计算方法-4.5 Newton-cotes公式精度
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a 3
b
a
f ( 4) ( ) ab 2 ( x a)( x ) ( x b)dx 4! 2
ab 2 显然，当x [a, b]时，( x a )( x ) ( x b) 0， 2 于是当f ( 4) ( x)在[a, b]上连续，由积分中值定理，可得
n
f ( n1) ( ) ( x xi ) ( x) (n 1)!
为包含在x, x0 , x1 ,, xn的最小区间的一个点
2017/10/31 1
令f (n1) ( x)在[a, b]上的最大值为
M n 1 max | f ( n 1) ( x) |
[ a ,b ]
形成f(x)的三次Hermite插值多项式P3(x)，则有
f ( 4) ( ) ab 2 f ( x) P3 ( x) ( x a )( x ) ( x b) 4! 2
[a, b]
2017/10/31 11
R[ f ]
b
a b
f ( x)dx
P ( x)dx
仍精确成立。
2017/10/31
4
分析 f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a 2 x a3
令f ( x) a0 x 3 g ( x)
于是
f (x)dx a x dx g(x)dx
a 0 3 a a
b
b
b
由于g ( x)是二次多项式，因此对 于g ( x)，辛普森公式是精确的:
2017/10/31
f ( )t(t 1)dt
0
8
1
其中 [a, b]且依赖于t ,由于f ( )在[a, b]上连续以及 t (t 1)在区间0 t 1 内不变号，由积分中值 定理，必 存在 [a, b]，使得
则
1
0
f ( )t (t 1)dt f ( ) t (t 1)dt
R ( x)dx
a n
b
b
f
a
( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
[a, b]，并依赖于x
2017/10/31
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
M n 1 R[ f ] ( n 1)!
( x) dx
a
b
截断误差的上界估计
引进变换 x a th ，并注意到 xi a ih ，有
因为t(t-1)(t-2)在区间[0,2]上不保持常号，所以中值 定理不能使用，因此需要换一种方法求解。
2017/10/31 10
由于辛普森公式对3次代数多项式精确，故可取插值条件
P3 (a) f (a), P3 (b) f (b) ab ab ab ab P3 ( ) f( ), P3 ( ) f ( ) 2 2 2 2
R[ f ]
n
0
f ( n 1) ( ) n [ (t i)] h n 1 hdt (n 1)! i 0
移项 合并h
h n2 (n 1)!
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
Newton-Cotes求积公式的余项
2017/10/31 3
0
1
成立
1 (b a) 3 R[ f ] f ( ) t (t 1)dt 0 2
h3 f ( ) 12
[ a, b]
即为梯形公式的截断误差估计
2017/10/31 9
2. 辛普森公式
n2
直接用公式求解
1 b (3) ab R[ f ] f ( )( x a)( x )( x b)dx 3! a 2 h 4 2 (3) f ( )t (t 1)(t 2)dt 3! 0
M n 1 M n 1 | Rn ( x) | ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x) (n 1)! (n 1)!
那么
b
a
f ( x)dx
P ( x)dx R ( x)dx
a n a n
b
b
求积公式的余项
记
R[ f ]
定理3
当
n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 n 1
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a2 x a3时，求积公式
b
a
(b a) a b f ( x)dx [ f ( a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
所以
2017/10/31
b
a
(b a) 3 ab 3 3 x dx [a 4( ) b ] 6 2
3
6
于是
b
a
f ( x)dx a0
b
a
x dx
3
g ( x)dx
a
b
1 3 4 ab 3 1 3 a0 (b a)[ a ( ) b ] 6 6 2 6 1 4 ab 1 (b a)[ g (a) g ( ) g (b)] 6 6 2 6 (b a)[ 1 4 ab 1 f (a) f ( ) f (b)] 6 6 2 6
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
求积公式近似到 f ( x)dx 的程度，即求积公式的 精度？
a
b
§
4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项 由多项式代替函数
f ( n1) ( ) Rn ( x) (n 1)!
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
i 0
2017/10/31
b
a
g ( x)dx
(b a) ab [ g ( a) 4 g ( ) g (b)] 6 2
5
由于
通过计算得到
b
a
1 4 3 x dx x 4
b a
1 4 (b a 4 ) 4
2 2 (b a) 3 ab 3 3 2 2 b a [a 4( ) b ] (b a ) 6 2 4 1 4 (b a 4 ) 4
因此，辛普森公式的代数精度是3。
2017/10/31 7
§
4.5.2 Newton-Cotes求积公式的截断误差分析
h n2 R[ f ] (n 1)!
