人教B版高中数学必修五《第二章 数列 阅读与欣赏 级数趣题》_0

等差级数趣题
一、教材分析
1.教材的地位和作用
本节内容选自人教B版必修五第二章《数列》章末的阅读与欣赏“级数趣题”，是在数列、等差数列、等比数列以及数列求和的基础上进行的。

结合中国古代数学中的数列应用问题，研究等差数列的通项公式与前n项和公式的由来以及对“知三求二”的灵活运用，培养学生古文鉴赏能力与数学抽象、逻辑推理等核心素养。

2.教学目标
（1）熟练掌握等差数列的概念，通项公式以及前n项和公式，能灵活运用公式解决等差数列中“知三求二”问题。

（2）通过介绍等差数列的发展史与中国古代数学家的成就，引导学生探究《九章算术》，《张丘建算经》等有趣的数列应用问题，让学生体会语文学科与数学知识之间的融合，感受数学的应用价值。

（3）通过师生互动，生生交流，激发学生数学学习热情，培养学生积极参与课堂、勤于思考、乐于表达的意识，让学生学会用数学的思维思考生活，用数学的语言表达世界。

3.重难点分析
重点：等差数列中“知三求二”的理解与应用。

难点：从古文中抽象出等差数列问题。

二、学情分析
本节课是在数列一章结束后进行的一节“阅读与欣赏”，学生已经熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能适当选择公式解决问题。

但学生并不了解等差数列的发展历史，对公式的运用更多体现的是“方程思想”，对古代数学家对等差数列所做的贡献知之甚少。

鉴于此，本节课让学生感受等差数列的历史渊源，体会中国古代数学家的智慧与伟大，培养爱国情怀。

三、教法、学法分析
文史导读启发探究阅读交流尝试实践对比感悟
四、教学过程
（一）复习回顾，温故知新
1．等差数列的有关概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .
(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋
n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2
. （二）文史解读，初探新知
1. 级数概念
等差数列也叫等差级数或算数级数；等比数列也叫等比级数或几何级数； 但严格地说，级数是用“+”连接数列的各项所得的式子。

即 n
i n i i a a a a a +++++=∑= 211
2.古代成就
我国古代数学家对数列概念的认识很早，如《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》，以及《前汉书》、《旧唐书》等书中都载有许多很有趣味的数列问题。

在《周髀算经》中计算七衡（七个同心圆）的各直径周长、24节气的每个节气时就已应用等差数列通项公式。

在《九章算术》的衰分、均输，盈不足等章中共载有六个等差数列问题、四个等比数列问题，刘徽在《九章算术注》中创造了等差数列的计算公式。

《九章算术》是中国古代的数学专著，是"算经十书"(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。

这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰(音cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股共九章。

《张丘建算经》，中国古代数学著作。

(约公元5世纪)现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。

（三）阅读交流，尝试实践
题型一：已知n ，a1和an ，求d
今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？（《九章算术》）
注解：1金箠：锥状金鞭
2斩：截下
3本：根部
4末：顶部
学生阅读翻译，提炼已知条件与所求问题。

［译文］今有一锥状金鞭，全长5尺．截下（根部）1尺，重4斤，截下顶部1尺，重2斤．问依次截下其他3尺的重量各是多少？
学生解答，交流讨论。

术日：令末重减本重，余即差率也，又置本重，以四间乘之，为下第一衰，副置，以差率减之，每尺各自为衰。

副置下第一衰以为法，以本重四斤编乘列衰，各自为实，如法得一斤。

刘徽注文中所说：“按此术，五尺有四间者，有四差也。

令本末相减，余，即四差之凡数也，以四约之，即得每尺之差。

以差减本重，余即次尺之重也。

为术所置，如是而已。

” 由此得到：an-a1=（n-1)d.
设计意图：通过学生翻译与解答，锻炼学生提炼信息、分析问题、解决问题的能力，熟悉等差数列通项公式。

对比古代数学家的解答过程，感受刘徽为等差数列的通项公式所做的贡献，培养民族自豪感。

题型二：已知n ，a1和d ，求Sn
今有良马与驽马发长安，至齐。

齐去长安三千里。

良马初日行一百九十三里，日增一十三里。

驽马初日行九十七里，日减半里。

良马先至齐，复还迎驽马。

问几何日相逢及各行几何？（《九章算术》）
学生阅读解答，分享展示，教师点评。

术日:假令十五日，不足三百三十七里半。

令之十六日，多一百四十里。

以盈、不足维乘假令之数，并而为实。

并盈不足为法。

实如法而一，得日数。

不尽者，以等数除之而命分。

由此可得：
n d n a S n ]21-[1+=.
设计意图：感受数列求和在古代生活中的应用，体会等差数列求和公式在解题过程中的运用，对比方程思想与数学推理的联系与区别。

题型三：已知n ，a1和an ，求Sn
今有女不善织，日减功迟。

初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫，问织几何？（《张丘建算经》）
学生解答，组长点评。

术曰：并初末日织尺数，半之，余，以乘织讫日数，即得。

”由此可知：
n a a S n n •+=21.
设计意图：培养学生对等差数列中“知三求二”问题的理解与掌握，体会数列求和问题在古代生活中的应用价值。

题型四：已知n ，Sp=a1+a2+…+ap ，Sn-Sn-q=an-q+1+an-q+2+…+an(p+q<n)，求d 和ai(i=1,2,…,n)
今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间二节欲均容，各多少？（《九章算术》） 学生解读，交流并解答，展示结果，教师点评。

术日：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。

上、下率以少减多，余为实。

实如法得一升，即衰相去也。

下率一升少半升者，下第三节容也。

据此可得：
2
----q p n p S q
S S d p q
n n +=.
设计意图：对比古今解法，感受古代数学家的智慧，体会方程思想带来的解题便利。

（四）课堂小结，对比感悟
谈一谈本节课你有哪些收获？
设计意图：让学生表达本节课的感悟与收获，锻炼学生的系统概括能力与数学表达能力，在巩固知识的基础上感受等差数列的发展历程，感恩古代数学家的伟大贡献。

（五）布置作业，拓展延伸
1. 查阅文献资料，了解古代和中世纪国内外有关等差数列的发展历史；查阅书籍，搜集中国古代等差数列问题，解决并整理下来；查找与等比数列有关的古今中外趣题，了解等比数列
的发展史。

2. 杨辉在《详解九章算法》中给出三个高阶等差数列的求和公式：
宋代沈括对级数继续进行研究，以上三个公式只是沈括的一个公式的特例，由此可见我国古代数学成就之大。

（六）板书设计，彰显结构
等差级数趣题
（六）自我评价，反思总结
本节课通过“启、导、探、解”的教学模式，让学生在回顾应用知识的同时，感受数学在实际生产生活中的应用，突破时空的限制，感受古代数学家的聪明才智，初步认识了等差数列问题的发展过程，锻炼数学抽象与逻辑推理能力，体会方程思想在“知三求二”解答过程中便利。

培养学生用数学的眼光审视世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的意识。

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