构造直角三角形来解题
构造直角三角形解题
构造直角三角形解题
本文将重点介绍用来构造直角三角形的基本方法：
一、三角形属性
1、任何三角形都有三条边和三个内角；
2、三条边和三个内角皆可用来构造直角三角形；
3、直角三角形必须有一个直角，也就是其中一个内角是90度；
4、直角三角形的边长必须符合勾股定理：a² + b² = c²。
其中a和b是直角三角形的两条相较较短的边，c是直角三角形的斜边。
二、构造直角三角形的基本方法
1、依据勾股定理构造直角三角形：根据斜边c的长度来计算出a和b 两边的长度，即a² + b² = c²，然后画出三边，再将内角调节至90度即可构造出一个直角三角形。
2、拉伸和缩短给定的边：将给定的边进行拉伸和缩短，确保它们仍符合勾股定理即a² + b² = c²，然后根据调整后的边构建三角形，最后将内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
3、给定三角形的两边和一内角：可用勾股定理来计算另一边的长度，即a² + b² = c²，然后绘制出三条边，把最后一个内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
综上所述，用来构造直角三角形的基本方法有三：依据勾股定理构造直角三角形，拉伸和缩短给定的边，给定三角形的两边和一内角。
熟练掌握这些技巧，就可以有效构建直角三角形。
模型33 两垂一圆构造直角三角形(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．【结论】分类讨论：若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.例题精讲【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线，若点C在已知直线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是．【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB 是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（0，﹣8）B．（﹣8，0）C．（﹣16，0）D．（0，8）【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的坐标．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB 外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为．【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝，BC＝．（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y ＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．4个C．5个D．6个2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）个．A．6B．7C．8D．93．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为．4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为．6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．（1）求点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO 沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：，B：；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP 交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM＝∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），点O 为原点．（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．。
联想出妙解——构造直角三角形解题一例
2020年第4期中学数学月刊・63・EFGH I构造直角三角形解题一例侯明辉（辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校114300）问题已知正数％%#b）与锐角a%!#%）满足%人・!92"——1）+b=b・tan a—%%—b'sin"%/=槡%2+b2，求a+%的大小.分析题中给岀关于正数％%与锐角a%的三角函 间比较的等量关系%特点,直接求a十％的度数，往往使人感策，所以直接有一定的难度由槡%2+b2，可以很自然地联想到勾股定理，因此通过构造直角三角形%将其转化为，然后利用几何、三角函数和代数的一些相关知识，可使此题得到妙解.解如图1作△ABC,使6ACB=90°,BC=%AC=b%矿一则AB=槡%2+b2•”"■图—长AB到点M,使BM、=%；延长BA到点N,使AN=b.过点A作AE丄AB AE交MC的延长线于点E；过点B作BF丄BABF交NC的延长线于点F所以6ACE= 90o—Z BCM=90°—Z M=Z E,MW AE=AC= b.类似地,BF=BC=%.%—,・(^2一1)十b=槡％2+b2,得%—b sn%'sin2a%2一%b+b2+(%—b)・槡％2十b2=2—，即sin%%sin2a_%2+b2+(一b)・—%2十b2一%b sin2%=%2+b2—b2(—%2+b2+%)・(—%2+b2一b)(—%2+b2+b)・(—%2+b2一b)—%2+b2+%—%2+b2+b，sin a sin6E所以i%=i z F-因a%,6E,6F都是锐角，故T③”sin6F由b・tan a一%=—%2+b2,得tan a=—%2+b2+%b AE=tn6E，即"=6E%由③④可知％=6F.易知6M=—6ABC,6N=—Z BAC,故sin2Z EAM2ME2(槡％2十b2+%)2所以6M+6N=—(6ABC+6BAC)= (槡％2十b2+%)2+b2(!%2十b2+%)22!2+b2)+2%・槡％2十b2(!%2+b2+%)2槡%2+b+%=①2槡%2+b2・((%2+b2+%)2槡%2+b类似地sin26F =槡%2十b2十b②2槡％2十b2—X90。
专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法
方法
2
有直角、无直角的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 解： 如图，延长BC，AD交于点E.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°. AB 2 = = 2 3， 在Rt△ABE中，BE＝ o tan E tan 30
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训2
“化斜为直”构造
直角三角形的方法
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直 角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直 角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助
线，将其转化为直角三角形来解．
方法
1
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋ 3 ，∠B＝ 60°，∠C＝45°，求AB的长． 解： 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2， 3 ∴DE＝EC· cos 30°＝2× ＝ 3. 2
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD
1 1 ＝ AB· BE－ CD· ED 2 2 1 1 3 3 ＝ ×2×2 3 － ×1× 3 ＝ . 2 2 2
本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°， ∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，
关系是解题的关键．
方法
4
求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形24
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ 1 ∠BAC，求tan ∠BPC的值． 2 如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5， 解： 1 1 1 ∴BE＝ BC＝ ×8＝4，∠BAE＝ ∠BAC. 2 2 2 1 ∵∠BPC＝ ∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 2 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝
构造含30角的直角三角形解题
1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。
在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。
北师大版八年级数学上册微专题1 如何构造直角三角形
即学校征收这块地需要 234000 元．
类型三 利用补形法构造直角三角形 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点，点 E，F 分别为 AC，BC 的中点，DE⊥DF.试说 明：AE2＋BF2＝EF2.
类型四 利用勾股定理的逆定理构造直角三角形求 面积
4. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB ＝4，BC＝6，CD＝5，AD＝3.求四边形 ABCD 的面积．
解：如图，作 DE∥AB 交 BC 于点 E，连接 BD，则 可以证明△ABD≌△EDB(ASA)，所以 DE＝AB＝4，
BE＝AD＝3. 因为 BC＝6，所以 EC＝3.所以 EC＝EB. 因为 DE2＋CE2＝42＋32＝25＝CD2， 所以△DEC 为直角三角形．所以∠DEC＝90°. 四边形ABCD＝12(AD＋BC)×AB＝12×(3＋6)×4＝18.
类型二 利用分割法构造直角三角形 2. 学校要征收一块土地，形状如 图所示，已知∠B＝∠D＝90°，AB＝ 20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，土地价 格为 1000 元/m2，请你计算学校征收这 块地需要多少钱？
解：如图，连接 AC，在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2 ＝202＋152＝625，
解：如图，延长 ED 至点 G，使 DG＝ED，连接 BG， FG.
在△ADE 和△BDG 中，因为 AD＝DB，∠1＝∠2， ED＝DG，所以△ADE≌△BDG(SAS)．
所以 AE＝BG，∠3＝∠4. 又因为∠4＋∠5＝90°，所以∠3＋∠5＝90°. 又因为 DF⊥EG，DE＝DG，易证△EDF≌△GDF， 所以 FG＝EF. 在 Rt△FBG 中，BG2＋BF2＝FG2，即 AE2＋BF2＝EF2.
