高中物理高频考点《电磁感应中的双杆模型问题分析与强化训练》(附详细参考答案)

电磁感应中的双杆模型问题与强化训练
（附详细参考答案）
一、双杆模型问题分析及例题讲解：
1．模型分类：
双杆类题目可分为两种情况：一类是“一动一静”，即“假双杆”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡。

另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减。

2．分析方法：
通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态。

对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。

题型一:一杆静止，一杆运动
【题1】如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a、b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。

现用一平行于导轨的恒力F作用在a的中点，使其向上运动。

若b始终保持静止，则它所受摩擦力可能
A．变为0 B．先减小后不变
C．等于F D．先增大再减小
【答案】AB
【题2】如图所示，两条平行的金属导轨相距L ＝1 m ，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。

金属棒MN 和PQ 的质量均为m ＝0.2 kg ，电阻分别为R MN ＝1 Ω和R PQ ＝2 Ω。

MN 置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，PQ 置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好。

从t ＝0时刻起，MN 棒在水平外力F 1的作用下由静止开始以a ＝1 m/s 2
的加速度向右做匀加速直线运动，PQ 则在平行于斜面方向的力F 2作用下保持静止状态。

t ＝3 s 时，PQ 棒消耗的电功率为8 W ，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN 始终在水平导轨上运动。

求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）t ＝0～3 s 时间内通过MN 棒的电荷量；
（3）求t ＝6 s 时F 2的大小和方向；
（4）若改变F 1的作用规律，使MN 棒的运动速度v 与位移 x 满足关系：v ＝0.4x ，PQ 棒仍然静止在倾斜轨道上。

求MN 棒从静止开始到x ＝5 m 的过程中，系统产生的热量。

【答案】（1）2 T （2）3 C （3）5.2 N 方向沿斜面向下 （4）203 J
（2）E ＝ΔΦΔt q ＝E R MN ＋R PQ Δt ＝ΔΦR MN ＋R PQ
代入数据可得：q ＝3 C
（3）当t ＝6 s 时，设MN 的速度为v 2，则v 2＝at ＝6 m/s
E 2＝BLv 2＝12 V I 2＝E 2R MN ＋R PQ
＝4 A F 安＝BI 2L ＝8 N 规定沿斜面向上为正方向，对PQ 进行受力分析可得：F 2＋F 安cos 37°＝mgsin 37° 代入数据得：F 2＝－5.2 N （负号说明力的方向沿斜面向下）
（4）MN 棒做变加速直线运动，当x ＝5 m 时，v ＝0.4x ＝0.4×5 m/s＝2 m/s 因为速度v 与位移x 成正比，所以电流I 、安培力也与位移x 成正比，
安培力做功W 安＝－12BL·BLv R MN ＋R PQ ·x＝－203
J Q ＝－W 安＝203
J 。

【题3】如图所示，光滑平行的金属导轨宽度为L ，与水平方向成θ角倾斜固定，导轨
之间充满了垂直于导轨平面的足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，在导轨上垂直导轨放置着质量均为m 、电阻均为R 的金属棒a 、b ，二者都被垂直于导轨的挡板挡住保持静止，金属导轨电阻不计，现对b 棒施加一垂直于棒且平行于导轨平面向上的牵引力F ，并在极短的时间内将牵引力的功率从零调为恒定的P 。

为了使a 棒沿导轨向上运动，P 的取值可能为（重力加速度为g ）（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】CD
题型二:不在同一直线上
【题4】如图所示，两根质量同为m 、电阻同为R 、长度同为l 的导体棒，用两条等长的、质量和电阻均可忽略的长直导线连接后，放在距地面足够高的光滑绝缘水平桌面上，两根导体棒均与桌边缘平行，一根在桌面上。

