＝2，∵CP∥DO，∴，而OB＝2，PB＝4﹣x，∴，∴BE＝，∵点E在半圆P上，∴∠EGB＝∠ACB，且∠B＝∠B，∴△CAB∽△GEB，∴＝，∴，∴EG＝，∵AC＝BC，∴EG＝BG，而BG＝AB﹣AG＝4﹣2x，∴＝4﹣2x，解得x＝或（大于2，舍去），∴半圆P的半径为x＝．。

江苏省中考数学真题圆专题汇编

2021年江苏省中考数学真题?圆?专题汇编〔选择、填空〕一、选择题1．〔2021·南京第6题〕过三点A 〔2，2〕，B 〔6，2〕，C 〔4，5〕的圆的圆心坐标为〔〕A ．〔4，617〕B ．〔4，3〕C ．〔5，617〕 D ．〔5，3〕2．〔2021·无锡第9题〕如图，菱形的边20，面积为320，∠＜90°，⊙O 与边，都相切，10，那么⊙O 的半径长等于〔〕A ．5B ．6C ．52 D ．23 第2题图第3题图第4题图3．〔2021·徐州第6题〕如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠72°，那么∠等于〔〕A ．28°B ．54°C ．18°D ．36°4．〔2021·苏州第9题〕如图，在△中，∠90°，∠56°．以为直径的⊙O 交于点D ．E 是⊙O 上一点，且=，连接．过点E 作⊥，交的延长线于点F ，那么∠F 的度数为〔〕A ．92°B ．108°C ．112°D．124°5．〔2021·南通第6题〕如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，那么侧面积为〔〕A．4πB．6πC．12πD．16π第5题图第6题图第7题图6．〔2021·南通第9题〕∠，作图．步骤1：在上任取一点M，以点M为圆心，长为半径画半圆，分别交、于点P、Q；步骤2：过点M作的垂线交于点C；步骤3：画射线．那么以下判断：①=；②∥；③；④平分∠，其中正确的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4 7．〔2021·连云港第8题〕如下图，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2021处，那么点A2021与点A0间的距离是〔〕A．4 B．32C．2D．08．〔2021·宿迁第6题〕假设将半径为12的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是〔〕A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题9．〔2021·南京第15题〕如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接、，假设78∠=︒，那么D∠=°．EAC第9题图第11题图第12题图10．〔2021·无锡第16题〕假设圆锥的底面半径为3，母线长是5，那么它的侧面展开图的面积为2．11．〔2021·无锡第17题〕如图，矩形中，3，2，分别以边，为直径在矩形的内部作半圆O1与半圆O2，一平行于的直线与这两个半圆分别交于点E、点F，且2〔与在圆心O1与O2的同侧〕，那么由，，，所围成图形〔图中阴影局部〕的面积等于．12．〔2021·徐州第17题〕如图，与⊙O相切于点B，线段与弦垂直，垂足为D，2，那么∠°．13．〔2021·苏州第16题〕如图，是⊙O的直径，是弦，3，∠2∠．假设用扇形〔图中阴影局部〕围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面圆的半径是．第13题图第15题图第16题图14．〔2021·南通第13题〕四边形内接于圆，假设∠110°，那么∠度．15．〔2021·连云港第14题〕如图，线段与⊙O相切于点B，线段与⊙O相交于点C，12，8，那么⊙O的半径长为．16．〔2021·淮安第16题〕如图，在圆内接四边形中，假设∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，那么∠D的度数是°．17．〔2021·盐城第14题〕如图，将⊙O沿弦折叠，点C在上，点D在上，假设∠70°，那么∠°．第17题图第18题图第21题图18．〔2021·扬州第15题〕如图，⊙O是△的外接圆，连接，假设∠40°，那么∠°．19．〔2021·泰州第12题〕扇形的半径为3，弧长为2π，那么该扇形的面积为2．20．〔2021•常州第14题〕圆锥的底面圆半径是1，母线是3，那么圆锥的侧面积是．21．〔2021•常州第16题〕如图，四边形内接于⊙O，为⊙O的直径，点C为的中点，假设∠40°，那么∠°．22．〔2021•镇江第6题〕圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于〔结果保存π〕．23．〔2021•镇江第9题〕如图，是⊙O的直径，与⊙O相切，交⊙O于点D，假设∠30°，那么∠°．第23题图参考答案与解析一、选择题1．【答案】A．【考点】坐标与图形性质．【分析】A〔2，2〕，B〔6，2〕，C〔4，5〕，那么过A、B、C三点的圆的圆心，就是弦的垂直平分线的交点，故求得的垂直平分线与的垂直平分线的交点即可．【解答】解：A〔2，2〕，B〔6，2〕，C〔4，5〕，∴的垂直平分线是，设直线的解析式为)0kxy，把B〔6，2〕，C〔4，5〕代入上(≠b=k+式得：，解得，，设的垂直平分线为，7〕代入得，∴的垂直平分线是，把线段的中点坐标〔5，217〕．当4=x时，，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为〔4，6应选A．【点评】此题主要考察了待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决此题的关键．2．【答案】C．【考点】切线的性质；菱形的性质．【分析】如图作⊥于H，连接，延长交于E．利用菱形的面积公式求出，再利用勾股定理求出，，由△∽△，可得：，即可解决问题．【解答】解：如图作⊥于H，连接，延长交于E．∵菱形的边20，面积为320，∴•320，∴16，在△中，122=2AH，AD=DH-∴8，在△中，582=2BH，DH=BH+设⊙O与相切于F，连接．∵，平分∠，∵∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠，∵∠∠90°，应选C．【点评】此题考察切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．【答案】D．【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．【解答】解：根据圆周角定理可知，∠2∠72°，即∠36°，应选D．【点评】此题主要考察了圆周角定理，正确认识∠与∠的位置关系是解题关键．4．【答案】C．【考点】圆心角、弧、弦的关系；多边形内角与外角．【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠的度数，再利用四边形内角与定理得出答案．【解答】解：∵∠90°，∠56°，∴∠34°，∵=，∴2∠∠68°，又∵∠∠90°，∴∠360°-90°-90°-68°=112°．应选：C．【点评】此题主要考察了圆周角定理以及四边形内角与定理，正确得出∠的度数是解题关键．5．【答案】C．【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：ππ×2×6=12π，应选C．【点评】此题主要考察了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．6．【答案】C．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理．【分析】由为直径可得出⊥，结合⊥可得出∥，结论②正确；根据平1∠∠，进而可得行线的性质可得出∠∠，结合圆周角定理可得出∠2出=，平分∠，结论①④正确；由∠的度数未知，不能得出，即结论③错误．综上即可得出结论．【解答】解：∵为直径，∴∠90°，⊥．∴∥，结论②正确；∵∠2∠，∴=，平分∠，结论①④正确；∵∠的度数未知，∠与∠互余，∴∠不一定等于∠，∴不一定等于，结论③错误．综上所述：正确的结论有①②④．应选C．【点评】此题考察了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．7．【答案】A．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据题意求得A0A1=4，A0A2=32，2，A0A3=2，A0A4=3 A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…于是得到A2021与A1重合，即可得到结论．【解答】解：如图，∵⊙O的半径=2，由题意得，A0A1=4，A0A2=32，A0A3=2，A0A4=32，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…∵2021÷6=336…1，∴按此规律运动到点A2021处，A2021与A1重合，∴A0A2021=24．应选A．【点评】此题考察了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．8．【答案】D．【考点】圆锥的计算．【分析】易得圆锥的母线长为12，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π〔〕， ∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6〔〕，应选：D ．【点评】此题考察了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．二、填空题9．【答案】27．【考点】圆周角定理；菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得到∠21∠21〔180°-∠D 〕=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠∠78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形是菱形，∠78°， ∴∠21∠21〔180°-∠D 〕=51°，∵四边形是圆内接四边形，∴∠∠78°，∴∠∠∠27°，故答案为：27．【点评】此题考察了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10．【答案】15π．【考点】圆锥侧面积的计算．【分析】圆锥的侧面积=rl ．【解答】解：底面半径为3，母线为5，侧面面积=πππ1553=⨯⨯=rl【点评】此题利用圆锥侧面积公式求解．11．【答案】．【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．【分析】连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，过E 作⊥O 1O 2，过F ⊥O 1O 2，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到2，求得O 121，得到∠O 130°，根据三角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结果．【解答】解：连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，那么四边形O 1O 2是等腰梯形，过E 作⊥O 1O 2，过⊥O 1O 2，∴四边形是矩形，∴2，∴O 121，∵O 11，∴∠O 130°，∴∠130°，同理∠230°，∴阴影局部的面积矩形2O 1-2S 扇形1 梯形2O 1=3×1-2×-21〔2+3〕×23=34356π．故答案为：34356π．【点评】此题考察了扇形面积的计算，矩形的性质，梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．【答案】60．【考点】切线的性质．【分析】由垂径定理易得1，通过解直角三角形得到∠30°，然后由切线的性质与直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠的度数．【解答】解：∵⊥，2， ∴根据垂径定理得：211．在△中，∠AB BD 21． ∴∠30°．∵与⊙O 相切于点B ，∴∠90°．∴∠60°．故答案是：60．【点评】此题主要考察的圆的切线性质，垂径定理与一些特殊三角函数值，有一定的综合性．13．【答案】21．【考点】圆锥的计算．【分析】根据平角的定义得到∠60°，推出△是等边三角形，得到3，根据弧长的规定得到的长度=，于是得到结论．【解答】解：∵∠2∠，∠∠180°，∴∠60°，∴△是等边三角形，∴3，∴的长度=，1，∴圆锥底面圆的半径=21．故答案为：2【点评】此题考察了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．【答案】70．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形内接于⊙O，∴∠∠180°，∵∠110°，∴∠70°，故答案为：70．【点评】此题考察的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．【答案】5．【考点】切线的性质．【分析】连接，根据切线的性质求出∠90°，在△中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．【解答】解：连接，∵切⊙O于B，∴∠90°，设⊙O的半径长为r，由勾股定理得：r2+122=〔8〕2，解得5．故答案为：5．【点评】此题考察了切线的性质与勾股定理的应用，关键是得出直角三角形，主要培养了学生运用性质进展推理的能力．16．【答案】120．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】设∠4x，∠3x，∠5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠4x，那么∠3x，∠5x．∵四边形是圆内接四边形，∴∠∠180°，即45180°，解得20°，∴∠360°，∴∠180°-60°=120°．故答案为：120．【点评】此题考察的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．17．【答案】110．【考点】圆周角定理．【分析】根据折叠的性质与圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点C在上，点D在上，假设∠70°，∴∠∠180°，∴∠110°，故答案为：110．【点评】此题考察了折叠的性质与圆内接四边形的性质，熟练掌握折叠的直线是解题的关键．18．【答案】50．【考点】圆周角定理．【分析】连接，根据圆周角定理可得∠2∠80°，进而得出∠的度数．【解答】解：连接，∵∠40°，∴∠2∠80°，∴∠〔180°-80°〕÷2=50°．故答案为：50．【点评】此题主要考察了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．19．【答案】3π．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【分析】先用弧长公式求出扇形的圆心角的度数，然后用扇形的面积公式求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的圆心角为n，那么：，得：120°．∴S扇形3π2．故答案为：3π．【点评】此题考察的是扇形面积的计算，根据题意先求出扇形的圆心角的度数，再计算扇形的面积．20．【答案】3π．【考点】圆锥侧面积的计算．【分析】圆锥的侧面积=rlπ．【解答】解：底面半径为1，母线为3，侧面面积=ππ3π⨯rl=⨯31=【点评】此题利用圆锥侧面积公式求解．21．【答案】70．【考点】圆的内接四边形的性质、圆周角定理推论．【分析】连接，根据为直径，求出∠50°；再根据圆的内接四边形的性质可得：∠180°-40°=140°，又点C为的中点，可得，求出∠20°，∠∠∠50°+20°=70°．【解答】解：连接，∵为直径，∴∠90°，又∵∠40°，∴∠50°，根据圆的内接四边形的性质可得：∠180°-40°=140°，又点C为的中点，∴∠∠∠50°+20°=70°【点评】此题利用圆的内接四边形的性质、圆周角定理推论求解．22．【答案】10π．【考点】圆锥侧面积的计算．【分析】圆锥的侧面积=rlπ．【解答】解：底面半径为2，母线为5，侧面面积=ππ10π⨯rl=52=⨯【点评】此题利用圆锥侧面积公式求解．23．【答案】120．【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、外角定理．【分析】根据是切线，可得：∠90°，结合∠30°，可得∠60°，根据等腰三角形的性质与外角定理即可得到结果．【解答】解：∵是⊙O的切线，∴∠90°，∵∠30°，∴∠60°．∴∠∠60°．∴∠∠∠=120°．【点评】此题利用切线的性质、等腰三角形的性质、外角定理求解．。