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧.doc
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧在初中数学中有这样一个定理:在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的边是斜边的一半.它通过角的关系揭示出了边的关系，从角的类别跨出到了边的类别，建立了不同类别之间的联系，所以非常重要，那么在证明线段之间的倍分关系时，我们就要注意提醒自己，题中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通过某种方法构造含30°的直角三角形.这一定理运用比较广泛，下面结合八年级的习题分别说明。
一.直接运用含30°角的直角三角形的性质1.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证:BP=2PQ.【分析】由等边三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，显然△ACD≌△BAE.结论要证BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°则达到目的.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.求证:AD=DC.【分析】欲证，AD=CD，想到什么:等腰三角形三线合一;想到证底角相等？不管你想到哪个定理和性质，还得联系其他条件，条件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，这些条件又与结论怎样联系呢？那我们就要画辅助线试着分析一下，因为∠ABD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，过点A作AE⊥BD于E，E为垂足，使30°的角处于直角三角形中，则有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，则AD是∠CAE的角平分线，而DE⊥AE，于是想到过点D作DF⊥AC于F，则可证△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得证.如图证明:过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°则在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，则AE=AC/2，在△ABD 中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根据∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.那么依据∠DAC=∠DCA是否也可证AD=DC呢？只要同学们善于分析，还是可以的，下面给出一种作辅助线的方法，希望同学们仔细体会.以BC为边在△ABC的同侧作等边三角形BEC，连接AE，如图，由于正三角形，等腰直角三角形的对称性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，则∠ACD=15°，由上边证得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法关键是作出一个等边三角形，有同学要问，你怎么就知道作等边三角形呢？显然我也是学来的，多总结，多归纳，多记忆，多体会，你也会知道这种辅助线。
专题. 构造直角三角形解题四大题型-九年级数学上册举一反三系列(华东师大版)
专题--构造直角三角形解题四大题型A．223+B．33+（2023春·江苏·九年级专题练习）2．如图，直线y=34x+3交x轴于恰落在直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则11（2023·上海·九年级假期作业）5．如图，将平行四边形ABCD∠=∠+ ，且NCACM DCM10（2023春·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考期末）6．如图，在三角形ABC中，∠△ADE沿DE折叠，使点A落在（2023·山东潍坊·校考一模）9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=交BC 于点E ，那么DE 的长为（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期末）10．如图，已知△ABC 是面积为A．5B2（2023秋·湖南永州·九年级校考期中）14．菱形ABCD中，AE⊥①BF为∠ABE的角平分线；（2023·河北邯郸·校考三模）17．如图，四边形ABCD菱形ABCD的周长为A．（3﹣3）cm B．（2023秋·上海·九年级上海市文来中学校考期中）25．在梯形ABCD 中，AB DC ，90B ∠＝交边AB 于点F ．将BEF △沿直线EF 翻折得到（2023·北京大兴·统考一模）(1)求坝底AD的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽α=︒．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？30(1)如图1，如果1AD =，且3CE DE =，求ABE ∠的正切值；(4)在（2）的条件下，设PQ 的长为cm x ，试确定S 与x 之间的关系式．（2023春·湖北宜昌·九年级校考期中）31．如图，在梯形ABCD 中，AB DC ，90BCD ∠=︒，且1,2AB BC ==，tan 2ADC ∠=．(1)求证：DC BC =；(2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且,EDC FBC DE BF ∠=∠=，当:1:2BE CE =，135BEC ∠=︒时，求sin BFE ∠的值．（2023·河北沧州·统考模拟预测）32．为了传承红色教育，某学校组织学生网上游览中央红军长征出发地纪念园，门口的主题雕塑平面示意图如图所示，底座上方四边形GDEF 的边DE 与底座四边形ABCD 的边AD 在同一条直线上，已知AB CD EF ∥∥，1.6AD BC ==米，FGC A ∠=∠，雕塑的高为7.5米，底座梯形下底边AB 长为8.6米，斜坡的坡度为3:1．(1)判断四边形DEFG 的形状；(2)求底座四边形ABCD 中CD 的长度；（2023秋·宁夏银川·九年级银川市第三中学校考期中）37．如图，在△ABC中，∠分别作AB、AC边的垂线，垂足分别为(1)若20∠∠=︒，则BCEABC∠(2)若BE BD=，则tan ABC（2023秋·四川内江·九年级校考期中）39．如图，在 ABC中，DCF的长．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）中，40．已知：如图，在ABC(1)线段EF的长；∠的余弦值．(2)B谢谢观看。
构造直角三角形在解题中的应用
所 ： ＝ 。 以Ｅ ， 号 Ａ
设 Ａ Ｅ＝４ ， Ｅ＝ ｋ 所 以 Ａ ｋＢ ３ ， Ｂ＝５ 。 ｋ
又 因为 Ａ ５米 ， 以 ：１则 Ａ Ｂ＝ 所 ， Ｅ＝４ 。 米 设整修后的斜坡 长为 Ａ 由整修 后坡度 为 ｌ Ｂ， ：
当 Ｅ Ｎ＝４ ｏ ， Ｎ ：Ｅ ＝ ６ ０ 。 Ｂ ５时 Ｂ Ｎ ２． 米 Ａ Ｅ＝Ａ Ｄ＝Ｂ Ｎ—Ｂ ＝２ ． —１ ＝１ 米 。 Ｄ ６０ ５ １
思路方法
Ｓ
构 造 直 角 三 角 形 在 解 题 中 的应 用
■ 郭 才福
直 角三 角形 的边 角 关 系 ， 实 际 问题 中有 着 广 在 泛 的 应 用 。解 决 这 类 问题 的关 键 在 于 发 现 或 构造 出 直 角 三 角形 ， 以便 利 用 直 角 三 角 形 的边 角 关 系使 问 题 顺 利 获解 。
在 Ｒａ Ｂ Ｅ 中 ， ｎ ＝ ， ｔ Ｃ ｔ３ ａ ： ＋６。 ． ＝３（ ＋１ ８ ．６ 米 ） ０ ・ ． Ｏ ） １９ （ 。 答： （ 作者单位 ： 河南省林州市临淇镇 中心学校） 州市临淇
・
５＋ 一５３ ３４ ｋ 。 ５ ， ． （ｍ） 隧道开通后 ， 汽车从 地到 地 比原来少走 约
３． ｍ 。 ４ｋ
例 ３ ２０ （０７年 资 阳 市 ） 一 座 建 于 若 干 年 前 的 水 库 大 坝 的横 断 面 如 图 ４所 示 ， 其 中背 水 面 的 整 个 坡 面 是 长
１：
水 பைடு நூலகம்
的 少
