振动学基础 (C) (D) t d Q ω Q dt - 同济大学物理教学综合 …

意义是_表__示___振__动__的___幅__度__或___振__动__的___强__度__；__最___大__位__移______；
初相的物理意义是__零__时__刻___的__振__动___状__态__。___。
12
2
2．如图所示的振动曲线，写出：
振幅A=___2_c_m_______； 周期T=____4_s_______；
解 一：
平衡时 mg = ρ水 gL2a
平衡位置处
任一位置时，木块所受合力
L
a bO
∑ F = f = mg − f浮
= mg − ρ水 g(a + x)L2 = −ρ水 gxL2
x
令 k = ρ水 gL2
f = −kx 所以，木块做谐振动。
ω = k = gL2 = g T = 2 π = 2 π a
(A) θ
(B) π 4
(C) 0
(D) π 2
解答: θ = θ0 c。os(ωt + ϕ )
t = 0时，摆角处于正最大处，角位移 最大，速度为零，用余弦函数表示角
位移， ϕ = 0 or π
θ
（C） 5
4. 一倔强系数为k的轻弹簧，下端挂一质量为m的物
体，系统的振动周期为T1。若将此弹簧截去一半的长
时，x0 = A/ 2 。试求: (1) 该谐振动的振动表达式；
x(m) Aa
(2) a、b两点的位相ϕa和ϕb ；
0b
t(s)
(3) 从t =0时的位置运动到a、b两态所用的时间。
解：(1) x = Acos( 2 π t − π )
ϕb
=
π 2
T3
ϕb
−ϕ
=
2π T
tb
⇒
tb
=
T 2π
×
5π 6
1 kA2 = 1 Mv2
2
2
由机械能守恒： 1 kA′2 = 1 (M + m)v′2
2
2
水平方向动量守恒： Mv = (M + m)v′
得
A′ = M A < A
M +m
总能量变小
4
3．把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微 小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计 时。若用余弦函数表示其振动表达式，则该单摆的初位 相为
振动加速度表达式a =_−__0_.20_1_π_2_c_os_(_π2_t_−__2π_) _m_⋅_s−_2 ；
t = 3s 时的相位为_π_,_或__3_π______。
13
3. 如图所示，质量为10g的子弹以1000 m⋅s-1的速度射入
一质量为4.99kg的木块，并嵌入木块中，使弹簧压缩从
m 0.258
ω 9.84
(2)A cos ϕ
= 0.02 cosϕ
= 0.01, v0
<0
⇒
ϕ
=
π 3
v0
=
−ωAsinϕ
=
−9.84×
0.02 × sin
π 3
=
−0.17
m/s
(3) x = Acos(ωt + ϕ) = 0.02 cos(9.84t + π ) m 3
19
2．一谐振动曲线如图所示，已知振幅为A，周期为T。当t =0
+
g a
x
=
0
⇒
dx2 dt 2
+
ω2x
=
0
木块作简谐运动
ω = g ⇒ T = 2π a
a
g 振幅：A = b − a 22
4. 三个沿O轴的简谐运动，其表达式依次为
x1 = 3cos3t cm x2 = 4 cos(3t + π 2) cm x3 = 5 cos(3t + ϕ ) cm
（1）若某质点同时参与第一、二两个运动，试求它的合振动
则此物理量Q按简谐运动的规律在变化(ω是由系统
本身性质决定的)。
B:只有恢复力为：F = −kx 思考: 为什么(C) 不正确?
