2020年广东省六校联盟高考数学第四次联考试卷(文科)

2020年广东省六校联盟高考数学第四次联考试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<0}，B={x|y=√1−x}，则()A. A∩B={x|x<0}B. A∪B=RC. A∪B={x|x≥1}D. A∩B=⌀2.若复数z=m+2i2−i是纯虚数(i为虚数单位)，则实数m的值是()A. −4B. −1C. 1D. 43.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为()A. 100B. 120C. 130D. 3904.“”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图源于“更相减损术”，当输入m=98，n=63时，输出的m的值是()A. 28B. 14C. 7D. 06. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知cos(π4+θ)=2√23，则sin2θ的值是( )A. −79B. −29C. 29D. 798. 如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A ，C 为圆心，1为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A. 2−π2 B. 2−π3 C. π2−1 D. π3−19. 已知函数f(x)=x 3+ln 1+x1−x ，若f(m)+f(m +1)>0，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,−12)B. (−12,0)C. (−12,1)D. (−12,+∞)10. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1各条棱的长度均相等，D 为AA 1的中点，M ，N 分别是线段BB 1和线段CC 1的动点(含端点)，且满足BM =C 1N ，当M ，N 运动时，下列结论中不正确的是( )A. 在△DMN 内总存在与平面ABC 平行的线段B. 平面DMN ⊥平面BCC 1B 1C. 三棱锥A 1−DMN 的体积为定值D. △DMN 可能为直角三角形11. 已知函数f(x)=4sinωx ⋅sin 2(ωx2+π4)+cos2ωx −1(ω>0)在区间[−π3,2π3]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值，ω的取值范围是( )A. [12,34]B. [12,52)C. [34,52)D. [52,3)12. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线C 交于P ，Q两点，且F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若|F 2P|=|F 2Q|，则此双曲线C 的离心率是( )A. 2B. √5C. √7D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{y ≤xx +y ≤1x −2y −1≤0，则z =2x +y 的最小值是______．14. 一个圆锥的表面积为27π，其侧面展开图为半圆，则此圆锥的体积是______． 15. 在研究函数的变化规律时，常常遇到“00”等无法解决的情况，如f(x)=sinx x，当x =0时就出现此情况．随着微积分的发展应用，数学家采取了如下策略来解决：分式的分子、分母均为可导函数，分别对分式的分子、分母的两个函数求导，如对函数f(x)=sinx x的分子、分母求导得到新函数g(x)=cosx 1，当x =0时，g(x)的值为1，则1为函数f(x)在x =0处的极限，根据此思路，函数ℎ(x)=x 2cosx−1在x =0处的极限是______．16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且△ABC 的面积为14a 2，则c b +bc 的最大值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量y(单位：件)对于价格x(单位：万元)的反应，得到数据如表： x(万元) 2 4 5 6 8 y(件)65432(1)在所给定的坐标系中画出散点图；(2)若y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若需求量为y 件时，总成本为z =y +2.5(万元)，试由(2)的结论预测要使利润最大，价格x 应定为多少万元？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．18. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=m ，a n+1=S n +1(n ∈N ∗).(1)求实数m 的值和数列{a n }的通项公式； (2)设b n ={a n (n 为奇数)log 2a n (n 为偶数)(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．19. 如图1，C ，D 是以AB 为直径的圆上两点，且AB =2AD ，AC =BC ，将△ABC 所在的半圆沿直径AB折起，使得点C 在平面ABD 上的射影E 在BD 上，如图2． (1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；(2)在线段AB 上是否存在点F ，使得AD//平面CEF ？