另一根移动到靠在桌子的光滑绝缘侧面上。

整个空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度为B 。

开始时两棒静止，自由释放后开始运动。

已知两条导线除桌边缘拐弯处外其余部位均处于伸直状态，导线与桌子侧棱间无摩擦。

求：
（1）刚释放时，导体棒的加速度大小；
（2）导体棒运动稳定时的速度大小；
（3）若从开始下滑到刚稳定时通过横截面的电荷量为q 。

求该过程中系统产生的焦耳热。

【答案】（1）12g （2）2mgR B 2l 2 （3）2mgqR Bl －4m 3g 2R 2
B 4l 4 【解析】（1）刚释放时，设细线中拉力为F T
对a 棒：mg －F T ＝ma
对b 棒：F T ＝ma
解得：a ＝12
g （2）导体棒运动稳定时，设细线中拉力为F T ′
对b 棒：F T ′＝0
对a 棒：mg ＝F 安
又F 安＝BIl ＝B 2l 2v 2R
解得：v ＝2mgR B 2l 2 （3）从开始下滑到刚稳定，设a 棒下降的高度为h
则通过横截面的电荷量q ＝I·Δt ＝ΔΦ2R ＝Blh 2R
由能量守恒定律得：系统产生的焦耳热Q ＝mgh －12
×2mv 2 解得：Q ＝2mgqR Bl －4m 3g 2R 2B 4l 4。

【题5】（多选）如图所示，水平传送带带动两金属杆匀速向右运动，传送带右侧与两光滑平行金属导轨平滑连接，导轨与水平面间夹角为30°，两虚线EF 、GH 之间有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场宽度为L ，两金属杆的长度和两导轨的间距均为d ，两金属杆a 、b 的质量均为m ，两杆与导轨接触良好。

当金属杆a 进入磁场后恰好做匀速直线运动，当金属杆a 离开磁场时，金属杆b 恰好进入磁场，则（ ）
A ．金属杆b 进入磁场后做加速运动
B．金属杆b进入磁场后做匀速运动
C．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL 2
D．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL
【答案】BD
B项正确；两杆穿过磁场的过程中都做匀速运动，根据能量守恒定律得，回路中产生的总热量为Q＝2×mgsin 30°·L＝mgL，故C项错误，D项正确。

题型三：“闭合线框”
闭合线框从不同高度穿越磁场时，可能做匀速直线运动、加速运动、减速运动，或先后多种运动形式交替出现。

线框进入磁场和离开磁场的过程和单杆的运动情况相同，在磁场中运动的过程与双杆的运动情况相同。

解决此类问题的三种思路：
1．运动分析：分析线圈进磁场时安培力与重力的大小关系，判断其运动性质。

2．过程分析：分阶段（进磁场前、进入过程、在磁场内、出磁场过程）分析。

3．功能关系分析：必要时利用功能关系列方程求解。

【题6】如图甲所示，在竖直方向上有四条间距相等的水平虚线L1、L2、L3、L4，在L1L2之间、L3L4之间存在匀强磁场，大小均为1 T，方向垂直于虚线所在平面。

现有一矩形线圈abcd，宽度cd＝L＝0.5 m，质量为0.1 kg，电阻为2 Ω，将其从图示位置静止释放（cd 边与L1重合），速度随时间的变化关系如图乙所示，t1时刻cd边与L2重合，t2时刻ab边与L3重合，t3时刻ab边与L4重合，已知t1～t2的时间间隔为0.6 s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向。

（重力加速度g取10 m/s2）则（）
A ．在0～t 1时间内，通过线圈的电荷量为0.25 C
B ．线圈匀速运动的速度大小为8 m/s
C ．线圈的长度为1 m
D ．0～t 3时间内，线圈产生的热量为4.2 J
【答案】AB
得：Q ＝mg·5d－12mv 22＝1.8 J ，选项D 错误.0～t 1时间内，通过线圈的电荷量为q ＝ΔΦR
＝BdL R
＝0.25 C ，选项A 正确。

【题7】（多选）如图所示，边长为L 、电阻不计的n 匝正方形金属线框位于竖直平面内，连接的小灯泡的额定功率、额定电压分别为P 、U ，线框及小灯泡的总质量为m ，在线框的下方有一匀强磁场区域，区域宽度为l ，磁感应强度方向与线框平面垂直，其上、下边界与线框底边均水平。

