计算方法、矩阵分析答案

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矩阵分析习题及答案0 (1)

矩阵分析习题与解答1．名词解释：（1）单纯矩阵（2）正规矩阵(举3例) （3）向量范数（4）矩阵A 的最大奇异值2．设有Hermite 矩阵A . 试证：A 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵Q 使.H A Q Q =证明：必要性：设H A Q Q =, 则对0,n x x C ≠∈, 有(),0HHHx Ax x Q Qx Qx Qx ==>, 这里Q 可逆, 故正定.充分性：因为A 是Hermite 矩阵, 所以A 是正规矩阵, 因此存在酉矩阵U 使1,H n U AU λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中1n λλL ，，是A 的特征值; 又A 正定, 所以1L n λλ，，都大于0; 因此H A U U ⎫⎪= ⎪⎪ ⎝OO令H Q U ⎫⎪= ⎪ ⎝O则.HA Q Q =3．设矩阵x X y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 以及222()234Y f X x y z xy yz zx ==+++++,试求： (1)()()T dtr XX dX ; (2)T dY dX .解：222T x xy xz XX yxy yz zx zyz ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 222()T T tr XX x y z X X =++= ()()()()2(22)2T TTT tr XX d tr XX tr XX x x y y z z X dX tr XX ⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪⎛⎫⎪∂ ⎪= ⎪ ⎪∂ ⎪⎪⎝⎭⎪∂ ⎪∂⎭=⎝= ()224223234224,223,234TT T Y x x y z dY Y y x z dX y z y x Y z x y z y x z z y x ⎛⎫∂ ⎪∂++ ⎪⎛⎫∂ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪++⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭=++++++4．设A 为m m ⨯Jordan 块, 即1,1A λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O求矩阵指数Ate .解法一: 1111λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O OOO,记1,1H λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Λ== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OOO, 则 At t Ht =Λ+, 即Ht At t =-Λ 将x e 在t λ处展成Talor 级数,有()0!t nxn e e x t n λλ∞==-∑,因此有矩阵指数()00!!00001001!(1)!1000001!10000t nAtn t n nn m t e e At t n e H t n t t m e t λλλ∞=∞==-Λ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎛⎫ ⎪⎢⎥⎪-⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎪ ⎪=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑L L L L O M L L O MO M M O M L故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .解法二:00t t t tAt t t t t λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O O OOOO00t t t tt t t t At e ee eλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==O O O O O OOO()()000!!!nn t t n t n t n n tt n e t en e t n λλλλλλλλ∞⎛⎫⎪ ⎪= ⎪∞⎪ ⎪⎝⎭=∞=⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑O OO O OO OO2212200212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m tt t t t t t tt et t t ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O O OL L O M O O 故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .5．求常系数线性微分方程组在初始条件下的解.解：常系数线性方程组可以写为,()()X t AX t =&, 其中0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦, 12()()()x t X t x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 对其两端取Laplace 变换, 得()(0)()sX s X AX s -=,所以1()()(0)X s sI A X -=-, 取Laplace 反变换, 得11()()(0)X t L sI A X --⎡⎤=-⎣⎦,由于()(0)At X t e X =, 所以11(())At e L sI A --=-.由于123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦, ()131(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)2(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)s sI A s -+⎡⎤⎢⎥++++⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦2111s 1s 2s 1s 22221s 2s 1s 2s 1⎡⎤--⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦2212221112s 1s 2s 1s 22221222s 2s 1s 2s 1t tt t At t tt t e ee e e L e e e e ---------⎡⎤--⎢⎥⎡⎤--++++==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++++⎣⎦满足初始条件下的解为2222221232(0)122243t tt t t t At ttt t tt e e e e e e e x e ee e e e ------------⎡⎤⎡⎤---⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦6 任一方阵可以表示成两个对称矩阵乘积的形式。

矩阵分析第3章习题答案

矩阵分析第3章习题答案第三章1、已知()ijA a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 定义内积为(,)HA αβαβ=（1）证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2）写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。