若存在，求出AFFB 的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数f(x)=1x+mlnx(m>0)．(1)若不等式f(x)>m对任意x>0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若函数g(x)=2x−f(x)在区间(12,2)内存在极值，求实数m的取值范围．21.已知过点M(0,m)(m>0)的直线l与抛物线C：x2=4y交于A，B两点．(1)分别以A，B为切点作抛物线的两条切线PA，PB，交点为P，当m=1时，求点P的轨迹方程；(2)若1|AM|2+1|BM|2为定值，求m的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4cosαy =2sinα(α为参数)，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若P ，Q 分别是曲线C 1，C 2上的动点，求|PQ|的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x +1|−2|x −2|．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的最大值为m ，设正实数a ，b 满足a +2b =m ，求2a +1b 的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|x<0}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|x<0}，A∪B={x|x≤1}．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了交集的运算，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=m+2i2−i =(m+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=2m−25+m+45i是纯虚数，∴{2m−2=0m+4≠0，即m=1．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为S1=0.01×10=0.1，S2=0.023×10=0.23，∴位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1−0.33=0.67∵支出在[30,50)的同学有67人，即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得67n=0.67，解之得n=100故选：A．根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33，从而得到位于30～50的数据的频率之和为1−0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量n的值．本题给出频率分布直方图，在已知某小组的频率情况下求该数据中的样本容量n的值，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及椭圆的方程，属于中档题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆方程判断即可．【解答】解：若方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆，则{5−m>0 m+3>05−m≠m+3，所以{m<5m>−3m≠1,即−3<m<5且m≠1，所以“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．5.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得：m=98，n=63，满足m>n，m=98−63=35，不满足m>n，n=63−35=28，满足m>n，m=35−28=7，不满足m>n，n=28−7=21，不满足m>n，n=21−7=14，不满足m>n，n=14−7=7，此时，满足m=n，输出m的值为7，n的值为7．故选：C．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的m，n的值，即可得到结论．本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，属于基础题．由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 便可得到AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求出向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而找出正确选项． 【解答】 解：∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ); ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．7.【答案】A【解析】解：∵已知cos(π4+θ)=2√23，∴cos(π2+2θ)=2cos 2(π4+θ)−1=79．故sin2θ=−cos(π2+2θ)=−79， 故选：A ．由题意利用查诱导公式、二倍角公式，求得sin2θ的值． 