2021年江苏13市中考数学真题库——圆(全)

2021年江苏中考真题分类汇编——圆一、选择填空题1、（2021 南京）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D.若8cm AB =，2cm CD =，则O 的半径为______cm.2、（2021 南京）如图，F A ，GB ，HC ，ID ，JE 是五边形ABCDE 的外接圆的切线，则BAF CBG DCH EDI AEJ ∠+∠+∠+∠+∠=______°.3、（2021 苏州 10题 3分）如图，线段AB ＝10，点C 、D 在AB 上，AC ＝BD ＝1．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动．在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，P A 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P 的移动时间为t （秒），两个圆锥的底面面积之和为S ，则S 关于t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4、（2021 常州 5题 2分）如图，BC 是O 的直径，AB 是O 的弦．若60AOC ∠=︒，则OAB ∠的度数是（）A. 20︒B.25︒C.30D. 35︒5、（2021 常州 18题 2分）如图，在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，D 是AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是________．6、（2021镇江15题 3分）如图，∠BAC ＝36°，点O 在边AB 上，交边AB 于点E ，F ，连接FD （）A ．27°B ．29°C ．35°D ．37°7、（2021·南通 18题 4分）如图，在 △ABC 中， AC =BC ， ∠ACB =90° ，以点A 为圆心， AB 长为半径画弧，交 AC 延长线于点D ，过点C作 CE//AB ，交 BD ̂⌢ 于点 E ，连接BE ，则 CE BE 的值为________.8、如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．9、（2021·泰州 15题 3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（8，5），⊙A 与x 轴相切，点P 在y 轴正半轴上，PB 与⊙A 相切于点B.若∠APB ＝30°，则点P 的坐标为 ________.10、（2021·徐州 8题 3分）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍11、（2021·徐州 14题 3分）如图，AB 是O 的直径，点C D 、在O 上，若58ADC ∠=︒，则BAC ∠=_________°．12、（2021·徐州 15题 3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l 为8cm ，扇形的圆心角90θ=︒，则圆锥的底面圆半径r 为__________cm ．13、（2021·宿迁 16题 3分）如图,在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠A =32°,点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则∠ABE= ． 14、（2021·淮安 15题3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠CAB＝55°，则∠D 的度数是．15、（2021·连云港 8题 3分）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．616、（2021·连云港 13题 3分）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=____︒．二、综合解答题1、（2021 南京）如图，已知P 是O 外一点.用两种不同的方法过点P 作O 的一条切线.要求：(1)用直尺和圆规作图：(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.2、（2021 南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短?(1)如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4πcm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长(结果保留根号).(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________(用含l，h的代数式表示).②设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.3、（2021苏州25题8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．4、(2021无锡 25题 8分)如图，已知锐角△ABC 中，AC=BC ．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB 的平分线CD ；作△ABC 的外接圆⊙O ；(不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若 AB=548，⊙O 的半径为5，则sin B = ．(如需画草图，请使用图2)5、（2021无锡 25题8分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切⊙O 于点B ． (1)求证：∠PBA=∠OBC ； (2)若∠PBA =20°，∠ACD =40°，求证：△OAB ∽△CDE ．(图2)(图1)A B CC B AE C D APB O6、（2021镇江26题8分）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，B，P三点．（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，求tan∠EAP的值．7、（2021·南通23题12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD=35°，连接BC.̂的长.（1）求∠B的度数；（2）若AB=2，求EC8、（2021·盐城 24题 12分）如图，O 为线段PB 上一点，以O 为圆心OB 长为半径的⊙O 交PB 于点A ，点C 在⊙O 上，连接PC ，满足2PC PA PB =⋅．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若3AB PA =，求AC BC 的值．9、（2021·泰州 26题）如图，在⊙O 中，AB 为直径，P 为AB 上一点，PA ＝1，PB ＝m（m 为常数，且m ＞0）.过点P 的弦CD ⊥AB ，Q 为 BC ⌢ 上一动点（与点B 不重合），AH⊥QD ，垂足为H.连接AD 、BQ.（1）若m ＝3.①求证：∠OAD ＝60°；②求 BQ DH的值；（2）用含m 的代数式表示 BQDH ，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的⊙O ，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值，求此时∠Q 的度数.10、（2021·扬州 25题 10分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若23AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11、（2021·扬州 27题 12分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段2BC =，使用作图工具作30BAC ∠=︒，尝试操作后思考：（1）这样的点A 唯一吗？（2）点A 的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ①线段PB 长的最小值为_______； ②若23PCD PAD SS =，则线段PD 长为________．∆≅∆；（2）四边形OBCD是菱形．（1）AOE CDE13、（2021·宿迁25题10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°,以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD.(1)判断直线CD与O的位置关系,并说明理由；，AB=40，求O的半径.(2)已知tan∠DOC=24714、（2021·淮安 24题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD ＝3，DE ＝，求⊙O 的直径．15、（2021·连云港 24题10分）如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E ，若2EDC ABC SS =，求tan BAC ∠的值．。

2020-2021中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习附详细答案

2020-2021中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习附详细答案一、圆的综合1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ；（2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析：（1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ，∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点，点D 在OC 的延长线上，连接DA ，交BC 的延长线于点E ，使得∠DAC=∠B ．（1）求证：DA 是⊙O 切线；（2）求证：△CED ∽△ACD ；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD22OD OA-2又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD2，∴AE=AD﹣DE222．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

2020-2021中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及答案解析

2020-2021中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及答案解析一、圆的综合1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC 切⊙O 于点C ，∴BC ⊥OC ．∵DE ⊥BC ，∴OC ∥DE ．∵AC ∥OD ，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC =OD ，∴平行四边形ADOC 是菱形，∴OC =AC =OA ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，∴弧AC 的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵1132OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8. ∴138413OA =⨯=. 则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.4．如图，在△ABP 中,C 是BP 边上一点,∠PAC =∠PBA ,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,且交BP 于点E.（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG•AB=12，求AC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA 得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC2=AG•AB=12，∴AC=23．5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2) 25-504.【解析】分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE是⊙O的切线；（2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝=90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.6．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC 、BC ．（Ⅰ）求∠ACB 的大小；（Ⅱ）若⊙O 半径为1，求四边形ACBP 的面积．【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）33【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OP平分∠APB，∴∠APO=12∠APB=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACO=12AOP=30°，同理可得∠BCP=30°，∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴33，OP=2OA=2，∴OP=2OC，而S△OPA=123∴S△AOC=12S△PAO=34，∴S △ACP =334， ∴四边形ACBP 的面积=2S △ACP =33．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．7．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．如图，M （1，2），N （4，2）．（1）在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有；（2）如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．【答案】（1）P 1和P 3；（2）3311x -≤≤；（3333 3.r +≤ 【解析】【分析】（1）先根据题意求出点P 的横坐标的范围，再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果；（2）由直线y=x+1经过点M （1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C ，则在△AMN 中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a ，tan ∠ANM=AB BN ，即tan30°=3a a-，求出a 即可得出结果；（3）圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．【详解】（1））如图1所示：∵点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点，M （1，2），N （4，2），∴点P 的横坐标1≤x≤4，∵以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，当∠MPN=60°时，PM=60MN tan ︒=3=3，同理P′N=3，∴点P 的纵坐标为2-3或2+3，即纵坐标2-3≤y≤2+3，∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3；故答案为：P 1和P 3；（2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），∴ x ≥1.设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.设AB = MB = a ，∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=-，解得333a -=∴ 点A 的横坐标为33333111.22x a --=+=+= ∴331.x -≤ 综上 3311.2x -≤≤（3）点P 在以O （1，-1）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，如图3所示：连接P 4O 交x 轴于点D ，P 4、M 、D 、O 共线，则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，由（1）知：MP 4=NP 53即OD+DM+MP 433圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，作OE ⊥MP 5于E ，连接OP 5，则OE 为r 的最小值，MP 5225MN NP +223(3)+3OM=OD+DM=1+2=3， △OMP 5的面积=12OE•MP 5=12OM•MN ，即12312×3×3，解得：33 ∴3323 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN 的“关联点”图是关键．8．在O e 中，AB 为直径，C 为O e 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O e 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB ＝12°，∴∠AOE ＝78°，∴∠DCA ＝39°，∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ，∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；(2)若»CD的长为134π，求“回旋角”∠CPD的度数；(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．【解析】【分析】（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，∠CED＝12∠COD＝22.5°，得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于G，利用sin∠DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可【详解】∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；(2)如图1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，设∠COD＝n°，∵»CD的长为134π，∴13131804n ππ=n ∴n ＝45，∴∠COD ＝45°，作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ，∴∠BPC ＝∠OPE ，∵∠CPD 为直径AB 的“回旋角”，∴∠APD ＝∠BPC ，∴∠OPE ＝∠APD ，∵∠APD+∠CPD+∠BPC ＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°，∴点D ，P ，E 三点共线，∴∠CED ＝12∠COD ＝22.5°， ∴∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD ＝∠BPC ＝67.5°，∴∠CPD ＝45°，即：“回旋角”∠CPD 的度数为45°，(3)①当点P 在半径OA 上时，如图2，过点C 作CF ⊥AB 交⊙O 于F ，连接PF ， ∴PF ＝PC ，同(2)的方法得，点D ，P ，F 在同一条直线上，∵直径AB 的“回旋角”为120°，∴∠APD ＝∠BPC ＝30°，∴∠CPF ＝60°，∴△PCF 是等边三角形，∴∠CFD ＝60°，连接OC ，OD ，∴∠COD ＝120°，过点O 作OG ⊥CD 于G ，∴CD ＝2DG ，∠DOG ＝12∠COD ＝60°， ∴DG ＝ODsin ∠DOG ＝13×sin60°＝1332√ ∴CD ＝133√，∵△PCD 的周长为24+133√，∴PD+PC ＝24，∵PC ＝PF ，∴PD+PF ＝DF ＝24，过O 作OH ⊥DF 于H ，∴DH＝12DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝225OD DH-=在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论10．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=45，求⊙O的半径．【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45AE AB =，∵AE=4，∴AB=5，则圆O的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．11．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且10，CH52=.（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）102【解析】【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是»CE的中点，可得∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得EH=2，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10-2．【详解】（1）如图1所示：连接AC．∵AB⊥CB，∴AC是⊙O的直径，∵∠C=∠D，∴tanC=3，∴AB=3BC=3×2=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又∵AH2=10，CH2=50，∴AC2+AH2=CH2，∴△ACH为直角三角形，∴AC⊥AH，∴AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE、BE，∵AH是圆O的切线，∴∠ABD=∠HAD，∵D是»CE的中点，∴»»=，CD ED∴∠CED=∠EBD，又∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED，∴∠ABD=∠AFE，∴∠HAF=∠AFH，∴AH=HF；（3）由切割线定理可知：AH2=EH•CH，即（10）2=52EH，解得：EH=2，∵由（2）可知AF=FH=10，∴EF=FH﹣EH=10-2．【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，»»=，DE⊥BC，垂足为BD ADE．（1）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．【答案】（1）ED 与O e 相切.理由见解析；（2）2=33S π-阴影. 【解析】【分析】（1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由»»BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可．【详解】（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：连结OD ，如图，∵»»BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ．∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD26023360π⋅⋅=-•22 23=π3-．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．13．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD=3，BD=4，求△ABC 的面积．解：设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3[x2＋（m＋n）x＋mn]＝3×（3mn＋mn）＝3mn．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.14．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（23323π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．15．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析 (2) EC=172AE=132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=72，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴¶AE=¶BE，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵¶AE=¶BE，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，设AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四边形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC CF =2，AE 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