1. 梯形公式
n 1, h b a
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
(b a)3 R[ f ] 2
b
a
f ( 4) ( ) ab 2 ( x a)( x ) ( x b)dx 4! 2
ab 2 显然，当x [a, b]时，( x a )( x ) ( x b) 0， 2 于是当f ( 4) ( x)在[a, b]上连续，由积分中值定理，可得
n
f ( n1) ( ) ( x xi ) ( x) (n 1)!
为包含在x, x0 , x1 ,, xn的最小区间的一个点
2017/10/31 1
令f (n1) ( x)在[a, b]上的最大值为
M n 1 max | f ( n 1) ( x) |
[ a ,b ]
形成f(x)的三次Hermite插值多项式P3(x)，则有
f ( 4) ( ) ab 2 f ( x) P3 ( x) ( x a )( x ) ( x b) 4! 2
[a, b]
2017/10/31 11
R[ f ]
b
a b
f ( x)dx
P ( x)dx
仍精确成立。
2017/10/31
4
分析 f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a 2 x a3
令f ( x) a0 x 3 g ( x)
于是
f (x)dx a x dx g(x)dx
a 0 3 a a
b
b
b
由于g ( x)是二次多项式，因此对 于g ( x)，辛普森公式是精确的:
2017/10/31
f ( )t(t 1)dt
0
8
1
其中 [a, b]且依赖于t ,由于f ( )在[a, b]上连续以及 t (t 1)在区间0 t 1 内不变号，由积分中值 定理，必 存在 [a, b]，使得
则
1
0
f ( )t (t 1)dt f ( ) t (t 1)dt
R ( x)dx
a n
b
b
f
a
( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
[a, b]，并依赖于x
2017/10/31
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
M n 1 R[ f ] ( n 1)!
( x) dx
a
b
截断误差的上界估计
引进变换 x a th ，并注意到 xi a ih ，有
因为t(t-1)(t-2)在区间[0,2]上不保持常号，所以中值 定理不能使用，因此需要换一种方法求解。
2017/10/31 10
由于辛普森公式对3次代数多项式精确，故可取插值条件
P3 (a) f (a), P3 (b) f (b) ab ab ab ab P3 ( ) f( ), P3 ( ) f ( ) 2 2 2 2
R[ f ]
n
0
f ( n 1) ( ) n [ (t i)] h n 1 hdt (n 1)! i 0
移项 合并h
h n2 (n 1)!
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
Newton-Cotes求积公式的余项
2017/10/31 3
0
1
成立
1 (b a) 3 R[ f ] f ( ) t (t 1)dt 0 2
h3 f ( ) 12
[ a, b]
即为梯形公式的截断误差估计
2017/10/31 9
2. 辛普森公式
n2
直接用公式求解
1 b (3) ab R[ f ] f ( )( x a)( x )( x b)dx 3! a 2 h 4 2 (3) f ( )t (t 1)(t 2)dt 3! 0
M n 1 M n 1 | Rn ( x) | ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x) (n 1)! (n 1)!
那么
b
a
f ( x)dx
P ( x)dx R ( x)dx
a n a n
b
b
求积公式的余项
记
R[ f ]
定理3
当
n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 n 1
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a2 x a3时，求积公式
b
a
(b a) a b f ( x)dx [ f ( a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
所以
2017/10/31
b
a
(b a) 3 ab 3 3 x dx [a 4( ) b ] 6 2
3
6
于是
b
a
f ( x)dx a0
b
a
x dx
3
g ( x)dx
a
b
1 3 4 ab 3 1 3 a0 (b a)[ a ( ) b ] 6 6 2 6 1 4 ab 1 (b a)[ g (a) g ( ) g (b)] 6 6 2 6 (b a)[ 1 4 ab 1 f (a) f ( ) f (b)] 6 6 2 6
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
求积公式近似到 f ( x)dx 的程度，即求积公式的 精度？
a
b
§
4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项 由多项式代替函数
f ( n1) ( ) Rn ( x) (n 1)!
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
i 0
2017/10/31
b
a
g ( x)dx
(b a) ab [ g ( a) 4 g ( ) g (b)] 6 2
5
由于
通过计算得到
b
a
1 4 3 x dx x 4
b a
1 4 (b a 4 ) 4
2 2 (b a) 3 ab 3 3 2 2 b a [a 4( ) b ] (b a ) 6 2 4 1 4 (b a 4 ) 4
因此，辛普森公式的代数精度是3。
2017/10/31 7
§
4.5.2 Newton-Cotes求积公式的截断误差分析
h n2 R[ f ] (n 1)!
1. 梯形公式
n 1, h b a
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
(b a)3 R[ f ] 2