计算方法-4.5 Newton-cotes公式精度
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数值分析7-牛顿-科特斯公式
0
n
(n − s − i) (−ds)
∫ ∏ ( ) n
= (−1)n+1 hn+2
i=0 n
n
s − (n − i) ds
n
n
∏ ∏ 又 (s − (n − i)) = (s − i)
0 i=0
R[ f ]= −R[ f ]
R[ f ]= 0
i=0
i=0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
∫ ∫ RT =
0
(2) 若 n 为奇数， f (x) ∈Cn+1[a, b] ，则存在 η ∈(a, b) 使得
∫ ∫ b a
f
(x)
dx
=
Q[
f
]+
(b
− a)n+2 f (n+1) (η )
nn+2(n + 1)!
n t2(t − 1)"(t − n) dt
0
举例（一）
例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分
∑ 解： T8
=
1 16
⎡ ⎢⎣
f
(
x0)
+
2
7 i=1
f (xi) +
⎤ f (x8)⎥⎦
=
0.9456909
S4
=
1 24
[
f
(x0) + 4( f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2( f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] = 0.9460832
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公 式。
Newton-Cotes公式截断误差及代数精度
f
(6) ( )
[a, b]
定义 5.1.1 如果定积分的求积公式对于所有不高于 n 次代数多项
式 f(x) 精度成立，即截断误差 R f 0 ，但对于至少 1 个 n + 1 次代
数多项式不能精确成立，则称该求积多项式具有 n 次代数精度。
几个常用的求积公式的代数精度
1.T 公式的代数精度
当f (x) x时
由定理 5.1.2 知，Newton-Cotes 公式至少具有 n 次代 数精度。由 Simpson 公式具有 3 次代数精度，Cotes 公式 具有 5 次代数精度启发，对偶阶 Newton- Cotes 公式的代 数精度有如下结论。
定理 5.1.3 当 n 为偶数时，Newton-Cotes 公式具有 n + 1 次 代数精度。
6
2
2
所以 b f (x)dx S[ f ]成立 a
当f (x) x2时
b
f (x)dx
b x2dx 1 (b3 a3 )
a
a
3
S[ f ] b a ( f (a) 4 f (b a ) f (b))
6
2
b a (a2 4( a b )2 b2 )
6
2
b a (2a2 4ab 2b2 ) 1 (b3 a3 )
b f (x)dx
a
b
xdx
a
1x2 2
b a
1 (b2 2
a2)
T[ f ] b a ( f (a) f (b)) b a (a b)
b
f (x)dx
2
2
a
当f (x) x2时
b f (x)dx
a
b x2dx
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
计算方法-4.5 Newton-cotes公式的精度
并不知道，虽然有时可 以通过给出高阶导数的 一个上界的 方法来估计截断误差的 上界，但有时却很困难 。所以一般 实际计算中都采用事后 估计误差的近似方法。
事后估计误差近似方法 的思路：计算积分时， 将被积区间 逐次分半，比较连续两 次计算值来判断计算精 度。
2020/4/5
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3时，求积公式
b f (x)dx (b a) [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
仍精确成立。
2020/4/5
4
分析 f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3
(
)
(b a) 12
h2
f
()
即为复合梯形公式的截断误差估计
2020/4/5
14
4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
R[ f ] (b a)5
f
(4)
令h ba 2
()
h5
f (4) ()
2880
90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
RN [ f
]
h5 [ f 90
(4) (1)
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
b
求积公式近似到 f (x)dx的程度，即求积公式的 精度？ a
§ 4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项
由多项式代替函数
f (x) Pn (x) Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
事后估计误差近似方法 的思路：计算积分时， 将被积区间 逐次分半，比较连续两 次计算值来判断计算精 度。
2020/4/5
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3时，求积公式
b f (x)dx (b a) [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
仍精确成立。
2020/4/5
4
分析 f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3
(
)
(b a) 12
h2
f
()
即为复合梯形公式的截断误差估计
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14
4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
R[ f ] (b a)5
f
(4)
令h ba 2