江苏省中考数学选择填空压轴题专题7圆的综合问题

专题 07 圆的综合问题例 1．如图，点 A 是半圆上的一个三均分点，点 B 为弧AD 的中点，P 是直径CD 上一动点，⊙O 的半径是2，则PA＋PB 的最小值为（）A．2 B ． 5 C．3＋1 D．2 2同类题型 1.1 如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆，已知AD 均分∠ BAC 交⊙ O 于点D，连结 CD，延伸 AC，BD，订交于点 F．现给出以下结论：2①若 AD＝5，BD＝2，则DE＝；②∠ ACB＝∠ DCF；③△ FDA∽△ FCB；④若直径 AG⊥BD 交 BD 于点 H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cosF＝41； 48则正确的结论是（）A．①③ B ．②③④C．③④D．①②④同类题型 1.2一张圆形纸片，小芳进行了以下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（ 2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、 B 两点重合，折痕CD 与 AB 订交于 M，如图（ 3）所示．（3）将圆形纸片沿EF 折叠，使 B、M 两点重合，折痕EF 与 AB 订交于 N，如图（ 4）所示．（4）连结 AE、AF，如图（ 5）所示．经过以上操作小芳获得了以下结论：① CD∥ EF；②四边形 MEBF 是菱形；③ △ AEF 为等边三角形；④S：＝3：，S 34π以上结论正确的有（）A．1 个 B ．2 个C．3 个D．4 个例2．如图，△ABC 中， BC＝4，∠ BAC＝45°，以4 2为半径，过 B、C 两点作⊙O，连 OA，则线段 OA 的最大值为 ______________．同类题型 2.1 如图，已知⊙ O 的半径为 1，锐角△ABC 内接于⊙ O，BD⊥AC 于点 D，OM ⊥AB 于点 M，1，则 sin∠CBD 的值等于（）OM＝33 B ．1 C．2 2A．D．12 3 3 2同类题型 2.2 如图，直线 l 经过⊙ O 的圆心 O，与⊙ O 交于 A、 B 两点，点 C 在⊙ O 上，∠ AOC＝30°，点 P 是直线 l 上的一个动点（与圆心 O 不重合），直线 CP 与⊙ O 订交于点 M，且 MP＝ OM，则知足条件的∠ OCP 的大小为_______________．同类题型 2.3 如图，△ABC 中，∠ BAC＝ 90°， AC＝12，AB＝ 10， D 一个动点，以 AD 为直径的⊙ O 交 BD 于 E，则线段 CE 的最小值是（A．5 B ．6C．7D．8 是AC）上例3．如图，直线l∥l，⊙ O 与l和l分别相切于点 A 和点 B．点 M 和点 N 分别是l和l上的动点， MN 沿l和l平移．⊙ O 的半径为 1，∠ 1＝ 60°．以下结论错误的是（）4 3A．MN＝3B．若 MN 与⊙ O 相切，则 AM＝ 3C．若∠ MON＝90°，则 MN 与⊙ O 相切D．l和l的距离为 2同类题型 3.1 如图，已知 A 、B 两点的坐标分别为（－ 2，0）、（0， 1），⊙ C 的圆心坐标为（ 0，－ 1），半径为 1．若 D 是⊙ C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E ，则 △ABE 面积的最大值是 __________．同类题型 3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为 “整圆”．如图，直线 l ：＝＋ 4 3与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B ，∠ OAB ＝ 30°，y kx点 P 在 x 轴上，⊙ P 与 l 相切，当 P 在线段 OA 上运动时，使得⊙ P 成为整圆的点 P 个数是（）A ．6B ．8C ．10D ．12同类题型 3.3 已知 AC ⊥BC 于 C ， BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，以下图形中⊙ O 与△ABC 的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O 的半径为ab 的是（a ＋b）A ．B ．C ．D ．例 4．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O ，EF与BC ，CD分别订交于点 G ，H ，则EF的值为 ______________． GH同类题型 4.1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，以 OB 为直径画圆 M ，过 D 作⊙ M 的切线，切点为 N ，分别交 AC ， BC 于点 E ，F ，已知AE ＝5，CE ＝3，则 DF 的长是 _______________．同类题型 4.2 如图，已知 △ABC 的外接圆⊙ O 的半径为 1，D 、EAC 上的点， BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，则 sin ∠BAC 的值等于线段（分别是）AB 、A ．DE的长B ．BC的长C ．2DE的长D ．3DE的长32例 5．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点， AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为 D ，直线 DC 与 AB 的延伸线交于点 P ，弦 CE 均分∠ ACB ，交 AB 于点 F ，连结 BE ，＝ 7 2．以下四个结论： ① AC 均分 ∠ DAB ； ② PF ＝BEPB ﹒PA ；③若 1 7 49＝ OP ，则暗影部分的面积为 π－ 3；④若 PC ＝ 24，则BC 4 42tan ∠PCB ＝3．此中正确的选项是（）4A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③同类题型 5.1 如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA、OB 为直径作半圆，则图中暗影部分的面积为_____________．同类题型 5.2 某景区修筑一栋复古建筑，其窗户设计以下图．圆 O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（ E 为上切点），与左右两边订交（ F，G 为此中两个交点），图中暗影部分为不透光地区，其他部分为透光地区．已知圆的半径为 1m，依据设计要求，若∠ EOF＝ 45°，则此窗户的透光率（透光地区与矩形窗面的面积的比值）为_____________．同类题型5.3 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别为 O′，B′，连结 BB′，则图中暗影部分的面积是（）A．2ππC．2 3－2π2π3B ．2 3－3D．4 3－3 3同类题型 5.4 如图，已知矩形 ABCD 中， AB＝3， AD＝2，分别以边 AD，BC为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆O和半圆O，一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF＝2（EF 与AB 在圆心O和O的同侧），则由AE，EF，FB，AB 所围成图形（图中暗影部分）的面积等于 _______．参照答案例 1．如图，点 A 是半圆上的一个三均分点，点 B 为弧AD 的中点，P 是直径CD 上一动点，⊙O 的半径是2，则PA＋PB 的最小值为（）A．2 B ． 5 C．3＋1 D．2 2解：作 A 对于 MN 的对称点 Q，连结 CQ，BQ，BQ 交 CD 于 P，此时 AP＋PB＝QP＋PB＝QB，依据两点之间线段最短，PA＋PB 的最小值为 QB 的长度，连结 OQ，OB，∵点 A 是半圆上的一个三均分点，∴∠ ACD＝30°．∵B 弧 AD 中点，∴∠ BOD＝∠ ACD＝30°，∴∠ QOD＝2∠QCD＝2×30＝°60°，∴∠ BOQ＝30°＋60°＝90°．∵⊙ O 的半径是 2，∴OB＝OQ＝2，∴BQ＝ OB＋OQ＝2 2，即 PA＋PB 的最小值为 2 2．选D．同类题型 1.1 如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆，已知AD 均分∠ BAC 交⊙ O 于点D，连结 CD，延伸 AC，BD，订交于点 F．现给出以下结论：2①若 AD＝5，BD＝2，则DE＝；②∠ ACB＝∠ DCF；③△ FDA∽△ FCB；④若直径 AG⊥BD 交 BD 于点 H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cosF＝41； 48则正确的结论是（）A．①③ B ．②③④C．③④D．①②④解：①如图 1，∵AD 均分∠ BAC，∴∠ BAD＝∠ CAD，∵∠ CAD＝∠ CBD，∴∠ BAD＝∠ CBD，∵∠ BDE＝∠ BDE，∴△ BDE∽△ ADB，∴BD＝DE ，AD BD由AD＝5，BD＝2，可求DE =4，5①不正确；②如图 2，连结 CD，∠FCD＋∠ ACD＝180°，∠ ACD＋∠ ABD＝180°，∴∠ FCD＝∠ ABD，若∠ ACB＝∠ DCF，由于∠ ACB＝∠ADB，则有：∠ ABD＝∠ ADB，与已知不符，故②不正确；③如图 3，∵∠ F＝∠ F，∠ FAD＝∠ FBC，∴△ FDA∽△ FCB；故③正确；④如图 4，连结 CD，由②知：∠ FCD＝∠ ABD，又∵∠ F＝∠ F，∴△ FCD∽△ FBA，∴FC＝FD，FB FA由AC＝FC＝4，DF＝3，可求： AF＝8，＝32，FB323∴BD＝BF－DF＝，∵直径 AG⊥BD，23∴DH＝，41∴FH＝，FH41∴cosF＝＝，故④正确；应选： C．