本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图所示： 阴影部分可拆分为两个小弓形，则阴影部分面积：S′=2×(14πa 2−12a 2)=12πa 2−a 2 正方形面积：S =a 2， ∴所求概率p =S′S=π2−1故选：C ．将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率 本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题可知，1+x1−x>0，∴−1<x<1，即函数的定义域为(−1,1)．∵f(−x)=(−x)3+ln1−x1+x =−x3−ln1+x1−x=−f(x)，∴f(x)为奇函数．∵f(x)=x3+ln1+x1−x=x3+ln(1+x)−ln(1−x)，∴f′(x)=3x2+11+x +11−x>0，即f(x)在(−1,1)上单调递增．不等式f(m)+f(m+1)>0相当于f(m+1)>−f(m)=f(−m)，∴{m+1>−m−1<m+1<1−1<m<1，解得−12<m<0．∴不等式的解集为(−12,0)．故选：B．由题意知，函数的定义域为(−1,1)；根据函数奇偶性的概念可推出f(x)为奇函数；变形求导后可证得f(x)在(−1,1)上单调递增；于是不等式可转化为f(m+1)>f(−m)，即{m+1>−m−1<m+1<1−1<m<1，解之即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式以及函数的奇偶性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，由直线与平面平行的定义得在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段，故A正确若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N−A1DM的体积不变，即三棱锥A1−DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，故D错误．故选：D．由直线与平面平行的定义得在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段；由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1−DMN的体积为定值；利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．11.【答案】A【解析】解：∵f(x)=4sinωx⋅sin2(ωx2+π4)+cos2ωx−1(ω>0)=2sinωx⋅(1−cos(ωx+π2))−2sin2ωx=2sinωx(1+sinωx)−2sin2ωx =2sinωx，即：f(x)=2sinωx，∴[−π2ω,π2ω]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[−π3,2π3]上递增，∴[−π2ω,π2ω]⊇[−π3,2π3]，∴得不等式组：−π2ω≤−π3，2π3≤π2ω，又∵ω>0，∴0<ω≤34，又函数在区间[0,π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+π2，k∈Z，即函数在x=2kπω+π2ω处取得最大值，可得0≤π2ω≤π，∴ω≥12，综上，可得ω∈[12,3 4 ].故选：A．由三角函数恒等变换的应用可得f(x)=2sinωx，可得[−π2ω,π2ω]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[−π2ω,π2ω]⊇[−π3,2π3]，可解得0<ω≤34，又函数在区间[0,π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得0≤π2ω≤π，进而得解．本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意可知所求的图形如图，作F 2H ⊥MQ ，H 为MQ 的中点．设F 1M =m ，MF 2=n ，可得{3m −n =2a n −m =2a，解得m =2a ；n =4a ； |F 2H|2+|F 1H|2=|F 1F 2|2，可得16a 2+12a 2=4c 2，即7a 2=c 2，解得双曲线C 的离心率e =ca =√7．故选：C ．画出图形，利用双曲线的定义以及勾股定理，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 13.【答案】−3【解析】解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，易知z =2x +y 经过可行域的A 时，直线在y 轴上的截距取得最小值，此时z =2x +y 取得最小值，由{y =x x −2y −1=0，解得A(−1,−1)z =2x +y 在(−1,−1)处的最小值为−3，故答案为：−3．画出约束条件的可行域，求出最优解，然后求解即可．本题考查线性规划的简单应用，求出目标函数的最优解的解题的关键．14.【答案】9√3π【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr =πl ，解得l =2r ；所以圆锥的表面积为S =πr 2+πrl =πr 2+πr ⋅2r =3πr 2=27π，解得r =3；所以l =6，圆锥的高为ℎ=2−r 2=√(2r)2−r 2=√3r =3√3；所以圆锥的体积是V =13πr 2ℎ=13π×32×3√3=9√3π.故答案为：9√3π．