线框从图示位置开始静止下落，穿越磁场的过程中，小灯泡始终正常发光。

则（ ）
A ．有界磁场宽度l<L
B ．磁场的磁感应强度应为mgU nPL
C ．线框匀速穿越磁场，速度恒为P mg
D ．线框穿越磁场的过程中，灯泡产生的焦耳热为mgL
【答案】BC
【题8】如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个闭合线圈Ⅰ、Ⅱ分别用同种导线绕制而成，其中Ⅰ为边长为L的正方形，Ⅱ是长2L、宽为L的矩形，将两个线圈同时从图示位置由静止释放。

线圈下边进入磁场时，Ⅰ立即做了一段时间的匀速运动，已知两线圈在整个下落过程中，下边始终平行于磁场上边界，不计空气阻力，则（）
A．下边进入磁场时，Ⅱ也立即做匀速运动
B．从下边进入磁场开始的一段时间内，线圈Ⅱ做加速度不断减小的加速运动
C．从下边进入磁场开始的一段时间内，线圈Ⅱ做加速度不断减小的减速运动
D．线圈Ⅱ先到达地面
【答案】C
【题9】如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（）
A ．Q 1＞Q 2，q 1＝q 2
B ．Q 1＞Q 2，q 1＞q 2
C ．Q 1＝Q 2，q 1＝q 2
D ．Q 1＝Q 2，q 1＞q 2 【答案】A
【解析】由法拉第电磁感应定律得：E ＝ΔΦΔt
① I ＝E R
② q ＝I Δt③ 由①②③得：q ＝ΔΦR
所以q 1＝q 2
由Q ＝|W 安|＝BIl·x 得Q 1＝B 2l 2ab v R ·l bc ，Q 2＝B 2l 2
bc v R
·l ab 又因l ab ＞l bc
所以Q 1＞Q 2，所以选项A 正确。

【题10】如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合金属线框abcd ，其边长为l 、质量为m ，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ，虚线框a′b′c′d′内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。

开始时金属线框的ab 边与磁场的d′c′边重合。

现使金属线框以初速度v 0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc 边与磁场区域的d′c′边距离为l 。

在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为（ ）
A ．12
mv 20＋μmgl B ．12mv 20－μmgl C ．12
mv 20＋2μmgl D ．12
mv 20－2μmgl 【答案】D
【题11】如右图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框abcd ，其边长为l ，质量为m ，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ。

虚线框a′b′c′d′内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。

开始时金属线框的ab 边与磁场的d′c′边重合。

现使金属线框以初速度v 0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc 边与磁场区域的d′c′边距离为l 。

在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为（ ）
A ．12
mv 20＋μmgl B ．12mv 20－μmgl C ．12
mv 20＋2μmgl D ．12
mv 20－2μmgl 【答案】D
【题12】（多选）在倾角为θ足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L ，如图所示。

一个质量为m 、电阻为R 、边长也为L 的正方形线框，在t ＝0时刻以速度v 0进入磁场，恰好做匀速直线运动，若经过时间t 0，线框ab 边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是（ ）
A ．当ab 边刚越过ff′时，线框加速度的大小为gsin θ
B ．t 0时刻线框匀速运动的速度为v 04
C ．t 0时间内线框中产生的焦耳热为32mgLsin θ＋1532
mv 20 D ．离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动
【答案】BC
【解析】当ab 边进入磁场时，有E ＝BLv 0，I ＝E R ，mgsin θ＝BIL ，有B 2L 2
v 0R
＝mgsin θ.当ab 边刚越过ff′时，线框的感应电动势和电流均加倍，则线框做减速运动，有4B 2L 2 v 0R
＝4mgsin θ，加速度向上大小为3gsin θ，A 错误；t 0时刻线框匀速运动的速度为v ，则有4B 2L 2v R
＝mgsin θ，解得v ＝v 04
，B 正确；线框从进入磁场到再次做匀速运动的过程，沿斜面向下运动距离为32L ，则由功能关系得线框中产生的焦耳热为Q ＝3mgLsin θ2＋（mv 202－mv 22
）＝3mgLsin θ2＋15mv 2032
，C 正确；线框离开磁场时做加速运动，D 错误。