()
h5
f (4) ()
2880
90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
RN [ f
]
h5 [ f 90
(4) (1)
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
b
求积公式近似到 f (x)dx的程度，即求积公式的 精度？ a
§ 4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项
由多项式代替函数
f (x) Pn (x) Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
Newton—Cotes积分公式的matlab实现与数值算例
Newton—Cotes积分公式的matlab实现与数值算例作者：孔花罗开宝来源：《商情》2013年第52期【摘要】Newton-Cotes积分公式在数值计算定积分中起着重要作用，主要研究其matlab 实现以及数值算例，并通过图说明等分区间的份数n≥8时Newton-Cotes积分公式是不稳定的。
【关键词】Newton-Cotes积分公式；matlab；稳定性1 Newton-Cotes数值积分公式的matlab实现Newton-Cotes数值积分公式是插值型的，其matlab实现为下面的函数文件：function y=New_Cotes（a，b，n）。
n=input（'n='）；% n为求积节点的个数a=input（'a='）；% a为积分下限b=input（'b='）；% b为积分上限syms t；sum=0；h=（b-a）/n；% h为步长for i=1：n+1s=sym（1）；for j=1：n+1if j～=is=s*（t-j+1）/（i-j）； % 计算连乘endends（i）=int（s，0，n）； %计算科特斯系数保存在sy（i）=func（a+（i-1）*h）；%计算函数在节点上的函数值sum=sum+y（i）*h*s（i）； %计算Newton-Cotes数值积分endsum=vpa（sum，6）%显示计算结果，有效数字位数为6。
如果用上面的m文件求例1，只需要定义函数func为被积函数，然后运行Newton-Cotes，输入n，a，b，可以得到计算结果。
2 数值算例例：利用牛顿科特斯公式计算定积分，取等分区间的份数n=2，4，6，8，10结果如表：通过上表可以看出当n≤7时，误差能得到有效控制，计算是稳定的；n≥8时，误差不能得到有效控制，计算是不稳定的.同时I n（f）也不一定收敛于I（f）。
参考文献：[1]黄友谦，李岳生.数值逼近（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1987[2]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第三版）[M].武汉：华中科技大学出版社，1986[3]王能超.数值分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，1984[4]苏金明，阮沈勇.Matlab6.1实用指南[M].北京：电子工业出版社，2002[5]王晓霞，王治和.求积公式及其误差分析[J].西北师范大学学报，2011，（03）[6]杨平霞，陈红斌.一类复合插值型求积公式的构造方法[J].宜春学院学报，2011，（8）资助项目：四川省高等教育”质量工程”资助。
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
牛顿科特斯公式资料
a
a
3
2
因此代数精确度是 1
b
R1( f )= a f (x)dx T kf ''()
取 f (x) x2 代入，得：
b x2 dx (b a) (b2 a2 ) k 2!
a
2
得：
1
b3 (
a3
(b
a)
(b2
a2 ))
k
2! 3
2
k (b a)3 12
Rn ( f )
jk
b n a th a jh d (a th) n n t j hdt h n
1
nn
(t j)dt
a j0 a kh a jh
0 j0 k j
j0 k j 0 j0
jk
jk
jk
jk
求积公式
(1)nk h
n n (t j)dt (1)nk (b a) n n (t j)dt
I ( f )
b a
S 2 ( x)dx
b a 6
f (a) 4 f (a b ) 2
f (b)
称 Simpson 公式
y=P2() y=f()
a a+b/2 b
而 n 4的 牛 顿 柯 特 斯 公 式 则 特 别 称 为 柯 特 斯 公 式 为 ：
C
ba 90
7
f
x0
32
f
x1
由辛普森公式余项
R( f ) (b a)5 f (4) (),
2880
a,b
知其误差为 R( f ) 0
解:柯特斯公式
C 3 17 f (1) 32 f (1.5) 12 f (2) 32 f (2.5) 7 f (3)
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
牛顿-柯特斯公式 15页PPT文档
§2 牛顿—柯特斯公式
一、Newton-Cotes公式的导出
abf(x)dx n Akfk k0 Akablk(x)dx
将
求
积 [a,b]区 做 n等 间分
， hb步 a,长 在 n
等
距 xk节 ak点 h
上的插值型 abf(求 x)dx 积 (b公 a) nC 式 (kn)fk, (2.1) k0
称N为 ew-tCoontes ， C 公 (n)称 式 C为 ote. s系数 k
作变 xa 换 th ，则有
C(kn)b ha0 n j n0k t jjdtn(! (k 1 n ) nk k)!0 n j n0(tj)dt. (2.2
jk
jk
当 n 1 时 ,得到梯形公式
由(于 xa)(xab)2(xb)在 [a,b]内不(非 变)正 号 , 2
由广义积分中值定理有
R S f ( 4 4 ) ! () a b ( x a ) x ( a 2 b ) 2 ( x b ) d x b 1 a ( b 2 8 a ) f ( 4 ) 0 () ( a ,b )
a2nx2n
Байду номын сангаас
a1x
a0,为2n1次
多项式 ,
R2n(
f
)
b a
f ( ) (2n1) 2n1
(2n1)!