2、已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。

提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。

3、已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HUAU是上三角矩阵。

提示：参见教材上的例子4、试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。

5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU为对角矩阵，已知133261(1)6322312623A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、试求正交矩阵Q ，使TQAQ为对角矩阵，已知 220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、试求矩阵P ，使HPAP E=（或TPAP E=），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。

反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

第1章线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用iiE 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，iiE ，ijE 都是对称矩阵，iiE 有(1)2n n -个.不难证明iiE ，ijE 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一设11223344x x x x =+++A EE E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.方法二应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ. 方法一设1212{,}{,}span span ∈ξααββ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T-.方法二不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T-，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα的基底就是12,,,nααα的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n ααα.1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββ就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基;(2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==,则11,,,,,k l ααββ的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξA AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA 可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξA AA②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===，于是21,(),(),,()k -ξξξξA AA线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξAAA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]0000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξA A A AA A A A AAA AA 所以A 在21,(),(),,()n -ξξξξA AA下矩阵表示为n 阶矩阵000100001000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξA AA是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==设11,,,,,,r r s ξξξξξ是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s ααααα是的极大无关组.1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A 的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求;(2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。

矩阵的计算公式图文解析

矩阵的计算公式图文解析矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用于表示和处理多维数据。

在实际应用中，矩阵的计算是非常常见的操作，包括矩阵的加法、减法、乘法等。

本文将通过图文解析的方式，详细介绍矩阵的计算公式及其应用。

一、矩阵的加法。

矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵相加的操作。

假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的加法运算可以表示为：C = A + B。

其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。

例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的加法结果C为：C = [6 8; 10 12]二、矩阵的减法。

矩阵的减法与加法类似，也是指两个相同维度的矩阵相减的操作。

假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的减法运算可以表示为：C = A B。

其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差。

例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的减法结果C为：C = [-4 -4; -4 -4]三、矩阵的乘法。

矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的操作。

假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别是m×n和n×p，那么它们的乘法运算可以表示为：C = A B。

其中，C是一个m×p的矩阵，它的每个元素都等于A的对应行与B的对应列的元素乘积之和。

例如，对于一个2×2的矩阵A和一个2×2的矩阵B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的乘法结果C为：C = [19 22; 43 50]四、矩阵的转置。

矩阵的转置是指将矩阵的行列互换的操作。

假设有一个m×n的矩阵A，那么它的转置运算可以表示为：B = A^T。

矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

矩阵分析所有习题及标准答案

习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.

矩阵分析与计算 (朱元国饶玲严涛张军李宝成著) 国防工业出版社课后答案

课
后
答
( )( ) = �� Λ�� −1 �� −1 = ��,
案
( )( ) �� = �� −1 �� Λ�� −1 = �� Λ�� −1 = �� Λ�� −1
概率与数理统计第二, C语言程序设计教程第西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程第复变函数全解及导学[西三版 (浙江大学三版 (谭浩强张 (高鸿业著) 中二版 (谭浩强张安交大第四版]
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2009-10-15
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其中 �� 和 Λ 是对角矩阵。于是有
w.
m
co m
ww
w.
2. (两个可对角化矩阵��, �� ∈ �� ×�� 称为同时可对角化的，如果存在
co
m
矩阵分析与计算第1章习题解答与提示
1
第1章习题解答与提示
课后答案网
同一个相似变换矩阵�� ∈ �� ×�� ，使得�� −1 �� 和�� −1 �� 同为对角矩阵。)
充分性若��和�� 同时可对角化，则存在可逆矩阵�� ，使得 �� = �� −1 , �� = �� Λ�� −1 ,
是对应��的特征向量，而��是��的单特征值，所以��, �� 线性相关。因

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。

矩阵分析参考答案

矩阵分析参考答案矩阵分析参考答案矩阵分析是线性代数中的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算。