【题13】如图所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°角，在斜面上虚线aa′和bb′与斜面底边平行，在aa′、b′b 围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B ＝1 T ；现有一质量为m ＝10 g 、总电阻为R ＝1 Ω、边长为d ＝0.1 m 的正方形金属线圈MNPQ ，让PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。

已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，（取g ＝10 m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）线圈进入磁场区域时，受到的安培力大小；
（2）线圈释放时，PQ 边到bb′的距离；
（3）整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。

【答案】（1）2×10－2 N （2）1 m （3）4×10－3 J
二、强化训练：
1．一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，磁感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升（导体棒ab、cd与导轨接触良好），此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是（）
A．ab受到的拉力大小为2 N
B．ab向上运动的速度为2 m/s
C．在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能
D．在2 s内，拉力做功为0.6 J
【答案】BC
2．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框原先整个置于有界匀强磁场内，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行，现使线框沿四个不同方向以相同速率v 匀速平移出磁场，如图所示，线框移出磁场的整个过程（）
A．四种情况下ab两端的电势差都相同
B．①图中流过线框的电荷量与v的大小无关
C．②图中线框的电功率与v的大小成正比
D．③图中磁场力对线框做的功与v2成正比
【答案】B
【解析】由法拉第电磁感应定律E＝ΔΦ/Δt，闭合电路欧姆定律I＝E/R，电流定义式I＝q/Δt可得q＝ΔΦ/R，线框沿四个不同方向移出磁场，流过线框的电荷量与v的大小无关，选项B正确。

四种情况下ab两端的电势差不相同，选项A错误。

②图中线框的电功率P＝E2/R，E＝BLv，P与v的二次方大小成正比，选项C错误；③图中磁场力F＝BIL，I＝E/R，E＝BLv，磁场力对线框做功W＝FL，磁场力对线框做的功与v成正比，选项D错误。

7．（多选）在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab 边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量为ΔE k，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，下列说法中正确的有（）
A．在下滑过程中，由于重力做正功，所以有v2>v1
B．从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，线框的机械能守恒
C．从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，有W1－ΔE k的机械能转化为电能
D．从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小ΔE k ＝W1－W2
【答案】CD
8．（多选）如图甲所示，光滑绝缘水平面上，虚线MN的右侧存在磁感应强度B＝2 T
的匀强磁场，MN的左侧有一质量m＝0.1 kg的矩形线圈abcd，bc边长L1＝0.2 m，电阻R ＝2 Ω。

t＝0时，用一恒定拉力F拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过时间1 s，线圈的bc边到达磁场边界MN，此时立即将拉力F改为变力，又经过1 s，线圈恰好完全进入磁场，整个运动过程中，线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示。

则（）
A．恒定拉力大小为0.05 N
B．线圈在第2 s内的加速度大小为1 m/s2
C．线圈ab边长L2＝0.5 m
D．在第2 s内流过线圈的电荷量为0.2 C
【答案】ABD
9．如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l。

匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。

开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动．在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动。

线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q。

线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g。

求
（1）线框ab 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd 边刚进入磁场时的几倍；
（2）磁场上下边界间的距离H 。

【答案】（1）4倍 （2）Q mg
＋28l 【解析】（1）设磁场的磁感应强度大小为B ，cd 边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v 1，cd 边上的感应电动势为E 1，由法拉第电磁感应定律，有E 1＝2Blv 1①
设线框总电阻为R ，此时线框中电流为I 1，由闭合电路欧姆定律，有I 1＝E 1R
② 设此时线框所受安培力为F 1，有F 1＝2I 1lB③
由于线框做匀速运动，其受力平衡，有mg ＝F 1④
由①②③④式得v 1＝mgR 4B 2l 2⑤ 设ab 边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v 2，同理可得v 2＝mgR B 2l 2⑥ 由⑤⑥式得v 2＝4v 1⑦
（2）线框自释放直到cd 边进入磁场前，由机械能守恒定律，有2mgl ＝12
mv 21⑧ 线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律有mg （2l ＋H ）＝12mv 22－12
mv 21＋Q⑨ 由⑦⑧⑨式得H ＝Q mg
＋28l 10．如图所示，P 、Q 为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距L 1＝0.5 m ，处在竖直向下、磁感应强度大小B 1＝0.5 T 的匀强磁场中。