2n
(x
j0
xj
)dx
a2n1
abj2n0(x
xj
)dx
令x anhth(n t n)代入上式:得
R2n(
f
)
a2n1h2n2h
一、Newton-Cotes公式的导出
abf(x)dx n Akfk k0 Akablk(x)dx
将
求
积 [a,b]区 做 n等 间分
， hb步 a,长 在 n
等
距 xk节 ak点 h
上的插值型 abf(求 x)dx 积 (b公 a) nC 式 (kn)fk, (2.1) k0
称N为 ew-tCoontes ， C 公 (n)称 式 C为 ote. s系数 k
作变 xa 换 th ，则有
C(kn)b ha0 n j n0k t jjdtn(! (k 1 n ) nk k)!0 n j n0(tj)dt. (2.2
jk
jk
当 n 1 时 ,得到梯形公式
由(于 xa)(xab)2(xb)在 [a,b]内不(非 变)正 号 , 2
由广义积分中值定理有
R S f ( 4 4 ) ! () a b ( x a ) x ( a 2 b ) 2 ( x b ) d x b 1 a ( b 2 8 a ) f ( 4 ) 0 () ( a ,b )
a2nx2n
Байду номын сангаас
a1x
a0,为2n1次
多项式 ,
R2n(
f
)
b a
f ( ) (2n1) 2n1
(2n1)!
2n
(x
j0
xj
)dx
a2n1
abj2n0(x
xj
)dx
令x anhth(n t n)代入上式:得
R2n(
f
)
a2n1h2n2h
牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
牛顿-柯特斯求积公式的代数精度
牛顿-柯特斯求积公式是一类数值积分方法，它使用多项式插值来近似计算定积分。
公式的代数精度指的是该公式能够精确计算的多项式最高次数。
具体来说，牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为n+1，其中n 是使用的插值多项式的次数。
也就是说，如果使用n次多项式进行插值，那么牛顿-柯特斯求积公式能够精确计算任意n次多项式的积分。
例如，牛顿-柯特斯求积公式中最常见的是梯形公式（n=1）和Simpson公式（n=2）。
梯形公式的代数精度为2，即可以精确计算一次多项式的积分；Simpson公式的代数精度为3，即可以精确计算二次多项式的积分。
需要注意的是，牛顿-柯特斯求积公式的代数精度只针对多项式函数，对于其他类型的函数，例如三角函数或指数函数，其精度可能会降低。
复化Newtonian—Cote's公式及其误差
＋ｌ ４｜ 一
ｊｌ ＝
］
（ ２ ７ 喜 ， （
， 『’０＋ （ ＋ ｙ） ｌ
＋ｌ ４
一 ．
ｉｌ ｉ ｆ
］
再将 Ｙ当作常 数，在 方向上计算上式 中每一 项的积分，有
麟ｒ ＇ 霎 ｙ ） 掀
）
其中 数 ＝ ｉ ｊ ＝ｕ “ ４ ＝７ ２２ ２４ ２ ４ ２ ２ ２４ ）， 系 ・ ， ｛ ， ， ｛ ３１３，， ， ， ，， ，， ｒ ＶＵ ０ ） ， ，， １３…１３ １ ３１ ７
： ，，， ） ｛３ １３１３…１３ １３１７ ， …ｖ ：７２２２４ ２ ，，，，，，ｒ ４ ，，，，， ， ４２２２４）
Ｎｅ ｔｎａ． ｏｅ 数值积分公式， ｗ ｏ ｉ Ｃ ｔ’ ｎ ｓ 则可得复化 的 Ｎ ｗ ｏｉ ．ｏｅｓ ｅ ｔｎ ｎＣ ｔ 公式： 的光滑 性，有
， ｒ （ ，＋－ ＋ ”１，２ｍ ７］） （ ， ， ［ｎ２ （ ， ） ＋１）（ ， （ ） ７） “（］ｍ ＋ － ＋ ） ＝ （３【 ） ＋－ ） ， ， ＝ ｍ Ｉ ， ２（ （ Ｉ
ｍ －Ｉ
ｌ （， ４ ｘ ∑ｆ
ｉ ＝１
＋Ｘｙ ７ｎ＋ 厂， ４ Ｙ］ ２
ｍ－Ｉ
Ｎｅ ｔｎａ— ｏ ’ 数 值 积 分 公 式 （） 算 积 分 ｗｏｉ Ｃ ｔｓ ｎ ｅ １计
ｒ（） （ 常 ） ， ｙｙ视 为 数 有 五ａ
３ ２ ｒ 茎 薹 薹，Ｙ＋２ （『， ） （ＸＪ３∑ｆｘ＋Ｙ ７ｏ￣ ４ｌ４ ｃ４ ， ＋ ４ ｃ＋ＩＹ ｋ ３ （ ） ［， ２ｘ ７ ， ， ｎ４ ∑ 川 ｊ 搴 － ０ ｆ
对于一元函数的情形， 把积分区间［，】 ａｂ 分成４ 等分，记 ｎ＝４ ，其中ｎ 是节点总数，４ 是 ｍ ｍ ＋１ ｍ
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
牛顿-柯特斯公式
) f ( b )] (2.7)
( ),