分 析 ： 题 是 一 道 与 坡 度 有 关 的 实 际 计 算 及 方 本 案设计试题。解决 本题应对坡 度的意 义正确认 识 ， 并能根据坡度进行计算 。 解 ：１作 Ａ 上 Ｂ （） Ｅ Ｃ于 。 因 为 原 来 的坡 度是 １０７ ， ：．５ Ａ Ｄ＝Ａ ｓ Ａ Ｃ＝３ Ｂ・ｉ Ｂ ｎ ０×ｓ ６￣ ５ ３ ２ ．８ ｉ ０ ＝１√ ５ ９ ｎ ２ ．（ ） Ｄ ６ ０ 米 ， Ｂ＝１ 米 。 ５ 连 结 Ｂ 过 Ｅ作 Ｅ ｊ Ｂ Ｅ， Ｎ ＿ Ｃ于 Ⅳ。 Ａ ∥Ｂ ． Ｅ Ｃ 四边形 Ａ Ｎ Ｅ Ｄ是矩形 ， Ｎ Ｅ＝Ａ ２ Ｄ ６米 。 在 ＲＡ Ｅ Ｂ中 ， 【 Ｎ 由已 知 Ｅ Ｎ≤４ｏ Ｂ ５，
九年级数学下册常考点微专题提分精练(网格中求正切(解析版)
专题23 网格中求正切【法一】构造直角三角形求如图是由边长为1的小正方形组成的44⨯网格，则tan BAC ∠=________．【详解】解：连接BC ，由勾股定理可知：22125AC =+=，222425BC =+=，22345AB =+=，∵2225(5)(25)=+，∵222AB AC BC =+，∵ABC 为直角三角形，∵25tan 25BC BAC AC ∠===， 故答案为：2． 如图，A ，B ，C ，D 均为网格图中的格点，线段AB 与CD 相交于点P ，则∵APD 的正切值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．32【详解】：连接CM ，DN ，由题意得：CM ∵AB ，∵∵APD ＝∵NCD ，由题意得：CN 2＝12+12＝2，DN 2＝32+32＝18，∵2,1832CN DN ===，∵tan∵DCN ＝DN CN ＝322＝3， ∵∵APD 的正切值为：3，故选：A ．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则tan AOB∠的值是______．解：作AC OB⊥交于点C，由图可知：=416=25+OB，∵11=22?·22AOBS AC OB⨯⨯=，∵2=5AC，∵22OA=，∵2246 855=-=-=OC OA AC，∵1 tan3∠==ACAOBOC，故答案为：1 31．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∵ABC的正切值是（）A．2B25C5D．12【答案】D【分析】连接AC，根据网格图不难得出=90CAB∠︒，求出AC、AB的长度即可求出ABC∠的正切值．【详解】连接AC，A．1B C D．22A ．13B ．35C ．23 D ．12根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，的值是_____．【答案】1【分析】根据已知图形得出45CAD ∠=︒，再求解即可.【详解】连接CD，∠若A，C，B′三点共线，则tan∵B′CB=________．【答案】2【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和锐角三角函数关系，得出BD⊥CB′是解题的关键．6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∵ABC的正切值是．【答案】2因为所以考点：勾股定理的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点∠的正切值是______．上，则ABC【答案】2【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出∵ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∵∵ABC是直角三角形，且∵ACB=90°，∠=_____________相交于点P，则tan APC∵四边形BCED是正方形，切值为_____．【答案】1∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5点．（1）CD的长度为______；（2）CD与网格线交于E，则DE=______；（3）若AB与CD所夹锐角为α，则tanα=______．(3)取各点M，连接CM，则CM∵AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数，正确__________．【点睛】本题考查网格中求角的正切值问题，关键是把给的角转移到三角形中，掌握正方形相应的格点上则tan A的值为______．1则∵ABD是直角三角形，∵ABD=90°，a12ABC S ∆=12ABC S ∆=∴322BD ⋅BD ∴=【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的三、解答题15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题：（1）用2B 铅笔画AD∵BC （D 为格点），连接CD ；（2）线段CD 的长为 ；（3）请你在△ACD 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是；（4）若E为BC中点，则tan∵CAE的值是．D点即为所求；BC=2三边的长分别为，求∵A 的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点∵ABC （∵ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和∵ABC 相似的格点∵DEF ，从而使问题得解．（1）图2中与A ∠相等的角为 ， A ∠的正切值为 ；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在∵GHK 中，HK=2，HG=KG=延长HK ，求+αβ∠∠的度数．11正方形的顶点上．（1）在图中画一个以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，并直接写出BE的长；（2）在图中画一个钝角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，并且三角形CDF的面积为92，3tan4DCF∠=．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等。
苏科版九年级下册数学第7章 构造直角三角形解题
∴11.5＝2.5x－x.解得 x＝1.5. ∴BF＝FE＝1.5.
∴∠BEF＝∠FBE. 在 Rt△BGD 中，tan∠GBD＝GGDB＝24＝12. ∴tan∠AEB＝tan∠GBD＝12. 故选 B.
9 如图，四边形 OABC 是一张矩形纸片，将边 BC 折叠， 使点 B 落在边 OA 上的点 D 处．已知折痕 CE＝5 5， 且 tan∠BCD＝43，则 CO＝____8____.
∴∠C＝60°.∴AD＝AC
sin
60°＝52
3 .
∴S△ABC＝12BC·AD＝12×8×523＝10 3.
15 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边 形．如图，已知在对余四边形 ABCD 中，AB＝10， BC＝12，CD＝5，tan B＝34，求边 AD 的长．
解：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于 H， 过点 C 作 CE⊥AD 于 E，连接 AC. 在 Rt△ABH 中，tan B＝ABHH＝34. 设 AH＝3k，BH＝4k，则 AB＝5k＝10. ∴k＝2.∴AH＝6，BH＝8. ∵BC＝12，∴CH＝BC－BH＝12－8＝4.
如图②，当∠ABC为锐角时，作CD⊥AB于 D，同理可得，AD＝3，BD＝1， ∴AB＝3＋1＝4.即AB的长为2或4.
13 【2021·上海】如图，已知在△ABD 中，AC⊥BD， BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝45，BF 为 AD 边上的中线． (1)求 AC 的长；
解：∵cos∠ABC＝BACB＝45，BC＝8，∴AB＝10， 在 Rt△ACB 中，由勾股定理得 AC＝ AB2－BC2＝ 102－82＝6， 即 AC 的长为 6.
【点拨】
∵四边形 OABC 是矩形， ∴∠B＝∠O＝∠A＝90°，OC＝AB.由翻折的性质可知， ∠B＝∠CDE＝90°，BE＝DE. ∴∠BCD＋∠DEB＝180°. ∵∠DEA＋∠DEB＝180°，∴∠BCD＝∠DEA. ∴tan∠DEA＝tan∠BCD＝43＝AADE.