同类题型 1.2一张圆形纸片，小芳进行了以下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（ 2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、 B 两点重合，折痕CD 与 AB 订交于 M，如图（ 3）所示．（3）将圆形纸片沿EF 折叠，使 B、M 两点重合，折痕EF 与 AB 订交于 N，如图（ 4）所示．（4）连结 AE、AF，如图（ 5）所示．经过以上操作小芳获得了以下结论：① CD∥ EF；②四边形 MEBF 是菱形；③ △ AEF 为等边三角形；④S：＝3：，πS 3 4以上结论正确的有（）A．1 个 B ．2 个C．3 个D．4 个解：∵纸片上下折叠A、B 两点重合，∴∠ BMD＝90°，∵纸片沿 EF 折叠， B、M 两点重合，∴∠ BNF＝90°，∴∠ BMD＝∠ BNF＝90°，∴CD∥EF，故①正确；依据垂径定理， BM 垂直均分 EF，又∵纸片沿 EF 折叠， B、M 两点重合，∴BN＝MN，∴BM、EF 相互垂直均分，∴四边形 MEBF 是菱形，故②正确；如图，连结 ME，则 ME ＝MB＝2MN，∴∠ MEN＝30°，∴∠ EMN＝90°－30°＝60°，又∵ AM＝ME（都是半径），∴∠ AEM＝∠ EAM，1 1∴∠AEM＝∠EMN＝×60°＝30°，2 2∴∠ AEF＝∠ AEM＋∠ MEN＝30°＋30°＝60°，同理可求∠ AFE＝60°，∴∠ EAF＝60°，∴△ AEF 是等边三角形，故③正确；设圆的半径为 r，则＝1r，＝ 3MNr，2 EN 2 1 3∴EF＝2EN＝ 3r，AN＝r＋ r＝ r，2 2∴ ： 1 × 3 3 ：π＝ 3 ：4π，故④正确；S ＝（r ×r ） 3S2 r2综上所述，结论正确的选项是①②③④共 4 个．选D．同类题型 1.3同类题型 1.4例2．如图，△ABC 中， BC＝4，∠ BAC＝45°，以4 2为半径，过 B、C 两点作⊙O，连 OA，则线段 OA 的最大值为 ______________．1解：作 OF ⊥BC 于 F ，则 BF ＝CF ＝ BC ＝2，如图，连结 OB ，在 Rt △OBF 中，R(,2))－2 ，OF ＝ OB －BF ＝＝2 7∵∠ BAC ＝45°，BC ＝4，∴点 A 在 BC 所对应的一段弧上一点，∴当点 A 在 BC 的垂直均分线上时 OA 最大，此时 AF ⊥BC ，AB ＝AC ，作 BD ⊥AC 于 D ，如图，设 BD ＝x ， ∵△ ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝ 2BD ＝ 2x ，∴AC ＝ 2x ，在 Rt △BDC 中，∵ BC ＝CD ＋BD ，∴4＝（ 2x －x ）＋x ，即 x ＝4（2＋ 2）， 11∵ AF ﹒BC ＝ BD ﹒AC ，22﹒ 2 xx 2＋2，∴AF ＝＝2 4∴AO ＝AF ＋OF ＝2 2＋2＋2 7，即线段 OA 的最大值为 2 2＋2＋2 7．同类题型 2.1 如图，已知⊙ O 的半径为 1，锐角 △ABC 内接于⊙ O ，BD ⊥AC 于点 D ，OM ⊥AB 于点 M ，1，则 sin ∠CBD 的值等于（）OM ＝ 33 B ．1C ．22A ．D ．1233 2解：连结 AO ，∵OM ⊥AB 于点 M ，AO ＝BO ，∴∠ AOM ＝∠ BOM ，∵∠ AOB ＝2∠C∴∠ MOB ＝∠ C ，∵⊙ O 的半径为 1，锐角 △ABC 内接于⊙ O ，BD ⊥AC 于点 D ，1，OM ＝ 31MO 3 1∴sin ∠CBD ＝sin ∠OBM ＝＝＝ 3OB 1则 sin ∠CBD 的值等于 1．3选 B ．同类题型 2.2 如图，直线 l 经过⊙ O 的圆心 O ，与⊙ O 交于 A 、 B 两点，点 C 在⊙ O 上，∠ AOC ＝30°，点 P 是直线 l 上的一个动点（与圆心 O 不重合），直线 CP 与⊙ O 订交于点 M，且 MP＝ OM，则知足条件的∠ OCP 的大小为_______________．解：①依据题意，画出图（1），在△QOC 中， OC＝OM，∴∠ OMC＝∠ OCP，在△OPM 中， MP＝MO，∴∠ MOP＝∠ MPO，又∵∠ AOC＝30°，∴∠ MPO＝∠ OCP＋∠ AOC＝∠ OCP＋30°，在△OPM 中，∠ MOP＋∠ MPO＋∠ OMC＝180°，即（∠ OCP＋30°）＋（∠ OCP＋30°）＋∠ OCP＝180°，整理得， 3∠OCP＝120°，∴∠ OCP＝40°．②当 P 在线段 OA 的延伸线上（如图2）∵OC＝OM，1∴∠OMP = （180°- ∠MOC ）× ①，2∵OM＝PM，1∴∠OPM = （180°- ∠OMP）× ②，2在△OMP 中， 30°＋∠ MOC＋∠ OMP＋∠ OPM ＝180°③，把①②代入③得∠ MOC＝20°，则∠ OMP＝80°∴∠ OCP＝100°；③当 P 在线段 OA 的反向延伸线上（如图3），∵OC＝OM，1∴∠OCP = ∠OMC = （180°- ∠COM ）× ①，2∵OM＝PM，1∴∠P＝（180°－∠OMP）× ②，2∵∠ AOC＝30°，∴∠ COM＋∠ POM ＝150°③，∵∠ P＝∠ POM，2∠P＝∠ OCP＝∠ OMC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠ OCP＝180°－150°－10°＝20°．故答案为： 40°、20°、100°．同类题型 2.3 一个动点，以如图，△ABC 中，∠ BAC＝ 90°， AC＝12，AB＝ 10， DAD 为直径的⊙ O 交 BD 于 E，则线段 CE 的最小值是（是 AC）上A．5 B ．6C．7D．8解：如图，连结AE，则∠ AED＝∠ BEA＝90°，∴点 E 在以 AB 为直径的⊙ Q 上，∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，当点 Q、E、C 三点共线时， QE＋CE＝CQ（最短），而QE 长度不变，故此时 CE 最小，∵AC＝12，∴QC＝ AQ＋AC＝13，∴CE＝QC－QE＝13－5＝8，选D．例3．如图，直线l∥l，⊙ O 与l和l分别相切于点 A 和点 B．点 M 和点 N 分别是l和l上的动点， MN 沿l和l平移．⊙ O 的半径为 1，∠ 1＝ 60°．以下结论错误的是（）A．MN＝4 3 3B．若 MN 与⊙ O 相切，则 AM＝ 3C．若∠ MON＝90°，则 MN 与⊙ O 相切D．l和l的距离为 2解： A、平移 MN 使点 B 与 N 重合，∠ 1＝ 60°， AB＝ 2，解直角三角形得MN＝4 3，正确；3B、当 MN 与圆相切时， M，N 在 AB 左边以及 M，N 在 A，B 右边时， AM＝ 3 或3，错误；3C、若∠ MON＝90°，连结 NO 并延伸交 MA 于点 C，则△AOC≌△ BON，故CO＝NO，△MON≌△ MOC，故 MN 上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径．正确；D、∥ l ，两平行线之间的距离为线段AB 的长，即直径 AB＝2，正确．l选B．同类题型3.1 如图，已知A、B 两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（ 0，－ 1），半径为 1．若 D 是⊙ C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E，则△ABE 面积的最大值是 __________．解：当射线 AD 与⊙ C 相切时， △ABE 面积的最大．连结 AC ，∵∠ AOC ＝∠ ADC ＝90°，AC ＝AC ，OC ＝CD ，∴Rt △AOC ≌Rt △ADC （HL ），∴AD ＝AO ＝2，连结 CD ，设 EF ＝x ，∴DE ＝EF ﹒OE ，∵CF ＝1，∴DE ＝ x(x ＋2)，∵△ CDE ∽△ AOE ，∴CD ＝CE ，AO AE1 x ＋1 ，即＝＋＋22 2)x(x 解得 x ＝ 2，3BE ×AO＋＋11 2 × F(2,3) 1 2)＝＝＝．S223同类题型 3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为 “整圆”．如图，直线 l ：＝＋ 4 3与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B ，∠ OAB ＝ 30°，y kx点 P 在 x 轴上，⊙ P 与 l 相切，当 P 在线段 OA 上运动时，使得⊙ P 成为整圆的点 P 个数是（）A．6 B ．8C．10D．12 解：∵直线 l：y＝kx＋4 3与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B，∴B（0，），4gh(3)∴OB＝4 3，在RT△AOB 中，∠ OAB＝30°，∴OA＝ 3OB＝ 3 ×4 3＝12，∵⊙ P 与 l 相切，设切点为M，连结 PM，则 PM⊥AB，1∴PM＝ PA，设P（x，0），∴PA＝12－x，∴⊙ P 的半径PM＝1PA＝6－1x，2 2∵x 为整数， PM 为整数，∴x 能够取 0，2，4，6，8，10，6 个数，∴使得⊙ P 成为整圆的点 P 个数是 6．应选： A．同类题型 3.3 已知 AC⊥BC 于 C， BC＝a，CA＝b，AB＝c，以下图形中⊙ O 与ABC Oaba＋bA． B ．C．D．