[ a , b ].
证明：在[a, b]区间上构造三次多项式H(x)，让H(x) 满足插值 条 件（带导数插值）：
H ( a ) f ( a ), H ( ab 2 ) f( ab 2 ), H ( b ) f ( b ), H ( ab 2
i0 b n 1 x i 1
f ( x )d x [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i0 2
n 1 i 1
n 1 h
h 2
[ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )].
记为
Tn [ f ( xi ) f ( xi 1 )] [ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 i0 2 i0
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
nБайду номын сангаас
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
2 n 2
h
n n n n n
Newton-Cotes公式PPT课件
Ai
xn x0 ji
(xxj
) d
x
(xi xj)
令 xath
n
(tj)h h d t(b a ) (1 )n i n
(tj)dt
0i j(ij)h
n i!(n i)!0i j
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k, 可查表得到. 与 f (x) 及区间[a,b]均无关。 .
Cotes系数
.
25
注意: Cotes系数只与j和n有关,与f(x)和积分区间 [a,b]无关,且满足:
n
C
(n) j
1
j0
Newton-Cotes公式的误差为:
f ( ) (n1)
b
R(f) a
(n1)!wn1(x)dx
(n h n 1 2)!0 nf(n 1 )() jn 0(tj) dt与, x 有(a 关,b )
C
(n ) k
24
记
C(n) j
j!((n 1 )nj)j n ! 0nk0n ,k(jtk)d
t
则 A j (ba )C ( jn ), j0 ,1 ,2 , ,n
求积公式变为
b
n
f(x)dx
a
Ak f(xk)
k0
变为
b a
n
f(x)dx(ba)
C(n) j
f(xj)
j0
称为n阶闭型Newton-Cotes求积公式.
当 f ( x ) x 2时
b f ( x ) dx
b x 2 dx 1 (b 3 a 3 )
a
a
3
S [ f ] b a ( f ( a ) 4 f ( b a ) f (b ))
牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式
教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。
据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。
这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。
以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。
但对很多实际问题，上述公式却无能为力。
这是因为：1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。
2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。
因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。
§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。
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R ( x)dx
a n
b
b
f
a
( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
[a, b]，并依赖于x
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2
M n 1 R[ f ] ( n 1)!
