2020年云南师大附中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(有解析)

2020年云南师大附中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|−5<x<2}，B={x|−3<x<3}，则A∩B=()A. {x|−3<x<2}B. {x|−5<x<2}C. {x|−3<x<3}D. {x|−5<x<3}2.设z=i(1−2i)，则|z|=()A. 1B. √3C. 2D. √53.如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是()A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率4.设变量x，y满足约束条件{x−y≤3x+y≥1x+3y≤3，则z=2x−y的取值范围为()A. [−1,3]B. [−1,6]C. [−1,5]D. [5,6]5.若函数则f(f(2))=()A. 1B. 4C. 0D. 5−e26.数列{a n}为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a1=1，则a2014=()A. 5B. 1C. 0D. −17.《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出n=()A. 8B. 4C. 6D. 28.为得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin(2x−π4)的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移 π4个单位C. 向右平移π8个单位 D. 向左平移π8个单位9.双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为()A. 3√24B. 3√22C. 34D. 3√210.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是()A. 直线MN与DC1互相垂直B. 直线AM与BN互相平行C. 直线MN与BC1所成角为90°D. 直线MN垂直于平面A1BCD111.已知3a=2，那么log38−2log36用a表示是()A. a−2B. 5a−2C. 3a−(1+a)2D. 3a−a212.椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Q：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)焦点相同，F1，F2分别为它的左焦点和右焦点，椭圆M与双曲线Q在第一象限交点为A，且，设这两条曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为()A. √2B. √32C. 12D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取2人，则抽到甲的概率是______．14.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=______ ．15.已知球O的半径为2cm，则球O的表面积为______ cm2．16.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.对50名学生的某学科考试分数进行统计，得到如下的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图上的数据求t的值；(2)估计这50名学生成绩的中位数(结果保留整数)；(3)估计这50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=BC=CD=DA=2，PA=1，∠BAD=120°，E为BC的中点．(1)求证：AE⊥平面PAD；(2)若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．19.在△ABC中，a=2，b=4，C=60°．(1)求边c及面积S．(2)求sinA+cosB的值．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，抛物线E：x2=2py的焦点为M；(1)求点M的坐标；(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．21.已知函数f(x)=e x(x2+x+a)在(0,f(0))处的切线与直线2x−y−3=0平行，其中a∈R．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在区间[−2,2]上的最值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|的值域为[a,b]．(1)求a，b；(2)若4m+n=b−a(m>0,n>0)，证明：1m +1n≥32．【答案与解析】1.答案：A解析：本题主要考查了集合交集及其运算问题，属于基础题；直接利用交集运算法则即可求解．解：因为集合A={x|−5<x<2}，B={x|−3<x<3}，所以A∩B={x|−3<x<2}；故选A．2.答案：D解析：解：∵z=i(1−2i)=2+i，∴|z|=√5．故选：D．利用复数代数形式的乘法运算展开，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A正确；对于B，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确：对于C，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116=97例，故C正确：对于D，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D错误．故选：D．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：由z=2x−y得y=2x−z，作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图：平移直线y=2x−z，由图象可知当直线y=2x−z经过点A(0,1)时，直线y=2x−z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x−z经过点C(3,0)时，直线y=2x−z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=2×3=6，最小值z=0−1=−1．即−1≤z≤6．