解：设⊙ O 的半径为 r，A、∵⊙ O 是△ABC 内切圆，∴ 1 （＋＋）1 ab，＝＝a b c ﹒S2 2∴r＝ab；a＋b＋cB、如图，连结 OD，则 OD＝OC＝r，OA＝b－r ，∵AD 是⊙ O 的切线，∴OD⊥AB，即∠ AOD＝∠ C＝90°，∴△ ADO∽△ ACB，∴OA：AB＝OD：BC，即（ b－r）： c＝r：a，ab解得：r＝；C、连结 OE，OD，∵AC 与 BC 是⊙ O 的切线，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠ OEB＝∠ ODC＝∠ C＝90°，∴四边形 ODCE 是矩形，∵OD＝OE，∴矩形 ODCE 是正方形，∴EC ＝OD ＝r ，OE ∥AC ，∴OE ：AC ＝BE ：BC ，∴ r ：b ＝（ a －r ）： a ， ∴ r＝ ab；＋ baD 、解：设 AC 、BA 、BC 与⊙ O 的切点分别为 D 、F 、E ；连结 OD 、OE ； ∵AC 、BE 是⊙ O 的切线，∴∠ ODC ＝∠ OEC ＝∠ DCE ＝90°；∴四边形 ODCE 是矩形；∵OD ＝OE ，∴矩形 ODCE 是正方形；即 OE ＝OD ＝CD ＝r ，则 AD ＝AF ＝b －r ；连结 OB ，OF ，由勾股定理得：∵OB ＝OB ，OF ＝OE ，∴BF ＝BE ，则 BA ＋AF ＝BC ＋CE ，c ＋b －r ＝a ＋r ，即 r ＝c ＋b －a． 2应选 C ．例 4．如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙ O ，EF 与 BC ，CD 分别订交于点 G ，H ，则EF的值为 ______________． GH解：如图，连结 AC 、BD 、OF ，＝－，＝－，BF OB OF BE OB OE设⊙ O 的半径是 r ，则 OF ＝r ，∵AO 是∠ EAF 的均分线，∴∠ OAF ＝60°÷2＝30°，∵OA ＝OF ，∴∠ OFA ＝∠ OAF ＝30°，∴∠ COF ＝30°＋30°＝60°，3∴FI = r ﹒sin60 °=r ，2∴ 3 ×3r ， EF = 2 r 2 = ∵AO ＝2OI ， ∴ OI＝1r ，CI ＝－1 ＝1r ，2 r 2r2∴GH ＝ CI ＝1，BD CO 21∴GH ＝ BD ＝r ，∴EF＝3r＝3． GH r同类题型 4.1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，以 OB 为直径画圆 M ，过 D 作⊙ M 的切线，切点为 N ，分别交 AC ， BC 于点 E ，F ，已知AE ＝5，CE ＝3，则 DF 的长是 _______________．解：延伸 EF，过 B 作直线平行 AC 和 EF 订交于 P，∵AE＝5，EC＝3，∴AO＝CE＋OE，即有， OE＝EN＝1，1又∵△ DMN ∽△ DEO，且MN =DM ，∴DE＝3OE＝3，又∵ OE∥BP，O 是 DB 中点，因此 E 也是中点，∴EP＝DE＝3，∴BP＝2，又∵△ EFC∽△ PFB，相像比是 3：2，3∴EF = EP×＝1.8，5故可得 DF＝DE＋EF＝3＋1.8＝4.8．同类题型 4.2 如图，已知△ABC 的外接圆⊙ O 的半径为 1， D、E AC 上的点， BD＝2AD，EC＝2AE，则 sin∠BAC 的值等于线段（分别是）AB、A．DE 的长 B ．BC 的长C．2DE的长D．3DE的长3 2解：如图，作直径 CF ，连结 BF ，在 Rt △CBF 中， BC BC＝；sin ∠F ＝ CF 2∵BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，∴AD ：AB ＝AE ：AC ＝1：3，又∵∠ EAD ＝∠ CAB ，∴△ EAD ∽△ CAB ，∴BC ＝3DE ，BC 3DE 3∴sin ∠A ＝sin ∠F ＝＝＝ DE ．2 2 2选 D ．例 5．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点， AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为 D ，直线 DC 与 AB 的延伸线交于点 P ，弦 CE 均分∠ ACB ，交 AB于点 F ，连结 BE ，＝ 7 2．以下四个结论： ① AC 均分 ∠ DAB ； ② PF ＝BEPB ﹒PA ；③若＝ 1OP ，则暗影部分的面积为 7 － 49 3；④若 PC ＝ 24，则BC24π4∠＝ 3．此中正确的选项是（）tan PCB4A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③解：①连结 OC．∵OA＝OC，∴∠ OAC＝∠ OCA．∵PC 是⊙ O 的切线， AD⊥CD，∴∠ OCP＝∠ D＝90°，∴OC∥AD．∴∠ CAD＝∠ OCA＝∠ OAC．即AC 均分∠ DAB．故正确；②∵ AB 是直径，∴∠ ACB＝90°，∴∠ PCB＋∠ ACD＝90°，又∵∠ CAD＋∠ ACD＝90°，∴∠ CAB＝∠ CAD＝∠ PCB．又∵∠ ACE＝∠ BCE，∠ PFC＝∠ CAB＋∠ ACE，∠ PCF＝∠ PCB＋∠BCE．∴∠ PFC＝∠ PCF．∴PC＝PF，∵∠ P 是公共角，∴△PCB∽△ PAC，∴PC：PA＝PB：PC，∴PC＝PB﹒PA，即PF＝PB﹒PA；故正确；③连结 AE．∵∠ ACE＝∠ BCE，∴AE＝BE，∴AE＝BE．又∵ AB 是直径，∴∠ AEB＝90°．∴AB = 2BE = 2 ×7 2＝14，∴OB＝OC＝7，∵PD 是切线，∴∠ OCP＝90°，1∵BC＝ OP，∴BC 是 Rt△OCP 的中线，∴BC＝OB＝OC，即△OBC 是等边三角形，∴∠ BOC＝60°，∴ ＝49 3，S_(扇形 BOC)＝(60)/(360) π×7^(2)＝(49)/(6)π，S 4∴暗影部分的面积为49 49π－3；故错误；6 4④∵△ PCB∽△ PAC，∴PB BC＝，PC AC∴ t an ∠PCB ＝tan ∠PAC ＝BC ＝PB，AC PC 设 PB ＝x ，则 PA ＝x ＋14，∵PC ＝PB ﹒PA ， ∴24＝x （x ＋14），解得： x ＝18，x ＝－ 32，∴PB ＝18，PB 18 3∴tan ∠PCB ＝＝＝；故正确．PC 24 4 应选 C ．同类题型 5.1 如图，在半径为2cm ，圆心角为 90°的扇形 OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中暗影部分的面积为_____________．解：∵扇形 OAB 的圆心角为 90°，扇形半径为 2，∴扇形面积为： 90π×2 ＝（），360πcm 半圆面积为：1π）， ×π×＝（cm212∴π），＋＝＋＝（cm S S S S2∴S ＝S ，连结 AB ，OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠ AOD ＝∠ BOD ＝45°，∴ ＝＝ 1S UP6(2)) ，＝S S2 ×2 ×1∴暗影部分 Q 的面积为：π πS UP6(2)) ．－－＝π－－＝－1S S S 2 2同类题型 5.2 某景区修筑一栋复古建筑，其窗户设计以下图．圆 O 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（ E 为上切点），与左右两边订交（ F ，G 为此中两个交点），图中暗影部分为不透光地区，其他部分为透光地区．已知圆的半径为 1m ，依据设计要求，若∠ EOF ＝45°，则此窗户的透光率（透光地区与矩形窗面的面积的比值）为_____________．解：设⊙ O 与矩形 ABCD 的另一个交点为 M ，连结 OM 、OG ，则 M 、O 、E 共线，由题意得：∠ MOG ＝∠ EOF ＝45°，∴∠ FOG ＝90°，且 OF ＝OG ＝1，180π×1 1π ∴ ＝＋2 ×× × ＝＋1，S21 1360 2过 O 作 ON ⊥AD 于 N ，1 1 ∴ON ＝ FG ＝2，221∴AB ＝2ON ＝2 ×2 2＝ 2，∴S ＝2 × 2＝2 2，π＋ 1S 2 2π＋2)(∴ ＝2 ＝8 ．S 2同类题型 5.3 如图，将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O ，B 的对应点分别为 O ′，B ′，连结 BB ′，则图中暗影部分的面积是（）A ．2π B ．2 3－πC ．2 3－2πD ．4 3－2π3333解：连结 OO ′，BO ′，∵将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°， ∴∠ OAO ′＝60°，∴△ OAO ′是等边三角形，∴∠ AOO ′＝60°，∵∠ AOB＝120°，∴∠ O′OB＝60°，∴△ OO′B 是等边三角形，∴∠ AO′B＝120°，∵∠ AO′B′＝120°，∴∠ B′O′B＝120°，∴∠ O′B′B＝∠ O′BB′＝30°，∴图中暗影部分的面积＝－（－）＝1－（ 60﹒π×2 1 ）S 3 －× × 3S S× ×1 2360 2 222π＝2－．3选 C．同类题型 5.4 如图，已知矩形 ABCD 中， AB＝3， AD＝2，分别以边 AD，BC为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆O和半圆O，一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点 E、点 F，且 EF＝2（EF 与 AB 在圆心O和O的同侧），则由AE，EF，FB，AB 所围成图形（图中暗影部分）的面积等于_______．解：连结OO，O E，O F，则四边形 OO FE 是等腰梯形，过 E 作EG ⊥ OO ，过 FH ⊥ OO ，∴四边形 EGHF 是矩形，∴GH ＝EF ＝2，1∴OG ＝，∵O E ＝1，3∴GE ＝，2 ∴ OG 1 ＝；OE 2 ∴∠O EG ＝30°，∴∠AO E ＝30°，同理 ∠BO F ＝30°，5 3π∴暗影部分的面积＝ S －2S －S ＝3－－． 4 6。