构造直角三角形解代数最值问题
2020年第3期中学数学研究•51•综合上述探究，得出正确结论共有(2)(3)(4).点评：以上解题方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、四利用构造新的函数来达到消元的目的，方法二、三则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.3.解法反思含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元冋严2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.通过上述解法探究，可知用构造函数法求解极值点偏移问题大致可以分为以下三步：(1)求导，获得函数的单调性，极值情况，作出图像，由题意得知冋严2的范围(数学结合思想)；(2)构造函数：①幻+%2>(<)2x0型的结论构造函数/'(%)-/(2%-x);②t=x2-x x,t=竺换元构造函数；久1③替换函数法构造函数；④对数平均不等式构造函数；(3)求导，限定范围，判断符号，获得不等式，证明得出结论.构造直角三角形解代数最值问题江苏省泰州中学附属初中(225300)刘兴龙构造法是一种重要的数学思想方法，它可以根据问题的条件结构，构造出一个载体把所给的数学元素及其关系全面准确地载入，实现将已知问题转化的目的.此法新颖独特，对培养学生的联想、迁移、转化等思维有着十分重要的作用.本文主要介绍如何构造直角三角形解代数最值问题，供师生教学参考■例1设m、n、p是正数，且+n=p',求巴土2的最大值.p解：由已知条件知m、n、p均为正数，且rn2+n=p2,故可构造RtAABC如图1.在RtAABC中,sinA=—,cos4p(sinA+cos4)P二#sin(A+45°).而sin(A+45°)W1,二P #.故空土2的最大值为P评注：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形，其构思精巧，令人耳目一新.例2求二次根式y=V%2-8%+25-Vx+1的最大值.解：如图2,将已知函数变形为y=y(4-X)2+323 -启+］，作佃=4,在二同侧作CA丄AB于A且CA=丄于B且DB=3.在图2AB上取点P,令AP=x,易知PD=7(4-x)2+32,PC=W+1.由CD3：1PD-PC I可知y的最大值为CD=/(3-I)2+42= 275.由少血5“呦,得(阳)：(旳)=1：3,解得PA=2.但AP与AP在4点异侧，与AP方向相反.所以％=-P'A=-2.即y取最大值时％的值为-2.评注:本题是一道数形结合的综合题,解题关键是应用勾股定理,相似三角形及不等知识，通过构造•52•中学数学研究2020年第3期直角三角形，使代数问题得以转化，从而化复杂为简单，化抽象为直观.例3已知实数a,6满足条件a>0,6>0,且a+b=4,求代数式+1+/>2+4的最小值.解：因为两个根号内都是岂p 平方和的形式，所以考虑构造直角三角形求解.如图3,作/AE丄丄AB,P是线段AP上的一个动点，设=4,AP=a,BP=b,AE=1,BD=2.过点E作EE丄于F,图3连接DE.根据勾股定理得PE=Va+1,PD=后+4.所以7a2+1+后+4=PE+PDMDE =^32+42=5.故+1+Vb2+4的最小值是5.评注：有些代数题，用代数方法很难解决，但如果抓住“数”与“形”之间的内在联系，就可赋“数”以“形”意，把抽象的数学关系转化为构造直角三角形.用几何图形的直观性，可使已知和结论间的关系变得更明确、更形象,从而使问题变得简单明了.例4求二次根式//+4+7(12-%)2+9的最小值.解:构造直角三角形2UPP和ADCP，使CP+ BP=12丄BC,CD丄BC,AB=2,CD=3.并设BP=力，则PC=12-x,由图44得AP+PD=囲+4+27(12-^)2+9，显然，当仲直+PD=AD时为最小值.为此，延长DC至E,使CE=连结AE.在直角三角形ADE中，AP+PD=AD=7122+52=13,故J/+4+最小值为13.评注：因为W+4、丿(12-%)2+9均与直角三角形的边相关联，故设想用勾股定理解之.又考虑到力与(12-%)之和为12,为此将这两线段放置在同一条线段上，构造出两个直角三角形(如图4).然后通过变形，合二为一，使问题得以转化.综上所述,构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解,有助于培养逻辑推理和直观想象能力.并且这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视野，提高综合解题水平大有益处•运用数形结合思想，不仅能直观发现解题捷径，而且能避免大量的计算和复杂的推理，大大简化解题过程，因此，在平常解题过程中，要多给学生渗透这种思想方法，多加强这方面的训练，以提高解题能力和速度，从而开拓学生的思维和视野.利用“同解方程”简化解析几何的运算江苏省海安市实验中学解析几何是指借助笛卡尔坐标系，利用方程来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支•高中阶段所学曲线都是用方程来表示的，曲线上所有的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，即曲线的方程、方程的曲线.本文重点关注利用“同解方程”以减少解析几何的运算量.(226600)潘新峰—、同解原理原理：已知二次函数/(%)=a^2+b A x+C［、g(力)=a2x2+b2x+c2,若f(x1)=/(x2)=0且g(衍)=g(x2)=0,其中％#%2,则存在入e R且A MO,使得a】=Xa2^b1=Xb2^c1=Ac2-证明：因为g(%)=a2x2+b2x+c2,若/(冋)= /(%2)=0且g(%i)=g(%)=0,所以根据因式分解。
【万能解题模型】13 解直角三角形的实际应用中的基本模型(课件)中考数学
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD 于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中， CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221， 解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析： 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC， BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据， 求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60)
九年级数学下册常考点微专题提分精练(构造直角三角形利用三角函数求边长小题(解析版)
专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题【典例讲解】Rt△ABC中，△A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且△ACP=30°，则PB的长为_______．【详解】分两种情况考虑：当△ABC=60°时，如图所示：△△CAB=90°，△△BCA=30°．又△△PCA=30°，△△PCB=△PCA+△ACB=60°．又△△ABC=60°，△△PCB为等边三角形．又△BC=4，△PB=4．当△ABC=30°时，（i）当P在A的右边时，如图所示：△△PCA=30°，△ACB=60°，△△PCB=90°．又△B=30°，BC=4，△BCcosBPB=，即2BC448PB===3cosB cos30332=．（ii）当P在A的左边时，如图所示：△△PCA=30°，△ACB=60°，△△BCP=30°．又△B=30°，△△BCP=△B．△CP=BP．在Rt△ABC中，△B=30°，BC=4，△AC=12BC=2．根据勾股定理得：2222AB BC AC4223=-=-=，△AP=AB－PB=23－PB．在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（23－PB）2=BP2，解得：BP=433．综上所述，BP的长为4或433或833．【综合演练】1．在△ABC中，BC31，△B＝45°，△C＝30°，则△ABC的面积为（）B1C D1A在Rt△ABD中，△B＝45°，．如图，在ABC中，连接BP AP PB+的最小值是（）AB C D ．2 为斜边向ABC 外作等腰直角三角形，得PD PB =+Rt ABD 中，为斜边向ABC 外作等腰直角三角形， 22PD AP = 在同一直线上时，取得最小值. 中，90D ，AB =sin 60BD AB︒=， 3. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到22PD AP =是解题的关键. 3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．2【答案】B【详解】解：延长BA，过C作CD△BA的延长线于点D，A．42B．43C．44D．45ADA ．13B ．4C ．11D ．【答案】C1△AE=2×2cos30°=2×2×． 1在Rt△AEP 中，． 故选C ．6．已知在ABC 中，A ∠、B ∠是锐角，且sin 13B =，tan 2A =，44cm AB =，则ABC 的面积等于 __2cm ．过点C作AB的垂线，垂足为点D．5sin13B=设CD=tanCD AAD =可设CD2AD y∴=BD∴=AB AD∴=△AC＝5，△ABC的面积为53，Rt ABD中，＝60°．是钝角时，如图，过点B作△AC＝5，△ABC的面积为53，的值为__________．∠tanAB BAE故答案为：27【点睛】本题考查了解直角三角形．对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．进而求面积，在转化时，尽量不要破坏所给条件．10．如图，在ABC ∆中，8AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为__________．【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.AC=米，3020BC=米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号）【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.在Rt△ACD中，△A＝30°，AC＝23，的面积是__.△等腰直角△ABC的面积为16,，则AC边上的中线长是_____________．2作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．．在ABC中，(1)求ABC 的面积；(2)求AB 的值；(3)求cos ABC ∠的值． ，最后利用三角形的面积公式算出ABC 的面积；中利用勾股定理求出的余弦值．△90ADC ADB ∠=∠=︒，Rt ACD ，AD C AC=，sin4AC C=1BC AD=⨯62△ABC的面积为12．（2）DC AD=，=6BC，==-=64BD BC DC△中，在Rt ABD=AB AD【答案】10.5【分析】作AD△BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据△B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值．【详解】解：过点A作AD△BC，垂足为D．＝2，DE S△DEB＝4，求四边形ACDE的面积．DH求BD的长．【答案】BD的长是5．【分析】过D作DE△AB于点E，设DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△BDE中分别表示出tan△ABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.【详解】解：过D作DE△AB于点E，如图所示，△△BAD＝45°，．如图，ABC的角平分线c=时，求a的值；（1）当2（2）求ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；（3）求证：a，c之和等于a，c之积.1Rt ABE 中，BD =，△点2c =.）答案不唯一可能情形1：过点1Rt ABF 中，CBG △中，ABC ABD S =+△12BD AF ⨯+求△DCB的度数．【答案】△DCB=30°.。
