第四讲地下水运动

因此实际的未知量只有6个，
K xz K zx
K zy K yz
对于二维的情况，有
K
K xx
K
yx
K xy
K
yy
(14)
VI zxyx
实际的未知量只有三个.
式（12）表明，在各向异性介质中，x方向的渗透 速度分量，不仅同方向的水力坡度有贡献，而且不 同方向的和也有贡献。即渗透速度矢量v和水力坡 度矢量I不共线，有如图3所示，而在各向同性介质 中二者是共线的。
K xx
K
yy
Kx
Ky 2
Kx
Ky 2
cos 2
K
xy
Kx
Ky 2
sin 2
（19）
其值也可用摩尔园方法求出，见图5。
1
1 1
0
1
反之，如已知ox1y1坐标系上的分量Kxx ,Kxy 和Kyy，求与之交角为α的主轴坐标系oxy上的 主值，可用下式
1
K K
x y
K xx
K yy 2
K xx
——雷诺数(Re)是一个无量纲数,是 1883年雷诺(Osborne Reynolds)在管道 流实验时首先采用
Re Vd
式中 Re──雷诺数； V ──水流平均流速，m/s； d ──管径，m； ν ──水的运动粘滞系数，m2/s。
——流 态
层流（laminar flow) 紊流 (Turbulent flow)
达西和cm2二种单位之间有如下关系：
1da 9.8697109 cm2
da
当参数用渗透率表示时，达西定律有如下形式
V k g dH dS
（11）
引入渗透系数和渗透率概念有何用途？
2. 渗透系数张量 ➢标量、矢量和张量
标量：零阶张量； 矢量：一阶张量； 张量：一般为二阶张量。
➢ 在各向同性介质中，K和k为标量。
K yy 2
2
2
K
2 xy
（20）
交角α也可用下式求出
tg2 2 K xy (K xx K yy )
（21）
3. 导水系数
导水系数的表达式为
T Kb
式中 b为含水层的厚度。
它代表当水力坡度为1时通过单位宽度含水层的流量。因此它 表示含水层的透水能力。如不考虑地下水的补给条件，则导 水系数愈大，能透过的水量愈多，取水的效率愈高。
因此，研究裂隙水的雷诺数，是研究裂 隙水流态的需要。
小结：Darcy’s law
➢渗透速度，也称渗流速度
Q V
A
（2）
➢水力坡度或称水力梯度 ➢达西定律也可写成
H1 H2 I L
V KI
（3） （4）
➢物理意义：地下水的渗透速度和水力坡度成正比，这一实验定律成
为研究地下水运动的基本定律。渗透系数K代表当水力坡度为1时的渗透
➢流体一般沿势梯度最大的方 向流动，因此流线与等势线 垂直相交。
３.2 流网的概念
渗流场可以看成是一系列等水头面 和流面组成。
在渗流场的某一典型剖面或切面上， 由一系列等水头线与流线组成的网 格即称为流网。
３.3 流线与迹线
流线是渗流场中某一瞬时的一条线， 线上各水质点在此瞬时的流向均与 此线相切； 迹线是指渗流场中某一时间段内某 一水质点的运动轨迹； 在稳定流条件下，二者重合。
速度，因而有速度的量纲。常用单位为m/d。
➢V与实际平均流速u 的关系
u Q V An n
（5）
2.2 非线性渗透定律
条件：地下水在较大空隙中运动， 渗透服从哲才（A. Chezy)定律： Ｖ＝ＫＩ１／２
表明：渗透速度Ｖ与水力梯度Ｉ的平方根成正比。
与裂隙水相应模型对比：见裂隙水物理模型
3. 含水介质的概化 （可以区分岩性与液体物理性质）
——为水力梯度为1时的渗透流速。单位： m/d或cm/s
V=KI
讨论：I一定时，K越大，V越大；V一定 时，K越大，I越小；
可见：渗透系数可定量说明岩石的渗透性 能，即K越大，岩石的透水能力越强。
渗透系数的影响因素
两个因素：一是岩石的空隙性 质；二是液体的物理性质。
一般情况下，研究水可忽略水 的物理性质变化；但在研究卤 水或热水时，就需要考虑其物 理性质变化。
流态实质：液流流态转化和发展实质上反 映了惯性力和粘性力作用的对比关系：
当惯性力对质点运动起控制作用时，小 扰动受着惯性力的作用而逐惭强化，此时 粘性力抑制不了液流质点的紊乱，液流必 然处于紊流状态；
当流速减小时，惯性力的作用相对减弱， 粘性力的作用相应增强，并在液流中处于 支配地位，它就可制服液流中任何不稳定 的小扰动，使之逐渐衰减，趋于消失，这 时液流即呈现层流状态。
x
)
( V y
y
)
( V z
z
)
xyzt
Vx x
Vy y
松散岩石渗透系数参考值
名称
亚粘土 亚砂土 粉砂 细砂
渗透系数 （m/d） 0.001-0.10
名称 中砂
0.10-0.50 粗 砂
0.50-1.0 砾 石
1.0-5.0
卵石
渗透系数 （m/d） 5.0-20.0
20.0-50.0
50.0-100.0
100.-500.