导体杆ef 垂直于P 、Q 放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。

质量为m ＝0.1 kg 的正方形金属框abcd 置于竖直平面内，其边长为L 2＝0.1 m ，每边电阻均为r ＝0.1 Ω.线框的两顶点a 、b 通过细导线与导轨相连。

磁感应强度大小B 2＝1 T 的匀强磁场垂直金属框abcd 向里，金属框恰好处于静止状态。

不计其余电阻和细导线对a 、b 点的作用力，g 取10 m/s 2
，求：
（1）通过ab 边的电流I ab ；
（2）导体杆ef 的运动速度v 。

【答案】（1）7.5 A （2）3 m/s
金属框受重力和安培力，处于静止状态，有mg ＝B 2I ab L 2＋B 2I dc L 2，
联立解得I ＝10 A ，I ab ＝7.5 A 。

（2）设导体杆切割磁感线产生的电动势为E ，则E ＝B 1L 1v ，
设ad 、dc 、cb 三边电阻串联后与ab 边电阻并联的总电阻为R ，则R ＝r×3r r ＋3r ＝34
r ， 根据闭合电路欧姆定律，有I ＝E R
， 解得v ＝3mgr 4B 1B 2L 1L 2＝3×0.1×10×0.14×0.5×1×0.5×0.1
m/s ＝3 m/s 。

11．如图所示，在高度差为h 的平行虚线区域内有磁感应强度为B ，方向水平向里的匀强磁场。

正方形线框abcd 的质量为m ，边长为L （L ＝h ），电阻为R ，线框平面与竖直平面平行，静止于位置“Ⅰ”时，cd 边与磁场下边缘有一段距离H 。

现用一竖直向上的恒力F 提线框，线框由位置“Ⅰ”无初速度向上运动，穿过磁场区域最后到达位置“Ⅱ”（ab 边恰好出磁场），线框平面在运动中保持在竖直平面内，且ab 边保持水平。

当cd 边刚进入磁场时，线框恰好开始匀速运动。

空气阻气不计，g ＝10 m/s 2。

求：
（1）线框进入磁场前距磁场下边界的距离H ；
（2）线框由位置“Ⅰ”到位置“Ⅱ”的过程中，恒力F 做的功和线框产生的热量。

【答案】（1）mR 2
2B 4L 4（F －mg ） （2）F （H ＋h ＋L ） （F －mg ）（L ＋h ）
（2）线框由位置“Ⅰ”到位置“Ⅱ”的过程中，恒力F 做的功为W ＝F （H ＋h ＋L ）。

只有线框在穿越磁场的过程中才会产生热量，因此从cd 边进入磁场到ab 边离开磁场的过程中有F （L ＋h ）＝mg （L ＋h ）＋Q ，所以Q ＝（F －mg ）（L ＋h ）。

12．如图所示，四条水平虚线等间距地分布在同一竖直面上，间距为h ，在Ⅰ、Ⅱ两区间分布着完全相同，方向水平向内的磁场，磁场大小按B －t 图变化（图中B 0已知）。

现有一个长方形金属线框ABCD ，质量为m ，电阻为R ，AB ＝CD ＝L ，AD ＝BC ＝2h.用一轻质的细线把线框ABCD 竖直悬挂着，AB 边恰好在Ⅰ区的中央。

t 0（未知）时刻细线恰好松弛，之后剪断细线，当CD 边到达M 3N 3时线框恰好匀速运动。

（空气阻力不计，g 取10 m/s 2
）
（1）求t 0的值；
（2）求线框AB 边到达M 2N 2时的速率v ；
（3）从剪断细线到整个线框通过两个磁场区的过程中产生的电能为多大？
【答案】（1）B 20L 2h 2mgR （2）m 2g 2R 2B 40L 4－6gh （3）92mgh －m 3g 2R 2
2B 40L 4
（2）当CD 边到达M 3N 3时线框恰好匀速运动，速度为v′，对线框受力分析有B 0I′L＝
mg ，I′＝E ′R
， 因CD 棒切割产生的感应电动势E′＝B 0Lv′，v′＝mgR B 20L 2， 线框AB 到达M 2N 2时一直运动到CD 边到达M 3N 3的过程中线框中无感应电流产生，只受到重力作用。

