高中数学第一章集合部分讲义-教师版

【训练 2】 (1)(2017·长郡中学质检)若集合 A＝{x|x>0}，且 B⊆A，则集合 B 可能是( A.{1，2} B.{x|x≤1} C.{－1，0，1} D.R (2)已知集合 A＝{x| x＝ x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若 A⊆B，则 m 的值为( A.2 B.－1 C.－1 或 2 D. 2或 2
2 9 (2)由 A＝∅知方程 ax2＋3x－2＝0 无实根，当 a＝0 时，x＝ 不合题意，舍去；当 a≠0 时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－ . 3 8 答案 (1)2 (2) 9 －∞，－ 8
考点二 集合间的基本关系 【例 2】 (1)已知集合 A＝{x|y＝ 1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( A.AB B.BA C.A⊆B D.B＝A )
(2)真子集：若 A⊆B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 AB 或 BA. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或 x∈B}
{x|x∈A，且 x∈B}
{x|x∈U，且 x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个. (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
答案 B
4.已知集合 P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若 P∪M＝P，则 a 的取值范围是( A.(－∞，－1] B.[1，＋∞) C.[－1，1]
)
D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 因为 P∪M＝P，所以 M⊆P，即 a∈P，得 a2≤1，解得－1≤a≤1，所以 a 的取值范围是[－1，1].
)
解析 由(x＋1)(x－2)<0，得－1<x<2，又 x∈Z，所以 B＝{0，1}，因此 A∪B＝{0，1，2，3}. 答案 C
3.(2017·肇庆模拟)已知集合 A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( A.A∩B≠∅ B.A∪B＝R C.B⊆A D.A⊆B
解析 由 B＝{x|x≤1}，且 A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.
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二、填空题 9.已知集合 A＝{x|x2－2x＋a>0}，且 1∉A，则实数 a 的取值范围是________.
解析 ∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即 1－2＋a≤0，∴a≤1. 答案 (－∞，1]
10.(2016·天津卷)已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则 A∩B＝________.
能力提升题组 (建议用时：10 分钟) 13.(2016·全国Ⅲ卷改wk.baidu.com)设集合 S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁RS)∩T＝(
A.[2，3] B.(－∞，－2)∪[3，＋∞) C.(2，3) D.(0，＋∞) 答案 C 解析 易知 S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2，3)，因此(∁RS)∩T＝(2，3).
8.已知全集 U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( A.{x|x≥0}
∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.
) D.{x|0<x<1}
B.{x|x≤1}
答案 D
C.{x|0≤x≤1}
解析 ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0 或 x≥1}，在数轴上表示如图.
解析 (1)当 x＝0，y＝0，1，2 时，x－y＝0，－1，－2；当 x＝1，y＝0，1，2 时，x－y＝1，0，－1； 当 x＝2，y＝0，1，2 时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共 5 个. (2)若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个相等实根. 2 9 9 当 a＝0 时，x＝ ，符合题意；当 a≠0 时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝ ，所以 a 的取值为 0 或 . 3 8 8 答案 (1)C (2)D
【训练 3】 (1)(2017·石家庄模拟)设集合 M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正 确的是( A.N⊆M ＝( ) B.N∩M＝∅ C.M⊆N D.M∩N＝R
(2)(2016·山东卷)设集合 U＝{1， 2， 3， 4， 5， 6}， A＝{1， 3， 5}， B＝{3， 4， 5}， 则∁U(A∪B) ) B.{3，6} C.{1，3，4，5} D.{1，2，4，6}
(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}， B＝{x|m＋1<x<2m－1}， 若 B⊆A， 则实数 m 的取值范围是________.
解析 (1)易知 A＝{x|－1≤x≤1}，所以 B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.因此 BA. (2)当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. m＋1≥－2， 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图.则 2m－1≤7， 解得 2<m≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]. m＋1<2m－1， 答案 (1)B (2)(－∞，4]
答案 D
解析 ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A 且 2，3∈B，1∈A 但 1∉B，∴BA.
2.(2016·全国Ⅱ)已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( A.{1} B.{1，2} C.{0，1，2，3} D.{－1，0，1，2，3} )
)
14.(2016·黄山模拟)集合 U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}， 则图中阴影部分所表示的集合是( A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} ) C.{x|0<x≤1}
答案 B
D.{x|x≤1}
解析 易知 A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁UB＝[1，＋∞)，A∩(∁UB)＝[1，2). 因此阴影部分表示的集合为 A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}.