达西定律的适用条件
——雷诺数（Re）小于1-10之 间某一数值的层流运动，超过 此范围，V与I不是线性关系。
第二章 地下水运动
第一节 地下水运动的基本定律
一、达西实验及达西定律
Q
1. 实验装置
滤网
1 2
图 1 达西实验实验装置简图
砂 滤网
2. 地下水渗透定律
2.1 达西定律（Darcy’s Law）—
Q
— 线性渗透定律
Q KA H1 H2 L
（1）
达西定律涉及的三个物理量
渗透流速V——average velocity 设实际过水断面面积是ω’，则： ω’= ωne ne 称为有效孔隙度。 Q=ωv= ω’u, 而 ω’= ωne V= neu
导水系数只有二维情况下才有意义。
三、流网及流线
３.1 流体势的概念
流体势是表示流体的能的大小的物 理量；是用单位质量水的功来表示 的物理量，即“在一定位置以一定 状态存在的水的势，等于将单位质 量的水由某任意标准状态变为该状 态所需要做的功”。
➢流体是由流体势大处向流体 小处运动，流体内流体势相 同的点等连线叫等势线；
为了加深对达西定律的理解，我们可把孔隙 介质理解为有许多直径为d的直的圆管（图2）， 把裂隙介质理解为许多宽度为b的平直间隙。 由流体力学可以导出；
图 2 孔隙介质概化的圆管图
由流体力学可以导出；
孔隙水：
Q nd 2 g AI 32
V nd 2 g I
或
32
裂隙水：
nb2 g
Q
AI
或
12
表明：流人单元体的水量和流出单元体的水量相等， 即水体积守恒。
三. 地下水运动的基本微分方程
对于承压含水层来说，由于侧向受到限制 ，仅密 度、孔隙度n和垂直方向可以压缩，连续性方程右 端项经推导后可以得出 ：
nxyzt 2 g( n ) H xyzt
t
t
连续性方程式的左端项 变为：
( V x
潜水等水位线的用途：
潜水等水位线的用途：
1. 确定地下水流向； 2. 可以估计流速； 3. 可以计算水力梯度； 4. 可以了解和地表水的关系； 5. 可以粗略估计总矿化度；
潜水等水位线的用途：
6. 可以确定地下分水岭； 7. 可以确定潜水埋藏深度； 8. 推断岩石的透水性和厚度。
等压水线（针对承压水而言）
（４）由地表向深部，地下径流减 弱；
（５）由分水岭出发的流线，渗 透途径最长，平均水力梯度最 小，地下水径流交替最弱，近 流线末端，地下水矿化度最高。
3.4 等水位线
——在潜水含水层中水位相等点 的连线称为等水位线。
潜水等水位线是一个平面图， 是P=P0 压强等于大气压情况下的 等势线图，因此潜水等水位线图 中的水位标高必须是同一时刻的。
V x 2
Vx
1 2
(Vx )
x
x
单位时间单元对面面积上的水流质量差:
V
x
1 2
( V x
x
)
x
V
x
1 2
( V x
x
)
xyzt
( V x
x
)
xyzt
(Vy ) xyzt
y (Vz ) xyzt
z
流人和流出这个均衡单元体的水流 总的质量差为 ：
(
Vx
x
)
(
Vy
y
)
(Vz
z
)
xyzt
——渗流场中有一个以上补给点 或排泄点时，首先要确定分流线。
见河间地块流网
河间地块流网反映的信息：
河间地块流网反映的信息：
（１）由分水岭到河谷：流向由向 下到接近水平再向上；
（２）在分水岭地带打井，井中水位随 井深加大而降低，在河谷地带则情况相 反；
（３）由分水岭到河谷，流线越来越密 集，流量增大，地下径流加强；
二、渗透系数张量和导水系数
1. 渗透率
K nd 2 g
32
cPPmaa 3S S
k g K （10）
nb2 g
K
12
渗透率k仅仅反映了介质的性质，而和液体的性质无关。它的 量纲为[L2]。常用单位为cm2或达西（da）及毫达西（mda）。
达西是这样定义的：当液体的动力粘滞系数为0.001，压强差为 101325的情况下，通过面积为1cm2，长度为1cm的岩样的流量为1 时岩样的渗透率为1达西。