（D）
2
2.如图所示，当简谐振子到达正最大位移处，恰有一泥块从正上方
落到振子上，并与振子粘在一起，仍作简谐运动。则下述结论正
确的是
m
（A）振动系统的总能量变大，周期变大； （B）振动系统的总能量不变，周期变大； （C）振动系统的总能量变小，周期变小； （D）振动系统的总能量不变，周期变小。
=
2 3
π
相应的超前：1 ⋅ 2π = 2π or − 4π
3
3
3
16
6．一系统作谐振动，周期为T，以余弦函数表示时，
初位相为零，在0≤T≤T/2范围内，系统在t =__T_,_3_T___
时刻动能和势能相等。
88
解答:
Ek
=
1 2
mv2
=
1 2
mω2 A2
sin2
ωt
sin2 ωt = cos2 ωt
第四章（一）
振动学基础
一、选择题
1．下列表述中正确的是：
(A) 物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐振动；
(B) 质点受到恢复力（恒指向平衡位置的力）的作用，
则该质点一定作简谐运动；
(C) 小朋友拍皮球，皮球的运动是简谐运动；
(D)
若某物理量Q随时间t的变化满足微分方程
d2Q +ω2Q = 0 dt 2
1．一质量m=0.258kg的物体，在弹性恢复力作用下沿 x轴运动，弹簧的劲度系数k=25N·m-1。
(1) 求振动的周期T和圆频率ω； (2) 如果振幅A=2cm，在t = 0时，物体位于x0 = 1cm
处，并沿Ox轴反方向运动，求初速v0和初相ϕ； (3) 写出振动的表达式。
解：(1) ω = k = 25 = 9.84 s-1 , T = 2 π = 2 π = 0.638s
=
5T 12
ϕa = 0
ϕ =−π
ϕa
−ϕ
=
2π T
ta
⇒
ta
=
T 2π
×
π 3
=
T 6
3
20
3．一立方木块浮于静水中，其浸入部分的高度为a. 今
用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为b,
然后放手任其运动. 若不计水对木块的粘滞阻力，试证明木 块的运动是简谐振动，并求振动的周期T和振幅A.
2
4
解答:
r A
ω
O
x
ΔEp = 0 ⇒ A = 0
（D）
10
8.一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的 位移为 A ，且向x轴的正方向运动，代表此谐振动的旋
2 转矢量图为：
r A
ω OA x
2
(A)
r
Aω A
ω
2
O
x
−A Oห้องสมุดไป่ตู้
x
r
2
A
(B)
(C)
−A
ω
2
O
x
r A (D)
（B） 11
二、填空题
m k
k = k1k2 k1 + k2
k1 = k2 = 2k
k
k2 m
T2 = 2 π
1m 2 = 2π 2k
m
m 4k
=
1 2
T1
2
（C） 7
5．一质点作谐振动，周期为T，当质点从平衡位置
向x轴正方向运动时，由平衡位置运动到二分之一最
大位移处所需要的时间为：
（A）T/4
（B）T/12
（C）T/6
8．系统作简谐运动时，所受合力的特征是
_合___力__的__大___小__与__位___移__成__正___比__，__方___向__与__位___移__方__向___相__反_____ ， 所满足的微分方程为_____ddt2_2x_+_ω_2_x_=_0___________。 18
3
三、计算题
（D）T/8
解答:
Aω
O2
x
ωΔt = π 6
r A
（B）
8
6．一简谐振动曲线如图所示，则振动周期是：
（A）2.62s （B）2.40s （C）0.42s （D）0.382s
x (m)
4
2
1.0
0
（B）
t(s)
解答: x = A cos (ω t + ϕ )
t = 0 2 = 4 cosϕ → ϕ = − π
Ep
=
1 2
kx2
=
1 2
mω2 A2
cos2
ωt
相等的位相：ωt = π , 3π 44
t = T , 3T 88
17
7．如图所示的是两个谐振动曲线，它们合成的余弦振
动的初位相为___−_π2__或_23_π____。 x(m)
解答:
A
x1
O
O
x
A 2
2.0
x2
4.0 t(s)
−π 或 3π 22
x(cm)
2
圆频率ω =_π_/_2_r_a_d_⋅_s_−1___； 0 初位相ϕ0 =_−__π2_, _或__23_π____；
2
4 t(s)
振动表达式x =_0_.0_2_c_o_s_( π2__t _−_2π_)_m______ ；
振动速度表达式v =__−_0_.0_1_π_s_in_(_π2_t_−__π2_) _m_⋅_s−_1 ___ ；
度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统振动周期为T2
等于
(A) 2T1
(B) T1
(C) T1 2
(D) T1 2
(E)
T1 4
（C ）
T1 = 2π
m k
静平衡时 F = kx = mg
k′
k
弹簧截去一半后，假定仍挂物体 m , 静平
F
衡时仍有
F = k ′x ′ = mg
但伸长量
x′ = 1 x 2
cr
A
πt
b
π
4
O
x
b
πt
3π 4
c
r A
O
x
(a)
(b)
15
5超. 已前知___两__个32_π_谐_振__动__曲。线如图所示x，x1的位相比x2的位相
解答:
A
x1
x2
ϕ2
=
5π 6
O ⋅⋅⋅
t
ϕ1
=
3π 2
ϕ2
=
π 2
+
π 3
=
5π 6
2
振动1比振动2在时间上超前：3
⋅
T 2
=
T 3
ϕ1
− ϕ2
表达式。 （2）若某质点同时参与第一、三两个运动，试问：当φ为何值 时，该质点合振动最强烈？ （3）若某质点同时参与第二、三两个运动，试问：当φ为何值 时，该质点合振动最弱？
解： （1）两个同方向、同频率简谐运动的合振动仍为简谐运
动，且合振动的频率与分振动的频率相同，即
ω＝ω1＝ω 2＝3s −1
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ1－ϕ2 ) = 32 + 42 + 2 × 3× 4 cosπ 2 = 5cm
m ρ水 L2a a
ω
g
A=b−a
21
解二：木块未受压力静止于水中 重力等于浮力
时： mg = ρ水aSg ρ水 = 1, S : 木块的截面积
m = aS
a
b
O
木块下底面在任意位置 x 时木块的运动方
程：
mg
−
ρ水 (x
+
a)Sg
=
mdx2
/
dt 2
adx2 / dt2 + xg = 0
x
dx2 dt 2
+
⎜⎛ ⎝
v0 ω
⎟⎞2 ⎠
= 1 = 0.158m 2 10
Qx =0
v<0
∴ϕ = π 2
14
4.