由圆锥的侧面展开图是半圆求出底面半径和母线长的关系，再根据圆锥的表面积求出底面半径和母线长，以及圆锥的高，即可求出圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题． 15.【答案】−2【解析】解：对函数ℎ(x)=x 2cosx−1的分子、分母求导得到新函数H(x)=2x −sinx ， 再求导得到函数t(x)=2−cosx ，当x =0时，t(0)=−2，所以−2为函数ℎ(x)在x =0处的极限．故答案为：−2．对函数ℎ(x)=x 2cosx−1的分子、分母经过两次求导后，得到函数t(x)=2−cosx ，计算t(0)的值即可． 本题考查极限的运算、基本初等函数的求导法则，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 16.【答案】2√2【解析】解：由面积公式得：12bcsinA =14a 2，即a 2=2bcsinA ．由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得c b +b c=c 2+b 2bc =a 2+2bccosA bc =2bcsinA+2bccosA bc =2sinA +2cosA =2√2sin(A +π4)， 故当A =π4时，c b +b c 的最大值为2√2，故答案为：2√2．由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得c b +b c =2√2sin(A +π4)，利用正弦函数的性质可求其最大值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 17.【答案】解：(1)散点图如图所示(2)x −=2+4+5+6+85=5，y −=6+5+4+3+25=4， b ̂=12+20+20+18+16−5×5×44+16+25+36+84−4×52=−0.7，a ̂=4+0.7×5=7.5， ∴线性回归方程：y ̂=−0.7x +7.5．(3)设利润为f(x)，由(2)可得f(x)=x(−0.7x +7.5)−(−0.7x +7.5+2.5)=−0.7x 2+8.2x −10 ∴当x =8.22×0.7=417时，得利润有最大值．答：要使利润最大，价格x 应定为417万元．【解析】(1)利用已知条件直接画出散点图．(2)求出回归直线方程的相关系数，然后写出回归直线方程即可．(3)设利润为f(x)，求出利润函数的表达式，通过二次函数的性质求解即可．本题考查回归直线方程的求法与应用，散点图的画法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 18.【答案】解：(1)a 2=S 1+1=a 1+1=m +1，由a n+1=S n +1得a n =S n−1+1(n ≥2)，相减可得a n+1−a n =a n (n ≥2)即a n+1=2a n (n ≥2)．又{a n }是等比数列，则公比q =2，则a 2=2a 1即m +1=2m ，可得m =1，故a n =2n−1(n ∈N ∗)．(2)由b n={a n(n为奇数)log2a n(n为偶数)，得b n={2n−1(n为奇数)n−1(n为偶数)(n∈N∗)．则T2n=(b1+b3+b5+⋯+b2n−1)+(b2+b4+b6+⋯+b2n)=(20+22+24+⋯+22n−2)+[1+3+5+⋯+(2n−1)]=1−4n1−4−+12n(1+2n−1)=4n−13+n2．【解析】(1)求得a2，由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求；(2)求得b n，再由数列的分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD．∵CE⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD．又∵CE∩BD=E，BD，CE⊂平面ABD，∴AD⊥平面BCD．∵AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．(2)解：连接AE，∵CE⊥平面ABD，AE，BE⊂平面ABD，∴CE⊥AE，CE⊥BE．在Rt△ACE和Rt△BCE中，由AC=BC得AE=BE，在Rt△ABD中，由AB=2AD，得∠ABD=30°，∴∠AED=∠ABE+∠BAE=60°，∴在Rt△ADE中，DE=12AE，∴E是BD的三等分点，且DE=12EB．在线段AB上存在点F，使得AF=12FB，则有FE//AD．∵FE⊂平面CEF，AD⊄平面CEF，∴AD//平面CEF．故在线段AB上存在点F，使得AD//平面CEF，此时AFFB =12．【解析】(1)要证平面ACD⊥平面BCD，只要证平面ACD经过平面BCD的一条垂线AD即可，由D是以AB 为直径的圆上的点得到AD⊥DB，由CE垂直于底面得到EC垂直于AD，利用线面垂直的判定得到证明；(2)在线段AB上存在点F，且FE//AD.则AD//平面CEF，利用平面几何的性质求得DE=12AE，即可得出结论．本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判断，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是明确折叠问题中的折叠前后的变量和不变量，是中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=1x+mlnx(m>0)的定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=−1x2+mx=mx−1x2．