３.4 流网的制作——以各向 同性介质中稳定流场为例
（１）河渠的湿周必定是一条等 水位线；练习一图 （２）平行隔水边界可绘出流线；
（３）地下水面边界比较复杂：当无 入渗和蒸发，有侧向补给的稳定流动 时，地下水面是一条流线；当有入渗 时，它既不是流线，也不是等水头线。
注意：
——流线总是从源指向汇的。因此， 根据补给区（源）和排泄区（汇）可 以判断流线趋势。
水力梯度——Hydraulic gradient
——为沿渗透途径水头损失与相应渗 透长度的比值，通常用J或I表示：
J= V/K=Q/KA
物理意义：水流通过单位长度渗透途 径为克服摩擦阻力所耗失的机械能。
注意：水头差需与渗透途径L相对应
渗透系数K——Hydraulic conductivity
式中 —水的密度，g/cm3 ； g一重力加速度，cm/s2； 一动力粘滞系数，Pa• s； 其余的符号同前。
nb2 g
V
I
12
（6） （7）
当孔隙介质相当于直径都为d的直园管时有：
nd 2 g
K
32
（8）
当裂隙介质相当于间隙都为b的平行板时有
nb2 g
K
12
（9）
讨论：渗透系数K影响因素？
均衡单元体内 ，水体质量的变化为：
nxyzt
t
根据质量守恒定律，两者应相等。 有：
(
V
x
x
)
( V y
y
)
( V z
z
) xyzt
t
nxyzt
称为渗流的连续性方程或渗流的质量守恒 方程。
如果假定水和含水层的骨架都是不可压 缩的，式左端项对时间的导数为零 ，则：
Vx Vy Vz 0 x y z
d
d
a y
a
0
x
单位时间单位面积(abcd)的水流质量:
Vx1
Vx
(x
x 2
,
y,
z)
Vx
(x,
y,
z)
(Vx
x
)
(
x 2
)
1 2 (Vx ) ( x )2 1 n (Vx ) ( x )n
2! x 2
2
n! x n
2
Vx1
Vx
1 2
(Vx
x
)
x
单位时间单位面积(a’b’c’d’)的水流质量:
——等压水线就是相等的承压水 位的连线，是一条假想的线。而 等压水面则是一个假想的水面。
第三节 地下水运动的数学模型
一. 关于地下水数学模型
1. 概念、类型、求解步骤； 2. 地下水问题的确定性数学模型，必 须具备 的条件
二. 地下水运动的连续性方程
z Vx1
c
x
c
y b
P(x,y,z) b
z Vx 2
➢在各向异性介质中， K和k为张量。 达西定律可表示为
V x V y
K K
xx yx
K xy K yy
K K
xz yz
I I
x y
(12)
Vz
K zx
K zy
K
zz
I
z
➢渗透系数矩阵
K

K K
xx yx
K xy K yy
K K
xz yz
(13)
K zx K zy K zz
为一对称矩阵， K xy K yx
➢张量的主轴和主值
二秩渗透系数张量存在三个相互垂直的主轴和实 的主值。所谓主值即为在主轴方向上的渗透系数 值。当取主轴方向为坐标轴时，渗透系数张量有 如下表达式
Kx 0 0
K
0
Ky
0
0 0 K z
（15）
KX，Ky，Kz为渗透系数的主值。该情况下的达西 公式为
Vx K x I x Vy K y I y Vz K z I z
（16）
渗透系数张量的图形意义
➢渗透系数张量所对应的图形为一椭球，
0
1
椭球方程为
x2 y2 z2 1
Kx Ky Kz
（17）
➢三维情况
沿x,y,z方向的半轴长度分别为 K x , K y , K z
沿任意流动方向上的渗透系数为沿该方向椭球矢 径r的平方。即
Kr r2
（18）
➢二维情况
在二维情况下，如果知道了张量的主值K x和 Ky，则与原主轴坐标系oxy交角为α的新坐标系 ox1y1上的分量值Kxx ,Kxy 和Kyy 可用下式求出