2021年九年级中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合专项练习题

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合专项练习题1、如图，O是ABC∆的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，=.且AE AB（1）求ACB∠的度数；DE=，求O的半径.（2）若22、如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD BC=，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：CBA DAB∆≅∆；（2）若BE BF=，求证：AC平分DAB∠．3、如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB 上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）5、如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO=，tan∠A=，求AE的长．6、如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB 分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．7、如图，已知A 、B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点C ，CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）E 为的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交AB 于G ，若tan ∠AFE=，BE=BG ，EG=3，求⊙O 的半径．8、如图，已知AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE AB ⊥于D ，DE 交BC 于F ，且EF EC =．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若4BD =，8BC =，圆的半径5OB =，求切线EC 的长．9、如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作EC ⊥OB ，交⊙O 于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：AC 平分∠FAB ；（2）求证：BC 2=CE•CP ；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．10、已知⊙O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD ⊥AC ，垂足为点F ．（1）如图1，如果AC=BD ，求弦AC 的长；（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值；（3）联结BC 、CD 、DA ，如果BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正（n +4）边形的一边，求△ACD 的面积．11、如图，AB 为O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 交BD 的延长线于点F ，切点为A ，且CAD ABD ∠=∠．（1）求证：AD CD =；（2）若4AB =，5BF =，求sin BDC ∠的值．12、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AĈ=CD ̂=DB ̂，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．13、如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ,且∠AOD =∠BAD .（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若BC =6，tan ∠ABC =43 ,求AD 的长.14、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）求证：△ABD ∽△DCP ；（3）当AB=5cm ，AC=12cm 时，求线段PC 的长．C B15、如图，AB 为⊙O 的直径，且AB=4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，设△OPE 的内心为M ，连接OM 、PM ．（1）求∠OMP 的度数；（2）当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长．16、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点D ，交AC 于点E ，连接DA ，DC ．已知半圆O 的半径为3，BC=2．（1）求AD 的长．（2）点P 是线段AC 上一动点，连接DP ，作∠DPF=∠DAC ，PF 交线段CD 于点F ．当△DPF 为等腰三角形时，求AP 的长．17、如图所示：O 与ABC 的边BC 相切于点C ，与AC 、AB 分别交于点D 、E ，//DE OB ．DC 是O 的直径．连接OE ，过C 作//CG OE 交O 于G ，连接DG 、EC ，DG 与EC 交于点F ．（1）求证：直线AB与O相切；（2）求证：AE ED AC EF⋅=⋅；（3）若13,tan2EF ACE=∠=时，过A作//AN CE交O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．18、如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I 于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ PH⋅的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A、B、C、D．⊙过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；⊙若直线n的函数表达式为4y=+，求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F ⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合专项练习题1、如图，O 是ABC ∆的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且AE AB =.（1）求ACB ∠的度数；（2）若2DE =，求O 的半径.解：（1）如图，连接OA .∵AE 是O 的切线，∴90OAE ∠=︒.又∵OB OA =，∴12∠=∠.∵AB AE =，∴1E ∠=∠，∴212AOE E ∠=∠=∠.又∵在Rt AOE ∆中，90AOE E ∠+∠=︒，∴390E ∠=︒.∴30E ∠=︒.∴120AOB ∠=︒.∴1602ACB AOB ∠=∠=︒. （2）设O 的半径为r ，在Rt OAE ∆中，∵30E ∠=︒，∴2OE OA =.∴2OD DE OA +=.∴22r r +=，∴2r =.∴O 的半径是2.2、如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD BC =，AC 与BD 相交于点F ．BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ．（1）求证：CBA DAB ∆≅∆；（2）若BE BF =，求证：AC 平分DAB ∠．【解答】（1）证明：AB 是半圆O 的直径，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，在Rt CBA ∆与Rt DAB ∆中，BC AD BA AB =⎧⎨=⎩， Rt CBA Rt DAB(HL)∴∆≅∆；（2）解：BE BF =，由（1）知BC EF ⊥，E BFE ∴∠=∠， BE 是半圆O 所在圆的切线，90ABE ∴∠=︒，90∴∠+∠=︒，E BAE由（1）知90∠=︒，D∴∠+∠=︒，DAF AFD90∠=∠，AFD BFE∴∠=∠，AFD E∠=︒-∠，BAF E∴∠=︒-∠，9090DAF AFD∴∠=∠，DAF BAF∴平分DABAC∠．3、如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB 上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【解答】解：（1）连接OD．、∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵=，∴OE⊥AD，∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×22=﹣．5、如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO=，tan∠A=，求AE的长．【解答】解：（1）连接OD，如图．∵ED∥OB，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2．在△DOB与△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠ODB=∠OCB，∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB=90°，∴∠ODB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2==，∵⊙O的半径为1，OC=1，∴BC=，tan∠A==，∴AC=4BC=4，∴AE=AC﹣CE=4﹣2．6、如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB 分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE=EF，∴∴∠OBE=∠DBE∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C=90°（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=∴AB=5，设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===∴r=∴AF=5﹣2×=7、如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD ⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：连接OE 交AB 于H ，如图，∵E 为的中点，∴OE ⊥AB ，∵∠ABE=∠AFE ，∴tan ∠ABE=tan ∠AFE=，∴在Rt △BEH 中，tan ∠HBE==设EH=3x ，BH=4x ，∴BE=5x ，∵BG=BE=5x ，∴GH=x ，在Rt △EHG 中，x 2+（3x ）2=（3）2，解得x=3， ∴EH=9，BH=12，设⊙O 的半径为r ，则OH=r ﹣9，在Rt △OHB 中，（r ﹣9）2+122=r 2，解得r=，即⊙O 的半径为．8、如图，已知AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE AB ⊥于D ，DE 交BC 于F ，且EF EC =．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若4BD =，8BC =，圆的半径5OB =，求切线EC 的长．【解答】解：（1）连接OC，OC OB=，OBC OCB∴∠=∠，DE AB⊥，90OBC DFB∴∠+∠=︒，EF EC=，ECF EFC DFB∴∠=∠=∠，90OCB ECF∴∠+∠=︒，OC CE∴⊥，EC∴是O的切线；（2）AB是O的直径，90ACB∴∠=︒，5OB=，10AB∴=，6 AC∴==，cosBD BC ABCBF AB∠==，∴8410BF=，5BF∴=，3CF BC BF∴=-=，90ABC A∠+∠=︒，90ABC BFD∠+∠=︒，BFD A∴∠=∠，A BFD ECF EFC∴∠=∠=∠=∠，OA OC=，OCA A BFD ECF EFC∴∠=∠=∠=∠=∠，OAC ECF∴∆∆∽，∴EC CFOA AC=，53562 OA CFECAC⨯∴===．9、如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC ⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE•CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．10、已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．【解答】解：（1）∵OD⊥AC，∴=，∠AFO=90°，又∵AC=BD，∴=，即+=+，∴=，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1×=，则AC=2AF=；（2）如图1，连接BC，∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，解得：t=，则DF=BC=、AC===，∴EF=FC=AC=，∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D===；（3）如图2，∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，则+2×=180，解得：n=4，∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，∴BC=AC=，∵∠AFO=90°，∴OF=AOcos ∠AOF=，则DF=OD ﹣OF=1﹣， ∴S △ACD =AC•DF=××（1﹣）=．11、如图，AB 为O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 交BD 的延长线于点F ，切点为A ，且CAD ABD ∠=∠．（1）求证：AD CD =；（2）若4AB =，5BF =，求sin BDC ∠的值．【解答】解：（1）证明：CAD ABD ∠=∠，又ABD ACD ∠=∠，ACD CAD ∴∠=∠，AD CD ∴=；（2）AF 是O 的切线，90FAB ∴∠=︒， AB 是O 的直径，90ACB ADB ADF ∴∠=∠=∠=︒，90ABD BAD BAD FAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABD FAD ∴∠=∠，ABD CAD ∠=∠，FAD EAD ∴∠=∠，AD AD =，()ADF ADE ASA ∴∆≅∆，AF AE ∴=，DF DE =，4AB =，5BF =，3AF ∴=，3AE AF ∴==，1122ABF S AB AF BF AD ∆==， ∴431255AB AF AD BF ⨯===，95DE ∴==， 725BE BF DE ∴=-=， AED BEC ∠=∠，90ADE BCE ∠=∠=︒，BEC AED ∴∆∆∽，∴BE BC AE AD =， ∴2825BE AD BC AE ==， ∴7sin 25BC BAC AB ∠==， BDC BAC ∠=∠，∴7sin 25BDC ∠=．12、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AĈ=CD ̂=DB ̂，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【解答】（1）证明：连接OD，̂=CD̂=DB̂，∵AC×180°＝60°，∴∠BOD=13̂=DB̂，∵CD∠BOD＝30°，∴∠EAD＝∠DAB=12∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，AB＝3，∴BD=12∴AD=√62−32=3√3．13、如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=43,求AD的长.【解析】（1）作OE⊙AB于点E∵⊙O切BC于点C∴OC⊙BC ⊙ACB=90°∵ AD⊙BD ∴⊙D=90°∴⊙ABD＋⊙BAD =90°⊙CBD＋⊙BOC=90°∵⊙BOC=⊙AOD ⊙AOD=⊙BAD∴⊙BOC=⊙BAD∴⊙ABD=⊙CBD在⊙OBC和⊙OBE中{∠OEA=∠OCB ∠ABD=∠CBD OB=OB∴△OBC⊙⊙OBE∴OE=OC ∴OE是⊙O的半径. ∵OE⊙AB ∴AB为⊙O的切线.（2）∵tan⊙ABC=ACBC =43，BC=6B⊙AC=8 ⊙AB=√62+82=10∵BE=BC=6 ⊙AE=4∵⊙AOE=⊙ABC ⊙tan⊙AOE=AEEO =43⊙EO=3∴AO=5 OC=3 ⊙BO=√62+32=3√5在△AOD和△BOC中{∠AOD=∠BOC∠ADOE=∠BCO∴△AOD⊙△BOC ∴AOBO =ADBC即3√5=AD6∴AD=2√514、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC==13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BC=CD=BC=，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP=16.9cm．15、如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．【解答】解：（1）∵△OPE的内心为M，∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，而∠MOP=∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO=∠PMO=135°，所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，在优弧CO取点D，连DA，DO，∵∠CMO=135°，∴∠CDO=180°﹣135°=45°，∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，∴O′O=OC=×4=2，∴弧OMC的长==π（cm），同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，所以内心M所经过的路径长为2×π=2πcm．16、如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE==2；在Rt△ADE中，AD==2；（2）当DP=DF 时，如图2，点P 与A 重合，F 与C 重合，则AP=0；当DP=PF 时，如图4，∴∠CDP=∠PFD ，∵DE 是AC 的垂直平分线，∠DPF=∠DAC ，∴∠DPF=∠C ，∵∠PDF=∠CDP ，∴△PDF ∽△CDP ，∴∠DFP=∠DPC ，∴∠CDP=∠CPD ，∴CP=CD ，∴AP=AC ﹣CP=AC ﹣CD=AC ﹣AD=8﹣2；当PF=DF 时，如图3，∴∠FDP=∠FPD ，∵∠DPF=∠DAC=∠C ，∴△DAC ∽△PDC ，∴， ∴， ∴AP=5，即：当△DPF 是等腰三角形时，AP 的长为0或5或8﹣2．17、如图所示：O 与ABC 的边BC 相切于点C ，与AC 、AB 分别交于点D 、E ，//DE OB ．DC 是O 的直径．连接OE ，过C 作//CG OE 交O 于G ，连接DG 、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与O相切；（2）求证：AE ED AC EF⋅=⋅；（3）若13,tan2EF ACE=∠=时，过A作//AN CE交O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．【详解】(1)⊙DE//OB，⊙⊙BOC=⊙EDC，⊙CG//OE，⊙⊙DEO=⊙BOE，又⊙⊙DEO=⊙EDC，⊙⊙DEO=⊙BOE，由题意得：EO=CO，BO=BO，⊙⊙BOE⊙⊙BOC(SAS),⊙⊙BEO=⊙BCO=90°,⊙AB是⊙O的切线．(2)如图所示DG与OE交点作为H点,⊙EO//GC,⊙⊙EHD=⊙DGC=90°,又由(1)所知⊙AEO=90°,⊙AE//DF,⊙⊙AEC⊙⊙DFC, ⊙AE DF AC DC=, 由圆周角定理可知⊙EDG=⊙ECG,⊙EOD=2⊙ECD,⊙DO//GC,⊙⊙EOD=⊙GCD=⊙GCE+⊙ECD,⊙⊙ECD=⊙GCE=⊙EDF,又⊙⊙FED=⊙DEC,⊙⊙FED⊙⊙DEC, ⊙DF EF DC ED=, ⊙AE EF AC ED=,即AE ED AC EF ⋅=⋅． (3)⊙13,tan 2EF ACE =∠=,与⊙ACE 相等角的tan 值都相同． ⊙ED=6,则EC=12,根据勾股定理可得CD ===⊙EO=DO=CO=由(2)可得12AE EF AC ED ==, 在Rt⊙AEO 中,可得222AO AE EO =+,即()222AC OC AE EO -=+,⊙((2222AE AE -=+,解得AE=则AC=连接ON,延长BO 交MN 于点I,根据垂径定理可知OI⊙MN,⊙AN//CE,⊙⊙CAN=⊙ACE ．在Rt⊙AIO 中,可得222AO AI IO =+,即(()2222OI OI =+, 解得OI=5,则AI=10,在Rt⊙OIN 中, 222ON IN IO =+,即(2225IN =+,解得IN=⊙AN=AI+IN=10+18、如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．⊙过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_________；⊙若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F ⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．【详解】解：（1）⊙⊙O 关于直线m 的“远点”是点D ，⊙O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE=2×5=10；⊙如下图：过圆心O 作OH⊙直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，⊙直线n 的函数表达式为4y =+，当x=0时，y=4；当y=0时，x=3-，⊙直线n 经过点E （0，4），点F （3-，0），在Rt⊙EOF 中，⊙tan⊙FEO=FO EO =34=3， ⊙⊙FEO=30°，⊙⊙EFO=60°，Rt⊙HOF 中，⊙sin⊙HFO=HO FO， ⊙HO= sin⊙HFO·FO=2，⊙PH=HO+OP=3，⊙PQ·PH=2×3=6，⊙⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图，⊙点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，⊙连接NF 并延长，则直线NF⊙直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A （m ，n ），设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①② ⊙-⊙得：n -4=mk -k ，⊙又⊙直线NF⊙直线l ，⊙设直线NF 的解析式为y=1k-x+b 2（k≠0）, 将点()1,0N -与A （m ，n ）代入y=1k -x+b 2中， 2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤ ⊙-⊙得：-n=1k +m k，⊙ 联立方程⊙与方程⊙，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ⊙点A 的坐标为（22411k k k --+，2421k k -+）；又⊙⊙F 关于直线l 的“特征数”是⊙F⊙NB·NA=即解得：，⊙[m -(-1)]2+(n -0)2)2，即(m+1)2+n 2=10，把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得k=-3或k=13；当k=-3时，m=2，n=1， ⊙点A 的坐标为（2，1），把点A （2，1）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=-3x+7；当k=13时，m=-2，n=3， ⊙点A 的坐标为（-2，3），把点A （-2，3）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=13x+113． ⊙直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113．。