构造直角三角形
构造直角三角形方法指导利用勾股定理的前提是存在直角三角形，因此构造直角三角形是解题的关键.一、利用分割法构造直角三角形1.如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，四边形ABCD 的周长为16.求ABCD S 四.二、利用补形法构造直角三角形2.如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝4，CD ＝2.求BC 和AD 的长.三、作垂线构造直角三角形3.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，AB1.求CD 的长.4.如图，D 为等腰直角△ABC 的斜边AB 上一点，点E 在BC 上，且DC ＝DE .求AD CE 的值.5.如图，△BCD 中，BC ＝BD ，∠BCD ＝90°，E 是△BCD 外一点，CE ∥BD ，且BE ＝BD .求CE BD 的值.勾股定理与分类讨论方法指导当问题中的条件不明，有可能出现几种情况时，常需分类讨论.一、直角不明时可分类讨论1.Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角△ACD.求BD的长.二、动点位置不明时可分类讨论2.（2014·南昌）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为___________.三、腰不明时可分类讨论3.如图1，有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为20m，15m，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以20m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.图1四、三角形形状不明确时可分类讨论4.已知△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4.求BC的长.5.在△ABC中，32AB，BC＝5,△ABC的高AD和BE交于点F，若BF＝AC.求CD的长.。
直角三角形(课堂总结)
直角三角形 的题型和方法（1）运用或构造直角三角形● 直角三角形的判定：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰三角形三线合一利用角的关系斜边中线为斜边一半时勾股定理逆定理利用边的关系● 添加辅助线构造直角三角形。
（2）求解方法：● 运用勾股定理，有时结合列方程方式求解；● 利用“面积”方法求解，有时会很方便（在四边形中）； ● 利用直角三角形、等腰三角形三线合一等性质；⎪⎩⎪⎨⎧︒斜边中线等于斜边一半一半角所对直角边等于斜边两个锐角互余直角三角形性质30● 利用特殊角的三角函数、余弦定理求解。
三角函数关系可以借助平面直角坐标系（分四个象限）来分析：注意：α角是与x 轴正方向之间的夹角。
IIIIIIIV2160cos 30sin =︒=︒ 2245cos 45sin =︒=︒ 2330cos 60sin =︒=︒42615sin -=︒ 42615cos +=︒ )90cos(sin αα-︒= ααsin )180sin(=-︒ )cos()180cos(αα-=-︒ ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- αααcos sin 2)2sin(=1cos sin 22=+αα αααcos sin tan =余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 其中R (为外接圆半径） 正弦面积公式：A bc B acC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（3）记住一些常用结论及公式。
● 正（等边）三角形面积公式：243aS ABC =∆正 ● 海伦公式：))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ 其中)2(cb a p ++=● 在矩形ABCD 内任意一点P ，都有2222PD PB PC PA +=+。
● 三角形中线长公式：222222222222122212221c b a m b c a m a c b m c b a -+=-+=-+=一、直角三角形三边1、若一直角三角形三边长为三个连续的整数，那么这个三角形的三边长分别为_________。
2023年二轮复习解答题专题五：解直角三角形的应用背靠背母子型(解析版)
2023年二轮复习解答题专题六：解直角三角形的应用背靠背型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪、身高等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.模型典例分析例 （2022安徽中考）如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C ，测得A ，B 均在C 的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D ，测得A 在D 的正北方向，B 在D 的北偏西53°方向上．求A ，B 两点间的距离．参考数据：sin 370.60°»，cos370.80°»，tan 370.75°»．【答案】96米【解析】【分析】根据题意可得ACD D 是直角三角形，解Rt ACD D 可求出AC 的长，再证明BCD D 是直角三角形，求出BC 的长，根据AB =AC -BC 可得结论．【详解】解：∵A ，B 均在C 的北偏东37°方向上，A 在D 的正北方向，且点D 在点C 的正东方，∴ACD D 是直角三角形，∴903753BCD Ð=°-°=°，∴∴∠A =90°-∠BCD =90°-53°=37°，在Rt △ACD 中，sin CD A AC=Ð，CD =90米，∴90150sin 0.60CD AC A =»=Ð米，∵90,53CDA BDA Ð=°Ð=°，∴905337,BDC Ð=°-°=°∴375390BCD BDC Ð+Ð=°+°=°，∴90,CBD Ð=° 即BCD D 是直角三角形，∴sin BC BDC CD=Ð， ∴sin 900.6054BC CD BDC =л´=g 米，∴1505496AB AC BC =-=-=米，答：A ，B 两点间的距离为96米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．专题过关1. （2022泸州中考）如图，海中有两小岛C ，D ，某渔船在海中的A 处测得小岛C 位于东北方向，小岛D 位于南偏东30°方向，且A ，D 相距10 nmile ．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B ，此时测得小岛C 位于西北方向且与点B 相距 nmile ．求B ，D 间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【答案】B ，D 间的距离为14nmile ．【解析】【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC nmile ．再根据锐角三角函数即可求出B ，D 间的距离．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据题意可得，∠BAC =∠ABC =45°，∠BAD =60°，AD =10 nmile ，BC nmile ．在Rt △ABC 中，AC =BC∴AB BC =16(nmile)，在Rt △ADE 中，AD =10 nmile ，∠EAD =60°，∴DE =AD=(nmile)，AE =12AD =5 (nmile)，∴BE =AB -AE =11(nmile)，∴BD=14(nmile)，答：B ，D 间的距离为14nmile ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．2. （2022抚顺中考）如图，B 港口在A 港口南偏西25°方向上，距离A 港口100海里处．一艘货轮航行到C 处，发现A 港口在货轮的北偏西25°方向，B 港口在货轮的北偏西70°方向，求此时货轮与A 港口的距离（结果取整数）．（参考数据：sin500.766,cos500.643,tan50 1.414°»°»°»»）【答案】货轮距离A 港口约141海里【解析】【分析】过点B 作BH AC ^于点H ，分别解直角三角形求出AH 、HC 即可得到答案．【详解】解：过点B 作BH AC ^于点H ，根据题意得，252550,702545BAC BCA Ð=°+°=°Ð=°-°=°，的在Rt ABH V 中，90AHB Ð=°，∵100,50AB BAC =Ð=°，sin ,cos BH AH BAH BAH AB ABÐ=Ð=，∴sin 1000.76676.6BH AB BAC =×л´=（海里）cos 1000.64364.3AH AB BAC =×л´=（海里）在Rt BHC V 中，90BHC Ð=°∵45,tan BHBCH BCH CHÐ=°Ð=∴76.676.676.6tan tan451BH CH BCH =»==а．∴64.376.6141AC AH CH =+=+»海里答：货轮距离A 港口约141海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．