令f′(x)=0，得x=1m(m>0)，∴函数f(x)在(0,1m )上递减，在(1m,+∞)上递增，∴函数f(x)的最小值为f(1m )=m+mln1m．依题意，则m+mln1m>m，∴0<m<1．故所求实数m的取值范围是(0,1)．(2)g(x)=2x−f(x)=2x−1x −mlnx(12<x<2)，∴g′(x)=2+1x2−mx=2x2−mx+1x2．∵函数g(x)在区间(12,2)内存在极值，∴方程g′(x)=0在区间(12,2)上有两个不等的实根，或一根在(12,2)区间内，另一根在区间(12,2)外，则方程ℎ(x)=2x2−mx+1=0在区间(12,2)上有两个不等的实根或一根在(12,2)区间内，另一根在区间(12,2)外，∴{ △=m 2−8>012<m 4<2ℎ(12)=12−12m +1>0ℎ(2)=8−2m +1>0或ℎ(12)⋅ℎ(2)=(32−12m)(9−2m)<0， ∴2√2<m <3或3<m <92．当m =3时，ℎ(x)=2x 2−mx +1=0的根为12，1也符合题意．故所求实数m 的取值范围是(2√2,92)．【解析】(1)求导，利用导数求出函数的单调性，进而求得函数f(x)的最小值，由最小值大于m ，即可得m 的取值范围；(2)将问题转化为方程g′(x)=0在区间(12,2)上有两个不等的实根，或一根在(12,2)区间内，另一根在区间(12,2)外时m 的取值范围，利用判别式即零点存在定理即可求解． 本题主要考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，以及函数与方程思想的运用，属于中档题． 21.【答案】解：(1)设直线l 的方程为y =kx +1代入x 2=4y 化简得x 2−4kx −4=0．又设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，由x 2=4y ，得y =x 24，则y′=x 2，∴以点A 为切点的切线方程是y −y 1=x 12(x −x 1)， 即y =x 12x −x 124，同理，以点B 为切点的切线方程是y =x 22x −x 224． 解方程组{y =x 12x −x 124y =x 22x −x 224，得{x =x 1+x 22y =x 1x 24， ∴点P 的坐标为(x 1+x 22,−1)即(2k,−1)，∴点P 的轨迹方程是y =−1．(2)设直线l 的方程为y =kx +m 代入x 2=4y ，化简得x 2−4kx −4m =0，又设A(x 3,y 3)，B(x 4,y 4)，则x 3+x 4=4k ，x 3x 4=−4m ，∴|AM|2=x 32+(y 3−m)2=(1+k 2)x 32， 同理：|BM|2=x 42+(y 4−m)2=(1+k 2)x 42， ∴1|AM|+1|BM|=1(1+k )x 32+1(1+k )x 42=11+k ⋅16k 2+8m 16m ，∵1|AM|2+1|BM|2为定值，令11+k 2⋅16k 2+8m 16m 2=C(C 为常数)，则16k 2+8m =16Cm 2k 2+16Cm 2，则Cm 2=1，8m =16Cm 2，∴m =2．【解析】(1)设直线l 的方程为y =kx +1代入x 2=4y 化简得x 2−4kx −4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，通过韦达定理，结合函数的导数求解切线方程求出P 的坐标，然后推出轨迹方程．(2)设直线l 的方程为y =kx +m 代入x 2=4y ，设A(x 3,y 3)，B(x 4,y 4)，利用韦达定理，求出|AM|，|BM|，化简已知条件，推出结果．本题可得抛物线的简单性质的应用，轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，是难题．22.【答案】解：(1)由{x =4cosαy =2sinα，得{x 4=cosαy 2=sinα， ∴(x 4)2+(y 2)2=1即x 216+y 24=1， ∴曲线C 1的普通方程是x 216+y 24=1．又由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x 2+y 2=4y 即x 2+(y −2)2=4，∴曲线C 2的直角坐标方程是x 2+(y −2)2=4．(2)设点P(4cosα,2sinα)，则|PC 2|=√16cos 2α+(2sinα−2)2=√−12sin 2α−8sinα+20．∴当sinα=−13时，|PC 2|max =8√33， ∴|PQ|max =|PC 2|max +2=8√33+2． 故|PQ|的最大值是8√33+2．【解析】(1)利用转换关系，把参数方程极坐标方程转换为普通方程．再把极坐标方程转换为普通方程．(2)利用直线和曲线的位置关系，利用三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当x ≤−12时，f(x)=−2x −1+2(x −2)=−5当−12<x <2时，f(x)=2x +1+2(x −2)=4x −3∈(−5,5)，当x ≥2时，f(x)=2x +1−2(x −2)=5，∴函数f(x)的值域是[−5,5]．(2)由(1)可知，函数f(x)的最大值是m =5，∴a +2b =5，∴2a +1b =a+2b 5(2a +1b )=15(4+4b a +a b )≥15(4+4)=85， 当且仅当2b =a 时，即a =52，b =54时，取等号；∴2a +1b 的最小值是85．【解析】(1)零点分段，求解值域即可；(2)根据(1)可知m =5，利用“乘1”法，结合不等式即可求解2a +1b 的最小值．本题考查绝对值不等式的解法，零点分段的应用，基本不等式求最小值．属于基础题．。