电磁场数值计算.

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数值计算
二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：
物理 问题
计算 模型
选择数值 计算方法
计算 结果 的可 视化 处理
关键步骤
数值计算
评判 结果 的合 理性 和正 确性
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3. 数值计算的基本思想
数值计算
① 将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求 解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。
② 把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离 散点上的代数方程组的问题。
4. 场域的离散化处理
步骤（1）求解区域的离散化处理； （2）在每个离散单元内，用近似函数代替
复杂函数。
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数值计算
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数值计算
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1. 常数单元
数值计算
定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体
积）中为一个常数。
电荷分布

不连续

2. 线性单元 0
l0
l
定义被求函数在一个单元中按线性变化。
缆心为正方形的
2 2 2 0
x2 y2
（阴影区域）
U ( xb,0 yb及yb,0 xb)
0 ( x2 y2 a2 ,x0, y0)

x 0 ( x0,b ya )

y 0 ( y0,bxa ) 上页
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2. 数值计算的基本过程
数值计算
电磁场数值计算
当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析 法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算） 的方法。 1. 电磁问题的划分
① 场源问题
已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。 直接求积分方程。
A J(r)e j r dV
V 4 r

(r)e jr dV
φφij
( (
xi , xj,
yi )＝a1 y j )＝a1

a2 xi a2 xj

a3 yi a3 y
j
φm (xm , ym )＝a1 a2xm a3 ym
数值计算
三个待定 常数
i
j
m
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若用二次函数：
数值计算
φ(x, y)＝a1 a2x a3 y a4xy a5x2 a6 y2
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数值计算
1. 静电场的边值问题（Boundary Problem)
微分 方程
泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0
边值 问题
边界 条件
初始 条件
场域边界条件(待讲）
分界面衔 接条件
1＝2
1
1
n
2
2
n

自然边界条件 lim r 有限值 r
解 大地以上空间：
2 2 2 2 0
x2 y2 z2
S1
S2
100V
50V
(S1) 100V (S2) 50V
0 (大地，)
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数值计算
例 试写出图示平板电容器电场的边值问题。
解

2 1


2 1
x2

0
22

22
V 4r
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数值计算
静电场中元电荷产生的电场
dq
dE 4π0R2 eR
dq dV，dS ，dl
体电荷的电场
E(r)

1
4π0
N
[
k11
qk Rk12
ek1

V
dV
Rk2

ek
2
dS
dl
V
Rk3
ek 3
V
Rk4
ek 4 ]
3）第三类边界条件
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
（＋

) n S

f3(s)
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数值计算
实测法
实验法
模拟法
积分法
电
分离变量法
磁
解析法
镜像法、电轴法
问
微分方程法
题
保角变换法
计算法

有限差分法
数值法
有限元法 边界元法
矩量法
积分方程法

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数值计算
例
试写出图示静电场的边值问题。
强制边界条件 lim 有限值 r 0 上页 下页
场域边界条件
数值计算
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)
已知边界上的电位
|s f1wenku.baidu.coms)
2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann)
已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或
电力线)

n S f2 (s)
x2
0
+q
-q
1 2
1 2
0 d/2 d
ε1
1
n
σ

q S
x0
同一个条件
ε2
2
n
σ

q S
xd
x
1
2 xd
2
0 1
x0
参考点
ε1
1
n
ε2
2
n
x d
2
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数值计算
例 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。
解 根据场分布的对称性 确定计算场域，边值问题
包括：用有限维代替无限维； 用有限过程代替无限过程； 用有限解析区域代替无限区域； 用线性代替非线性；
用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；
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数值计算
结论 数值方法是近似方法。关键是确保问题
的解在允许的误差之内。 数值计算的基本法则： ① 正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。 ② 求解区域的离散化处理； ③ 近似替代的误差最小原理；
一维时有：
τ(x)＝a1 a2x 1
x

a1 a2

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a1 a2
＝11
xi τi
xj


τ
j

解得：
a1＝x
jτi xj

xi τ xi
j
a2＝xτ jj

τi xi
若用二次函数： σ(x)＝a1 a2x a3x2 二维时有： φ(x, y)＝a1 a2x a3 y
3. 局部坐标（形状函数）
六个待定
常数
局部坐标是相对于整体坐标x，y，z而言，是
近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、
有效的方法。
一维时： τ(ξ )＝N1τ1 N2τ2



N1 N2

1
2 1
2
(1 (1
ξ) ξ)
ξ 1，N1 1，N2 0 ξ 1， N1 0，N2 1
φ ρ(r) dV V 4πεr
矢量的积分
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静磁场中元电流产生的电场
体电流
B

0 4
V
J (r) eR dV R2
面电流
B

0 4
S
K (r) eR R2
dS
数值计算
A μJ(r) dV V 4π r ① 边值问题
已知空间介质分布，电极形状、位置和电位， 场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给 定边界条件的电位微分方程的解。