3. （2022怀化中考）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据≈1.73，≈1.41）【答案】不穿过，理由见解析【解析】【分析】先作AD ⊥BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可．【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°.设CD =x ，则BD=2.4-x ，在Rt △ACD 中，∠ACD=45°，∴∠CAD=45°，∴AD=CD =x ．Rt △ABD 中，t an 30A D B D°=，即2.4x x =-，解得x =0.88，可知AD=0.88千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．在【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．4. （2022宿迁中考）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．【答案】（20）m．【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝DE AE，∴20tan tan30DEAEDAE===а，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE AE=m，∴CD ＝CE ＋DE ＝（20）m ，∴信号塔的高度为（20）m ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．5. （2022呼和浩特中考）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB 的高度，某数学兴趣小组在D 处用测角仪测得雕像顶部A 的仰角为30°，测得底部B 的俯角为10°．已知测角仪CD 与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB 的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）米【解析】【分析】过点C 作CE AB ^于E ，则四边形CDBE 是矩形，则CD BE =1=，在Rt ACE V 与Rt EBC V 中，分别表示出,AE EB ，根据AB AE EB =+即可求解．【详解】如图，过点C 作CE AB ^于E ，则四边形CDBE 是矩形，\CD BE =1=，Rt ACE V 中，tan tan 30AE ACE CE Ð==°=，AE \=，Rt EBC V 中，tan EB ECB ECÐ=tan10=°，1EB CD ==Q 1tan10tan10EB EC \==°°，1tan10AB AE EB \=+=+=°米答：雕像AB 米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．6 .（2022威海中考）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A ，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M ．测得AB ＝50m ，∠MAB ＝22°，∠MBA ＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m ）．参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125．【答案】约为1.7米【解析】【分析】过点M 作MN ⊥AB ，利用正切函数得出AN ≈52MN ，BN ≈512MN ，结合图形得出5550212MN MN +=，然后求解即可．【详解】解：过点M 作MN ⊥AB ，根据题意可得：2tan tan 225MN MAN AN Ð=°=»，∴AN ≈52MN 12tan tan 675MN MBN BN Ð=°=»，∴BN ≈512MN ∵AN +BN =AB =50，∴5550212MN MN +=，解得：MN =12 1.77»m ，∴河流的宽度约为1.7米．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解决实际问题，理解题意，结合图形进行求解是解题关键．7.（2022河池中考）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．【答案】59m【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，先证明四边形BECD是矩形，BE ＝CD＝36m，在R t△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在R t△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，进而得到居民楼AB的高度．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，由题意可知∠CDB＝∠DBE＝90°，∴四边形BECD是矩形，∴BE＝CD＝36m，由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在R t△BCE中，∠BCE＝45°，∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°，∴∠EBC＝∠BCE，∴BE＝CE＝CD＝36m，在R t △ACE 中，∠ACE ＝33°，CE ＝36m ，∴AE ＝CE g tan33°≈23.4m ，∴AB ＝AE ＋BE ＝23.4＋36＝59.4≈59（m ）．答：居民楼AB 的高度约为59m ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．8. （2022新疆兵团中考）周米，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m ，求这栋楼的高度．（参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 370.75°»°»°»）【答案】这栋楼的高度为：52.5米【解析】【分析】如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △AEB 和Rt △AEC 中，根据正切的概念分别求出BE 、EC ，计算即可．【详解】解：过A 作AE BC ^于E ，∴90AEB AEC Ð=Ð=°由依题意得：45,37,30EAB CAE CD AE Ð=°Ð=°==，Rt AEB V 和Rt AEC V 中，∵tan BAE BE AE Ð=，tan CE CAE AEÐ=∴tan 4530130BE AE =´°=´=，tan 37300.7522.5CE AE =´°»´=∴3022.552.5BC BE CE =+=+=∴这栋楼的高度为：52.5米．【点睛】本题考查是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．9. （2022广元中考）如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF ．在点E 处测得山顶A 的仰角为45°，在距E 点80m 的C 处测得山顶A 的仰角为30°，从与F 点相距10m 的D 处测得山顶A 的仰角为45°，点C 、E 、F 、D 在同一直线上，求隧道EF 的长度．【答案】隧道EF的长度()30+米．【解析】【分析】过点A 作AG ⊥CD 于点G ，然后根据题意易得AG =EG =DG ，则设AG =EG =DG =x ，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有80x +=，最后问题可求解．【详解】解：过点A 作AG ⊥CD 于点G ，如图所示：由题意得：80m,10m,45,30CE DF AEF ADE ACE ==Ð=Ð=°Ð=°，的∴△EAD 是等腰直角三角形，∴AG =EG =DG ，设AG =EG =DG =x ，∴tan 30AG CG ==°，∴80x +=，解得：40x =+，∴()40m AG EG DG ===+，∴()401030m EF ED DF =-=-=+；答：隧道EF 的长度()30米．【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．10. （2022河南镇平一模）某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC 长为48米，在点D 处测得桥墩最高点A 的仰角为35°，CD 平行于水平线BM ，CD 长为AB 的高（结果保留1位小数）．（sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70）【22题答案】【答案】72.4米．【解析】【分析】延长DC 交AB 于点E ，则ED P BM ，可证得∠AED =∠ABM =90°，∠ECB =∠CBM =30°，在Rt △BCE 中，利用直角三角形的性质可求出BE 的长；再利用勾股定理求出CE 的长，即可求出DE 的长，然后解直角三角形求出AE 的长，从而可求出AB的长．【详解】解：如图所示，延长DC 交AB 于点E ，则ED P BM ，90,30AED ABM ECB CBM °°\Ð=Ð=Ð=Ð=在Rt BCE D 中，30,48ECB BC °Ð==Q （米），11482422BC BE ==´=\（米），∴CE ===，DE CD CE \=+==（米），在Rt ADE D 中，∵tan AE ADE DEÐ=，∴tan 3540 1.730.7048.44AE DE °=×»´´=（米），∴48.442472.4AB AE BE =+=+»（米）．答：桥墩AB 的高约为72.4米．【点睛】此题考查了三角函数应用，解题的关键是根据题意做出辅助线构造直角三角形．11.（2022河南辉县二模） 如图所示，为了知道古塔AB 的高度，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在建筑物上的C 处测得古塔顶端A 的仰角为45°，在C 处测得古塔底端B 的俯角为40°，测得建筑物CD 的高度为15米，且CD ⊥BD ．根据测量数据，请求出古塔AB 的高度．（参考数据：sin 400.64°»，cos 400.77°»，tan 400.84°»，1.41»，结果精确到0.01米）【答案】32.86米【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，得BE=CD=15m，再由锐角三角函数定义求出CE=AE=17.86m，即可解决问题．【详解】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E．