( x) dx
a
b
截断误差的上界估计
引进变换 x a th ，并注意到 xi a ih ，有
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f ( )t(t 1)dt
0
8
1
其中 [a, b]且依赖于t ,由于f ( )在[a, b]上连续以及 t (t 1)在区间0 t 1 内不变号，由积分中值 定理，必 存在 [a, b]，使得
则
1
0
f ( )t (t 1)dt f ( ) t (t 1)dt
仍精确成立。
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4
分析 f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a 2 x a3
令f ( x) a0 x 3 g ( x)
于是
f (x)dx a x dx g(x)dx
a 0 3 a a
b
b
b
由于g ( x)是二次多项式，因此对 于g ( x)，辛普森公式是精确的:
定理3
当n 为偶数时，牛顿-柯特公式至少有 n 1次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a2 x a3时，求积公式
b
a
(b a) a b f ( x)dx [ f ( a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
求积公式近似到 f ( x)dx 的程度，即求积公式的 精度？
a
b
§
4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项 由多项式代替函数
f ( n1) ( ) Rn ( x) (n 1)!
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
i 0
a 3
b
a
f ( 4) ( ) ab 2 ( x a)( x ) ( x b)dx 4! 2
ab 2 显然，当x [a, b]时，( x a )( x ) ( x b) 0， 2 于是当f ( 4) ( x)在[a, b]上连续，由积分中值定理，可得
0
1
成立
1 (b a) 3 R[ f ] f ( ) t (t 1)dt 0 2
h3 f ( ) 12
[ a, b]
即为梯形公式的截断误差估计
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2. 辛普森公式
n2
直接用公式求解
1 b (3) ab R[ f ] f ( )( x a)( x )( x b)dx 3! a 2 h 4 2 (3) f ( )t (t 1)(t 2)dt 3! 0
因此，辛普森公式的代数精度是3。
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§
4.5.2 Newton-Cotes求积公式的截断误差分析
h n2 R[ f ] (n 1)!
1. 梯形公式
n 1, h b a
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
(b a)3 R[ f ] 2
因为t(t-1)(t-2)在区间[0,2]上不保持常号，所以中值 定理不能使用，因此需要换一种方法求解。
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由于辛普森公式对3次代数多项式精确，故可取插值条件
P3 (a) f (a), P3 (b) f (b) ab ab ab ab P3 ( ) f( ), P3 ( ) f ( ) 2 2 2 2
R[ f ]
n
0
f ( n 1) ( ) n [ (t i)] h n 1 hdt (n 1)! i 0
移项 合并h
h n2 (n 1)!
n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
Newton-Cotes求积公式的余项
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形成f(x)的三次Hermite插值多项式P3(x)，则有
f ( 4) ( ) ab 2 f ( x) P3 ( x) ( x a )( x ) ( x b) 4! 2
[a, b]
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R[ f ]
b
a b
f ( x)dx
P ( x)dx
所以
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b
a
(b a) 3 ab 3 3 x dx [a 4( ) b ] 6 2
3
6
于是
b
a
f ( x)dx a0
b
a
x dx
3
g ( x)dx
a
b
1 3 4 ab 3 1 3 a0 (b a)[ a ( ) b ] 6 6 2 6 1 4 ab 1 (b a)[ g (a) g ( ) g (b)] 6 6 2 6 (b a)[ 1 4 ab 1 f (a) f ( ) f (b)] 6 6 2 6
M n 1 M n 1 | Rn ( x) | ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x) (n 1)! (n 1)!
那么
b
a
f ( x)dx
P ( x)dx R ( x)dx
a n a n
b
b
求积公式的余项
记
R[ f ]
n
f ( n1) ( ) ( x xi ) ( x) (n 1)!
为包含在x, x0 , x1 ,, xn的最小区间的一个点
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令f (n1) ( x)在[a, b]上的最大值为
M n 1 max | f ( n 1) ( x) |
[ a ,b ]
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b
a
g ( x)dx
(b a) ab [ g ( a) 4 g ( ) g (b)] 6 2
5
由于
通过计算得到
b
a
1 4 3 x dx x 4
b a
1 4 (b a 4 ) 4
2 2 (b a) 3 ab 3 3 2 2 b a [a 4( ) b ] (b a ) 6 2 4 1 4 (b a 4 ) 4