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x−y的取值范围本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法5.答案：A解析：本题考查利用分段函数解析式求函数值的求法，属于基础题．解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．解：∴f(2)=5−22=1，∴f(f(2))=f(1)=1．故选A．6.答案：B解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1，a2，a3为等比数列，a1=1，∴(1+d)2=1×(1+2d)， 解得d =0，∴a 2014=a 1+2013d =1， 故选：B ．设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得d 的方程，解d 由等差数列的通项公式可得． 本题考查等差数列和等比数列，得出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．7.答案：A解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出相应的n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 S =0，a =1，n =1， S =2，不满足条件S ≥16，执行循环体，a =12，n =2，S =4+12， 不满足条件S ≥16，执行循环体，a =14，n =4，S =8+34， 不满足条件S ≥16，执行循环体，a =18，n =8，S =16+78， 满足条件S ≥16，退出循环，输出n 的值为8． 故选A ．8.答案：D解析：此题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，先把y =sin(2x −π4)整理为sin2(x −π8)；再根据图象平移规律即可得到结论，(注意平移的是自变量本身，须提系数).解：因为：y =sin(2x −π4)=sin2(x −π8)，根据函数图象的平移规律可得：须把函数y =sin2(x −π8)向左平移π8个单位得到函数y =sin2x 的图象． 故选D ．9.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．求出双曲线的渐近线方程，求出三角形POF 的顶点P 的坐标，然后求解面积即可． 解：双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F(√6,0)，渐近线方程为：y =±√22x ，不妨设P 在第一象限，可得tan∠POF =√22，P(√62,√32)，所以△PFO 的面积为：12×√6×√32=3√24． 故选A ．10.答案：A解析：解：在A 中：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点， ∴MN//D 1C ，在B 中：∵D 1C ⊥DC 1，∴直线MN 与DC 1互相垂直，故A 正确； 取DD 1中点E ，连结AE ，则BN//AE ，由AE ∩AM =A ，得直线AM 与BN 相交，故B 错误；在C 中：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则M(0,1，2)，N(0,2，1)，B(2,2，0)，C 1(0,2，2)， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√8=−12， ∴直线MN 与BC 1所成角为60°，故C 错误；在D 中：∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)，A 1(2,0，2)，A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵MN ⊄平面A 1BCD 1，A 1B ⊂平面A 1BCD 1， ∴MN//平面A 1BCD 1，故D 错误．故选：A ．在A 中，由MN//D 1C ，D 1C ⊥DC 1，得直线MN 与DC 1互相垂直，故A 正确；在B 中，直线AM 与BN 相交；在C 中：直线MN 与BC 1所成角为60°；在D 中，MN//平面A 1BCD 1．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.答案：A解析：本题考查了对数函数的性质，考查了导数的运算，是一道基础题．先表示出a =log 32，结合对数的运算性质，从而得到答案．解：∵3a =2，∴a =log 32，∴log 38−2log 36=3log 32−2(log 32+1)=3a −2(a +1)=a −2，故选A ．12.答案：B解析：该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键． 解：根据题意，可知|AF 1|+|AF 2|=2a,|AF 1|−|AF 2|=2m ，解得|AF 1|=a +m,|AF 2|=a −m ，根据余弦定理，可知(2c)2=(a +m)2+(a −m)2−2(a +m)(a −m)cos60∘，整理得c 2=a 2+3m 24， 所以e 12e 22=c 2a 2×c 2m 2=a 2+3m 24a 2×a 2+3m 24m 2=116[6+(9m2a2+a2m2)]≥116(6+2√9m2a2×a2m2)=116×12=34，当且仅当a=√3m时取等号，所以e1e2≥√32．故选B．13.答案：12解析：解：从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取2人，基本事件总数n=C42=6，抽到甲包含的基本事件个数m=C11C31=3，∴抽到甲的概率是p=mn =36=12．故答案为：12．基本事件总数n=C42=6，抽到甲包含的基本事件个数m=C11C31=3，由此能求出抽到甲的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：2解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．15.答案：16π解析：解：∵球O的半径R=2cm，故球的表面积S=4πR2=16πcm2．故答案为：16π由已知中的球半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是球的表面积公式，直接代入计算即可，难度不大，属于基础题．16.答案：54017解析：解析：本题主要考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题．根据前n项积为T n=5n2可得a2009=T2009T2008=520092520082=54017即可求解．