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考点一 集合的基本概念 1， 2}， y∈A}中元素的个数是( 【例 1】 (1)已知集合 A＝{0， 则集合 B＝{x－y|x∈A， A.1 9 A. 2 B.3 9 B. 8 C.5 D.9 ) 9 D.0 或 8 (2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝( C.0 )
1 x∈N| ≤2x≤16 15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合 A＝ ，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}， 4 则 A∩B 中元素的个数是________.
1 解析 由 ≤2x≤16，x∈N，∴x＝0，1，2，3，4，即 A＝{0，1，2，3，4}. 4 又 x2－3x>0，知 B＝{x|x>3 或 x<0}，∴A∩B＝{4}，即 A∩B 中只有一个元素 答案 1
16.已知集合 A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合 B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且 A∩B＝(－1，n)， 则 m＋n＝________.
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由 A∩B＝(－1，n)可知 m<1，
6.(2016·浙江卷)已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，集合 P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}， 则(∁UP)∪Q＝( A.{1}
答案 C
) B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
解析 ∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴∁UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}.
(2)(2016·浙江卷)设集合 P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则 P∪(∁RQ)＝(
n∈N， 解析 (1)集合 A 中元素满足 x＝3n＋2， 即被 3 除余 2， 而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14.共 2 个元素. (2)易知 Q＝{x|x≥2 或 x≤－2}.∴∁RQ＝{x|－2<x<2}，又 P＝{x|1≤x≤3}，故 P∪(∁RQ)＝{x|－2<x≤3}. 答案 (1)D (2)B
5.(2016·山东卷)设集合 A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则 A∪B＝( A.(－1，1) B.(0，1) C.(－1，＋∞)
)
D.(0，＋∞)
答案 C
解析 由 y＝2x，x∈R，知 y>0，则 A＝(0，＋∞).又 B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此 A∪B＝(－1，＋∞).
第1讲 集 合
1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集：若对任意 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B 或 B⊇A. (3)相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B. 3.集合的基本运算 集合的并集 符号表示 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为 U， 则集合 A 的补集 为∁UA
1 －1，0， ，2，3 1 7.若 x∈A，则 ∈A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M＝ 的所有非空子 2 x 集中具有伙伴关系的集合的个数是( A.1 B.3 ) C.7 D.31
答案 B
1 1 ，2 －1， ，2 1 2， {－1}， 2 . 解析 具有伙伴关系的元素组是－1， ， 所以具有伙伴关系的集合有 3 个： ， 2 2
b 0， ，b 【训练 1】 (1)设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ ，则 b－a＝________. a (2)已知集合 A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若 A＝∅，则实数 a 的取值范围为________.
解析 (1)因为{1，a＋b，a}＝ b 0， ，b ，a≠0，所以 a＋b＝0，且 b＝1，所以 a＝－1，b＝1，所以 b－a＝2. a
A.{2，6}
解析 (1)易知 N＝(－2，3)，且 M＝{－1，1}，∴M⊆N. 答案 (1)C (2)A
(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}， 又全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.
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基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( A.A＝B B.A∩B＝∅ C.AB ) D.BA
解析 (1)因为 A＝{x|x＞0}，且 B⊆A，再根据选项 A，B，C，D 可知选项 A 正确. (2)由 x＝ x2－2，得 x＝2，则 A＝{2}.因为 B＝{1，m}且 A⊆B，所以 m＝2. 2 答案 (1)A (2)A
)
)
考点三 集合的基本运算 【例 3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}， 则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 A.[2，3] B.4 B.(－2，3] ) C.3 C.[1，2) D.2 ) D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解析 由 A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此 A∩B＝{1，3}. 答案 {1，3}
11.集合 A＝{x|x<0}， B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}， 若 A－B＝{x|x∈A， 且 x∉B}， 则 A－B＝_______.
解析 由 x(x＋1)>0，得 x<－1 或 x>0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0). 答案 [－1，0)
12.(2017·石家庄质检)已知集合 A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若 A⊆B， 则实数 m 的取值范围是________.
解析 由 x2－2 016x－2 017≤0，得 A＝[－1，2 017]，又 B＝{x|x<m＋1}，且 A⊆B，所以 m＋1>2 017，则 m>2 016. 答案 (2 016，＋∞)