梯度、散度、旋度表达式的推导

球坐标中的形式为：
1 (aλ sin θ ) 1 aθ rotr a = r sin θ θ r sin θ λ 1 ar 1 (raλ ) rotθ a = r sin θ λ r r 1 (raθ ) 1 ar rotλ a = r r r θ
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rota
1 (rota )1 = H 2 H3
(a3 H 3 ) (a2 H 2 ) q2 q3
同理可得：
(rota ) 2 = 1 (a1 H1 ) (a3 H 3 ) H1 H 3 q3 q1 (a2 H 2 ) (a1H1 ) q1 q2 1 (rota )3 = H1 H 2
ds1 = H1dq1 , ds2 = H 2 dq2 , ds3 = H 3 dq3
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 各面的侧面积为：
dσ 1 = H 2 H 3 dq2 dq3 dσ 2 = H 3 H1dq3 dq1 dσ 3 = H1 H 2 dq1dq2
4. 曲线坐标系
e. 旋度在曲线坐标系中的表达式： 旋度在曲线坐标系中的表达式： 所以可得 的表达式为：
rota
H1e1 1 rota = H1 H 2 H 3 q1 H1a1
H 2 e2 q2 H 2 a2
H 3e3 q3 H 3 a3
4. 曲线坐标系
柱坐标中的形式为：
1 az aθ rotr a = r θ z ar az rotθ a = z r 1 (raθ ) 1 ar rot z a = r r r θ
, , 导数 s1 s2 s3
， 由此则可得梯度表达式：
1 1 1 grad = e1 + e2 + e3 H1 q1 H 2 q 2 H 3 q3
4. 曲线坐标系
柱坐标中的形式：
1 grad = er + eθ + ez r r θ z
球坐标中的形式：
1 1 grad = er + eθ + eλ r r θ r sin θ λ
( M ') ( M )
MM 'cos(n , s )
cos(n , s )
（条件：因为 MM ' 极小，所以等值线可近似看作与法线垂 直）
1.梯度 梯度
d. 梯度概念 梯度： grad = = e. grad , 所以 是个矢量，其方向为 等值面的法线方向
表示场的变化率
n n
均匀场 = 0 注意：若定常场的梯度为零，则其为均匀场。
H 1 , H 2 , H 3 称为拉梅系数
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式
r 考虑到 qi 的大小和方向后，可得下式：
dr = H 1dq1e1 + H 2 dq2 e2 + H 3 dq3e3
这就是弧元素矢量在曲线坐标系中的表达式，它们 在坐标轴上的投影分别是：
六面体的体积为： 在柱坐标系中 在球坐标系中
dV = H1 H 2 H 3 dq1dq2 dq3
H1 = 1, H 2 = r , H 3 = 1
H1 = 1, H 2 = r , H 3 = r sin θ
4. 曲线坐标系
c. 梯度在曲线坐标系中的表达式 根据梯度的性质，grad 在曲线坐 标轴上的投影分别是该方向上的方向
λ
x = r sinθ cosλ, y = r sinθ sin λ, z = r cosθ
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表 达式 给 定 曲 线 r=r(q1,q2,q3)（如图） ，欲求 弧元素矢量 d r,在曲线坐 标中的表达式，显然
4. 曲线坐标系
d. 散度在曲线坐标中的表达式 经过六个面的总通量为：
(a H H ) (a2 H 3 H1 ) (a3 H1 H 2 ) an dS = 1 2 3 + + dq1dq2 dq3 ∫ q1 q2 q3 s
再根据散度的定义可得：
(a1 H 2 H 3 ) (a2 H 3 H1 ) (a3 H1H 2 ) 1 diva = + + q1 q2 q3 H1 H 2 H 3
所以上式就转化为：
∫ (a dydz + a dxdz + a dxdy)
x y z
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式
利用高斯公式把面积分转化为体积分上 式可得：
ax a y az ∫ ( x + y + z )dV
所以，最后可得
∫ a dS lim lim
v →0
∫(
V
v →0
ax a y az + + )dV a a y az a x y z = x+ + = a = i V x y z xi
a
∫
MM 2 N1M 3
a dr =
∫
MM 2
a dr +
∫
M 2 N1
a dr
∫
MM 3
a dr
∫
M 3 N1
a dr
(a3 H 3 ) (a2 H 2 ) = dq2 dq3 q3 q2
4. 曲线坐标系
e. 旋度在曲线坐标系中的表达式： 旋度在曲线坐标系中的表达式： 根据旋度的定义可得 在 q1 轴上 的投影：
s →0
∫ a dr
L
S
4. 曲线坐标系
a. 曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系 曲线坐标的引进， 空间中任一点 M 在直角坐标系中是由 （x, y, z） 三个数唯一决定的。此时矢经 r 的表达式是：
r = xi + yj + zk
但是我们也可以用另外三个数（q1, q2, q3）唯一决 定 M 点。q1, q2, q3 称为曲线坐标。
证明如下：
∫ a dS = ∫ a ndS = ∫ ( a n + a n = ∫ a n dS + a n dS + a n dS
x x y x x y y z z
y
+ a z n z ) dS
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式 又因为：
nx dS = dydz n y dS = dxdz nz dS = dxdy
4. 曲线坐标系