2021年九年级中考数学复习《中考压轴题：圆的综合应用》经典题型提升练习(四)

2021年中考数学复习《中考压轴题：圆的综合应用》经典题型提升练习（四）1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE 平分∠BAC交边BC与点E，经过A、D、E三点的即的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）试探究线段AG、AD、CD之间的关系，并证明；（3）若点A（O，﹣1）、D（2，0），求AB的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B，C两点，交线段AC于点D，直径BH交AC于点E，点A关于直线BD的对称点F落在⊙O上．连结BF．（1）求证：∠C＝45°；（2）在圆心O的运动过程中；①若tan∠EDF＝，AB＝6，求CE的长；②若点F关于AC的对称点落在△BFE边上时，求点的值．（直接写出答案）；（3）令⊙O与边AB的另一个交点为P，连结PC，交BD于点Q，若PC⊥BF，垂足为点G，求证：BD＝AD+CE．3．如图①，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，且点A在ED的延长线上，以DE为直径的⊙O与AB交于G、H两点，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）如图②，连接OB、OC，若tan∠CAD＝，试判断四边形BECO的形状，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BF＝，请你求出HG的长．4．如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接DB，交OP于点E，∠DBA＝22.5°．（1）若OC＝2，则AC的长为；（2）试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；（3）连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，请求出x与y之间的等量关系式．（请先补全图形，再解答）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB＝∠A，连接DE、OE．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）填空：①当∠P的度数为时，四边形OBDE是菱形；②当∠BAC＝45°时，△CDE的面积为．6．如图，△OAB中，OA＝OB＝5cm，AB长为8cm，以点O为圆心6cm为直径的⊙O交线段OA 于点C，交直线OB于点E、D，连接CD，EC．（1）求证：△OCD∽△OAB；（2）求证：AB为⊙O的切线；（3）在（2）的结论下，连接点E和切点，交OA于点F求证：OF•CE＝OD•CF．7．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；（2）如图2，设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．8．已知：在矩形ABCD中，AB＝a（a为定值），连接AC，点O是AC上的一个动点，以AO 为半径的⊙O与AD交于点P．（1）如图（a），当∠DCP＝∠DAC时，求证：PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若△APC是等腰三角形，①请你判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；②求⊙O的半径（用含a的代数式表示）；（3）如图（b），若BC＝AB＝a，且点O运动到AC与BD的交点处，在弧CD上任取一点Q，连接AQ、BQ分别交BD、AC于M，N．求证：四边形ABNM的面积为定值．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，AO⊥BC于D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AB＝1，P是劣弧上一个动点，∠APC＝60°（点P与B、C不重合），PA交BC于点E，设AE＝x，EP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，令∠PAC＝α，∠APC＝β，当y取何值时，sin2α+sin2β＝1．10．如图①，已知A、B是⊙O1上的两点，直线l与⊙O1相交于B、C两点，过A点作⊙O1的切线AO，AO⊥l交于点O，已知BC＝8，⊙O1的半径为5．（1）证明：∠ABO1＝∠ABO．（2）求AB的长．（3）如图②，以AO所在直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图所示的直角坐标系，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，当⊙O2的大小变化时，BM﹣BN的值是否改变？若改变，请说明理由．若不变，请求出该值．参考答案1．（1）证明：连接EF，如图1所示：∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA，∴∠FEA＝∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切线；（2）解：AG＝AD+2CD；理由如下：作FR⊥AD于R，连接DF，如图2所示：则∠FRC＝90°，又∠FEC＝∠C＝90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF＝RC＝RD+CD，∠EFR＝90°，∵FR⊥AD，∴AR＝RD＝AD，∴EF＝RD+CD＝AD+CD，∵AF＝EF，∴AF＝AD+CD，∴AG＝2AF＝AD+2CD；（3）解：设⊙F的半径为r，则r2＝（r﹣1）2+22，解得，r＝，∴FA＝FG＝FE＝，∵点A（O，﹣1）、D（2，0），∴AD＝＝，∴AR＝，∵∠EFR＝90°，∴∠BFE+∠AFR＝90°，∵∠BFE+∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠AFR，∵∠BEF＝∠FRA＝90°，∴△BEF∽△FRA，∴＝，即＝，解得：BF＝，∴AB＝AF+BF＝+＝．2．（1）证明：∵点A，F关于直线BD对称，∵∠BFD＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝45°；（2）①解：∵点A，F关于直线BD对称，∴AD＝DF，AB＝FB，∵∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC＝FB＝6，∴，∵BH是直径，∴由圆的对称性可知，△BFE≌△BCE，∴∠BFE＝∠C＝∠BFD＝45°，FE＝CE，∴∠DFE＝90°，∵tan∠EDF＝，AB＝6，∴设DF＝AD＝3a，则EF＝CE＝4a，DE＝5a，∵AC＝＝6，∴AC＝3a+4a+5a＝6，解得，a＝，∴CE＝4a＝2；②如图1，当点F关于AC的对称点落在BF边上时，连接DO，设FF'交AC于点M，则AC垂直平分FF'，由（1）知，∠A＝∠C＝45°，∠ABC＝90°，∴BA＝BC，∠ABM＝∠CBM＝×90°＝45°，∵点A，F关于直线BD对称，∴AD＝DF，AB＝FB，∴△ABD≌△FBD（SSS），∴∠ABD＝∠FBD，由（2）知，△BFE≌△BCE，∴∠FBE＝∠CBE，∴∠ABD＝∠FBD＝∠FBE＝∠CBE＝22.5°，∴∠DBE＝∠DBF+∠EBF＝45°，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴∠DOB＝90°，在△BDM与△BEM中，∠BDM＝∠BEM＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴BD＝BE，在等腰Rt△BOD中，设OB＝OD＝r，则BD＝r，∴BE＝r，OE＝（﹣1）r，∴＝＝﹣1；如图2，当点F关于AC的对称点落在BE边上时，∵∠DF'E＝∠DOE＝90°，∴点F'与点O重合，连接OF，则OD＝OF＝DF，∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°，由对称性知，∠ODE＝∠FDE＝30°，在Rt△DOE中，tan∠ODE＝＝tan30°＝，∴＝；综上所述，的值为﹣1或；（3）如图3，连接PD，FC，FC交BH于点M，∵∠ABC＝90°，∴PC⊥BF，∴CF＝BC＝BF，∴△FBC是等边三角形，∴BG＝CM＝BF，∠QGB＝∠CME＝90°，∠DBF＝∠DCF，∴△QBG≌△ECM（ASA），∴BQ＝CE，∵∠PDA＝90°，∠A＝45°，∴DP＝DA＝DF，∴，∵∠DPC＝（），∠DQP＝∠QDC+∠QCP＝（），∴∠DPC＝∠DQP，∴DQ＝DP＝AD，∴BD＝AD+CE．3．（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE﹣∠FCD＝∠ACB﹣∠FCD，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CBE＝∠CAD，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥OE，又∵OE是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；（2）四边形BECO是平行四边形，理由如下：∵点O是ED的中点，∴CO是DE边上的中线，∵△CDE是等腰三角形，∴CO是DE边上的高线，∴CO⊥DE，∴∠COE＝∠AOC＝90°，∵∠AEB＝90°，∴∠AEB＝COE，∴CO∥BE，∵在Rt△AOC中，tan∠CAD＝，∴＝，∴AO＝2CO，∴DO＝CO，∴AD＝CO，∵△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∴BE＝CO，∴四边形BECO是平行四边形；（3）∵四边形BECO是平行四边形，∴CF＝BF＝，∴BC＝2，∴AC＝BC＝2，∴AB＝＝2，设OC＝x，则AO＝2x，∵在Rt△AOC中，OC2+AO2＝AC2，∴x2+（2x）2＝（2）2，解得，x＝2（取正值），∴OC＝BE＝2，AO＝4，如图3，过点O作OM⊥AB于点M，连接OG，∴∠AMO＝90°，HG＝2MG，∴∠AMO＝∠AEB＝90°，∵∠MAO＝∠BAE，∴△MAO∽△BAE，∴＝，∴＝，∴OM＝，在Rt△MOG中，OM2+MG2＝OG2，∴（）2+MG2＝22，∴MG＝（取正值），∴HG＝2MG＝．