线框下落高度为3h ，根据动能定理得mg3h ＝12mv′2－12
mv 2， 线框AB 边到达M 2N 2时的速率为v ＝m 2g 2R 2
B 40L 4－6gh 。

（3）线框由静止开始下落到CD 边刚离开M 4N 4的过程中线框中产生电能为E 电，线框下落高度为4.5h ，
根据能量守恒得重力势能减少量等于线框动能与电能之和为mg·4.5h＝E 电＋12
mv′2， 则E 电＝92mgh －m 3g 2R 2
2B 40L
4。

13．如图所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°放置，在斜面上虚线aa′和bb′与斜面底边平行，在aa′、b′b 围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B ＝1 T ；现有一质量为m ＝10 g 、总电阻为R ＝1 Ω、边长d ＝0.1 m 的正方形金属线圈MNPQ ，让PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。

已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，（取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）求：
（1）线圈进入磁场区域时，受到的安培力大小；
（2）线圈释放时，PQ 边到bb′的距离；
（3）整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。

【答案】（1）2×10－2 N （2）1 m （3）4×10－3
J
（3）由于线圈刚好匀速穿过磁场，则磁场宽度等于d＝0.1 m
Q＝W安＝F安·2d
解得：Q＝4×10－3 J。

14．如图，ab和cd是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2m。

竖直向上的外力F作用在杆MN上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为R，导轨间距为l。

整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直。

导轨电阻可忽略，重力加速度为g。

在t＝0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好。

求：
（1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；
（2）两杆分别达到的最大速度。

【答案】（1）2∶1（2）4mgR
3B2l22mgR 3B2l2
某时刻MN 的加速度a 1＝3mg －mg m －BIl m ＝2g －BIl m
， 同时刻M′N′的加速度a 2＝2mg 2m －BIl 2m ＝g －BIl 2m
， 因为任意时刻两杆加速度之比总为a 1a 2＝21
， 所以v 1v 2＝a 1t a 2t ＝21。

（2）当MN 和M′N′的加速度为零时，速度最大。

M′N′受力平衡有BIl ＝2mg ，I ＝E R
，E ＝Blv 1＋Blv 2， 联立得v 1＝4mgR 3B 2l 2，v 2＝2mgR 3B 2l 2。

15．如图甲所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd ，线圈平面与磁场方向垂直。

已知线圈的匝数N ＝100，边长ab ＝1.0 m 、bc ＝0.5 m ，电阻r ＝2 Ω。

磁感应强度B 随时间变化的规律如图乙所示，取垂直纸面向里为磁场的正方向。

求：
（1）3 s 时线圈内感应电动势的大小和感应电流的方向；
（2）在1～5 s 内通过线圈的电荷量q ；
（3）在0～5 s 内线圈产生的焦耳热Q 。

【答案】（1）5 V a→b→c→d→a （2）10 C （3）100 J
（2）在1～5 s 内线圈中的感应电动势E 2＝N ΔΦ2Δt 2＝N ΔB 2S Δt 2
感应电流I 2＝E 2r
，电荷量q ＝I 2Δt 2 解得q ＝N ΔB 2S r
，代入数据解得q ＝10 C 。

（3）0～1 s 内线圈中的感应电动势
E 3＝N ΔΦ3Δt 3＝N ΔB 3S Δt 3
＝10 V 0～1 s 内线圈中的感应电流I 3＝E 3r
＝5 A 0～1 s 内线圈产生的焦耳热Q 1＝I 2
3r Δt 3＝50 J
1～5 s 内线圈产生的焦耳热Q 2＝I 22r Δt 2＝50 J
Q ＝Q 1＋Q 2＝100 J 。

16．如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m 。

导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T 。

在区域Ⅰ中，将质量m 1＝0.1 kg 、电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑。

然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg 、电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑。

cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g ＝10 m/s 2。

问：
（1）cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向；
（2）ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；
（3）从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少。

【答案】（1）a 流向b （2）5 m/s （3）1.3 J。