中南大学数理统计试卷及答案分析

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………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，

密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷

2011~2012学年 一 学期 数理统计Ⅱ 课程（09级）

（时间：12年1月5日，星期四，10:00—11:40，共计：100分钟）

注意：本试卷可能用到的数据如下：

645.105.0=z ，96.1025.0=z ，()9525.067.1=Φ，()86.391,110.0=F ，

()3060.28025.0=t ，()8595.1805.

0=t ，()7531.11505.0=t ，()1315.215025.0=t ，

()180.282975.0=χ，()535.1782025.0=χ，()2515205.0=χ，()6.3015201.0=χ

()951.9202975.0=χ，()17.34202025.0=χ

一、填空题（本题16分，每小题4分）

1、设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，若n X X X ,,,21Λ满足 条件，则称n X X X ,,,21Λ为简单随机样本；

2、设10021,,,X X X Λ为取自总体()400,80~N X 的一个样本，则

{}

=>-2μX P ;

3、设921,,,X X X Λ为取自总体()2,~σμN X 的一个样本，测得5.1,100==s x ，则μ的置信水平为0.95的置信区间为 ；

4、设1,,,21n X X X Λ取自总体()221,~σμN X ，2,,,21n Y Y Y Λ取自总体()2

22,~σμN Y ,其中21,μμ均未知，样本方差分别为2

221,S S ，检验假设2221122

210:,:σσσσ≠=H H 采用的是 检验法；在显著性水平α下，拒绝域为 。

二、选择题（本题16分，每小题4分）

1、设n X X X ,,,21Λ取自总体()1,0~N X ,2,S X 分别表示样本均值和样本方差，则（ ）

（A ）()1,0~N X （B ）()1,0~N X n （C ）()∑=n

i i n X 122~χ（D ）

()1~-n t S

X

2、在假设检验中，显著水平α是指（ ）

（A ）{}α=为假接受00|H H P （B ）{}α=为假接受11|H H P （C ）{}α=为真拒绝00|H H P （D ）{}α=为真拒绝11|H H P

3、设()2,~σμN X ，若μ和2σ未知，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为()λλ+-x x ,，则λ的值为（ ） （A ）()n

S n t a （B ）()

n

S n t a 1- （C ）()

n

S n t a 2

（D ）()

n

S n t a 12

-

4、设2421,,,X X X Λ为取自总体()4,~μN X 的样本，测得10=x ，以0.05的显著性水平进行假设检验，则以下假设中将被拒绝的0H 是（ ）。

（A ）10:0=μH （B ）9:0=μH （C ）5.9:0=μH （D ）5.10:0=μH

三、（本题10分）设某厂生产的某种型号零件的直径Array ()26.0,

X,现从某天生产的产品中随机抽取9个，测得~μ

N

()

cm

=，试求直径均值μ置信水平为0.95的置信区间。

14

.

x95

四、（本题

16

分）设2021,,,X X X Λ取自总体

()10~2

χX ,∑==n i i X n X 1

1和()∑=--=n i i

X X n S 122

11分别为样本均值和样本方差，求()X E ,()X D 和()2S E .

五、（本题10分）从理论上分析得出结论，压缩机的冷却用水，其温度()2,~σμN X ,升高的平均值不多与5°C ，现测得9台压缩机的能却用水的升高温度的样本均值8.0,36.5==s x 问在

05.0=α时，这组测量数据域理论上分析得出结论是否一致？

六、（本题16分）设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，X 的概率密度为：

()⎩⎨⎧><<=-，

其它,

00

,10,1θθθx x x f 求参数θ的矩估计与极大似然估计。

七、（本题10分）某厂生产一种零件，出场标准要求长度是68mm,

实际生产的零件长度服从正态分布()26.3，

μN ，现从今天生产的产品中随机抽取36个，测得5.68=x ，

（1）问今天产生的产品符合出厂要求吗？（05.0=α）

（2）若按当168>-X 时拒绝0H ,168≤-X 时接受0H ，进行假设检验

,68:0=μH 求犯的第一类错误的概率α。

八、（本题6分）设n X X X ,,,21Λ取自总体()2,~σμN X ，证明

对任意固定的α，统计量()⎩⎨

⎧>≤=a

X a X X X X n 1121,

0,1,,,Λϕ是

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φσμa 的无偏估计，其中()z Φ是标准正态随机变量的分布函数。

中南大学考试试卷B 答案

2011——2012学年第一学期（2012.1.5） 时间：100分钟

《数理统计Ⅱ》课程 24 学时 1.5 学分 考试形式： 闭 卷

专业年级： 2010级（第三学期） 总分：100分

一、填空题（本题16分，每题4分）

1、独立、同分布；

2、0.3174；

3、（98.847,101.153）；

4、()1,1,212

-->n n F F F a 或()1,1212

1--<-n n F

F a

。

二、选择题（本题16分，每题4分）

1、C ；

2、C ；

3、D ；

4、B 。 三、（本题10分）

解：()96.1,05.0,6.0,95.14025.02

2====z a cm x σ

392.095.142

±=±

a z n

X σ

故所求的置信区间为

()342.15558.14，。 四、（本题16分）

解：由于()()()，20,10,10~2

==∴X D X E X χ从而

()()()20,,2,120,10Λ===i X D X E i i

故()()()()

()∑∑=======⎪⎭⎫ ⎝⎛=20

1

220120,1,10201201i i i i X D S E X D X E X E X E . 五、（本题10分）

解：假设检验5:,5:10>≤μμH H ;采用T 检验法

()8595.18,05.005.0==t a ，拒绝域为8595.1>t ；

经计算：8595.135.13

8.05

36.5<=-=

t ， 所以接受0H ，故可以认为与理论上分析得出结论一致。

六、（本题16分）解：（1）()()⎰⎰+===

-+∞

∞-1

01

1θθ

θθdx x x dx x xf X E 令()

1ˆ+==θθX X E ,得X X -=1ˆθ为参数θ的矩估计量。 （2）似然函数为()∏∏==--==n i n

i i n i i x x x L 111

1,θθθθθ

(),ln 1ln ln 1∑=-+=n

i i x n L θθ令

()∑==+=n i i x n d L

d 10ln ln θθ， 得∑=-=n i i x n 1ln ˆθ，即∑=-=n

i i X n 1ln ˆθ为θ的极大似然估计量。 七、（本题10分）解：（1）设68:68:10≠=μμH H ，;取统计量：()1,0~0

N n

X z σμ-=； 拒绝域为96.1025.0=>z z ；645.196.183.0><=z Θ，所以接受0H

即可以认为今天生产的产品符合出厂要求。 （2）36=n Θ时，(

)

2

2

6.0,366.3,~μμN N X =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛。

{}{

}{}

为真为真为真000|69|67|1H X P H X P H X P a >+<=>-=μ

()[]095.067.1-126.068-69-16.068-67=Φ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛Φ+⎪⎭⎫

⎝⎛Φ=。 八、（本题6分）证明：()n X X X ,,,21ΛΘϕ是()10-随机变量，而

()[](){}{}⎪⎭

⎫

⎝⎛-Φ=≤=⋅=σμϕϕa a X P X X X P X X X E n n 12121,,,1,,,ΛΛ，

所以统计量()n X X X ,,,21Λϕ是⎪⎭

⎫

⎝⎛-Φσμa 的无偏差估计。