在实际应用中，矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

本文将从矩阵分析的基本概念、性质和运算等方面，为读者提供一份参考答案。

首先，我们来介绍一些矩阵分析的基本概念。

矩阵是由数个数构成的矩形阵列，通常用大写字母表示。

矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12等表示矩阵中的元素。

矩阵的元素可以是实数、复数或其他数值类型。

矩阵的性质包括可逆性、对称性、正定性等。

一个矩阵如果存在逆矩阵，即乘以其逆矩阵后得到单位矩阵，那么该矩阵就是可逆的。

对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身，即A = A^T。

正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零。

接下来，我们来介绍一些矩阵的运算。

矩阵的加法和减法是按照对应元素相加和相减的规则进行的。

例如，对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的加法可以表示为C = A + B，其中C的元素为A和B对应元素的和。

矩阵的乘法是按照矩阵乘法的规则进行的。

例如，对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘法可以表示为C = AB，其中C为一个m行p列的矩阵，C的元素为A的行向量与B的列向量的内积。

除了基本的矩阵运算外，矩阵还有一些特殊的运算。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，即A的转置为A^T。

矩阵的迹是指矩阵主对角线上的元素之和，用Tr(A)表示。

矩阵的行列式是一个标量，用det(A)表示，它可以用来判断一个矩阵是否可逆。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念。

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量可以用来描述矩阵的性质和变换。

最后，我们来讨论一些矩阵分析的应用。

计算方法课后习题答案

计算方法课后习题答案计算方法课后习题答案计算方法是一门重要的学科，它涉及到数值计算、算法设计和数据处理等方面的内容。

在学习计算方法的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高自己的计算能力。

下面是一些计算方法课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T。

转置后的矩阵A^T的行数和列数分别为原矩阵A的列数和行数。

例如，对于一个3×2的矩阵A，它的转置A^T是一个2×3的矩阵。

2. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是对应位置上的元素进行相加或相减得到的新矩阵。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，差记作A-B。

加法和减法的运算规则是相同位置上的元素进行相应的运算。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新矩阵的运算。

对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。

矩阵乘法的运算规则是矩阵A的行与矩阵B的列进行相乘，并将结果相加得到新矩阵的对应位置上的元素。

4. 矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

如果一个矩阵A存在逆矩阵，则称其为可逆矩阵或非奇异矩阵。

求解矩阵的逆可以使用伴随矩阵和行列式的方法。

5. 线性方程组的求解线性方程组是指由一组线性方程组成的方程组。

求解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。

其中，高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过消元和回代的过程，将线性方程组转化为上三角形矩阵或对角矩阵，从而求解出方程组的解。

6. 数值积分的方法数值积分是指通过数值计算的方法来求解定积分的近似值。

常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。

这些方法都是基于将定积分转化为离散求和的形式，通过计算离散点上的函数值来估计定积分的近似值。

矩阵分析第三章课后答案

第三章内积空间正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[] () ()() ()() ()1121221211131323312312112212311122schmidt==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,0=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：2333123=--0510105==().TTN Aβγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝021于是ε1＝（0，1，0）T是A的特征向量。

矩阵的运算与性质练习题及解析

矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。

矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。

表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。

例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。

例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。

例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。

规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。

例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。

逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。

矩阵分析课后习题答案

矩阵分析课后习题答案矩阵分析是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和经济学等。

通过矩阵分析，我们可以更好地理解和解决实际问题。

然而，学习矩阵分析过程中，经常会遇到各种复杂的习题，给学生带来困扰。

在这篇文章中，我将为大家提供一些常见矩阵分析课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。

1. 矩阵乘法的性质矩阵乘法是矩阵分析中的基础概念，了解其性质对于解决复杂的习题非常重要。

下面是几个常见的矩阵乘法性质的答案：- 乘法结合律：对于三个矩阵A、B和C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。

- 乘法分配律：对于三个矩阵A、B和C，满足A*(B+C) = A*B + A*C。

- 乘法单位元：对于任意矩阵A，满足A*I = I*A = A，其中I为单位矩阵。

2. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置和逆矩阵是矩阵分析中常见的概念，它们在解决线性方程组和求解特征值等问题中起到重要作用。

以下是一些常见的矩阵转置和逆矩阵的答案：- 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，即将A的行变为列，列变为行。