答案：解：∵数列{a n}的前n项积为T n=5n2，所以a2009=T2009T2008=520092520082=54017．故答案为：54017．17.答案：解：(1)由频率分布直方图，得：(t+3t+6t+8t+4t+3t)×10=1，即250t=1，解得：t=0.004;(2)设中位数为x，则(t+3t+6t)×10+8t(x−70)=12×250t．解得：x=73.125≈73．即中位数为73;(3)各组人数依次是2、6、12、16、8、6，平均数：(45×2+55×6+65×12+75×16+85×8+95×6)÷50=73．解析：(1)由频率分布直方图，能求出t的值;(2)设中位数为x，则(t+3t+6t)×10+8t(x−70)=12×250t.由此能求出中位数;(3)各组人数依次是2、6、12、16、8、6，由此能求出平均数．本题考查频率分布直方图的应用，考查实数值、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：证明：(1)∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB =BC =CD =DA =2，PA =1，∠BAD =120°，E 为BC 的中点．∴AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，∵PA ∩AD =A ，∴AE ⊥平面PAD ．解：(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，F 为CD 的中点，D(0,2，0)，P(0,0，1)，E(√3,0，0)，C(√3,1，0)，F(√32,32,0)， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−1)， 设平面PEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0n ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√33,√3)， ∴点D 到平面PEF 的距离：d =|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33√133=√1313．解析：(1)推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，由此能证明AE ⊥平面PAD ．(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面PEF 的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)在△ABC 中，由余弦定理可得：c 2=22+42−2×2×4×cos60°=12，解得c =2√3， 则S =12×2×4×sin60°=2√3．(2)在△ABC 中，由正弦定理可得：2sinA =4sinB =2√3sin60°，∴sinA =12，sinB =1，∴A =30°，B =90°．sinA +cosB =12+0=12．解析：本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由余弦定理可得：c ，再利用面积计算公式可得S ．(2)由正弦定理可得：2sinA =4sinB =2√3sin60°，解得sin A ，sin B ，即可得出． 20.答案：解：(1)因为抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(1,0)，所以p =2，故抛物线E ：x 2=2py 的焦点M(0,1)，(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2=4x ，直线MF 的方程为y =−x +1，联立{y 2=4x y =−x +1，得y 2+4y −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4，y 1y 2=−4，所以|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√2，所以S △OAB =12|OF||y 1−y 2|=12×1×4√2=2√2．解析：本题考抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)由抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F (1,0)，求出p =2，故可得M(0,1)，(2)直线MF 与抛物线联立，利用韦达定理，根据△OAB 的面积S =12|OF|·|y 1−y 2|，求△OAB 的面积． 21.答案：解：(1)f′(x)=e x (x 2+3x +a +1)，故f′(0)=a +1，而切线的斜率是2，故a +1=2，解得：a =1．(2)由(1)得f(x)=e x (x 2+x +1)，f′(x)=e x (x +1)(x +2)，令f′(x)>0，解得：x >−1或x <−2，令f′(x)<0，解得：−2<x <−1，故函数f(x)在[−2,−1)递减，在(−1,2]递增，而f(−2)=3e 2，f(−1)=1e ，f(2)=7e 2， 故f(x)在[−2,2]的最小值是1e ，最大值是7e 2．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线的意义，是一道中档题． (1)求出函数的导数，计算f′(0)=2，求出a 的值即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0， 所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ， 即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]，则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ) =√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：(1)解：∵|f(x)|=||x−1|−|x+2||≤|(x−1)−(x+2)|=3，∴−3≤f(x)≤3，∴a=−3，b=3．(2)证明：∵4m+n=b−a=6，∴1m +1n=16(1m+1n)(4m+n)=16(5+nm+4mn)．∵m>0，n>0，∴nm +4mn≥2√4=4．当且仅当nm =4mn，即n=2，m=1时，等号成立．∴1m +1n≥16×(5+4)=32，即1m+1n≥32．解析：本题考查绝对值不等式的几何性质，基本不等式的应用．考查计算能力．(1)利用绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．(2)利用基本不等式转化证明即可．。