在图所示的简谐振动的矢量图中，
r A
=
2 cm，Ob为Ar
在t
=0时的位置，Oc为
r A
在t时刻的位置，则：相应于
图(a)的振动表达式为x = _0_._0_2_c_o_s_(_π_t_+__14_π_)_m________； 相应于图(b)的振动表达式为x = _0_._0_2_c_o_s_(_π_t_+__43_π_)_m__。
而作简谐振动. 已知此弹簧的劲度系数为 8×102N⋅m-1 ，
则振动的振幅为 0.158m 相为 π 。
2
，周期为 0.5s ，初 k Mv
解答:mv子 = (m + M )v0 ⇒ v0 = 2m/s
m
•
O
x
ω=
k = 4 10 = 12.65 rad/s m+M
T
=
2π ω
=
0.496s
A=
x0 2
kk
h
M
解：（1）周期：下落前 T = 2π = 2π M
ω
k
OA
下落后 T ′ = 2π = 2π M + m > T
（2）总能量：E = 1 kA2 ω′
k
在最大位移处落下 2 下落前：A，v = 0
A = A′
（B）
下落后：A′， v = 0
总能量不变
3
如果泥块在平衡位置落下，总能量变化？
下落前：A，v 下落后：A ′， v ′
1．简谐运动的角频率取决于_振___动__系__统___自__身__的___性__质__；_，ω =
k m
它的物理意义是__2_π___秒__内__的___的__振__动___次__数__；__ω__=_2_Tπ__ ；振
幅A是由__振__动___系__统__运___动__的__初___始__条__件__决定的，它的物理
mg F
故
k ′ = 2 k （弹簧的倔强系数）
mg6
1
4. 一倔强系数为k的轻弹簧，下端挂一质量为m的物
体，系统的振动周期为T1。若将此弹簧截去一半的长
度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统振动周期为T2
等于
(A) 2T1
(B) T1
(C) T1 2
(D) T1 2
(E) T1 4
解答: T1 = 2 π
23
ϕ0
= tg−1
A1 sin ϕ1 + A1 cosϕ1 +
A2 sin ϕ2 A2 cosϕ2
=
tg -1
3sin0° + 4sin π 2 3cos0° + 4cosπ 2
=
tg −1
4 3
= 53.13°或 3 π 10
第一、二两个振动的合振动表达式为：
x
=
x1
+
x2
=
5 cos⎜⎛ 3t ⎝
t = 1 0 = 4 cos(ω +ϕ ) → ω −3π = π ω = 5π
32 6
yv A
ω
+ ϕ0
o P x −ϕ0 v A
T = 2π = 12 ω5
v0 > 0
9
7．弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力
在半个周期内所作的功为：
（A）kA2 （B）1 kA2 （C）1 kA2 （D）0
+
3π 10
⎟⎞cm ⎠
(2).合振动的振幅为极大时应满足 ϕ − ϕ1＝2kπ(k = 0, ±1,…)
ϕ1＝0 由此得 ϕ＝2kπ (k = 0, ±1,…)
此时合振动的振幅为 A = A1 + A3 = 3 + 5 = 8cm