4．解：（1）．∵∠DBA＝22.5°∴∠DOC＝45°∵OC＝2∴OD＝∴AC＝OA﹣OC＝（2）连接AD，DP，OD，过点D作DF⊥OP，垂足为点F．∵∠DCA＝∠DFP＝90°，AD＝DP，CD＝DF∴Rt△ACD≌Rt△DFP（HL）∴AC＝PF∵∠A＝∠CDB＝∠OEB＝∠DEF，∠ACD＝∠DFE＝90°，CD＝DF ∴Rt△ACD≌Rt△DEF（HL）∴AC＝EF∴PE＝2AC（3）如图所示，由∠DCO＝90°，∠DOC＝45°得OD＝＝∵∠ADB＝90°，点O是AB中点∴AB＝2OD＝∵∠A＝∠GED，∠GDE＝∠ADB，AD＝DE∴△DGE≌△DBA（ASA）∴GE＝AB＝x∵PE＝2AC∴PE＝2（）∴GP＝GE﹣PE＝即：y＝2x5．解：（1）如图，连接OD∵OB＝OD，∠PDB＝∠A∴∠ODB＝∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣∠PDB ∴∠ODB+∠PDB＝90°∴∠ODP＝90°又∵OD是⊙O的半径∴PD是⊙O的切线（2）①30°若四边形OBDE为菱形，则OB＝BD＝DE＝EO＝OD ∴△OBD为等边三角形∴∠ABD＝∠A＝60°∴∠PDB＝30°∴∠P＝30°即当∠P为30°时，四边形OBDE为菱形②如图所示∵AO＝OE＝2，∠AOE＝90°∴AE＝∴EC＝4﹣∵∠BAC＝45°∴∠EDB＝135°∴∠EDC＝45°设DF＝EF＝b，FC＝a∵△EFC∽△ADC∴∴∵a2+b2＝（4﹣）2解得a＝（）b，b2＝4﹣2S＝＝＝b2＝△CDE6．证明：（1）∵OC＝OD，OA＝OB，∴＝，又∵∠COD＝∠AOB，∴△OCD∽△OAB；（2）过点O作OG⊥AB，垂足为G，∴∠OGA＝∠OGB＝90，∵OA＝OB，∴AG＝BG＝4，在Rt△AOG中，OA＝5，AG＝4，∴OG＝＝3，∵⊙O的直径为6，∴半径r为3，∴OG＝r＝3，又OG⊥AB，∴AB为⊙O的切线；（3）∵OA＝OB，AG＝BG，∴∠AOG＝∠BOG，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠AOB＝∠OEC+∠OCE，∴∠AOG＝∠OCE，∴OG∥EC，∴△FOG∽△FCE，∴＝，∴OF•CE＝OD•CF，∵OG＝OD，∴OF•CE＝OD•CF．7．解：（1）如图1中，连接CE．在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CED＝90°，∴CE⊥AB，∵BD＝AD，∴CD＝AB＝，∵•AB•CE＝•BC•AC，∴CE＝，在Rt△CDE中，DE＝＝＝．（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．∵∠FCK＝90°，∴FK是⊙Q的直径，∴直线FK经过点Q，∵CD是⊙Q的直径，∴∠CFD＝∠CKD＝90°，∴DF⊥BC，DK⊥AC，∵DC＝DB＝DA，∴BF＝CF，CK＝AK，∴FK∥AB，∴＝，∵BC＝x，AC＝1，∴AB＝，∴DC＝DB＝DA＝，∵△ACE∽△ABC，∴可得AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝﹣，∴＝，∴＝，∴y＝（x＞1）．（3）如图3中，连接FK．∵CE＝CG，∴∠CEG＝∠CGE，∵∠FKC＝∠CEG，∵FK∥AB，∴∠FKC＝∠A，∵DC＝DA，∴∠A＝∠DCA，∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，∴∠CDA＝∠ECG，∴EC＝DE，由（2）可知：＝﹣，整理得：x2﹣2x﹣1＝0，∴x＝1+或1﹣（舍弃），∴BC＝1+．8．解：（1）证明：连接OP，如图a，∵OA＝OP，∴∠DAC＝∠APO，∵∠DCP＝∠DAC，∴∠DCP＝∠APO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝a，∴∠DCP+∠DPC＝90°，∴∠OPC＝180°﹣∠DPC﹣∠APO＝180°﹣∠DPC﹣∠DCP＝90°，∴OP⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）①BC是⊙O的切线，理由如下：如图a﹣1，过点O作OE⊥BC于E，∵△APC是等腰三角形，∴AP＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACE＝∠PCA，又∵∠OPC＝∠OEC＝90°，OC＝OC，∴△OPC≌△OEC（AAS），∴OP＝OE，又∵OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线；②∵AP＝PC，∴∠DAC＝∠ACP，∵∠DAC+∠ACD＝∠DAC+∠ACP+∠DCP＝90°，∴∠DAC＝∠DCP＝∠ACP＝30°，∵在Rt△CDP中，cos∠DCP＝＝，∴PC＝＝a，∵Rt△OPC中，tan∠OCP＝＝，∴OP＝PC＝，∴⊙O半径为；（3）连接DQ、CQ，如图b，∵矩形ABCD中，BC＝AB＝a，∴矩形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝a，∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝90°，∠ADM＝∠BCN＝45°，∴AC＝BD＝a，OA＝OB＝a，AC、BD为⊙O直径，∵Q在弧CD上运动，∴∠AQB＝∠AOB＝45°，∵∠ADM＝∠AQB＝45°，∠DAM＝∠QBM，∴△ADM∽△BQM，∴，∴BM＝，∵∠BCN＝∠AQB＝45°，∠CBN＝∠QAN，∴△BCN∽△AQN，∴，∴AN＝，∵AC、BD为⊙O直径，∴∠AQC＝∠BQD＝90°，∵∠AOM＝∠AQC＝90°，∠OAM＝∠QAC，∴△AOM∽△AQC，∴，∴AM•AQ＝AO•AC＝a2，∵∠BON＝∠BQD＝90°，∠OBN＝∠QBD，∴△BON∽△BQD，∴，∴BN•BQ＝BO•BD＝a2，∴S四边形AMNB ＝S△AMB+S△NMB＝MB•OA+MB•ON＝MB（OA+ON）＝MB•AN＝••＝•＝•＝a2，∴四边形AMNB的面积为定值．9．（1）证明：∵△ABC内接于⊙O，AO⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∴AB＝AC，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：由（1）得：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝1，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BD＝CD＝，AD＝BD＝，∵∠APC＝∠ABC，∴∠ACB＝∠APC，又∵∠CAE＝∠PAC，∴△ACE∽△APC，∴＝，∴AE×AP＝AC2＝1，即x（x+y）＝1，∴y＝又∵AD＜AE＜AB，∴＜x＜1；（3）解：∵∠APC＝∠B＝60°，∠PAC＝α，∠APC＝β，∴sin2α＝sin2∠APC＝（）2＝，∵sin2α+sin2β＝1．∴sin2β＝1﹣＝，∴sinβ＝，∴∠PAC＝30°，∴点E与D重合，如图所示：连接OB，则OB平分∠ABC，∴∠OBD＝30°，∵AD⊥BC，∴OD＝BD＝，OP＝OA＝OB＝2OD＝，∴PD＝PE＝OP﹣OD＝﹣＝；即y取时，sin2α+sin2β＝1．10．解：（1）连接O1A，过O1作EO1⊥BC于E，∵EO1⊥BC，∴BE＝BC＝4，∵O1B＝5，∴O1E＝＝＝3，∵过A点作⊙O1的切线AO，∴AO1⊥AO，且AO⊥l，EO1⊥BC，∴四边形OEO1A是矩形，∴AO＝O1E＝3，AO1∥OE，AO1＝EO＝5，∴∠O1AB＝∠ABO，∵O1A＝O1B，∴∠O1AB＝∠O1BA，∴∠ABO1＝∠ABO；（2）∵OB＝OE﹣BE＝5﹣4＝1，∴AB＝＝＝；（3）在MB上截取MG＝NB，连接AM，AN，AG，MN，∵四边形ABNM是圆内接四边形，＝∠NMA，∴∠ABO1＝∠ABO，∠ABO＝∠ANM∵∠ABO1∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∵＝，∴∠AMG＝∠ANB，且AM＝AN，MG＝NB，∴△AMG≌△ANB（SAS）∴AG＝AB，且AO⊥BC，∴BO＝GO＝1，∴BG＝2，∴BM﹣BN＝BM﹣MG＝BG＝2，∴BM﹣BN的值不变．。

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2021年江苏省中考数学总复习《圆》压轴题200道
第一组
1．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BED＝60°，，求P A的长．
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB＝90°，进而求得∠ADO+∠PDA ＝90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA＝90°，即可求得∠P＝30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO＝90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出P A；
（3）根据题意可证得∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB ＝90°，设∠PBD＝x°，则可表示出∠DAF＝∠P AD＝90°+x°，∠DBF＝2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【解答】（1）解：直线PD为⊙O的切线
证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠ADO+∠BDO＝90°，
又∵DO＝BO，∴∠BDO＝∠PBD
∵∠PDA＝∠PBD，∴∠BDO＝∠PDA
∴∠ADO+∠PDA＝90°，即PD⊥OD
∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．
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