- 逆矩阵的存在性：如果一个n阶矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么AA^-1 =A^-1A = I，其中I为单位矩阵。

- 逆矩阵的计算：对于2阶矩阵A = [a b; c d]，如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵为A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]。

3. 矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在解决线性方程组和矩阵对角化等问题中起到关键作用。

以下是一些常见的特征值和特征向量的答案：- 特征值和特征向量的定义：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。

- 特征值的计算：特征值可以通过解方程|A-λI|=0来计算，其中I为单位矩阵。

- 特征向量的计算：对于给定的特征值λ，可以通过求解(A-λI)x=0来计算对应的特征向量。

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1
0 0 1 3 1 1 cos1 4 1 1 1 0 cos 2 0 0 1 1 2 1 0 cos 5 0 4 0 0 1 3 1 1 sin 1 4 1 1 1 0 sin 2 0 0 1 1 2 1 0 0 sin 5 4
求 A( x )dx ．
0
1
12．设 A ( x )
sin x cos x , cos x sin x
求
d A ( x )dx
0
t2
dt
．
四习题解答
k 1 (1) (C). 通过判断通常幂级数 k t 的收敛半径为 r lim 1 , 且由题意 k k 1 k 1
kA k ( I n 2 A A 2 ) kA k A ，即得本例结论.
k 1
证法三：当 t 1 时，幂级数
t
k 0
k
(1 t ) 1 绝对收敛，于是可以逐项求导得

kt
k 1 k 1
k 1
(1 t ) 2 ，它的收敛半径仍为 1 。则当 ( A) 1 时，矩阵幂级数
(7) 利用幂级数在收敛圆内可逐项求积的性质 ,

1
0
e At dt
( At ) k Ak dt 0 k! k 0 k 0 k! 1

1
0
t k dt
Ak Ak A 1 A 1 (e A I ) . k 0 ( k 1)! k 1 k!
dx1 dt dx 10. 求常微分方程组 2 dt dx3 dt
的解. 11．设 A ( x )
2 x1
x2
1 2 满足条件 X (0) (1,1, 1)T x3 et 1
4 x1 2 x2 x1
x sin x , x 1
2
数乘积，经过整理即得 A( I n A)

kA k .
k 1 k 1
证法二：由幂级数
kt k 的收敛半径为 1 知，当 ( A) 1 时，矩阵幂级数 kA k 绝对收敛，
k 1 k 1 2
且 ( I n A) 可逆. 则 ( I n A)
2．设 A
0.8 0 k ，证明 A 必收敛，并求 Ak . 0.4 0.5 k 0 k 0

k A H n 3．设 A x x ，其中 x C 且 x 0 ，判断矩阵序列的收敛性. ( A ) k 1
同样可得
1 ( cos 2 cos 5) 3 1 ( cos 2 cos 5) ， 3 1 (2 cos 2 cos 5) 3
1 1 1 (9 sin 1 4 sin 2 5 sin 5) ( sin 2 sin 5) (3 sin 1 sin 5) 12 3 4 1 1 1 sin A ( sin 1 sin 5) (3 sin 1 4 sin 2 5 sin 5) ( sin 2 sin 5) . 4 12 3 1 1 1 (3 sin 1 8 sin 2 5 sin 5) (2 sin 2 sin 5) ( sin 1 sin 5) 12 3 4

1 3
5 12 1 4
0 1 3, 1 3 0 1 3 . 1 3
sin A P (sin J ) P 1
1 3
5 12
或者, 利用矩阵 A 的特征多项式 ( ) det(I A) ( 1)( 2)( 5) ，设
cos g ( ) ( ) r ( ) g ( )( 1)( 2)( 5) c0 c1 c22 ,
k k
1 a 1.
(5) 错误. 反例 A
0 0 cos 0 sin 0 1 0 不可逆, 但 cos A 0 可逆. cos 0 0 0 0 1
(6) 由 Householder 矩阵的性质知矩阵 A 的特征值为-1 和 1 ( n 1 重), 且 1 的几何重数为
3 1 1 1 0 0 1 4 1 1 1 0 2 0 0 1 1 2 1 0 0 5 4
1 4
8. 解: 由 A PJP
1
1 3
5 12
0 1 3得 1 3
1 4
cos A P (cos J ) P
H
H
x 具有相同的非零特征值, 因此
k
H H
A A ( A) ( x x ) ( x x ) x x , 则 lim lim . k ( A) k ( A)