如图，由题意知，∠ACE＝45°，∠BCE＝40°，CD＝15．∵CE⊥AB，CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDB＝∠DBE＝∠BEC＝90°．∴四边形CDBE是矩形．∴BE＝CD＝15m．在Rt△BCE中，∵15 tan40BECE CE°==，∴1517.86tan40CE=»°m．在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝17.86m．∴AB ＝AE +BE ≈17.86+15＝32.86m ．答：古塔AB 的高度约为32.86米．【点睛】本题考查了解直角三角形—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12. （2022平顶山一模）始建于北宋皇佑元年的开封铁塔，至今已有近千年的历史，被誉为“天下第一塔”．为了测量铁塔的高度，甲、乙两同学分别在塔的东西两侧的A ，B ．两处（点A ．C ，B 在同一条直线上），测得塔顶D 的仰角分别为45°和 65°，已知两人之间的距离约为82米，求塔CD 的高度，（精确到1米）（参考数据sin65°≈0.91．cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）【答案】铁塔CD 的高度约为56米【解析】【分析】根据题意可得45A Ð=°，65B Ð=°，82AB AC CB =+=，CD AB ^，设AC CD x ==，则82BC AB AC x =-=-，由tan CD B BCÐ=，解方程求解即可．【详解】由题意可知，45A Ð=°，65B Ð=°，82AB AC CB =+=，CD AB ^．在Rt △ACD 中，∵45A Ð=°，∴45A ADC Ð=Ð=°，即AC CD =．设AC CD x ==，则82BC AB AC x=-=-在Rt △BCD 中，65B Ð=°由tan CDB BCÐ=代入得tan 6582xx°=-82tan 6582 2.14561tan 651 2.14x ´°´=»»+°+答：铁塔CD 的高度约为56米．【点睛】本题考查了解直角三角形应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．的13. （2022南阳宛城一模）如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40o 方向，航行5h 后到达C 处，测得灯塔B 在北偏东60o 方向，求C 处距离灯塔B 的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64»o ，cos400.77»o ，tan 400.84»o1.73»）．【答案】65.4nmile【解析】【分析】过点B 作BH AC ^，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【详解】解：如图，过点B 作BH AC ^，垂足为H ，由题意得，40BAC Ð=o ，60BCA Ð=o ，()205100nmile AC =´=，在Rt △CBH 中，∵tan BH BCH CH Ð=，cos CH BCH BCÐ=，∴tan60BH CH =×=o ，2cos60CH BC CH ==o ，在Rt △BAH 中，∵tan BH BAH AH Ð=，∴)nmile tan40BH AH ==o ，又∵AC AH CH =+，∴100CH =，所以)nmile CH =，∴()21000.8465.4nmile 1.730.84BC ´´=»»+．答：BC 的长约为65.4n mile ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线，把航海中的实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．14. （2022河南汝阳一模）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A 处测得前方小岛C 的俯角为30°，水平飞行20km 后到达B 处，发现小岛在其后方，测得小岛的俯角为45°．如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．【答案】所以飞机飞行的高度为()10-米.【解析】【分析】如图，过C 作CD AB ^于,D 则90,ADC BDC Ð=Ð=°设,BD x = 则20,AD x =-再证明,,CD BD x AD ==== 再列方程，解方程可得答案.【详解】解：如图，过C 作CD AB ^于,D 则90,ADC BDC Ð=Ð=°设,BD x = 则20,AD x =-45,DBC \Ð=°45,DBC DCB \Ð=Ð=°,BD DC x \==30,CAD Ð=°Q22,AC CD x \==,AD \==20,x \-=)120,x \+=10,x \==所以飞机飞行的高度为()10-米.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，含30°的直角三角形的性质，熟练的构建直角三角形是解题的关键.15. （2022河南林州一模）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】国旗匀速上升的速度约为0.25米/秒．【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得8CD BD ==米，再利用正切三角函数可得AD 的长，从而可得AB 的长，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：,37,45,8CD AB ACD BCD BD ^Ð=°Ð=°=米，Rt BCD \V 是等腰直角三角形，8CD BD \==米，在Rt ACD △中，tan 80.756AD CD ACD =×л´=（米），14AB AD BD \=+»米，\国旗匀速上升的速度约为(14 2.5)460.25-¸=（米/秒），答：国旗匀速上升的速度约为0.25米/秒．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．16. （2022安阳一模）在一次数学活动中，某学生在市田径运动馆观礼台上距离地面6m 处A 点测得正前方旗杆顶端B 点的仰角为45°，旗杆底部C 点的俯角为37°．请求出该运动馆内旗杆BC 的高度．（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）【答案】该运动馆内旗杆BC 的高度为14m ．【解析】【分析】根据正切的概念求出AE ，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AD ⊥DC ，EC ⊥DC ，∴四边形ADCE 是矩形，∴CE =AD =6m ，∵tan ∠EAC =CE AE ，∴AE ≈60.75=8(m)，∵∠AEB =90°，∠BAE =45°，∴BE =AE =8(m)，∴BC =BE +CE =8+6=14(m)，答：该运动馆内旗杆BC 的高度为14m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17.（2022山西二模） 某校“综合与实践”小组来到太原文瀛公园进行参观研学，对人民革命烈士纪念碑的高度进行了实地测量．项目操作如下：如图，测角仪的高度1EC GD ==米，他们分别在点C 和点D 处测得纪念碑顶端A 的仰角分别为30,45AEF AGF Ð=°Ð=°，且8.4CD =米，A ，E ，C ，B ，F ，D ，G 在同一竖直平面内，且E ，F ，G 在同一条水平线上，C ，B ，D 在同一条水平线上，求纪念碑AB 的高度．（结果精确到0.1 1.41»»）【答案】纪念碑AB 的高度为4.1米【解析】【分析】设AF x =米，根据矩形的性质得到8.4EG CD ==，1EC BF ==，利用锐角三角函数值的求法表示出EF ，GF ，根据8.4EF GF EG +==列出方程求解出AF 即可求解．【详解】解：设AF x =米．根据题意得四边形ECBF ，四边形FBDG ，四边形ECDG 都是矩形，∴8.4EG CD ==，1EC BF ==．在Rt AEF V 中，∵90,30AFE AEF Ð=°Ð=°，∴tan 30AF EF°=，即tan 30x EF °=．∴tan 30x EF =°=．在Rt AGF △中，∵90,45AFG AGF Ð=°Ð=°，∴tan AF AGF GFÐ=，即tan 45x GF°=．∴tan 45x GF x ==o．∵8.4EF GF EG +==，8.4x +=．解得 3.08x »．∴ 3.081 4.08 4.1AB AF BF =+=+=»（米）．答：纪念碑AB 的高度为4.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质，利用锐角三角函数值的求法表示出EF ，GF 是解题的关键．18.（2022河南商水二模） 2021年10月23日，我国首艘万吨级海事巡逻船“海巡09”轮（如图1）在广州南沙列编，加入中国海事执法序列，标志着我国目前吨位最大、装备先进、综合能力强，具有世界领先水平的公务执法船正式投入使用．如图2，已知“海巡09”轮上午9时在B 市的南偏东25°方向上的点A 处，且在C 岛的北偏东58°方向上；B 市在C 岛的北偏东28°方向上，且距离C 岛372km ，此时，“海巡09”轮沿着AC 方向以30km/h 的速度航行，问：“海巡09”轮大约需要多长时间到达C 1.73»，sin 5345°»，cos5335°»，tan 5343°»）【答案】10小时【解析】【分析】过点A 作AD BC ^于D ，可求得53ABC Ð=°，30ACB Ð=°，372km BC =，设km AD x =，由解直角三角形可得3km 4BD x »，km CD =，可得33724x +=，求得150x »，再根据直角三角形的性质，即可求得AC 的长，据此即可求得．【详解】解：如图：过点A 作AD BC ^于D ，由题意知，282553ABC Ð=°+°=°，582830ACB Ð=°-°=°，372km BC =，设km AD x =，在Rt △ABD 中，∵53ABD Ð=°，∴3km tan 534AD BD x =»°，在Rt ACD △中，∵30ACD Ð=°，∴km tan 30AD CD ==°，∵BD CD BC +=，∴33724x +=，解得：150x »，∴150km AD =，2300km AC AD ==，∴()3003010h ¸=，答：“海巡09”轮大约需要10小时到达C 岛．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．