1) 柱坐标 在 柱 坐 标 系 中 ，
q1 = r , q2 = θ , q3 = z
,r 由 0 变到
∞ ， 由 0 变到 2∏， 由 ∞ θ z
变到 +∞ ， 此时与直角坐标的 函数关系是：
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z
4. 曲线坐标系
2) 球坐标 在球坐标系中， q1 = r , q2 = θ , q3 = λ ,r 由 0 变 到 ∞ ， θ 由 0 变到∏， 由 0 变到 2∏， 此时与直角坐 标的函数关系是：
∫ [(
L
a y ax a a az a y ) nx + ( x z ) n y + ( )n y ]dS y z z x x y
Байду номын сангаас
∫ a dr
所以
lim
s →0 L
S
i = × a = x ax
i = ×a = x ax
j y ay
j y ay
k z az
k z az
即
rotn a = lim
1.梯度 梯度
f. eg
x 2 + y 2 = 2 x ,求（1，1）处法线方向
= x2 + y 2 2x 解：令
则由题可知
= x 2 + y 2 2 x =0
所以可求得 而 为矢量，所以 的方向即为（1，1） 处法线方向
1.梯度 梯度
g. 梯度的单位 由定义可知 x = 所以 =
x y z L L
称之为矢量 a 沿曲线 L 的环量。若 L 是一封闭曲线，我们在积分号中加一 小圆圈 ∫ ，并称之为矢量 a 沿封闭回 线 L 的环量。
3．旋度 ．
b.旋度 旋度 1) 定义： 矢量 a 的矢量旋度 在 n 方向的投影
rota
rotn a = lim
s →0
∫ a dr
L
S
注意：1）L 为封闭曲线，即积分为封 积分 2）S 的界面为 L
1.梯度 梯度
c.方向导数 s 方向上得方向导数为：
lim M ' M →0
( M ') ( M )
M 'M
=
s
M 处法线方向上的方向导数：
(M1 ) (M ) ( M ') ( M ) = Mlim0 = Mlim0 'M→ 'M→ n M 1M MM 'cos θ = Mlim0 'M→ = s
an = a n = ax cos(n, x) + ay cos(n, y) + az cos(n, z)
表示矢量 a 在法线方向上的投影。
2. 散度
a . 通量 定义 an dS 为矢量 a 通过面积元 d S 的通量，将
∫a 之沿面积 S 积分得
s
n
dS
。 称为矢量 a 通过 S 面的
通量。 定义面积矢量 d S 大小为 d s,方向为法线正方向 的量，即
2. 散度
b. 散度
3）面积分与体积分的转换
∫ n adS = ∫ adV
注意点：1.
n 必须在最前面
2. 封闭积分 3
∫ a ndS ≠ ∫ (a )dV
3．旋度 ．
a.环量 环量 给定一矢量场 a(r, t),在场内场内 任取一曲线 L，作线积分
∫ a dr = ∫ (a dx + a dy + a dz )
dS = dsn
2. 散度
b. 散度 1）.定义
∫ a dS diva = a = lim
v →0
V
注：1. S 面为封闭曲面 2. V 的界面为 S
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式
∫ a dS = a diva = a = lim
v →0
x
V
x
+
a y y
+
az ai = z xi
(n , x ) = n x
i+ j+ k x y z
上式即为 在直角坐标系中的表示。 h. 性质
dr = d
dxi = dx + dy + dz xi x y z
证明：
dr =
2. 散度
a . 通量 给定一矢量 a(r , t)，在场内取一曲面 S,它可以 是封闭的也可以是不封闭的，在 S 面上取一面积元 素 d S ,在 d S 上任取一点 M,作 S 面在 M 点的法线， 令 n 表示 S 面上法线方向的单位矢量，a 表示 M 点 上的矢量函数的值，则
dr = r r r d q1 + dq2 + d q3 q1 q2 q3
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的 表达式
r qi
的大小是：
r x y z = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = H1 q1 q1 q1 q1 r x 2 y 2 z 2 = ( ) +( ) +( ) = H2 q2 q2 q2 q2 r x 2 y 2 z 2 = ( ) +( ) +( ) = H3 q3 q3 q3 q3
3．旋度 ．
b.旋度 旋度 2) 表示形式
i ∫ a dr rotn a = lim L = ×a = s →0 S x ax j y ay k z az
证明如下：
∫ 因为： L
a dr =
∫ (a dx + a dy + a dz)
x y z L
3．旋度 ．
b. 旋度 2) 表示形式 再由线积分转化为面积分可得： 上式=
梯度，散度， 梯度，散度，旋度 及曲线坐标系
( x, y , z , t )
1.梯度 梯度
标量场表示： 等值线（面）表示： 梯度 梯度表示场的不均匀 性
( x, y , z , t ) (x, y, z, t0 ) = C ( grad , )
1.梯度 梯度
a.均匀场： (x, y, z, t) = C 即任何 a. 地方任何时刻 均为常数 b.定常场： ( x, y, z ) = C 即 不随 b. 时间变化而变化
4. 曲线坐标系
柱坐标中的形式为：
1 ( ra r ) 1 aθ a z diva = + + r r r θ z
球坐标中的形式为：
1 (r 2 ar ) 1 (sin θ aθ ) 1 aλ diva = 2 + + r r r sin θ θ r sin θ λ
4. 曲线坐标系
e. 旋度在曲线坐标系中的表达式： 旋度在曲线坐标系中的表达式： 在如上图的单元体中，我们首先计 算矢量 沿 MM2N1M3 的环量： 此时取 n 为 q1 的正方向；则：