4. 证法一：由 ( A) 1 ，则
0 54 73 0 0 0 0 0 54 0 0 0 1 f ' ' (3) 0 0 169 163 54 , 2 f ' (3) 0 0 0 169 163 f (3) 0 0 169 0 0
0 0 54 73 0 0 0 0 54 0 或者 f ( A) 4 I 5 A 6 A3 0 0 169 163 54 . 0 169 163 0 0 0 0 0 0 169
k 1
kA k 1 ( I n A) 2 绝对收敛，两边同时左乘 A 即得 kA k A( I n A) 2 .
5. 证明: 设矩阵 A 的 Jordan 标准型为 J P AP , 且所有特征值为 1 , 2 , , n , 即为 J
1
的对角元, 则 tr ( A) 1 2 n , e Pe P , 其中 e 为上三角矩阵且对角元为
2 k

2
( A) A r 1 , 可知矩阵幂级数 k 2 A k 绝对收敛.
k 1
(2) (A) A
0 0 已经是特征值为 0 下三角 Jordan 标准型 , 由 f ( ) e 可得 1 0
1 0 f ( A) 1 1 也为下三角阵. 若要利用上三角 Jordan 标准型, 只需注意到相似变换矩阵 0 1 T 1 0 , 可得到相同的结果.
A
J
1
J
e 1 , e 2 , , e n , 故 det(e A ) det(e J ) e 1 e 2 e n e tr ( A) .
6.
证明 :
由 eiA cos A i sin A 和 e iA cos A i sin A ,
两式相乘即得
8. 已知
1 0 0 0 2 0 0 0 0 3 1 0, 0 0 3 1 0 0 0 3 0 2 0 0
f ( z ) 4 z 6 z 3 ，求 f (A ) ．
2 2 2 1 0 A 1 3 1, B 0 1 1 3 0

4．证明 ( A) 1 时，
kA
k 1
k
A ( I n A ) 2 ．
5．证明 det(e A ) etr ( A ) ，其中 tr (A ) 表示 n 阶方阵 A 的对角元的和. 6．证明
sin 2 ( A ) cos 2 ( A) I n ．
2 0 7．已知 A 0 0 0
cos A c0 I c1 A c2 A2
1 1 (9 cos1 4 cos 2 5 cos 5) (3 cos1 cos 5) 12 4 1 1 ( cos1 cos 5) (3 cos1 4 cos 2 5 cos 5) 4 12 1 1 (3 cos1 8 cos 2 5 cos 5) ( cos1 cos 5) 12 4
1 0 0 1 1 1 0 n 1 , 因此 A 的 Jordan 标准型 J P AP P P , 则 0 0 0 1 0 0 cos(2 ) 0 cos(2 ) 1 cos(2A) P P In . 0 0 0 cos( 2 )
A
k 0
k
( I n A) 1 ，由矩阵级数绝对收敛的性质，等式两边
，
k 0
同
时
左
k 0
乘
A
右
k 0
乘
( I n A) 1
得
到
A( I n A) 2 A( A k )( I n A) 1 ( A k 1 )( A k ) ，上式右端为两个绝对收敛的级
sin 2 ( A ) cos 2 ( A) I n .
7. 解: 由矩阵 A 已经是 Jordan 标准型, 故有
f ( 2) 0 f ( A) 0 0 0
f ' ( 2) f ( 2) 0 0 0
0 0 f (3) 0 0
0 0 f ' (3) f (3) 0

k
2. 解: 由 ( A) 0.8 1 和幂级数
t
k 0
的收敛半径为 1 可知矩阵幂级数
A
k 0
k
收敛, 且

A
k 0
k
( I A)
1