19. （2022郑州一模）如图，一艘货船在灯塔C 的正南方向，距离灯塔257海里的A 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C 的南偏东40°方向上，同时位于A 处的北偏东60°方向上的B 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB 的长（结果取整数）．参考数据：tan 400.84°» 1.73．【答案】AB 的长约为168海里．【解析】【分析】如图，过点B 作BH ⊥CA ，垂足为H ,解直角三角形即可【详解】如图，过点B 作BH ⊥CA ，垂足为H ．根据题意，60,40,257BAC BCA CA Ð=°Ð=°=．∵在Rt BAH △中，tan BH BAH AH Ð=，cos AH BAH ABÐ=，∴tan 60,2cos60AH BH AH AB AH =×°===°．∵在Rt BCH V 中，tan BH BCH CHÐ=，∴tan 40BH CH ==°．又CA CH AH =+，∴257AH =+．可得AH =．∴22570.841681.730.84AB ´´=»=+．答：AB 的长约为168海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造高线构造出直角三角形，并灵活解之是解题的关键．20. （2022河南实验中学一模）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A ，兴趣小组以A 为参照点在河这边沿河边任取两点B 、C ，测得65ABC Ð=°，45ACB Ð=°，量得BC 的长为300 m ．求河的宽度．（结果精确到1 m ，参考据sin 650.91°»，cos650.42°»，tan 65 2.14°»）【19题答案】【答案】河的宽度约为204米【解析】【分析】过点A 作AD BC ^于点D ，设AD x =，解直角三角形得到0.47BD x »，CD x =，根据BC 的长为300 m ，即可得到方程，求解即可．【详解】如图，过点A 作AD BC ^于点D设AD x=由图可知 65,45ABD ACB Ð=°Ð=°在Rt ABD D 中，tan AD ABD BD Ð=Q 0.47tan tan 65AD x BD x ABD \==»Ð°在Rt ACD D 中，45ACD Ð=°Q AD CD x\==BD DC BC+=Q 0.47300x x \+=解得 204x »即204mAD »所以，河的宽度约为204米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(三) 构造直角三角形解决,√2√3倍的数量关系
∴∠CMG＝∠EAC，
∴∠BMG＝120°＋∠CMG＝120°＋∠EAC＝∠BAF，
∴△BAF≌△BMG(SAS)，
∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，
∴∠FBG＝∠ABM＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
3
3
∴BG＝FG，∴BG＝EF＋EG＝ 2 AE＋CG＝ 2 AB＋CG.
方法2：构造30°角的直角三角形
3
3， 2 倍的数量
关系
【模型归纳】
基本图形
辅助线作法
已知 30°角
结论 1
AG＝2AC ＝ 33CG
基本图形
已知 30°角
辅助线作法
结论 AH＝12CH
3 ＝ 3 AC BI＝12BC
3 ＝ 3 CI
基本图形 辅助线作法
结论
无30° 角
∠BCF＝30°，∠BFC＝60°， BF＝12CF＝ 33BC
∠AGB＝30°，∠BAG＝60°， AB＝12AG＝ 33BG
若在证明的结论中出现
3，
3 3
问题，一般是30°(60°)的特殊直角三
角形两直角边的关系，因此找到或者构造含30°(60°)的直角三角形是
解决问题的关键．
【拓展】
条件中没有30°或60°角的处理策略：找条件中的直角，利用截长补短
来构造含30°或60°角的直角三角形，从而利用含30°或60°角的直角
无45° 角
∠BAD＝45°， ∠ADB＝45°，
AD＝ 2AB ＝ 2BD ∠BCE＝45°， ∠BEC＝45°， CE＝ 2BC ＝ 2BE
如果在证明的结论中出现
2，
2 2
问题，一般是等腰直角三角形斜边与
直角边的关系，因此合理利用题目中的45°角或者构造等腰直角三角形
构造含30角的直角三角形解题
3解：延长AD , BC 交于点EDAB 60 , CDE 90o ,- B 90 , A■- CE 2CD 2 DE CE 2 CD 2 .3 •30，又 CD AD , ■1C/A — B构造含30°角的直角三角形解题30的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐 角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ”这一性质在各类考试中经常出现，利 用它的关键是设法构造出含有 30角的直角三角形.本文列举几例，以说明怎样通过添加辅 助线构造出含30角的直角三角形.B 30 , AC . 2，等腰直角三角形 ACD 的斜边AD 在AB 边上，求BC 的长. 分析：本题含有30角的条件，因为只有在直角三角形中的 30角才有上述的特殊性质,所以需作辅助垂线，构造出一个含有30角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在. 解：过点C 作CE AB ，垂足为E .因为AC CD , ACD 90，所以AD 、AC 2 CD 22，因为 CE AB , △ACD 是等腰直角三角形，所以于点E •如果DE 1，求BC 的长. 分析：根据题意，容易发现BD 2，如果连接AD ，则有AD BD 2，而 CD 2AD 4，所以BC 可求.解：连接 AD , Q DE 垂直平分 AB ，二 AD BD , DEB 90 • Q AB AC , BAC 120 ,二 B C 30 •1在 Rt △ BDE 中 B 30 , A DE - BD ，二 BD 2 . Q AD BD ,2A BAD B,A DAC BAC BAD 120 30 90，而 C 30 ,1A AD CD , CD 2AD 2BD 4，故有：BC CD BD 4 2 6 • 2例 3 如图 3, DAB 60 , CD AD ,CB AB ，且 AB 2, CD 1，求 AD 和 BC 的长. 分析：注意到条件 DAB 60 , 延长AD 和BC ，就可以构造出两个含AE -AD 1 CE 。
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构造直角三角形巧解题
山东省博兴县锦秋街道清河学校 张海生 256500
有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.
一、利用已知直角构造直角三角形 例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.
解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.
二、利用勾股定理构造直角三角形
例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.
解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.
解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090，
故△BDC 是直角三角形，
因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8，
∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.
在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()222168DC DC -=+.解得DC=6. ∴248621=⨯⨯=∆B DC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为3482
3=⨯. 3163482
1=⨯⨯=∆A B D S .∴24316+=+=∆∆B DC A B D A B CD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为24
3a . 三、利用高构造直角三角形
例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.
解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P
点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类
讨论.
解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC. 图1
图2
图3
由等腰三角形的性质知BD=DC=2
1BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm).
在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()22228543x x -=+-+.
解得x=47，即BP=4
7(cm). P 点移动的时间为
47÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '， 则47='C P (cm).4
25478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为
2525.0425=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.
说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.
四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形
例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.
解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长. 解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE.
∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.
又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.
在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，61
5622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.
说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.。